Pemodelan kualitas air melibatkan prediksi pencemaran air dengan meng-gunakan teknik matematika. Ciri-ciri dari model kualitas air adalah adanya kumpulan informasi yang mempresentasikan mekanisme fisik yang mengatur posisi dan momentum dari polutan yang terdapat dalam air. Model ini juga diperuntukkan komponen individual dari sistem hidrologi seperti limpasan per-mukaan. Metode yang sering digunakan adalah metode finite difference yang digunakan untuk menganalisa suatu fenomena, dan terlebih lagi jika sudah ter-masuk dalam jumlah yang besar diperlukan pemodelan dengan bantuan kom-puter.
2.1 Kualitas Air dalam Sistem Distribusi
Maier (1999) mendefinisikan kualitas air dengan sangat jelas, dimana dijelaskan sebagai kumpulan batas atas atau batas bawah pada kemungkinan kadar kon-taminasi dalam air. Meskipun dalam air luas dari senyawa dan parameter yang mempengaruhi fisik dari air dapat dimasukkan, namun, model yang direpresen-tasikan sering membahas tentang usia air dan propagasi dari senyawa partikel atau senyawa kimia, seperti disinfektan. Maier (1999) juga menjelaskan bahwa senyawa lain termasuk didalamnya logam, beberapa racun, klorida, oksigen ter-larut, jumlah klorin dan jumlah bakteri juga dapat dinyatakan sebagai kumpulan parameter yang juga dapat memperngaruhi dalam kualitas air.
2.2 Model Hyrdraulic
2.3 Metode Finite Difference
Finite difference adalah sebuah ekspresi matematika dengan bentuk f(x+b)−
f(x+a). Jika finite difference dibagi dengan b −a, diperoleh difference quo-tient. Pendekatan derivatif untuk finite difference memiliki peranan penting dalam metode finite difference untuk solusi numerik dari persamaan turunan khususnya permasalahan nilai berbatas.
Analisis numerik merupakan aplikasi penting dalam penggunaan finite dif-ference, khususnya persamaan turunan yang bersifat numerik, dimana meru-pakan tujuan dari solusi numerik untuk persamaan turunan biasa adan persama-an turunpersama-an parsial. Dimpersama-ana idenya adalah utnuk menggpersama-anti sifat derivatif ypersama-ang muncul dalam persamaan turunan dengan finite difference untuk pendekatan-nya yang pada akhirpendekatan-nya disebut sebagai metode finite difference. Aplikasi yang umum dari metode finite difference adalah pada bidang komputasi dan teknik seperti teknik termal, mekanisme fluida dan lain lain.
Bentuk finite difference yang biasa diperumumkan adalah
∆µh[f](x) =
N
X
k=0
µkf(x+kh) (2.1)
Dimana µ= (µ0, ..., µN) adalah koefisien vektor. Infinite difference adalah
bentuk umum lanjutan, dimana penjumlahan berbatas pada bentuk diatas dapat diganti dengan deret infinite. Cara lain dalam bentuk umum adalah membuat koefisien µk bergantung pada titik x : µk = µk(x), kemudian dengan
pertim-bangan bobot finite difference dan membuat langkah h bergantung pada titik x :h =h(x). Bentuk yang seperti ini dapat berguna untuk membentuk persa-maan lain seperti modulus kontinu.
2.4 Pemodelan Kualitas Air
dalam aliran sungai memiliki fungsiX(x, t)(kg.m−3). Dimana model yang
diper-oleh Busayamas et al,. (2009) adalah persamaan yang memenuhi evolusi dari polutan dan kadar oksigen terlarut dengan jarak xdan waktu t.
∂(AP) dimanaH(s) adalah fungsi Heavyside,
H(x) =
Antohe dan Stanciu (2009), mendeskripsikan bahwa dalam pemodelan ku-alitas air biasanya berkaitan dengan unsur-unsur yang terkandung dalam air yang dapat ditulis dalam suatu kumpulan himpunan matematika yang meru-pakan anggota-anggota dari unsur air seperti suhu, PH, konduktivitas, biokimia, senyawa organik, kandungan logam, kadar oksigen terlarut (OD). Dalam mo-delnya, terdapat algoritma program dengan menggunakan software MATLAB, adapun algoritma model adalah ”Observasi data dimulai pada titikxi = 1, ...,12
(tahunan), Yi akan diregister sebagai kadar oksigen terlarut (OD). Kemudian
sebuah fungsi y=f(x) adalah sebuah kurva spline yang terinterpolasi pada se-mua titik dan terdiri dari kurva polynonmial antara masing-masing pasangan berurutan titik xi dan xi+1. Parameter dari kurva polynomial adalah kendala
dan f”(xi) =f”(xn) = 0 dimana xi danxn adalah titik ekstrim daripada fungsi
f(x)”.
bahkan akan mengalami kematian. Sutimin (2001), juga menurunkan sebuah model sederhana yang menjelaskan dinamika konsentrasi oksigen pada perairan. Persamaan model disusun berdasarkan faktor-faktor sebagai berikut :
1. Difusi atau aerasi oksigen dari atmosfir ke badan air
2. Produksi oksigen oleh fotosintesis tanaman air
3. Konsumsi oksigen oleh pernafasan
Sehingga persamaan model ditentukan oleh,
dO2
dt =reaerasi+f otosintesis−pernaf asan (2.2) dimana persamaan reaerasi ditentukan sebagai berikut,
RA=ka(Cs−O2(t)) (2.3)
Kaadalah konstanta reaerasi danCs adalah konsentrasi oksigen pada saat jenuh
yaitu sebagai fungsi suhu dan tekanan barometrik
Produksi oksigen oleh fotosintesis tanaman air diberikan dengan menggu-nakan persamaan logistik sebagai berikut,
P O2 =K3O2(t)(1−qO2(t)) (2.4)
dimanaK3,q adalah konstan KonsumsiO2 diberikan oleh persamaan Michaelis-Menten,
KO2 =K2
O2(t) O2(t) +K1
(2.5)
dimana O2(t) adalah konsentrasi oksigen pada saat t, K1, K2 adalah konstan-ta dari persamaan yang dikemukakan oleh Sutimin, (2001), persamaan model konsentrasi oksigen pada perairan danau sebagai berikut,
dO2(t)
dt =Ka(Cs−O2(t)) +K3O2(t)(1−qO2(t))−K2
O2(t) O2(t) +K1
(2.6)
Persamaan model ini masih sulit untuk dianalisa perilakunya, oleh kare-na itu perlu disederhakare-nakan dengan melakukan transformasi penskalaan sebagai berikut,
x = O2(t)
x−s = O2(s)
K1 (2.8)
a(T) = Ka
Os
K1
(2.9)
c = qK3K1
b (2.10)
e = K2−K1 (2.11)
sehingga persamaan (2.6) menjadi
dO2(t)
dt =K2Os+ (K3−Ka)O2(t)−qK3O2(t)−
K2(t)O2(t) K1+O2(t)
(2.12)
dengan Transformasi diatas, oleh Sutimin (2001), persamaan (2.12) dapat dinya-takan sebagai,
dx
dt =a(T) +bx(1−cx)− ex
1 +x (2.13)
dengana(T), b, c, dan e adalah sebagai parameter. Sutimin (2001), juga mem-peroleh kesimpulan bahwa perubahan oksigen dipengaruhi oleh perubahan tem-peratur dan dari hasil simulasi menunjukan sifat bahwa perubahan ini berubah secara kebalikan artinya untuk temperatur yang tinggi memberi efek pada tu-runnya oksigen dimana pada kesimpulan ini diperoleh pengertian yang sama menurut ekologi perairan.
∂DO
Elsheikh et al,. (2013) merumuskan optimisasi distribusi air sebagai se-buah formulasi yang berdasarkan pada desain solusi optimal sebagai permasalah-an program nonlinier dengpermasalah-an kendala cost yang rendah, maksimum keuntungan model yang diperumum dalam pembentukan model. Penggunaan fungsi objek-tif dalam kasus modelcost yang direndahkan diformulasikan dengan melibatkan faktorcost dalam optimal desain,
min(
dimana, Ck(dk) = biaya pembuatan pipa untuk setiap diameter dk per panjang
pipa; Ck(dk, ek) = biaya rehabilitasi pipa untuk setiap diameter dk dan setiap
rehabilitasi ek per panjang pipa Lk = panjang pipa ke-k DP = jumlah pipa
RP = jumlah rehabilitasi pipa
Dimana dalam pemodelannya kendala dibedakan menjadi 3 klasifikasi yaitu
1. Kendala Batas implisit
2. Kendala batas eksplisit
3. Kendala sistem implisit
Dalam kendala sistem implisit terdapat model konservasi massa dan energi secara matematika kendala tersebut dapat ditulis yakni,
1. Konservasi massa, aliran masuk dan aliran keluar harus seimbang pada setiap node
X Qin−
X
dimanaQin adalah aliran masuk,Qout adalah aliran keluar danQout adalah
aliran eksternal
2. Konservasi energi, head loss disekitar loop harus sama dengan nol atau pompa energi jika terdapat pompa
X
hf = 0 (2.16)
X
hf = Ep (2.17)
dimana hf = head loss berdasarkan friksi dalam pipa dan Ep = jumlah energi
yang tersuplai dalam pipa.
Elsheikh et al,. (2013) menyimpulkan bahwa kualitas air dihubungkan de-ngan sistem distribusi ditemukan adanya konsentrasi besi dan made-ngan disekitar sumber air dan kadar klorin yang tinggi dalam jaringan distribusi.
2.5 Pemodelan Sistem Distribusi Air
Wu (2006), distribusi air yang dimodelkan bersamaan dengan kualitas air meng-gunakan metode kalibrasi. Sampling dan pemantauan secara kontinu menge-nai kualitas air pada lokasi tertentu memliki peranan yang penting dalam me-minimumkan resiko dari kualitas air yang tidak memadai, meskipun sampling hanya hanya mempresentasikan gambaran yang terbatas dari kualitas air. De-ngan membangun sebuah model hidraulyc dan model kualitas air merupakan sebuah hal yang penting dalam melakukan simulasi kualitas air secara dinamik untuk semua elemen yang ada didalam sistem.
Model dinamik dari kualitas air dalam sistem distribusi secara eksplisit mempelajari mengenai perubahan aliran menuju pipa dan tempat penyimpanan dalam jangka waktu tertentu. Sejumlah solusi dari metode ini adalah memben-tuk model dinamik kualitas air yang bisa diklasifikasikan sebagai Eularian atau Langrangian yang bertindak sebagai metode waktu dan metode kejadian.
Model kualitas air untuk sistem distribusi air minum dimodelkan berda-sarkan teorema Reynolds transport (RTT) dan diformulasikan sebagai dimensi satu, yaitu sebagai berikut
∂C ∂t +V
∂C
