KONSTRUKSI ARITMETIKA KURVA ELIPTIK
SUPERSINGULAR DAN NON-SUPERSINGULAR
UNTUK SKEMA KUNCI PUBLIK ELGAMAL
IRSYAD RAMLI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ABSTACT
IRSYAD RAMLI. Constructions of Supersingular and Non-Supersingular Elliptic Curve
Arithmetics for the ElGamal Public Key Scheme. Supervised by SUGI GURITMAN and NUR
ALIATININGTYAS.
The ElGamal algorithm is one of the public key algorithms with modular arithmetic , which has the structure of the cyclic group . Security level of this algorithm depends on the solution of discrete logarithm problem. Unfortunately, this security level tends to decline recently because of the increase in ability of solving discrete logarithm. Moreover, to have an adequate level of security, very large value would be required, but this would cause the encryption and decryption process to be slow.
In this paper, the Supersingular and Non-Supersingular elliptic curve arithmetics are constructed to replace on ElGamal algorithm. This construction uses both theoretical and computational aspects. Further, the aim of this paper is to apply the arithmetic in the simulation resulted on ElGamal algorithm using Maple 12 software. The success of this simulation is such that a message used in the encryption process will be identical to the message that is used after performing the decryption process. This shows that the arithmetic of ElGamal algorithm, which was originally in , can be changed into elliptic curve arithmetic.
ABSTRAK
IRSYAD RAMLI. Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik Supersingular dan
Non-Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal. Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan
NUR ALIATININGTYAS.
Algoritme ElGamal adalah salah satu algoritme kunci publik dengan aritmetik modular yang mempunyai struktur grup siklik . Tingkat keamanan algoritme ini terletak pada pemecahan masalah logaritme diskret dari . Akan tetapi, tingkat keamanan dari tahun ke tahun semakin menurun yang disebabkan kemampuan pemecahan algoritme diskret semakin meningkat. Untuk memenuhi tingkat keamanan yang memadai dibutuhkan yang cukup besar yang menyebabkan proses enkripsi dan dekripsi menjadi lambat.
Pada karya ilmiah ini, dikonstruksi aritmetika kurva eliptik Supersingular dan Non-Supersingular yang diharapkan mampu mengganti pada algoritme ElGamal. Konstruksi ini menggunakan aspek teoretis dan aspek komputasi. Oleh sebab itu, tujuan karya ilmiah ini adalah untuk mengonstruksi aritmetika kurva eliptik Supersingular dan Non-Supersingular sehingga dapat disimulasikan pada algoritme ElGamal dengan menggunakan software Maple 12. Keberhasilan dari simulasi ini, suatu pesan yang digunakan dalam melakukan proses enkripsi identik dengan pesan setelah melakukan proses dekripsi. Semua proses tersebut dilakukan dengan menggunakan aritmetik kurva eliptik . Ini menunjukkan bahwa aritmetik algoritme ElGamal yang semula dalam dapat diganti menjadi aritmetik kurva eliptik .
KONSTRUKSI ARITMETIKA KURVA ELIPTIK
SUPERSINGULAR DAN NON-SUPERSINGULAR
UNTUK SKEMA KUNCI PUBLIK ELGAMAL
IRSYAD RAMLI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik
Supersingular dan
Non-Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal
Nama :
Irsyad
Ramli
NIM :
G54063001
Menyetujui
Pembimbing I,
Dr. Sugi Guritman
NIP : 19620927 199203 1 004
Pembimbing II,
Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si
NIP : 19610104 198803 2 002
Mengetahui :
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP : 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam tercurah kepada nabi Muhammad SAW sebagai suri tauladan terbaik bagi umatnya hingga akhir zaman. Karya ilmiah ini berjudul “Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik Supersingular dan
Non-Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal”
Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada
1. Bapak Dr. Sugi Guritman selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
2. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, dan motivasinya).
3. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Terima kasih atas bantuannya kepada Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Mas Heri, Bu
Susi, Bu Ade.
5. Keluargaku tercinta : ayahanda (terima kasih atas doa, dukungan, motivasi, kerja keras dan kesabarannya menyekolahkan ananda. Ayahanda adalah ayah yang penuh semangat walaupun harus membanting tulang untuk menafkahi keluarga. Ayah adalah ayah yang paling terbaik sedunia), Ibunda (terima kasih atas doa, didikan, motivasi dan kasih sayangnya. Ibunda adalah ibu yang paling terbaik sedunia). Kakakku tercinta (Rahmawita) yang tak henti-hentinya memotivasi. Adik-adikku tercinta (Hamdan, Hafizh) yang menjadi motivasiku dan membangkitkan semangatku.
6. Bibi-bibiku : Bibi Risyda, Bibi Arma Suari, Bibi Irawati (terima kasih atas tempat tinggalnya, doa, kasih sayang, dan perhatiannya kepadaku selama di sini).
7. Kakak-kakak sepupuku : Yessi Adjisir, Andry Adjisir, Haryenni Adjisir, Gafrian Abrar, Zamakhsyari Abrar, Amalia Fitri, Haikal Abrar, Denny Ismayadin (terima kasih atas bantuan, motivasi, dan kasih sayangnya).
8. Ro’fah Nur Rachmawati (terima kasih atas bimbingan, motivasi, ilmu, dan sarannya). 9. Teman-teman kontrakan Kahfi 43 : Deni Hamdan Permana, Yogi Nur Anggowo, Slamet
Riyadi, Slamet Aprian Utomo, Agung Surya Permadi, Martono (terima kasih atas dukungannya).
10. Teman-teman : Retwando, Dorisman, Dian Fernanda, Chawen, Ira, Hanif, Dya, Rezki Anandra.
11. Kakak-kakak Math 41 : Mora, Chubby, Jali, Cumi, dan lainnya (terima kasih atas dukungan dan bantuannya).
12. Kakak-kakak Math 42 : Djawa, Acuy, Iput, Ilyas, Danu, Eko, Eyyi, Zil, Mocco, Sapto, Danu dan lainnya (terima kasih atas dukungannya).
13. Teman-teman Math 43 : Ucok, Andrew, Sabar, Cici, Desi, Gandi, Fitria, Margie, Rias, Erni, Ratna, Sunarsih, Rizki NS, Rizki SN, Zul, Paisol, Nanu, Wira, Sofyan, Nia, Tami, Nenek, Destya, Putri, Vera, Suci, Hermalina, Nurmalina, Kiki, Arif, David, Adi, Fardan dan lainnya (terima kasih atas dukungannya).
14. Adik-adik Math 44 : Cristoper, Fani, Selvie dan lainnya (terima kasih atas dukungannya). 15. Adik-adik Math 45 terima kasih atas bantuannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan.
Bogor, November 2010 Irsyad Ramli
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Grup ... 2 2.2 Grup Siklik ... 2 2.3 Ring ... 2 2.4 Lapangan (field) ... 2
2.5 Pengenalan Kurva Eliptik ... 3
2.6 Penyederhanaan Persamaan Weierstrass ... 3
2.7 Hukum Grup Kurva Eliptik ... 3
2.8 Pengenalan Algoritme ElGamal atas ... 4
III PEMBAHASAN 3.1 Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular ... 5
3.2 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular ... 7
3.2.1 Pembangkitan Kurva K(a,b,c) ... 7
3.2.2 Menentukan Titik P(x,y) ... 7
3.2.3 Adisi Titik P( , ) + Q( , ) ... 7
3.2.4 Menentukan Invers Titik ... 7
3.2.5 Menentukan Q P (Kelipatan Sebanyak k) ... 7
3.3 Aritmetik Kurva Eliptik Non-Supersingular ... 7
3.4 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Non-Supersingular ... 9
3.4.1 Pembangkitan Kurva K(a,b) ... 9
3.4.2 Menentukan Titik P(x,y) ... 9
3.4.3 Adisi Titik P( , ) + Q( , ) ... 9
3.4.4 Menentukan Invers Titik ... 10
3.4.5 Menentukan Q P (Kelipatan Sebanyak k) ... 10
3.5 ElGamal Kurva Eliptik atas ... 10
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan ... 12
4.2 Saran ... 12
DAFTAR PUSTAKA ... 12
LAMPIRAN ... 14
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Adisi ... 4 2 Doubling ... 4DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Program Aritmetika ... 142 Program Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik ... 17
3 Program ElGamal ... 22
4 Program ElGamal Kurva Eliptik atas ... 23
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bukittinggi pada tanggal 28 November 1988 sebagai anak kedua dari empat bersaudara, anak dari pasangan Dt. Ramli dan Hanifah.
Tahun 2006 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Matur Sumatera Barat dan pada tahun yang sama menempuh pendidikan sarjana melalui Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB.
Selama perkuliahan, penulis aktif di UKM Pramuka 2006-2007, Himpunan Profesi Gumatika 2008 sebagai Divisi PSDM Dewan Legislatif Gumatika (DLG) periode 2008-2009, Ketua Badan Pengawas Gumatika (BPG) periode 2009 dan staf pengajar Kalkulus untuk bimbingan belajar Gumatika. Selain itu, penulis ikut sebagai panitia dalam berbagai kegiatan seperti Logstrans Pesta Sains se-Indonesia 2008, Logstrans Matematika Ria 2008 dan penulis juga ikut dalam berbagai acara festival musik kampus dengan membentuk grup akustik yang beranggotakan lima orang dari Departemen Matematika dengan nama D’Indiependent dan Band HiGrip.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangKomputer dan internet merupakan hasil karya manusia yang menggambarkan majunya teknologi saat ini. Komputer yang terhubung dengan internet dapat memberikan berbagai bentuk kemudahan untuk manusia dalam melakukan berbagai aktifitas. Salah satunya untuk berkomunikasi seperti pengiriman pesan penting yang harus dijaga kerahasiaannya. Keadaan ini tentu akan lebih nyaman apabila terdapat keamanan atau kerahasiaan pesan dalam proses tersebut. Hal ini bertujuan agar pesan tidak jatuh ke pihak yang tidak bertanggung jawab sehingga tidak terjadi hal-hal yang tidak diinginkan. Teknik untuk pengamanan tersebut adalah Kriptografi.
Kriptografi adalah studi teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi seperti kerahasiaan, integritas data, otentikasi entitas, dan otentikasi data asli (Menezes 1997). Fungsi-fungsi matematika digunakan untuk melakukan penyandian (enkripsi) dan membuka sandi (dekripsi). Dalam melakukan proses enkripsi dan dekripsi tersebut, dibutuhkan suatu prinsip kunci (key). Inilah yang membedakan kriptografi menjadi dua bagian yaitu kunci simetrik dan kunci asimetrik atau yang lebih dikenal dengan kunci publik (public key).
Kunci simetrik merupakan jenis kriptografi yang paling umum digunakan. Untuk jenis ini, enkripsi dan dekripsi dilakukan dengan menggunakan kunci yang sama. Permasalahan yang muncul adalah bagaimana menyampaikan kunci tersebut ke penerima agar tidak diketahui oleh pihak-pihak yang tidak diinginkan karena siapapun yang memiliki kunci tersebut termasuk pihak-pihak yang tidak diinginkan juga dapat menyandi dan membongkar pesan dengan mudah. Oleh sebab itu, pada petengahan tahun 70-an Whitfield Diffie dan Martin Hellman menemukan teknik kunci asimetrik yang merevolusi dunia kriptografi.
Kunci asimetrik adalah pasangan-pasangan kunci kriptografi yang salah satunya digunakan untuk enkripsi (kunci publik) dan yang satunya lagi untuk dekripsi (kunci pribadi). Orang-orang yang memiliki kunci publik dapat menggunakannya untuk enkripsi, tetapi hanya satu orang (memiliki kunci pribadi) yang dapat membongkar pesan yang telah disandikan tersebut. Jenis ini
mempunyai tingkat keamanan yang lebih tinggi dari pada kunci simetrik. Contoh algoritme kunci asimetrik adalah RSA (singkatan Rivest, Shamir, Adleman), Rabin, ElGamal, dan lain-lain. Dalam tulisan ini, penulis menggunakan algoritme ElGamal.
Algoritme ElGamal ditemukan oleh Taher ElGamal yang dipublikasikan pada tahun 1985. Algoritme ini didasarkan pada aritmetik modular yang mempunyai struktur grup siklik dimana merupakan sembarang bilangan prima. Tingkat keamanannya didasarkan pada pemecahan masalah logaritme diskret .
Masalah logaritme diskret didefinisikan
dengan dimana yang akan
ditentukan adalah nilai . Sekilas, untuk menyelesaikan persamaan di atas terlihat mudah. Kita dapat mencoba menentukan nilai
sedemikian sehingga persamaan tersebut dipenuhi. Hal tersebut mungkin saja dengan mudah dilakukan apabila nilai kecil. Oleh sebab itu, untuk meningkatkan keamanan yang memadai dibutuhkan nilai yang cukup besar. Akan tetapi, dengan nilai yang cukup besar, dalam melakukan enkripsi dan dekripsi menjadi lambat, karena membutuhkan memori komputer yang besar. Akhirnya, para pakar Matematika dan Kriptografi untuk mencoba memperbaiki algoritme serta meningkatkan kemampuan komputer agar tingkat keamanan memadai tanpa membutuhkan memori komputer yang sangat besar.
Matematikawan asal Prancis yaitu Pierre Galois memperkenalkan konsep field yang dikenal dengan Galois Field dan disingkat dengan atau dengan prima. Kemudian field ini digabungkan dengan prinsip kurva eliptik yang kemudian diistilahkan dengan aritmetika kurva eliptik yang memiliki tiga karakteristik umum. Salah satunya, (dengan 2) yang diharapkan mampu menggantikan struktur grup siklik pada algoritme ElGamal.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan ini adalah untuk mengonstruksi aritmetika kurva eliptik
Supersingular dan Non-Supersingular sehingga dapat disimulasikan pada algoritme ElGamal dengan menggunakan software Maple 12.
II LANDASAN TEORI
2.1 GrupDefinisi 2.1.1 Diberikan sebarang himpunan
tak kosong dan operasi biner pada . Himpunan disebut grup terhadap operasi biner jika memenuhi
a. Operasi bersifat asosiatif.
, , , G b. Terdapat unsur identitas untuk
pada G sehingga berlaku
,
c. Untuk setiap terdapat unsur invers, yaitu sehingga berlaku
.
(Fraleigh 1994)
Definisi 2.1.2 Suatu grup (G, ) disebut grup
komutatif jika operasi binernya bersifat komutatif, yaitu , , G
(Fraleigh 1994)
Definisi 2.1.3 Suatu grup G dikatakan grup
berhingga (finite group) jika banyak unsurnya berhingga dan banyaknya unsur G tersebut disebut order G, ditulis o(G) atau |G|.
(Fraleigh 1994)
2.2 Grup Siklik
Definisi 2.2.1 Misalkan G grup dan G
dan n bilangan bulat positif, maka a. … , (sebanyak n kali) b. … , (sebanyak n kali).
c. .
(Aliatiningtyas 2002)
Teorema 2.2.2 Jika G suatu grup dan a G,
maka untuk setiap bilangan bulat m dan n berlaku hukum eksponen :
a. b.
c.
(Guritman 2004)
Definisi 2.2.3 Misalkan G grup dan sebuah
elemen . Jika | maka G
disebut grup siklik (cyclic group) dan disebut elemen pembangun yang dinotasikan . Jika G berhingga dan berorder m, maka terdapat m kuasa dari a yang masing-masing berbeda, yaitu
, , , …
Jika G adalah grup adisi (operasi penjumlahan), maka dapat dituliskan
|
dan jika berorder m, maka dapat ditunjukkan 0 0, , 2 , … , 1
(Guritman 2004)
2.3 Ring
Definisi 2.3.1 Suatu grup dengan operasi +
disebut operasi penjumlahan dan operasi · disebut operasi perkalian yang dinotasikan (R,+,·), disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut
a. (R,+) grup komutatif.
b. Operasi perkalian bersifat asosiatif.
c. Hukum distributif kiri berlaku
, , ,
d. Hukum distributif kanan berlaku
, , ,
e. Unsur identitas terhadap “+” dinotasikan dengan 0 dan disebut unsur nol.
Selanjutnya,
a. Jika operasi perkalian bersifat komutatif, , , maka R disebut ring komutatif.
b. Jika ada unsur identitas di bawah operasi perkalian (unsur ini disebut unsur kesatuan, dinotasikan dengan 1 dan disingkat dengan unkes), , 1 ,
· 1 1 · maka R disebut ring dengan unsur kesatuan (unkes).
(Aliatiningtyas 2002)
2.4 Lapangan (Field)
Definisi 2.4.1 Suatu ring yang komutatif, ada
unkes dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (perkalian) disebut lapangan (field).
(Aliatiningtyas 2002) Salah satu contoh field adalah yang merupakan himpunan semua polinomial-polinomial berderajat paling banyak 1 yang dinyatakan sebagai
| .
Operasi dalam meliputi operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Operasi penjumlahan berbentuk penjumlahan antar pasangan elemen, kemudian hasilnya dimodulokan dengan dua atau yang lebih dikenal dengan peng-xor-an dinotasikan . Sedangkan untuk operasi perkalian didefinisikan seperti halnya perkalian umum, tetapi dalam penjumlahannya tetap dilakukan peng-xor-an dan dinotasikan dengan .
3 Contoh : 1. Penjumlahan 0110 0111 1 0001 1 2. Perkalian 0110 0111 0110 1 0110 2 2 0110 0000 0010010
Suatu unsur biner di atas merepresentasikan polinomial basis yang di sebelah kanannya. Sehingga terlihat dengan
mudah, 1 setara
dengan unsur biner yang dimulai dari
1111 … 1 sebanyak 1 (dalam
penjumlahan di atas, unsurnya dimulai dari pangkat tertinggi ke pangkat terendah. Begitu pula dengan binernya). Misalkan, 01110
setara dengan 0 0
.
(Rosdiana 2009) Aritmetik ini dijadikan acuan dalam perhitungan kurva eliptik atas .
Teorema 2.4.2 merupakan grup siklik
multiplikatif berorder 1.
(Rosdiana 2009)
2.5 Pengenalan Kurva Eliptik
Definisi 2.5.1 Suatu kurva eliptik atas field
didefinisikan sebagai kurva dengan persamaan
(1)
dimana , , , , dan Δ 0
merupakan diskriminan dari yang di definisikan sebagai berikut:
∆ 8 27 9 4 2 4 4 (2) Persamaan (1) disebut dengan persamaan
Weierstrass dan kurva eliptik dinotasikan ). , | 0 ∞ (Hankerson et al. 2004) 2.6 Penyederhanaan Persamaan Weierstrass
Definisi 2.6.1 Terkait dengan kriptografi,
kurva eliptik
dikenakan atas field berhingga dimana p prima. Berikut ini diberikan tiga kelompok besar kurva eliptik dibedakan atas field dasar
.
1. Jika 2 dan 3, maka persamaan kurva eliptiknya adalah
:
dimana , dan diskriminan
kurva Δ 16 4 27 .
2. Jika 2, maka terdapat dua kasus a. Non-Supersingular
Persamaan kurva eliptiknya adalah :
dimana , dan diskriminan kurva Δ .
b. Supersingular
Persamaan kurva eliptiknya adalah :
dimana , , dan diskriminan kurva Δ .
3. Jika 3, maka terdapat dua kasus a. Non-Supersingular
Persamaan kurva eliptiknya adalah :
dimana , dan diskriminan
kurva Δ .
b. Supersingular
Persamaan kurva eliptiknya adalah :
dimana , , dan diskriminan kurva Δ .
(Hankerson et al. 2004)
2.7 Hukum Grup Kurva Eliptik
Misalkan E adalah kurva eliptik yang didefinisikan atas . Pada E diambil dua titik
yang berbeda , , , .
Maka garis memotong kurva di titik ketiga , kemudian diperoleh titik
, . Titik ini merupakan hasil dari pencerminan titik R’ terhadap sumbu x. Proses ini disebut dengan proses adisi titik (penjumlahan titik).
Adisi titik dari P dan Q dinotasikan ,
4
Gambar 1 Adisi
Jika sejajar dengan sumbu-y, maka titik yang ketiga didefinisikan sebagai titik di tak-hingga dengan notasi ∞, sehingga
∞
Jika , maka kondisi ini disebut adisi titik yang sama dan atau disebut juga pendobelan (doubling). Dinotasikan
,
Jadi, operasi adisi titik pada himpunan semua titik pada kurva dan titik di tak-hingga mempunyai struktur grup, disebut dengan grup kurva eliptik. Dalam hal ini, ∞ adalah unsur identitas. Untuk setiap pada , negatif dari yang dinotasikan dengan – yang merupakan hasil pencerminan dari pada terhadap sumbu-x.
Gambar 2 Doubling
Operasi grup kurva eliptik cukup mudah diilustrasikan secara geometri ketika didefinisikan atas bilangan real seperti gambar di atas. Akan tetapi, jika didefinisikan terhadap field berhingga dimana adalah karakteristik prima, maka secara geometrik, akan tersamarkan dan sulit dibayangkan. Oleh sebab itu, yang hanya bisa dilakukan adalah dengan pendekatan aksiomatik (aljabar). Sedangkan metodenya disebut dengan aritmetik kurva eliptik.
Dalam aritmetik pada , terdapat beberapa karakteristik prima yaitu biner
2 , terner 3 dan karakteristik 2 dan 3 yang dinotasikan dengan . Sedangkan untuk biner dan terner, akan dibedakan lagi dengan Supersingular dan Non-Supersingular, dimana yang menjadi
pembeda adalah persamaan kurva eliptiknya .
(Hankerson et al. 2004)
2.8 Pengenalan Algoritme ElGamal atas
Algoritme ElGamal merupakan salah satu jenis kriptografi kunci publik. Algoritme ini aritmetikanya berbasis integer grup siklik pada grup multiplikatif .
Ada tiga algoritme untuk penyandian kunci Publik ElGamal. Algoritme 1 untuk pembangkitan kunci, Algoritme 2 untuk Enkripsi Kunci Publik, dan Algoritme 3 untuk Dekripsi.
Misalkan A mengirimkan pesan kepada B. Pesan tersebut ingin disandikan. Maka yang akan dilakukan adalah
1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci
B membuat sebuah kunci publik dan kunci pribadi. Hal yang dilakukan adalah a. Dengan prima acak yang besar,
kemudian dilakukan pembangkitan generator dari grup dengan integer-integer modulo p.
b. Memilih suatu integer acak a, dengan positif.
c. Menghitung mod .
d. Kunci publik B adalah , , dan kunci pribadi B adalah a.
e. Memberikan kunci publik ke A.
Dalam algoritme pembangkitan kunci pada penyandian kunci publik ElGamal, dijelaskan membangkitkan suatu bilangan prima p yang besar dan generator dari grup
. Ini bertujuan bahwa dengan mendapatkan bilangan yang memenuhi kriteria keamanan, maka p tersebut dapat digunakan untuk grup dari integer-integer suatu prima p (jika prima, maka mempunyai generator dan dikatakan siklik). Semakin besar , maka keamanannya semakin tinggi.
2. Algoritme 2 Enkripsi
A menyandikan atau me-enkripsi sebuah pesan m ke B. Langkah-langkah yang harus dilakukan oleh A adalah
a. Memperoleh kunci publik , , dan merepresentasikan pesan sebagai suatu integer m pada interval [0, .
b. Memilih integer acak k, dimana positif.
c. Menghitung mod dan mod .
d. Mengirim siferteks , ke B. Pada proses ini, dengan p dan didefinisikan : , sehingga fungsi
enkripsi didefinisikan oleh mod dan menghasilkan siferteks c.
3. Algoritme 3 Dekripsi
Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut
a. Menggunakan kunci pribadi a untuk
menghitung mod . Dengan
catatan .
b. Menemukan kembali m dengan menghitung mod .
Pada proses dekripsi, dengan dan didefinisikan : , sehingga fungsi dekripsi didefinisikan oleh
mod .
(Menezes et al. 1996) Berikut ini diberikan suatu ilustrasi penyandian yang dihitung dengan menggunakan software Maple 12 dengan PC processor Intel Pentium Dual Core 1,73 GHz, Ram 512 MB.
Contoh ElGamal
A mengirim pesan kepada B. Pesan tersebut adalah 91819250104.
Langkah pertama, B membuat kunci publik dan kunci pribadi. Setelah melalui
Algoritme 1 Pembangkitan Kunci, diperoleh kunci publik , , (9574006709478958 762709029785327385064807, 5, 468663437 0436292147431903521064446370856) dan kunci pribadi (665638090635425982769 337333168305062441). Kemudian, kunci publik tersebut dikirim ke A.
Setelah A memperoleh kunci publik , , dari B, kemudian A memilih integer positif acak k dan menghitung
mod 52940576363150816401527749-6545355441362, dan mod = 598-510960553455680182318130888811111301. A mengirim pesan yang telah disandikan tadi (siferteks) kepada B dengan bentuk
, = (529405763631508164015277496-545355441362, 5985109605534556801823-18130888811111301).
Setelah B menerima siferteks tadi, maka B mendekripsikan siferteks tadi untuk menemukan kembali pesan m dengan menggunakan kunci pribadi,
91819250104 mod , dimana pesan yang telah didekripsikan tadi sama dengan pesan yang sebelum dienkripsikan.
III PEMBAHASAN
Field dengan karakteristik prima 2 merupakan suatu kasus khusus, dimana tidak ada pengurangan pada operasi aljabarnya.
Seperti yang telah dipaparkan pada bab 2, di bawah ini akan dibahas struktur grup kurva eliptik Supersingular dengan , 0
dan Non-Supersingular 0 sehingga titik (0,0) berada di luar kurva yang merepresentasikan titik ∞.
3.1 Aritmetika Kurva Eliptik Supersingular.
Misalkan adalah field dengan karakteristik prima 2 Supersingular dengan bentuk sederhana dari persamaan kurva eliptiknya adalah
:
dengan , , dan ∆ 0 ∆
0.
Didefinisikan persamaan kurva eliptik Supersingular
, |
∞ .
1. Misalkan terdapat titik , sembarang. Karena syarat 0
dan dengan 0, maka titik 0,0 dijamin tidak terletak pada kurva dan dapat digunakan untuk merepresentasikan ∞ 0,0 . Akibatnya,
∞ 0, 0 ,
2. Dengan titik 0,0 yang direpresentasikan dengan titik di tak-hingga maka untuk
setiap , , terdapat
invers dari yang dinotasikan dengan
– , berlaku,
0,0 ∞. dimana ∞ ∞.
3. Untuk setiap , dimana
, , , dan
maka titik yang akan dicari adalah , .
Terdapat tiga titik pada E, maka berlaku tiga persamaan
(1.1)
(1.2) (1.3) Jika dilihat dari definisi secara geometri, maka , dan ,
6
dimisalkan dengan maka diperoleh persamaan
(1.4) Kemudian apabila dari persamaan (1.1) dan (1.3) kita jumlahkan dan dimodulokan dengan dua, akan diperoleh
Apabila pada ruas kiri kita tambahkan nilai 2 , maka persamaan di atas menjadi
2
Kemudian kedua ruas disederhanakan dan dibagi dengan diperoleh
(1.5) Setelah memperoleh persamaan (1.5) dengan dari persamaan (1.4), maka untuk persamaan (1.2), (1.3) akan diperoleh dengan cara yang sama, sehingga didapatkan
(1.6) Untuk memperoleh dan , akan dijumlahkan persamaan (1.5), (1.6) sehingga kita peroleh
Apabila kita bagi kedua ruas dengan maka didapatkan
dan dari dihasilkan .
Jadi, dihasilkan , dengan dan
dengan .
4. Untuk setiap , dan
, titik yang ingin ditentukan
adalah , .
Apabila diperhatikan secara geometri, titik P dan R berada pada kurva E. Oleh sebab itu, terdapat dua persamaan
dan
. (1.7) Jika ditarik garis lurus P dan R’ (titik
sebelum dicerminkan terhadap sumbu-x), terlihat merupakan sebuah garis singgung. Dimisalkan gradiennya , maka
(1.8) Kemudian, dengan turunan implisit
dengan memisalkan , ,
dapat kita peroleh nilai yaitu 3
2
, , (1.9) Sama halnya dengan penurunan kasus
(pada persamaan 1.5), diperoleh persamaan
Sehingga . Untuk diperoleh dari persamaan (1.8) yaitu
dengan .
Dari uraian di atas, diperoleh aritmetik pada kurva eliptik Supersingular sebagai berikut
1. Titik di luar kurva yang digunakan adalah ∞ 0,0 . 2. , dan – , apabila dijumlahkan menghasilkan titik ∞. 3. , dimana , , , dan maka, , dimana dan dengan . 4. , dan , berlaku , dimana dan dengan .
Di bawah operasi di atas, maka kurva eliptik supersingular merupakan grup dengan unsur identitas ∞ 0,0 dan invers
7
3.2 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular.
3.2.1 Pembangkitan Kurva Eliptik
K(a,b,c)
INPUT : Memasukkan nilai m OUTPUT : nilai kurva , , Mulai
1. Pilih acak , , .
2. Lakukan sampai i proses jika ∞ dengan cara
a. Mengacak b. Selesai
3. Kemudian lakukan juga sampai i proses jika diperoleh ∞ dengan cara
a. Mengacak b. Selesai
4. Tampilkan , ,
3.2.2 Menentukan Titik P(x,y)
INPUT : Nilai kurva , , OUTPUT : Titik , Mulai
1. Hitung
2. Lakukan sampai i proses jika diperoleh ∞ dengan cara
a. Menentukan kembali b. Selesai.
3. Tampilkan nilai , yang memenuhi dengan ∞. 3.2.3 Adisi Titik , , INPUT : P , , Q , dengan , , OUTPUT : Titik , Mulai
1. Jika ∞ atau ∞, maka a.
b.
2. Jika dan , maka
a. 0 b. 0 3. Jika . Maka a. b. c.
4. Jika tidak , maka : a.
b. c.
5. Tampilkan ,
3.2.4 Menentukan Invers (Negatif) Titik INPUT : Titik P ,
dengan kurva eliptik , , OUPUT : P , c Mulai 1. Dengan c 2. Tampilakan , . 3.2.5 Menentukan (Kelipatan sebanyak )
INPUT : Titik P , dan merupakan integer positif acak dengan , ,
OUPUT : Mulai
1. Pilih suatu integer acak dan diubah menjadi basis 2
2. Misalkan
3. Jika hanya terdapat satu titik P, maka a. Nilai yaitu nilai P
b. Selesai
4. Untuk langkah kedua, lakukan sampai i kali apabila terdapat beberapa titik yang sama dengan cara
a. Nilai yaitu nilai . Jadi apabila terdapat dua titik yang sama dan masing-masing bisa dipasangkan, titik tersebut digandakan sampai i sehingga ditemukan satu titik.
b. Jika operasi ke i kali yang nilai biner 1 (terdapat satu titik yang tidak ada pasangan untuk digandakan), maka lakukan
1. Titik yang digandakan sebelumnya dijumlahkan dengan satu titik yang tidak mempunyai pasangan sehingga proses a
2. Selesai c. Selesai 5. Tampilkan titik
3.3 Aritmetika Kurva Eliptik Non-Supersingular.
Misalkan adalah field dengan karakteristik prima 2 Non-Supersingular dengan bentuk sederhana dari persamaan kurva eliptiknya adalah
:
dengan , dan ∆ 0.
Didefinisikan persamaan kurva eliptik Non-Supersingular
, |
8
1. Misalkan terdapat titik , sembarang. Karena syarat 0, maka titik 0,0 dijamin tidak terletak pada kurva dan dapat digunakan untuk merepresentasikan ∞ 0,0 . Akibatnya,
∞ 0, 0 , .
2. Dengan titik 0,0 yang direpresentasikan dengan titik di tak-hingga maka untuk
setiap , , terdapat
invers dari yang dinotasikan dengan
– , berlaku,
0,0 ∞. dimana ∞ ∞.
3. Untuk setiap , dimana
, , , dan
maka titik yang akan dicari adalah , .
Apabila ditelaah pada tiga titik pada E, maka berlaku tiga persamaan
(2.1)
(2.2) (2.3) Jika dilihat dari definisi secara geometri, maka P, Q dan ,
adalah segaris. Jika gradiennya dimisalkan dengan λ maka diperoleh persamaan
(2.4) Kemudian dari penjumlahan persamaan (2.1) dan (2.3) yang kemudian dimodulokan dengan dua diperoleh
/ ⁄ (2.5) Dengan cara yang sama dari persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4) diperoleh
(2.6)
Dengan nilai gradien seperti pada (2.4), sehingga penjumlahan dari (2.5) dan (2.6) menghasilkan
dan dari persamaan (2.4) diperoleh
Dengan demikian, diperoleh , dimana
dan dengan
.
4. Untuk setiap , dan
, titik yang ingin ditentukan
adalah , .
Dilihat secara geometri, titik dan
, segaris. Titik dan
, merupakan garis singgung kurva pada titik . Maka berlaku persamaan
(2.7)
(2.8)
Dimisalkan gradiennya dengan
(2.9) Kemudian, dengan turunan implisit
dengan memisalkan , ,
dapat kita peroleh nilai yaitu
2 3 2
2 2 3 2
3 2
2 2
(3.0) karena dalam biner, maka (2.8) menjadi
, 1,1
(3.1) Seperti pada penurunan persamaan
(2.5), dari persamaan (2.7), (2.8), dan (2.9) diperoleh
9
dengan menerapkan persamaan (3.1) maka diperoleh
Selanjutnya, dengan membagi kedua ruas dengan dan diterapkan juga persamaan (2.9) diperoleh
Untuk mendapatkan nilai digunakan persamaan (2.9), maka diperoleh
dengan persamaan (3.1) persamaan di atas menjadi
1 Akhirnya diperoleh
, dimana dan
1 dengan .
Dari uraian di atas, diperoleh aritmetik pada kurva eliptik Non-Supersingular sebagai berikut
a. Titik di luar kurva yang digunakan adalah ∞ 0,0 . b. , dan – , apabila dijumlahkan menghasilkan titik ∞. c. , sembarang. Misalkan , , , dan maka, , dimana dan adalah
dan
dengan .
d. Untuk setiap , dan
, berlaku ,
dimana dan
dengan .
Di bawah operasi di atas, maka kurva eliptik Non-Supersingular merupakan grup dengan unsur identitas ∞ 0,0 dan invers dari adalah – ,
.
3.4 Algoritme Aritmetika Kurva Eliptik Non-Supersingular
3.4.1 Pembangkitan Kurva K(a,b) INPUT : Memasukkan nilai m OUTPUT : Nilai kurva , Mulai
1. Pilih acak , .
2. Lakukan sampai i proses dengan syarat ∞ dengan cara
a. Mengacak b. Selesai 3. Tampilkan ,
3.4.2 Menentukan Titik P(x,y)
INPUT : Nilai kurva , OUTPUT : Titik , Mulai
1. Hitung
2. Lakukan sampai i proses apabila ∞ dengan cara a. Hitung b. Selesai. 3. Tampilkan , dengan dan ∞. 3.4.3 Adisi Titik , , INPUT : P , , Q , dengan , OUTPUT : Titik , Mulai
1. Jika ∞ atau ∞, maka a.
b.
2. Jika dan , maka
a. 0 b. 0 3. Jika . Maka a. b. c.
4. Jika tidak , maka : a.
b.
c. 1
10
3.4.4 Menentukan Invers (Negatif) Titik INPUT : Titik P , dengan
, OUPUT : P , Mulai 1. Hitung 2. Tampilkan , 3.4.5 Menentukan (kelipatan sebanyak k kali)
INPUT : Titik P , dan merupakan integer positif acak dengan , ,
OUPUT : Mulai
1. Pilih suatu integer acak dan diubah menjadi basis 2
2. Misalkan
3. Jika hanya terdapat satu titik P, maka a. Nilai yaitu nilai P
b. Selesai
4. Untuk langkah kedua, lakukan sampai i kali apabila terdapat beberapa titik yang sama dengan cara
a. Nilai yaitu nilai . Jadi apabila terdapat dua titik yang sama dan masing-masing bisa dipasangkan, titik tersebut digandakan sampai i sehingga ditemukan satu titik.
b. Jika operasi ke i kali yang nilai biner 1 (terdapat satu titik yang tidak ada pasangan untuk digandakan), maka lakukan
1. Titik yang digandakan sebelumnya dijumlahkan dengan satu titik yang tidak mempunyai pasangan sehingga proses a
2. Selesai c. Selesai 5. Tampilkan titik
3.5 ElGamal Kurva Eliptik atas
Untuk penerapan kurva eliptik dalam algoritme ElGamal, maka terdapat beberapa perubahan yang terjadi dalam algoritme tersebut. Perubahannya dari grup multiplikatif yang digeneralisasi menjadi aritmetik kurva eliptik .
Berikut langkah-langkah penyandian dengan grup multiplikatif digeneralisasi. Diilustrasikan A mengirim pesan kepada B.
1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci
B membuat sebuah kunci publik dan kunci pribadi. Hal yang dilakukan adalah
a. Memilih suatu grup siklik berorder dengan generator .
b. Memilih suatu integer acak a dalam
1 1.
c. Menghitung .
d. Kunci publik B adalah , dan kunci pribadi B adalah a.
e. Kemudian kunci publik tersebut dikirimkan ke A.
2. Algoritme 2 Enkripsi
A menyandikan atau me-enkripsi sebuah pesan m ke B. Langkah-langkah yang harus dilakukan oleh A adalah
a. Memperoleh kunci publik , . b. Merepresentasikan pesan tersebut
sebagai suatu integer
c. Memilih integer acak k, dimana positif.
d. Menghitung dan .
e. Mengirim siferteks , ke B.
3. Algoritme 3 Dekripsi
Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut
a. Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung . Dengan catatan
.
b. Menemukan kembali m dengan menghitung , sehingga diperoleh
. (Menezes et al. 1996) Sedangkan untuk aritmetika kurva eliptik digunakan aturan definisi grup kurva eliptik dengan menggunakan proses adisi. Perubahan yang terjadi adalah
a. menjadi
Sebanyak kali b. menjadi .
Oleh karena itu, algoritme ElGamal dalam grup multiplikatif diatas diganti menjadi aritmetika kurva eliptik (diilustrasikan A mengirim pesan ke B).
1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci
B membuat sebuah kunci publik dan kunci pribadi. Hal yang dilakukan adalah
a. Memilih suatu generator , yang merupakan titik pada kurva eliptik. .
b. Memilih suatu integer acak a dalam
1 1.
c. Menghitung .
d. Kunci publik B adalah , dan kunci pribadi B adalah a.
11
2. Algoritme 2 Enkripsi
A menyandikan atau me-enkripsi sebuah pesan m ke B. Langkah-langkah yang harus dilakukan oleh A adalah
a. Memperoleh kunci publik , . b. Merepresentasikan pesan tersebut
sebagai suatu titik . c. Memilih integer acak k, 1 1
d. Menghitung dan .
e. Mengirim siferteks , ke B.
3. Algoritme 3 Dekripsi
Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut
a. Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung .
b. Menemukan kembali pesan m dengan
menghitung , sehingga
diperoleh
.
Contoh ElGamal Kurva Eliptik (Lihat
Lampiran 4) :
Diilustrasikan Andi mengirim pesan kepada Beni. Hal pertama yang dilakukan Beni adalah membuat kunci pribadi dan kunci publik. Dimisalkan menggunakan aritmetik kurva eliptik Non-Supersingular. Hal ini dikarenakan langkah-langkah yang dilakukan sama.
1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci.
a. Beni memilih generator yang merupakan suatu titik pada kurva eliptik. , 2,5,7,9 , 0,1,3, 4,5,7,8 .
b. Beni memilih integer acak yang nantinya merupakan kunci pribadi
93.
c. Kemudian menghitung 2,7,8 , 0,1,6,8,9 .
d. Kunci Publik adalah , dengan nilai 2,5,7,9 , 0,1,3,4,5,7,8 ,
2,7,8 , 0,1,6,8,9 . 2. Algoritme 2 Enkripsi
Setelah menerima kunci publik dari Beni, Andi menyandi pesan tersebut dengan
menggunakan kunci tersebut. Kemudian yang dilakukan Andi adalah
a. Membangkitkan pesan. Di sini dimisalkan pesan yang dibangkitkan Andi adalah suatu titik
1,2,3,4,5,8 , 3,5,8,9 .
b. Kemudian Andi memilih sembarang integer 53.
c. Setelah itu Andi mencari nilai 0,1,2,3,6,7,9 , 2,5,6,9 . Kemudian, mencari nilai
3,4,5,8,9 , 0,2,3,7,9 .
d. Nilai yang diperoleh tersebut dikirim kepada Beni dalam bentuk siferteks
, 0,1,2,3,6,7,9 , 2,5,6,9 , 3,4,5,8,9 , 0,2,3,7,9 .
3. Algoritme 3 Dekripsi
Setelah Beni menerima siferteks, barulah dia menemukan kembali pesan yang telah disandikan tersebut dengan menggunakan kunci pribadi yang hanya dia sendiri yang mengetahuinya dengan cara
a. Mencari – dimana a merupakan kunci pribadi, sehingga diperoleh –
0,1,3,4,5,7,9 , 1,3,5,6 .
b. Menemukan kembali m dengan
menghitung sehingga
diperoleh pesan yang sama seperti pesan yang belum disandikan
1,2,3,4,5,8 , 3,5,8,9 .
Terlihat dengan jelas bahwa dalam melakukan penyandian tersebut, digunakan empat prinsip hukum grup dari kurva eliptik
. Titik yang diperoleh di atas merupakan suatu himpunan. Himpunan-himpunan tersebut merupakan pangkat dari definisi
. Misalkan contoh pesan yang digunakan pada contoh di atas. Pasangan titik
1,2,3,4,5,8 , 3,5,8,9 sama dengan pasangan polinomial 1. 1. 1.
1. 1. 1. , 1. 1. 1.
1. . Sedangkan untuk nilai 1 merupakan nilai untuk a. Ini dikarenakan berapapun nilai a dan dimodulokan dengan dua, hasilnya hanya mempunyai nilai 0 atau 1.
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 SimpulanTerdapat dua kasus untuk kurva eliptik dalam field biner yaitu Supersingular
dan Non-Supersingular. Aritmetik baru yang diperoleh dari kurva eliptik field biner ini merupakan proses adisi yang disebut dengan hukum grup kurva eliptik. Proses adisi tersebut adalah penjumlahan dengan suatu titik dengan unsur identitas, penjumlahan suatu titik dengan invers titik tersebut, penjumlahan dua titik yang berbeda, dan doubling.
Aritmetik yang diperoleh dari penjumlahan tersebut adalah
1. Kurva eliptik Supersingular
a. Terdapatnya identitas ∞, sehingga
∞ . b. Adanya invers, , . c. Untuk adisi, , , diperoleh dan dengan . d. Untuk doubling,
, , nilai dan nilai
dengan .
2. Kurva eliptik Non-Supersingular
a. Terdapatnya identitas ∞, sehingga
∞ . b. Adanya invers, , . c. Untuk adisi, , , nilai dan dengan . d. Untuk doubling, , dimana nilai dan nilai dengan .
Dari hukum grup ini dapat dibentuk prosedur dalam Maple 12 dan juga dapat digabung dengan ElGamal.
Dalam penggabungan ini, dihasilkan pesan yang sebelum disandikan identik dengan pesan yang telah disandikan. Ini menunjukkan ElGamal yang semula dalam grup multiplikatif digeneralisasi menjadi ElGamal Kurva Eliptik dalam field . 4.2 Saran
Dalam karya ilmiah ini, penulis hanya melakukan pencarian titik pada kurva dan melakukan proses adisi struktur grup kurva eliptik. Di samping itu juga, penulis hanya mencoba menggabungkan aritmetik ini dengan ElGamal. Jadi, masih terdapat kekurangan diantaranya membandingkan keamanan suatu pesan pada ElGamal kurva eliptik Supersingular dengan Non-Supersingular. Semoga tulisan ini dapat menjadi inspirasi.
DAFTAR PUSTAKA
Aliatiningtyas N. 2002. Struktur Aljabar. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Fraleigh. 1994. Abstract Algebra. United States of America: Addison-Wesley Publishing Company.
Guritman S. 2004. Struktur Aljabar. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Hankerson, Menezes, Vanstone. 2004. Guide to Elliptic Curve Cryptography. New York: Springer-Verlag Inc.
Menezes, Oorschot Van, Vanstone. 1996. Handbook of Applied Cyrptography. Massachusetts Institute of Technology. Rosdiana S. 2009. Konstruksi Algoritme
Aritmetik G 2 dengan Operasi Perkalian Dibangkitkan dari Sifat Grup Siklik [Tesis]. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
14
1. Algoritme Aritmetika
a. Prosedur UbahBinKeDes
Deskripsi : Prosedur mengubah Vektor Biner ke Desimal dari Order Rendah ke Order
Tinggi
UbahBinKeDes := proc( N::list )
local D1, D2 :: list, Des::integer;
D1:=map(x -> 2^x,[seq(i,i=0..(nops(N)-1))]): D2:=[seq(N[j]*D1[j],j=1..nops(N))]:
Des:=add( i, i=D2 ); end proc:
b. Prosedur UbahDesKeBin
Deskripsi : Prosedur mengubah Desimal ke Vektor Biner dari Order Rendah ke Order
Tinggi
UbahDesKeBin := proc(B::integer,m::integer) local K,KVek,Kv::list, i::integer:
K := B mod 2^m;
Kv:=convert(K,base,2):
KVek:=[op(Kv),seq(0*i,i=(nops(Kv)+1)..m)]: end proc:
c. Prosedur UbahBinKeSet
Deskripsi : Prosedur mengubah Vektor Biner ke dalam himpunan (dari Order Rendah
ke Order Tinggi)
UbahBinKeSet:= proc( Cr::list) local H::set, i,n::integer: n := nops(Cr): H:={}: for i from 1 to n do if Cr[i]=1 then H:=H union {i-1}: end if: end do: return(H): end proc: d. Prosedur UbahDesKeSet
Deskripsi : Prosedur mengubah bilangan desimal ke dalam bentuk himpunan
UbahDesKeSet:=proc(n::integer) local X::list: X:=convert(n,base,2): UbahBinKeSet(X); end proc: e. Prosedur UbahSetKeDes
Deskripsi : Prosedur mengubah bentuk himpunan ke dalam bilangan desimal
UbahSetKeDes := proc( N::set ) local D::set, Des::integer; D:=map(x -> 2^x,N):
Des:=add( i, i=D ); end proc:
f. Prosedur UbahSetKeBin
Deskripsi : Prosedur mengubah bentuk himpunan ke dalam Vektor Biner
UbahSetKeBin := proc( N::set, m::integer ) local D::set, Des::integer;
Des:=UbahSetKeDes(N): UbahDesKeBin(Des,m); end proc:
g. Prosedur AcakSet
Deskripsi : Prosedur untuk membangkitkan himpunan acak dalam
AcakSet:=proc(m::posint)
15 AcIn := rand(2^m): p:=AcIn(): UbahDesKeSet(p); end proc: h. Prosedur AdisiSet
Deskripsi : Prosedur menjumlahkan dua himpunan
AdisiSet:=proc(S::set,T::set)
return((S union T) minus (S intersect T)); end proc:
i. Prosedur ReduSet
Deskripsi : Prosedur menghilangkan nilai 0 pada vektor biner
ReduSet:=proc(n::integer,m::posint) local H,G,K,S::set, i,j,k::integer: S:=DatB[m]:
if n<0 or n>(2*m-2) then return(false): elif 0<=n and n<m then return({n}); else H:=map(x->(x+(n-m)),S); end if: return(H): end proc: j. Prosedur ModSet
Deskripsi : Prosedur untuk menentukan dimana merupakan set
ModSet:=proc(T::set,m::posint) local G,K,H,R::set, i::integer:
if max(op(T))>(2*m-2) then error end if; R:={seq(i,i=m..(2*m-2))}:
K:= T intersect R: G:=T:
for i while K<>{} do
H:=ReduSet(max(op(K)),m):
G:=AdisiSet(G minus {max(op(K))},H): K:= G intersect R:
end do: return(G); end proc: k. Prosedur KaliSet
Deskripsi : Prosedur untuk mengalikan set
KaliSet:=proc(A::set,B::set) local H::set, i,j::integer: H:={}: for i in A do H:=AdisiSet(H,map(j->(j+i),B)): end do: return(H): end proc: l. Prosedur MultiSet
Deskripsi : Prosedur mengalikan set dengan menggunakan modulo
MultiSet:=proc(A::set,B::set,m::integer) local H::set: H:=KaliSet(A,B): ModSet(H,m); end proc: m. Prosedur BagiSet
Deskripsi : Prosedur membagi set
BagiSet:=proc(T::set,S::set)
local K,Q,R::set, i,r,s,t::integer: R:=T: Q:={}:
16 for i while r>=s do t:=r-s: Q:=Q union {t}: K:=KaliSet({t},S): R:=AdisiSet(K,R): r:=max(op(R)): end do: return([Q,R]); end proc: n. Prosedur InvSet
Deskripsi : Prosedur mencari invers dari set
InvSet:=proc(T::set,m::integer)
local QA,QB,RA,RB,R,S,Tmp::set, L::list, i::integer: S:=DatB[m]:
if T={} then return("Tidak ada invers") end if: RA:=S union {m}: RB:=T: QA:={}: QB:={0}: L:=BagiSet(RA,RB): RA:=RB: RB:=op(2,L): for i while RB<>{} do Tmp:=QA: QA:=QB: R:=KaliSet(QB,op(1,L)): QB:=AdisiSet(Tmp,R): L:=BagiSet(RA,RB): RA:=RB: RB:=op(2,L): end do: return(QB); end proc: o. Prosedur DivSet
Deskripsi : Prosedur membagi A oleh B modulo m
DivSet:=proc(A::set,B::set,m::integer) local iB::set: iB:=InvSet(B,m); MultiSet(A,iB,m); end proc: (Rosdiana 2009)
17
2. Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik
a. Prosedur Menentukan Kurva Eliptik 2^m dengan
1. Supersingular m:=10; ECAcakABCSs:=proc(m::posint) local A,B,C::set,i::integer; A:=AcakSet(m); B:=AcakSet(m); C:=AcakSet(m); for i while B={}do B:=AcakSet(m); end do;
for i while C={}do C:=AcakSet(m); end do; return ([A,B,C]); end proc: Contoh : K:=ECAcakABCSs(m); 2. Non-Supersingular ECAcakABNs:=proc(m::posint) local A,B::set,i::integer; A:=AcakSet(m); B:=AcakSet(m); for i while B={}do B:=AcakSet(m); end do; return ([A,B]); end proc: Contoh : K:=ECAcakABNs(m);
b. Prosedur Menentukan Titik-titik Kurva Eliptik 2^m
1. Supersingular
AcakPtSs:=proc(K::list,m::posint)
local X,Y,H,G,T,U,S::set, i,t::integer: X:=AcakSet(m); Y:=AcakSet(m); H:=MultiSet(K[3],Y,m); G:=MultiSet(Y,Y,m); H:=AdisiSet(G,H); G:=MultiSet(X,X,m); T:=MultiSet(X,G,m); H:=AdisiSet(H,T); U:=MultiSet(K[1],X,m); H:=AdisiSet(H,U); S:=AdisiSet(H,K[2]); for i while S<>{} do X:=AcakSet(m); Y:=AcakSet(m); H:=MultiSet(K[3],Y,m); G:=MultiSet(Y,Y,m); H:=AdisiSet(G,H);
18 G:=MultiSet(X,X,m); T:=MultiSet(X,G,m); H:=AdisiSet(H,T); U:=MultiSet(K[1],X,m); H:=AdisiSet(H,U); S:=AdisiSet(H,K[2]); end do: return([X,Y]); end proc: Contoh : P:=AcakPtSs(K,m); 2. Non-Supersingular AcakPtNS:=proc(K::list,m::posint)
local X,Y,H,G,T,U,S::set, i,t::integer: X:=AcakSet(m); Y:=AcakSet(m); H:=MultiSet(X,Y,m); G:=MultiSet(Y,Y,m); H:=AdisiSet(G,H); G:=MultiSet(X,X,m); T:=MultiSet(X,G,m); H:=AdisiSet(H,T); U:=MultiSet(K[1],G,m); H:=AdisiSet(H,U); S:=AdisiSet(H,K[2]); for i while S<>{} do X:=AcakSet(m); Y:=AcakSet(m); H:=MultiSet(X,Y,m); G:=MultiSet(Y,Y,m); H:=AdisiSet(G,H); G:=MultiSet(X,X,m); T:=MultiSet(X,G,m); H:=AdisiSet(H,T); U:=MultiSet(K[1],G,m); H:=AdisiSet(H,U); S:=AdisiSet(H,K[2]); end do: return([X,Y]); end proc: Contoh : P:=AcakPtNs(K,m);
c. Prosedur Aritmetika Kurva Eliptik 2^m
1. Supersingular AddPtBinSs:=proc(X::list,Y::list,K::list,m::posint) local A,B,T,S,L,H,G::set: if X=[{},{}] or Y=[{},{}] then A:=AdisiSet(X[1],Y[1]); B:=AdisiSet(X[2],Y[2]); return([A,B]); end if: T:=AdisiSet(X[2],Y[2]); if X[1]=Y[1] and T=K[3] then return([{},{}]);
elif X<>Y then
19 S:=AdisiSet(X[2],Y[2]): L:=DivSet(S,T,m): H:=MultiSet(L,L,m): H:=AdisiSet(H,T): G:=AdisiSet(H,X[1]): G:=MultiSet(G,L,m); G:=AdisiSet(G,X[2]): G:=AdisiSet(G,K[3]): return([H,G]); else T:=MultiSet(X[1],X[1],m): L:=AdisiSet(K[1],T): L:=DivSet(L,K[3],m): H:=MultiSet(L,L,m): G:=AdisiSet(H,X[1]): G:=MultiSet(G,L,m); G:=AdisiSet(G,X[2]): G:=AdisiSet(G,K[3]): return([H,G]); end if: end proc: Contoh : Infinity:=AddPtBinSs(P,nP,K,m); Q:=AcakPtSs(K,m); F:=AcakPtSs(K,m); Periksa Komutatif R:=AddPtBinSs(Q,F,K,m); S:=AddPtBinSs(F,Q,K,m); Periksa Assosiatif M:=AcakPtSs(K,m): V:=AddPtBinSs(F,M,K,m): C:=AddPtBinSs(M,Q,K,m): V:=AddPtBinSs(V,Q,K,m); V:=AddPtBinSs(F,C,K,m); 2. Non-Supersingular AddPtBinNs:=proc(X::list,Y::list,K::list,m::posint) local A,B,T,S,L,U::set: if X=[{},{}] or Y=[{},{}] then A:=AdisiSet(X[1],Y[1]); B:=AdisiSet(X[2],Y[2]); return([A,B]); end if: T:=AdisiSet(X[2],Y[2]); if X[1]=Y[1] and T=X[1] then A:={}:
B:={}:
return([A,B]); elif X<>Y then
U:=AdisiSet(X[1],Y[1]): S:=AdisiSet(X[2],Y[2]): L:=DivSet(S,U,m):
20 T:=MultiSet(L,L,m): A:=AdisiSet(L,T): A:=AdisiSet(A,K[1]): A:=AdisiSet(A,U): B:=AdisiSet(X[2],A): S:=AdisiSet(X[1],A): S:=MultiSet(S,L,m): B:=AdisiSet(B,S): return([A,B]); else S:=MultiSet(X[1],X[1],m): T:=DivSet(K[2],S,m): A:=AdisiSet(S,T): T:=DivSet(X[2],X[1],m): L:=AdisiSet(X[1],T): B:=MultiSet(A,L,m): B:=AdisiSet(B,S): B:=AdisiSet(A,B): return([A,B]); end if: end proc: Contoh : Q:=AcakPtNs(K,m); F:=AcakPtNs(K,m); Periksa Komutatif R:=AddPtBinNs(Q,F,K,m); R:=AddPtBinNs(F,Q,K,m); Periksa Assosiatif M:=AcakPtNs(K,m): V:=AddPtBinNs(F,M,K,m): C:=AddPtBinNs(M,Q,K,m): V:=AddPtBinNs(V,Q,K,m); V:=AddPtBinNs(F,C,K,m);
d. Prosedur Negasi Titik
1. Supersingular
NegPtSs:=proc(P::list,K::list,m::posint) local H::set, i::integer:
H:=AdisiSet(P[2],K[3]): subsop(2=H,P); end proc: Contoh : nP:=NegPtSs(P,K,m); P; Infinity:=AddPtBinSs(P,nP,K,m); 2. Non-Supersingular NegPtNs:=proc(P::list,K::list,m::posint) local H::set, i::integer:
H:=AdisiSet(P[1],P[2]); subsop(2=H,P);
21 end proc: Contoh : nP:=NegPtNs(P,K,m); P; Infinity:=AddPtBinNs(P,nP,K,m);
e. Prosedur Kelipatan titik P sebanya k kali
1. Supersingular
MulPtBinSs:=proc(P::list,k::integer,K::list,m::posint) local H,G,X::list, i::integer:
X:=convert(k,base,2); G:=P: H:=[{},{}]: if op(1,X)=1 then H:=G:
end if:
for i from 2 to nops(X) do G:=AddPtBinSs(G,G,K,m); if op(i,X)=1 then H:=AddPtBinSs(H,G,K,m): end if: end do: return(H); end proc: Contoh: R:=MulPtBinSs(P,5,K,m): T:=MulPtBinSs(R,6,K,m); S:=MulPtBinSs(P,6,K,m): S:=MulPtBinSs(S,5,K,m); 2. Non-Supersingular MulPtBinNs:=proc(P::list,k::integer,K::list,m::posint) local H,G,X::list, i::integer:
X:=convert(k,base,2); G:=P: H:=[{},{}]: if op(1,X)=1 then H:=G:
end if:
for i from 2 to nops(X) do G:=AddPtBinNs(G,G,K,m); if op(i,X)=1 then H:=AddPtBinNs(H,G,K,m): end if: end do: return(H); end proc: Contoh: R:=MulPtBinNs(P,5,K,m): T:=MulPtBinNs(R,6,K,m); S:=MulPtBinNs(P,6,K,m): S:=MulPtBinNs(S,5,K,m);
22
3. ElGamal
a. Prosedur Yang Digunakan Secara Rutin (mencari , , dan a) p := nextprime(rand(1..10^40)());
p := 9574006709478958762709029785327385064807;
alpha := 5;
a := rand(10..p-10)() mod p;
a := 665638090635425982769337333168305062441; beta := Power(alpha,a) mod p;
b. Kunci Publik dan Kunci Privat
KunciPublik := [p,alpha,beta]; KunciPribadi := a; c. Enkripsi Pesan := 91819250104; k := rand(10..p-10)(); k := 1026468764312794860407049035579406321411; gama := Power(alpha,k) mod p;
Topeng := (Power(beta,k) mod p); delta := Topeng*(Pesan) mod p;
Kirim := [gama,delta];
d. Dekripsi
Topeng := Power(Kirim[1],a) mod p; BukaTopeng := 1/Topeng mod p;
PesanDiTerima := Kirim[2]*BukaTopeng mod p;
PesanDiTerima := Kirim[2]*(Power(1/Kirim[1],a) mod p) mod p;
23
4. ElGamal Kurva Eliptik
a. Prosedur Yang Digunakan Secara Rutin
Prosedur yang digunakan sama dengan kurva eliptik, hanya saja ditambah prosedur kasus supersingular dan non-supersingular untuk mencari kurva, titik, proses adisi, dan kelipatan titik untuk masing-masing kasus.
b. Pembuatan Kunci with(RandomTools): 1. Supersingular Privat:=Generate(integer(range=1..99)); m:=10; K:=ECAcakABCSs(m); alpha:=AcakPtSs(K,m); beta:=MulPtBinSs(alpha,Privat,K,m); Publik:=[alpha,beta]; 2. Non-Supersingular Privat:=Generate(integer(range=1..99)); m:=10; K:=ECAcakABNs(m); alpha:=AcakPtNs(K,m); beta:=MulPtBinNs(alpha,Privat,K,m); Publik:=[alpha,beta]; c. Enkripsi 1. Supersingular Pesan:=AcakPtSs(K,m); k:=Generate(integer(range=1..99)); Publik; gama:=MulPtBinSs(Publik[1],k,K,m); N:=MulPtBinSs(Publik[2],k,K,m); delta:=AddPtBinSs(Pesan,N,K,m); kirim:=[gama,delta]; 2. Non-Supersingular Pesan:=AcakPtNs(K,m); k:=Generate(integer(range=1..99));
24 Publik; gama:=MulPtBinNs(Publik[1],k,K,m); N:=MulPtBinNs(Publik[2],k,K,m); delta:=AddPtBinNs(Pesan,N,K,m); kirim:=[gama,delta]; d. Dekripsi 1. Supersingular kirim; w:=MulPtBinSs(kirim[1],Privat,K,m); w:=NegPtSs(w,K,m); Terima:=AddPtBinSs(kirim[2],w,K,m);
convert(Pesan=Terima,'truefalse'); # digunakan untuk
memastikan apakah Pesan sebelum dienkripsi sama dengan Pesan setelah didekripsikan.
2. Non-Supersingular kirim;
w:=MulPtBinNs(kirim[1],Privat,K,m); w:=NegPtNs(w,K,m);
Terima:=AddPtBinNs(kirim[2],w,K,m);
convert(Pesan=Terima,'truefalse'); # digunakan untuk
memastikan apakah Pesan sebelum dienkripsi sama dengan Pesan setelah didekripsikan.
