Estimasi Parameter Generalized Pareto Distribution pada Kasus Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi Jawa Timur

(1)

Distribution pada Kasus Identifikasi

Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi

Jawa Timur

Dosen Pembimbing :

Dr. Sutikno, S.Si.,M.Si.

Oleh :

Yustika Desi Wulan Sari

(2)

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metodologi Penelitian

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan

Daftar Pustaka

(3)

Latar Belakang

Sektor

pertanian

Jawa

Timur

Kontributor

terhadap

PDRB

15,39%

Berbagai

jenis

komoditas

Produksi

padi

30,74%

(Jawa)

16,09%

(nasional)

Padi

Jagung

10.576.543 ton

1.926.796 ha

(BPS , 2012)

Jember, 813.514 ton

Banyuwangi, 695.962 ton

Bojonegoro, 675.697 ton

2011

(4)

Latar Belakang

Produksi Padi

Iklim

ekstrim

Extreme

Value

Theory

Distribusi

antar

periode

besar parameter

distribusi EVT

nya

Block Maxima

Peaks Over Threshold

Rahayu (2011)

Identifikasi perubahan iklim dengan mengestimasi parameter GEV

menggunakan MLE dan PWM

Kysely & Beranova (2009)

Simulasi curah hujan Ceko dengan meningkatkan nilai threshold untuk

mengestimasi multi year return level jumlah curah hujan

(5)

Rumusan Masalah

Bagaimana mengestimasi parameter Generalized

Pareto Distribution menggunakan Maximum

Likelihood Estimation (MLE) ?

Bagaimana karakteristik curah hujan Kabupaten

Banyuwangi, Bojonegoro, Jember, Lamongan dan

Ngawi?

Bagaimana mengidentifikasi perubahan iklim di

masing-masing kabupaten menggunakan metode

EVT-POT?

(6)

Tujuan Penelitian

Mendapatkan estimator parameter Generalized Pareto

Distribution menggunakan MLE.

Mengetahui karakteristik curah hujan di Kabupaten

Banyuwangi, Bojonegoro, Jember, Lamongan, dan

Ngawi.

Mengidentifikasi perubahan iklim di masing-masing

kabupaten menggunakan metode POT.

(7)

Manfaat Penelitian

Memberikan informasi kepada masyarakat mengenai perubahan iklim pada

curah hujan ekstrim

Memberikan informasi kepada Badan Litbang pertanian untuk merancang

kalender tanam sebagai upaya meminimalisir kerugian produksi panen

(8)

Batasan Penelitian

Data curah hujan harian tahun 1981-2010 untuk Kabupaten Banyuwangi,

Bojonegoro, Lamongan, Jember dan Ngawi

Metode yang digunakan adalah Peaks Over Threshold (POT)

Parameter iklim yang digunakan adalah curah hujan

(9)

Extreme Value Theory

Kejadian ekstrim adalah fenomena yang susah diprediksi waktu kejadiannya.

Contohnya banjir, badai, polusi udara, dan korosi (Kotz & Nadrajah, 2000)

Block Maxima(BM) berdistribusi Generalized Extreme Value (GEV)

Peaks Over Threshold (POT) berdistribusi Generalized Pareto

Distribution (GPD)

(10)

Block Maxima

Data ekstrim yang diambil menggunakan metode Block Maxima akan mengikuti distribusi

Generalized Extreme Value (Prang, 2006)

Probability Density Function (PDF) dari GEV :

Dimana :

= parameter bentuk = parameter lokasi

= parameter skala

ξ

σ

GEV

Tipe 1 (Distribusi Gumbel) jika

Tipe 2 (Distribusi Frechet) jika

0 =

ξ

0 >

ξ

µ

         =             − −      ₋ − ≠                       − + −                 − + = − − − 0 , exp exp exp 1 0 , 1 exp 1 1 ) ( 1 1 1 ξ σ µ σ µ σ ξ σ µ ξ σ µ ξ σ ξ ξ x x x x x f

(11)

Peaks Over Threshold

Data ekstrim yang diambil menggunakan metode POTakan mengikuti distribusi Generalized

Pareto Distribution.

Probability Density Function (PDF) dari GEV :

Dimana :

= parameter bentuk

= parameter skala

ξ

σ

GPD

Tipe 1 (Distribusi Eksponensial ) jika

Tipe 2 (Distribusi Pareto ) jika

0 =

ξ

0 >

ξ











=











 −

≠











 +

=

− −

0 ,

exp

1

0 ,

1

1 )

(

1 1

ξ

σ

ξ

σ

ξ

σ

ξ

x

f

(12)

Metode Persentase



Metode persentase yaitu metode yang digunakan untuk mendapatkan data ekstrim

melalui 10% data kelebihan

(Chaves-Dermoulin & Embrechts, 2002)

1. • Mengurutkan data dari yang terbesar hingga ke terkecil

2. • Menghitung jumlah data ekstrim (k)

• k = 10% x n , n=jumlah sampel data

3. • Menentukan threshold (u)

• u = k+1

(13)

Maximum Likelihood Estimation



MLE merupakan salah satu metode estimasi yang memaksimumkan fungsi

likelihood untuk mendapatkan estimasi parameternya.

persamaan fungsi likelihood sebagai berikut.

(

)

_∏

= = = n i i n n f x f x f x f x x x x L 1 2 1 2 1, ,..., ( ) ( )... ( ) ( , , ) | ,σ ξ σ ξ

dimaksimumkan

persamaan fungsi ln likelihood sebagai berikut.

(

)

_∏

= = n i i n f x x x x L 1 2 1, ,..., ln ( , , ) | , ln

ξ

σ

ξ

σ

(14)

Metode Newton Raphson



Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang

tidak closed form.



g(

θ) adalah vektor turunan pertama dari fungsi ln likelihood



H(

θ) adalah matriks turunan kedua dari fungsi ln likelihood



Iterasi berhenti jika

( ) ( )

_l

l

θ

g

θ

H

θ

1

1 −

+

=

−

ε

θ

₊

−

|

<

|

_l ₁ _l

(15)

Confidence Interval 90%



Parameter bentuk

dimana

)

(

.

)

(

.

_/₂ 2 / ∧ ∧ ∧ ∧

+

≤

−

ξ

Z

_α

SE

Z

_α

SE

ξ

( )

ξ

ˆ

₌

_var

( )

ξ

ˆ

SE

( )

(

)

























∂

−

=

−1 2 2

;

,

ln

ˆ

var

ξ

σ

ξ

E

L

x

(16)

Uji Kesesuaian Distribusi

Hipotesis

• H

₀

: F

_n

(x) = F

₀

(x) (data telah mengikuti distribusi teoritis F

₀

(x))

• H

₁

: F

_n

(x) ≠ F

₀

(x) (data tidak mengikuti distribusi teoritis F

₀

(x))

Statistik Uji

Kesimpulan

• Tolak H

₀

apabila D

_hitung

> D

_α

|

)

(

)

(

|

sup

F

x

F

₀

x

D

_hitung

=

_n

−

Menurut Daniel (1989) , uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan untuk menyesuaikan

distribusi empiris F

_n

(x) dengan distribusi teoritis tertentu F

₀

(x)

(17)

Curah Hujan & Perubahan Iklim

Pola

Hujan

Monsun

Pola

Hujan

Lokal

Curah hujan adalah jumlah air yang jatuh ke permukaan tanah datar selama periode

tertentu.

Pola

Hujan

Equitorial

Iklim adalah bentuk statistika deskriptif dari rata-rata dan varians dari jumlah yang

relevan selama periode tertentu (WMO,2012)

angin

Hujan

Temperatur

(18)

Penelitian Terdahulu

Prang

(2006)

Menduga nilai curah hujan ekstrim di Bogor menggunakan

metode Maximum Likelihood dan Least Square

Wahyudi

(2011)

Membandingkan dua pendekatan yaitu BM dan POT untuk

kasus curah hujan di Ngawi.

Metode POT memberikan hasil yang lebih sesuai daripadi BM

Rahayu

(2011)

Mengestimasi parameter GEV pada kasus curah hujan di

Jakarta menggunakan MLE dan PWM.

(19)

Penelitian Terdahulu

Tanaka

(2002)

Pemilihan nilai threshold dalam analisis POT untuk kasus banjir

di jepang dengan membandingkan enam indikasi pengaruh yang

menyebabkan perubahan jumlah ekstrim dalam analisis

Fowler &

Kilsby

(2003)

Menentukan kurva pertumbuhan GEV dengan menggunakan

data frekuensi standar regional curah hujan di UK

Begueria &

Vicente-Serrano

(2005)

Menggunakan metode POT dengan regresi spatial untuk

pemetaan bahaya curah hujan ekstrim di Spanyol

Villarini,

Smith,

Ntelekkos,

& Schwarz

Curah hujan di Austria menggunakan Annual Maximum dan POT untuk

menentukan curah hujan ekstrim non stationer, hubungan curah hujan

(20)

Sumber Data

Data sekunder dari Badan Meteorologi Klimatologi dan

Geofisika (BMKG)

Tahun 1981-2010

5 Kabupaten

Banyuwangi

Pos Maelang

Bojonegoro

Pos Cawak

Jember

Pos Ajung

Lamongan

Pos Sukodadi

Ngawi

Pos Mantingan

(21)

Variabel Penelitian

Musim Hujan

Desember Januari Februari

(DJF)

Musim Transisi

Hujan-Kemarau

Maret April Mei (MAM)

Musim Kemarau

Juni Juli Agustus (JJA)

Musim Transisi

Kemarau-Hujan

September Oktober November

(SON)

(22)

Metode Analisis Data



Melakukan estimasi parameter menggunakan MLE

• Mengambil n sampel random

• Membuat fungsi likelihood dari pdf

• Memaksimumkan fungsi likelihood dengan menbuat ln dari

fungsi likelihood

• Mendapatkan persamaan turunan pertama dari fungsi ln

likelihood terhadap parameter-parameternya

• Nilai estimasi didapatkan apabila persamaan turunan pertama

membentuk persamaan closed form

(23)

Metode Analisis Data



Melakukan estimasi parameter menggunakan Newton Raphson

• Membuat matriks g(

θ) yang berisi turunan pertama fungsi ln

likelihood

• Mendapatkan turunan kedua dari fungsi ln likelihood

terhadap masing-masing parameternya

• Membuat matriks Hessian dimana diagonal utamanya berisi

turunan kedua dari fungsi ln likelihood

• Melakukan iterasi hingga menemukan

θ

₁

,

θ

₂

,... Yang

konvergen

(24)

Metode Analisis Data



Mengetahui karakteristik sebaran curah hujan di masing-masing kabupaten

• Membuat pola curah hujan di masing-masing

kabupaten

• Membuat histogram data curah hujan harian

untuk mengetahui adanya indikasi ekor

gemuk

• Membuat heavy tail plot curah hujan

ekstrim untuk mengetahui adanya indikasi

ekor gemuk.

(25)

Metode Analisis Data



Mengidentifikasi perubahan iklim di masing-masing kabupaten menggunakan POT

• Data curah hujan dibagi menjadi 4 triwulan yaitu DJF, MAM, JJA, dan SON di masing-masing

kabupaten

• Disetiap triwulan dibagi menjadi 2 periode yaitu periode 1 (1981-1990) dan periode 2

(1991-2000)

• Pengambilan data ekstrim dengan menentukan nilai threshod menggunakan metode persentase

10%

• Menghitung estimasi parameter bentuk dan parameter skala

• Menentukan confidence interval 90% untuk parameter bentuk

• Melakukan uji kesesuaian distribusi menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov

(26)

(27)

Estimasi Parameter



Fungsi likelihood dari probability density function GPD untuk

ξ

≠

0 (

)

     + − = −

∏

_









 +

=

1 1 1 2 1

,

,...,

1 |

,

ξ

σ

ξ

σ

ξ

n i i n n

x

L

(

)

_∑

=











 +













+

−

=

n i i n

x

n

x

L

1 2 1

1 ln

1

1 ln

,...,

,

|

,

ln

σ

ξ

σ

ξ

Fungsi ln likelihood

Turunan pertama terhadap parameter

( )

_













+

−

=

∂

∑

= − n i _i i

x

n

L

1 1

ˆ

1 ˆ

ln

ξ

σ

ξ

σ

(

)

∑

= =





+









+

−













+

=

∂

n i _i i i n i

x

L

1 1 2

ˆ

1 ˆ

ˆ

1 ln

ˆ

1 ln

ξ

σ

ξ

σ

ξ

(28)

Estimasi Parameter

(

)

∑

= =

+













+

=

∂

n i _i i i n i

x

L

1 1

ˆ

)

ˆ

1 (

ˆ

1 ln

ˆ

0 ln

ξ

σ

ξ

σ

ξ

(

)

2 1

ˆ

1 ˆ

0 ln

n

x

n

n i i

∑

=

−

+

=

∂

ξ

σ

Tidak Closed form, karena terdapat parameter di dalam

Persamaan akhirnya.

(29)

Newton Raphson

( )

_



_



∂

=

σ

L

ξ

L

ln

θ

g

( )













∂

=

2 2 2 2 2 2

ln

σ

ξ

σ

ξ

L

θ

H

Berisi turunan pertama fungsi ln likelihood

Berisi turunan kedua fungsi ln likelihood

(

)

_  +       ₊ +             + − + = ∂ ∂

∑

= = = − n i _i i n i i n i i i x x x x x L 1 2 2 1 1 3 2 2 1 1 1 ln 2 ln ξ σ ξ σ ξ ξ σ ξ ξ ξ

(

)

(

)

(

)



_









+

−

=

∂

∑

= − n i _i i i

x

n

L

1 2 2 2 2

2

1 ln

ξ

σ

ξ

σ

ξ

σ

(

)

₍

₎

   − + = ∂

∑

−

∑

− n xi n xi L 1 1 2 1 ln

_ξ

_σ

(30)

Newton Raphson



Iterasi pertama



merupakan vektor yang elemennya berisi dan .



didekati dengan standar deviasi data ekstrim.



Berhenti jika

( )

1

( )

₀

0

1 θ

g

θ

H

θ

₌

₋

−

0

ˆ

ξ

σ

ˆ

₀ 0

ˆ

σ

0

θ

∑

= = =

−

=

_n i i n i i n i i

x

n

x

s

n

1 1 1 2

ˆ

0

ξ

ε

<

−

+

||

θ

_l

₁

θ

_l

(31)

Estimasi Parameter



Fungsi likelihood dari probability density function GPD untuk

ξ

=

0 Fungsi ln likelihood

Turunan pertama terhadap parameter

(

)

−∑ =

−

=

in i x

e

x

L

σ

|

₁

,

₂

,...,

_n

σ

n

1σ

(

)

_∑

=

−

=

n i i n

n

x

L

1 2 1

1 ln

,...,

,

|

ln

σ

∑

=

+

−

=

∂

n i i

x

n

L

1 2

1 ln

σ

x

L

n i

=

∂

∑

0 ln

σ

(32)

Statistika Deskriptif

Kabupaten

Rata-Rata

(mm/hari)

St.Dev

Min

(mm/hari)

Maks

(mm/hari)

Banyuwangi

4,314

12,685

0

213 Bojonegoro

4,320

12,456

0

165 Jember

6,144

14,343

0

157 Lamongan

4,225

11,384

0

140 Ngawi

5,847

14,846

0

221

(33)

Pola Curah Hujan

12 9 6 3 0 Dese mber Nove mber Okto ber Sept embe r Agus tus Juli Juni Mei Apri l Mare t Febr uari Janu ari 8 6 4 2 0 Dese mbe r Nove mbe r Okto ber Sept embe r Agus tus Juli Juni Mei Apri l Mare t Febr uari Janu ari 12 9 6 3 0 Dese mber Nove mber Oktob er Septe mber Agus tus Juli Juni Mei April Mare t Febr uari Janu ari 8 6 4 2 0 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 Bany uw angi

Ra

ta

-R

at

a

Cu

ra

h

Hu

ja

n

Bojonegoro Jember Lamongan N gaw i

(34)

Histogram Curah Hujan Harian

(35)

Heavy Tail Plot Curah Hujan Ekstrim



Kabupaten Jember

100 75 50 165 110 55 1 150 100 50 120 80 40 120 80 40 100 50 0 165 110 55 1 80 40 0 150 100 50 150 100 50 djf 1 djf 2 mam 1

mam 2 jja 1 jja 2

(36)

Heavy Tail Plot Curah Hujan Ekstrim



Kabupaten Banyuwangi

150 100 50 159 106 53 1 150 100 50 200 100 0 150 100 50 100 50 0 159 106 53 1 100 50 0 80 40 100 50 djf 1 djf 2 mam 1

mam 2 jja 1 jja 2

(37)

Heavy Tail Plot Curah Hujan Ekstrim



Kabupaten Bojonegoro

100 75 50 312 208 104 1 150 100 50 90 60 30 90 60 30 80 40 0 312 208 104 1 80 40 0 80 40 100 50 djf 1 djf 2 mam 1

mam 2 jja 1 jja 2

(38)

Heavy Tail Plot Curah Hujan Ekstrim



Kabupaten Lamongan

90 60 30 162 108 54 1 80 60 40 90 60 30 150 100 50 80 40 0 162 108 54 1 100 50 0 100 50 100 50 djf 1 djf 2 mam 1

mam 2 jja 1 jja 2

(39)

Heavy Tail Plot Curah Hujan Ekstrim



Kabupaten Ngawi

150 100 50 159 106 53 1 150 100 50 200 100 0 200 100 0 160 80 0 159 106 53 1 200 100 0 150 100 50 150 100 50 djf 1 djf 2 mam 1

mam 2 jja 1 jja 2

(40)

Identifikasi Perubahan Iklim



Penentuan Nilai Threshold

Triwulan

Nilai

Banyuwangi

Bojonegoro

Jember

Lamongan

Ngawi

P

₁

P

₂

P

₁

P

₂

P

₁

P

₂

P

₁

P

₂

P

₁

P

₂

DJF

N

902 1805

n

89

175

84

174

83

172

84

180

88

171 threshold

34

33

37

30

32

38

28

25

32

32 MAM

N

920 1840

n

90

178

89

184

92

183

90

174

92

177 threshold

18

20

15

23

22

14

18

20

25 JJA

N

920 1840

n

42

86

49

113

87

140

86

119

85

113 threshold

0

2

0

3

0 SON

N

910 1820

911 1820

910 1820

n

41

108

89

182

90

170

88

183

88

171 threshold

0

5

16

4 7,24

15

17

(41)

Identifikasi Perubahan Iklim



Estimasi Parameter dan Confidence Interval 90%

ξ

Tri-wulan Nilai

Banyuwangi Bojonegoro Jember Lamongan Ngawi P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 DJF 17,276 19,073 30,243 21,151 24,694 28,883 17,769 20,919 27,104 27,556 0,081 0,014 -0,489 -0,076 -0,158 -0,153 -0,096 -0,179 0,003 -0,105 CI 90% ξ -0,107 ; 0,268 -0,119 ; 0,147 -0,642; -0,337 -0,154 ; 0,001 -0,336 ; 0,019 -0,248; -0,057 -0,285 ; 0,094 0,305 ; -0,055 -0,175; 0,182 -0,218 ; 0,008 Tipe Distribusi Pareto Pareto Beta Beta Beta Beta Beta Beta Pareto Beta

MAM 15,442 26,584 40,469 30,686 26,671 19,167 21,367 21,076 25,810 24,777 0,249 -0,146 -0,469 -0,346 -0,125 0,011 -0,055 -0,056 -0,002 -0,001 CI 90% ξ 0,044 ; 0,456 -0,250; -0,042 -0,628 ; -0,311 -0,435 ; -0,257 -0,296; 0,045 -0,122 ; 0,145 -0,262; 0,152 -0,164; 0,052 -0,163 ; 0,159 -0,103; 0,102 Tipe Distribusi Pareto Beta Beta Beta Beta Pareto Beta Beta Beta Beta

JJA 20,218 6,379 20,203 14,201 11,117 12,804 5,926 9,904 10,494 17,303 0,125 0,566 -0,027 0,046 0,276 0,081 0,609 0,243 0,494 0,119 CI 90% ξ -0,263 ; 0,513 0,274; 0,857 -0,260 ; 0,207 -0,132; 0,223 0,024 ; 0,528 -0,099 ; 0,261 0,235 ; 0,984 0,056 ; 0,430 0,200 ; 0,789 -0,028; 0,268 Tipe Distribusi Pareto Pareto Beta Pareto Pareto Pareto Pareto Pareto Pareto Pareto 23,238 21,768 21,802 33,010 18,197 20,699 21,129 25,029 15,902 20,582 -0,108 -0,048 -0,227 -0,281 0,073 -0,034 0,031 -0,153 0,153 -0,049 ξˆ

σ

ˆ ξˆ

σ

ˆ ξˆ

σ

ˆ ξˆ

σ

(42)

Identifikasi Perubahan Iklim



Uji Kesesuaian Distribusi

Triwulan

Banyuwangi Bojonegoro Jember Lamongan Ngawi

D_hitung D_tabel D_hitung D_tabel D_hitung D_tabel D_hitung D_tabel D_hitung D_tabel

DJF P₁ 0,061* 0,144 0,139* 0,148 0,085* 0,149 0,073* 0,148 0,045* 0,145 P₂ 0,047* 0,103 0,08* 0,103 0,05* 0,104 0,057* 0,101 0,029* 0,104 MAM P₁ 0,069* 0,143 0,125* 0,144 0,042* 0,142 0,06* 0,143 0,044* 0,142 P₂ 0,042* 0,102 0,07* 0,100 0,036* 0,101 0,043* 0,103 0,036* 0,102 JJA P₁ 0,138* 0,210 0,12* 0,194 0,099* 0,146 0,108* 0,147 0,081* 0,148 P₂ 0,061* 0,147 0,103* 0,128 0,098* 0,115 0,055* 0,125 0,061* 0,128 P₁ 0,124* 0,212 0,066* 0,144 0,054* 0,143 0,1* 0,145 0,054* 0,145

α=5%

H

0

: Data curah hujan ekstrim mengikuti distribusi

Pareto ( )

H

1

: Data curah hujan mengikuti distribusi eksponensial

( )

0 > ξ 0 = ξ

H

0

: Data curah hujan ekstrim mengikuti distribusi Beta

( )

H

1

: Data curah hujan mengikuti distribusi eksponensial

( )

0 < ξ 0 = ξ

(43)

Identifikasi Perubahan Iklim



Identifikasi Perubahan Iklim

Salah satu asumsi yang harus terpenuhi adalah data yang digunakan adalah data yang

independent atau random. Namun penelitian ini mengasumsikan data telah independet.

Kabupaten

DJF

MAM

JJA

SON

Banyuwangi

-

√

-Bojonegoro

√

-Jember

-

√

Lamongan

-

√

Ngawi

√

-

√

(44)

Kesimpulan

Estimasi parameter Generalized Pareto Distribution dengan

probability density function untuk menggunakan MLE harus

dilanjutkan menggunakan metode Newton Raphson karena

persamaan turunan pertama tidak closed form.

Pola curah hujan di Kabupaten Banyuwangi, Bojonegoro, Jember,

Lamongan , dan Ngawi adalah monsun yang berbentuk seperti

huruf U dengan satu puncak (unimodal). Terdapat indikasi ekor

distribusi gemuk di kelima kabupaten tersebut, baik data curah

hujan harian maupun data curah hujan ekstrim.

Perubahan iklim terjadi di kelima kabupaten tersebut. Triwulan JJA

yang mewakili musim kemarau mengalami perubahan iklim di

kelima kabupaten. Kabupaten yang mengalami perubahan iklim

terbanyak adalah Kabupaten Bojonegoro, Jember, dan Ngawi.

0 ≠ ξ

(45)

Saran

Adanya metode estimasi parameter lain yang dapat

menyelesaikan persamaan probability density function

GPD sehingga didapatkan persamaan umum dan .

Selain itu adanya penyelesaian apabila data yang

digunakan dependent atau tidak random.

(46)

Ahilan, S., O'Sullivan, J. J., dan Bruen, M. (2011). Influences on Flood Frequency Distribution in

Irish River Catchments. Hydrology and Earth System Science Discussions .

Begueria, S., dan Vicente-Serrano, S. M. (2005). Mapping the Hazard of Extreme Rainfall by

Peaks over Threshold Extreme Analysis and Spatial Regression Technique. Journal of

Applied Meteorology and Climatology , 45, 108-124.

BMKG. (2012). Dipetik November 6, 2012, dari Badan Meteorologi, Klimatologi dan Geofisika:

http://www.bmkg.go.id/BMKG_Pusat/Klimatologi/Prakiraan_Hujan_Bulanan.bmkg

BPS. (2012). Dipetik November 6, 2012, dari Badan Pusat Statistik:

http://www.bps.go.id/tnmn_pgn.php?kat=

Chaves-Dermoulin, V., dan Embrechts, P. (2002). Smooth Extermal Models in Finance and

Insurance. Financial Valuation and Risk Management Working Paper Series , 135.

Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. London:

Springer-Verlag.

Daniel, W. (1989). Statistika Nonparametrik Terapan. Jakarta: PT Gramedia.

Fowler,H.J dan Kilsby, C.G. (2003). A Regional Frequency Analysis of United Kingdom Extreme

Rainfall From 1961 to 2000. International Journal of Climatology, 23,1313-1334.

(47)

Gilli, M. dan Kellezi , E. (2003). An Aplication of Extreme Value Theory for Measuring Risk.

Preprint. Elsevier Science.

Kharin, V. V., dan Zwiers, F. W. (2004). Estimating Extremes in Transcient Climate Change

Simulations. Journal of Climate .

Kotz, S., dan Nadarajah, S. (2000). Extreme Value Distributions Theory and Applications.

Imperial College Press.

Kysely, J., dan Beranova, R. (2009). Climate-Change Efeects on Extreme Precipitation in Central

Europe : Uncertainities of Sceario Based on Regional Climates Models. Theor Appl

Climatol , 95, 361-374.

Prang, J. D. (2006). Sebaran Nilai Ekstrim Terampat Dalam Fenomena Curah Hujan.Tesis

Magister, Institut Pertanian Bogor, Bogor.

Rahayu, A. (2011). Estimasi dan Pengujian Distribusi Generalized Extreme Value (GEV) (Studi

Kasus : Identifikasi Perubahan Iklim di Jawa). Tesis Magister,Institut Teknologi Sepuluh

Nopember, Surabaya.

Tanaka, S dan Takara, K.(2002).A Study on Threshold Selection in POT Analysis of Extreme

(48)

Villarini, G., Smith, J. A., Ntelekos, A. A., dan Schwarz, U. (2011). Annual Maximum and Peaks

Over Threshold Analyses of Daily Rainfall Accumulations for Austria. Journal of

Geophysical Research , 116.

Wahyudi. (2011). Identifikasi Curah Hujan Esktrem di Kabupaten Ngawi Menggunakan

Generalized Extreme Value dan Generalized Pareto Distribution. Tugas Akhir Sarjana,