BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pendugaan Area Kecil
Secara umum metode pendugaan area kecil dibagi menjadi dua bagian yaitu metode
penduga langsung (direct estimation) dan metode penduga tak langsung (indirect
estimation). Metode-metode pendugaan selama ini yang sering digunakan adalah
metode pendugaan langsung.
Pendugaan langsung merupakan pendugaan yang didasarkan pada desain
penarikan yang menjadi perhatian (jumlah pemakai Jamkesmas). Dalam kasus
pendugaan area kecil, penduga langsung bagi parameter pada area kecil yang menjadi
perhatian relatif akan menghasilkan galat baku yang besar karena masalah jumlah
yang memakai kartu Jamkesmas.
Suatu pendekatan tidak langsung mampu meningkatkan efektifitas ukuran jumlah
pemakai Jamkesmas. Pada pendugaan tak langsung terdapat dua model penghubung
yang digunakan untuk menghubungkan area kecil dengan area kecil lainnya yaitu
Penduga tak langsung dengan menggunakan model penghubung implisit adalah
model yang didasarkan pada desain penarikan jumlah yang menjadi perhatian (design
based). Penduga yang dihasilkan mempunyai ragam desain yang relatif kecil
dibandingkan dengan ragam desain dari penduga langsung. Model penghubung
implisit mempunyai tiga metode yaitu, metode sintetik, komposit, dan James-Stein.
Metode sintetik adalah merupakan suatu metode dari penduga langsung untuk area
besar, yang memiliki galat baku kecil digunakan untuk memperoleh penduga tak
langsung untuk area kecil tertentu. Metode ini mengasumsikan bahwa area kecil
tersebut memiliki karateristik yang sama dengan area besar. Metode komposit
merupakan rata-rata terboboti dari penduga langsung dan penduga tak langsung.
Metode James-Stein adalah penduga komposit yang menggunakan pembobot umum
dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat.
Model penghubung eksplisit adalah model yang didasarkan pada pengaruh acak
area kecil untuk mendapatkan keragaman antar area dan informasi peubah penyerta,
yang selanjutnya dikenal dengan model area kecil. Menurut Rao (2005) peubah
penyerta yang baik adalah peubah yang berhubungan erat dengan peubah yang
menjadi perhatian dan berasal dari data sensus atau data administratif.
Suatu peubah respons yang menyatakan “sukses” atau “gagal” disebut sebagai
peubah biner. Pada pendugaan area kecil untuk kasus biner, peubah yang menjadi
perhatian berupa proporsi. Penduga langsung bagi proporsi merupakan penduga
kemungkinan maksimum yaitu ̂ = �
� , dengan mengasumsikan peubah pengamatan
diasumsikan menyebar binomial, ~� Binomial ( , ). Penduga langsung ini
mempunyai ragam yang besar karena hanya berdasarkan jumlah objek survei yang
terdapat pada area tersebut. Suatu pendugaan lain dikembangkan untuk mengatasi
permasalahan ini, yaitu pendugaan tak langsung. Pendugaan tak langsung bagi
proporsi diperoleh dari model Beta-Binomial. Model ini mempunyai dua tahap, yaitu
pada tahap pertama diasumsikan bahwa peubah yang menjadi perhatian ~�
Binomial ( , ) = 0,…, , 0< < , = , … , . Sedangkan pada tahap kedua
diasumsikan bahwa ~� beta( , ) sebagai prior, dengan fungsi kepadatan
ƒ( ⃒ , ) = � +
� ∝ � − (1- − ; > , > (Robert V. Hogg) (2.1)
Berdasarkan teorema Bayes maka penduga Bayes dan ragam posterior bagi adalah:
̂� , = � , , = +
+ + .
dan
Var ⃒ , , = , , = + + ++ − ++ + .
Bila penduga Bayes ini akan digunakan maka harus diketahui terlebih dahulu nilai
parameter sebaran priornya. Namun seringkali informasi mengenai parameter prior
belum diketahui. Pendekatan lain yang dapat digunakan adalah Bayes empirik, yaitu
pendekatan yang dilakukan untuk mendapatkan informasi parameter prior
berdasarkan datanya. Informasi parameter prior diperoleh dengan memaksimumkan
fungsi sebaran marjinal ⎹ , ~ � Beta-Binomial, namun bentuk tertutup untuk ̂
dan ̂ tidak ada (McCulloch & Searle, 2001). Pada tulisan ini bertujuan untuk
menilai kinerja penduga langsung dan penduga Bayes empirik pada pendugaan area
2.2 Metode Bayes Empirik
Metode Bayes yang ditemukan oleh Thomas Bayes dan kemudian dikembangkan
oleh Richard Price (1763) dua tahun setelah wafatnya Bayes, kemudian Laplace pada
tahun 1774 dan 1781 yang memberikan analisis secara rinci, merupakan metode yang
lebih baik untuk statistik Bayes sekarang (Gill, 2002).
Model statistik Bayes merupakan perpaduan antara sebaran prior dan posterior,
yaitu jika dimisalkan dengan sebaran percontohan �⃒ �~ ⃒ �) dan sebaran prior
�~� � diketahui maka sebaran posterior dari θ adalah:
� �⃒ ) =� ,� =� ⎹ � � �
dengan
= ∫ ⃒ � � � � (2.4)
Suatu sebaran prior dinamakan konjugate bila menghasilkan sebaran posterior
yang sama dengan dirinya. Sebaran yang masih dalam keluarga eksponensial
mempunyai prior konjugate. Seperti sebaran Poisson memiliki prior konjugate
Metode Bayes empirik merupakan suatu metode yang menggunakan data
pengamatan untuk menduga parameter prior. Pertama kali model ini diperkenalkan
oleh Fay-Herriot (1970), untuk menduga rata-rata pendapatan area kecil di Amerika
Serikat. Metode ini sesuai untuk menangani data-data biner dan cacahan pada
pendugaan area kecil. Pendekatan Bayes Empirik dalam pendugaan area kecil
mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
a) Memperoleh fungsi kepekatan posterior dari parameter area kecil yang teramati.
b) Pendugaan parameter model dari fungsi kepekatan marginal.
c) Menggunakan pendugaan fungsi kepekatan posterior untuk membuat inferensi
parameter area kecil.
2.3 Model Beta Binomial
Model ini merupakan suatu model yang berawal dari model Bernoulli dengan model
peluang untuk data biner yang dinyatakan dengan
~� Binomial ( , ) = 0,…, , 0< < , = , … , (2.5)
dengan model dasar
⃒ ~� � ⎹
~� � , (2.6)
dan
dengan � , menyatakan sebaran beta dengan parameter dan serta fungsi
kepekatan untuk adalah:
ƒ( ⃒ , ) = � +
� ∝ � − (1- − ; > , > (Robert V. Hogg) (2.8)
dan, � = fungsi gama
untuk menyederhanakan = , … , � � menjadi total contoh = ∑ ,
merupakan statistik cukup minimal untuk model tahap pertama. Diketahui bahwa
~� � ,
yang mempunyai fungsi kepekatan sebagai berikut:
⃒ = � − �− � (2.9)
Berdasarkan fungsi kepekatan dan fungsi kepekatan maka:
⃒ , , ~ � + , − + (2.10)
Oleh karena itu, penduga Bayes bagi adalah:
̂� , = � ⎹ , , = +
+ + .
dan ragam posterior bagi adalah:
� ⃒ , , = �+ �− �+
Sebaran penghubung , , dinamakan prior konjugate pada sebaran posterior,
⎹ , , mempunyai bentuk yang sama dengan sebaran priornya. Dari sebaran penghubung tersebut, maka digunakan model Beta-Binomial dengan sebaran peluang
marginal:
⃒ , , = � + � � + �− �
� , , �
� +
� �
= � + �, + �− �
� , (2.13)
Untuk menduga parameter dan digunakan dengan metode momen Kleinman:
̂
̂+̂ = ̂ (2.14)
dan
̂+̂+ =
���2−�̂ −�̂ −
�̂ −�̂ [ �−∑� �2/ � − − ] (2.15)
Dengan rataan berbobot ̂ = ∑ �
� ̂ , ragam terboboti.
� = ∑ �
� ̂ − ̂ � = ∑ . (2.16)
Ekspresi untuk dugaan parameter ̂ dan ̂ dinyatakan dengan rumus berikut dan
diperoleh:
̂ = ̂ [ − ̂[ �− ∑ / � − − ]
dan
̂ = ̂ [�̂ −�̂ [ �−∑�( �2/ �)− − ]
���2−�̂ −�̂ − − ] [�̂− ] (2.18)
di mana ̂ dan ̂ dugaan parameter sebaran Beta-Binomial
Pensubstitusian parameter ̂ dan ̂ dari metode Kleinman ke penduga EB bagi ̂��
diperoleh:
̂�� = ̂�( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂ (2.19)
dengan ̂ = �
�+̂+̂ ̂
�� merupakan rataan berbobot dari penduga langsung ̂
dan penduga sintetik ̂ ( Rao, 2003).
2.4 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi
Langkah awal pada pendugaan Bayes empirik dari model Beta-Binomial oleh
Kleinman (Rao, 2003) adalah dengan membuat dugaan parameter prior dengan
menyamakan rataan contoh terboboti.
̂ = ∑ �
� ̂ (2.20)
Keterangan:
̂ = dugaan parameter prior
= banyaknya individu pada subpopulasi ke-i
� = jumlah seluruh individu
dan ragam contoh terboboti.
� = ∑ �
� ̂ − ̂ (2.21)
dengan nilai harapan masing-masing dan kemudian diselesaikan persamaan momen
untuk dan , dengan � = ∑ . Penduga momen ̂ dan ̂, diberikan sebagai
berikut:
̂
̂+̂ = ̂ (2.22)
dan
̂+̂+ =
���2−�̂ −�̂ −
�̂ −�̂ [ �−∑� �2/
�− − ] (2.23)
Lalu substitusikan penduga momen ̂ dan ̂ ke dalam rumus:
̂� , = � ⃒ , , = �+
�+ + (2.24)
untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi yaitu:
̂�� = ̂�( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂ (2.25)
dengan ̂ = �
�+̂+̂ , ̂ = �
� sebagai penduga langsung dari , dan masing
-masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, ̂ adalah
2.5 Prosedur Pendugaan Proporsi Dengan Metode Bayes Empirik
Prosedur yang digunakan dalam menduga proporsi ada dua cara yaitu berdasarkan
penduga langsung dan penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial yang
diuraikan sebagai berikut:
2.5.1 Penduga Langsung
5. Menentukan penduga proporsi
̂ = �
� (2.26)
Dengan menyatakan banyaknya pengamatan suatu kasus pada subpopulasi ke-i,
menyatakan banyaknya individu pada subpopulasi ke-i. Subpopulasi ini dapat
berupa kecamatan.
6. Menentukan dugaan kuadrat tengah galat (ktg) yaitu
ktg(�̂)= ̂ − ̂ (2.27)
7. Menentukan galat baku
8. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.
2.5.2 Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial
6. Menentukan nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior
~
���� , (2.28)
8. Menentukan kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife yaitu:
a) Anggap bahwa ̂��= ( ̂ , ̂, ̂), ̂��,− = ( ̂ , ̂− , ̂− , lalu
�̂ = − ∑ = ̂��,− – ̂�� =
.
b) Dengan mencari ̂− dan ̂− yang merupakan penduga momen yang diperoleh
dari data ke -1 yang dihapus maka dihitung
�̂ = ̂, ̂, )− − ∑ [ ( ̂= − , ̂− , ) − ̂, ̂, ] (2.30)
c) Penduga Jacknife bagi kuadrat tengah galat penduga Bayes empirik diberikan
oleh
� �̂�� = �̂ + �̂ (2.31)
9. Menentukan galat baku.
10.Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.
Perbandingan kebaikan dari kedua penduga proporsi (penduga langsung dan
