MATRIKS
MATRIKS
LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR
Oleh Oleh AMALIA ANGGREINI AMALIA ANGGREINI NIM 161810301057 NIM 161810301057
LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR
JURUSAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER UNIVERSITAS JEMBER
2016 2016
BAB 1.
BAB 1. PENDAHULUANPENDAHULUAN
1.1
1.1 Latar BelakangLatar Belakang
Persoalan yang berkaitan dengan masalah matematika sering kita temui Persoalan yang berkaitan dengan masalah matematika sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari. Persoalan tersebut akan lebih mudah diselesaikan dalam kehidupan sehari-hari. Persoalan tersebut akan lebih mudah diselesaikan apabila kita mengubahnya ke dalam bahasa atau persamaan matematika. Matriks, apabila kita mengubahnya ke dalam bahasa atau persamaan matematika. Matriks, pada
pada dasarnya dasarnya merupakan merupakan suatu suatu alat alat atau atau instrumen instrumen yang yang cukup cukup ampuh ampuh untukuntuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Matriks yang sering dijumpai adalah matriks yang entri-entrinya suatu persoalan. Matriks yang sering dijumpai adalah matriks yang entri-entrinya bilangan-bilangan
bilangan-bilangan real real atau atau kompleks. kompleks. Seperti Seperti diketahui diketahui bahwa bahwa himpunanhimpunan bilangan real
bilangan real merupakan field merupakan field terhadap operasi terhadap operasi penjumlahan dan penjumlahan dan perkalian. Salaperkalian. Salahh satu contoh matriks yang entri-entrinya merupakan field adalah matriks yang satu contoh matriks yang entri-entrinya merupakan field adalah matriks yang dapat didiagonalisasi. Matriks yang dapat didiagonalisasi banyak diterapkan dapat didiagonalisasi. Matriks yang dapat didiagonalisasi banyak diterapkan dalam berbagai ilmu khususnya dalam matematika sendiri.
dalam berbagai ilmu khususnya dalam matematika sendiri.
Seringkali di dalam menuliskan atau mengoperasikan matriks terdapat Seringkali di dalam menuliskan atau mengoperasikan matriks terdapat kekeliruan karena kurangnya ketelitian dalam mengerjakannya. Terutama matriks kekeliruan karena kurangnya ketelitian dalam mengerjakannya. Terutama matriks yang berordo 3 atau mungkin lebih. Berbagai aplikasi dan pemrograman telah ada yang berordo 3 atau mungkin lebih. Berbagai aplikasi dan pemrograman telah ada dan dirancang untuk menyelesaikan kesulitan dalam matematika khususnya untuk dan dirancang untuk menyelesaikan kesulitan dalam matematika khususnya untuk pengoperasian matriks. Salah
pengoperasian matriks. Salah satu aplikasi satu aplikasi yang cukup sering kita gunakan adalahyang cukup sering kita gunakan adalah matlab. Dengan menggunakan matlab, kita dapat mengetahui benar atau salahnya matlab. Dengan menggunakan matlab, kita dapat mengetahui benar atau salahnya jawaban
jawaban dengan dengan mudah mudah asalkan asalkan kita kita mengetahui mengetahui dan dan menggunakan menggunakan syntaq syntaq yangyang diperlukan untuk mengoperasikan matriks pada matlab.
diperlukan untuk mengoperasikan matriks pada matlab.
1.2
1.2 Rumusan MasalahRumusan Masalah
Adapun rumusan masalah pada praktikum matriks adalah sebagai berikut : Adapun rumusan masalah pada praktikum matriks adalah sebagai berikut : a.
a. Apa Apa yang yang dimaksud dimaksud dengan dengan matriks?matriks? b.
b. Bagaimana cara membuat matriks pada matlab?Bagaimana cara membuat matriks pada matlab? c.
1.3 Tujuan
Adapun tujuan dalam praktikum matriks adalah sebagai berikut : a. Mengetahui pengertian matriks
b. Mengetahui cara membuat syntax matriks pada matlab c. Mengetahui cara mengoperasikan matriks pada matlab
1.4 Manfaat
Adapun manfaat pada praktikum matriks adalah sebagai berikut : a. Mahasiswa dapat memahami pengertian matriks
b. Mahasiswa dapat membuat syntax matriks dengan tepat
c. Mahasiswa dapat melakukan pengoperasian matriks yang berkaitan dengan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuat diantara sepasang tanda kurung. Matriks juga dapat didefinisikan sebagai kumpulan beberapa vector kolom atau vector baris. Matriks dapat dinyatakan seba gai : Am x n = |aij| . Dimana : aij = elemen atau unsur matriks .
I = 1,2,3,… m, indeks baris J = 1,2,3,.. n, indeks kolom
Matriks dapat dinyatakan dalam huruf besar A,B,P, atau huruf yang lain(Wikaria,2005).
Tanda kurung yang biasa digunakan dalam matriks yakni kurung biasa
,kurung siku
, atau kurung bergaris dua . Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya. Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B. Misalnya : A =
2 3 0 3 1 2 dan B =
6 4 5 1 2 3Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 23. Sehingga didapatkan definisi :
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika : a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
2.2 Macam-Macam Matriks
Di dalam matematika kita juga mengenal berbagai macam jenis matriks diantaranya sebagai berikut :
1. Matriks Baris
Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris Contoh : A =
1 5 3
2
2. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom
Contoh : A =
3 1 23. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom
Contoh : A =
2 3 7 0 4 2 5 3 1, jumlah baris = jumlah kolom
4. Matriks Nol
Matriks Nol adalah Suatu matriks mn yang setiap unsurnya 0 berordo n
m ,ditulis dengan huruf O. Contoh : O23 =
0 0 0 0 0 05. Matriks Segi Tiga
Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .
Contoh : C =
5 3 1 4 0 8 5 9 0 0 7 3 0 0 0 2 , D =
9 0 0 0 7 3 0 0 4 5 6 0 3 1 2 8Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.
6. Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.
Contoh : E =
8 0 0 0 0 2 0 0 0 0 7 0 0 0 0 5 7. Matriks SkalarMatriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.
Contoh : F =
7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 78. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.
Contoh : I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1 , I4 =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1I3adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
9. Matriks Simetris
Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij a ji.
Contoh : G =
2 10 9 5 8 7 6 2 9 6 4 3 5 2 3 1Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.
10. Matriks Mendatar
Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom . Contoh : H 23
6 4 5 1 2 3 11. Matriks TegakMatriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contoh : K 32 =
7 9 1 2 6 512. Matriks Transpos ( notasi At )
Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A,
elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A.
Misal Matriks A =
3 2 3 0 2 4 1 9 8 5 2 1Maka Transpos A adalah At =
3 2 8 2 4 5 3 1 2 0 9 1Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3. Sifat-sifat dari matriks transpos antara lain :
1) ( A + B )t = At+ Bt 2) ( At )t = A
3) ( AB )t = Bt At (Josep,2005).
2.3 Operasi Matriks
Beberapa jenis pengoperasian pada matriks yang dikenal dalam matematika yaitu :
1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks.
Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh : Jika A =
6 4 5 1 2 3 dan B =
0 1 2 3 5 7 Maka A + B =
0 6 1 4 2 5 3 1 5 2 7 3 =
6 5 3 2 7 10 A – B =
0 6 1 4 2 5 3 1 5 2 7 3 =
6 3 7 4 3 4Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks antara lain : 1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)
2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)
3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah) 2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Jika A suatu ordo m n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka k A adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap unsur matriks A dengan k . Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar . Sehingga, apabila A
22 21 12 11 a a a a maka: k A
22 21 12 11 ka ka ka ka Misalnya A =
2 3 1 0 1 2 maka 3A = 3
2 3 1 0 1 2 =
6 9 3 0 3 6Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real jika dan b bilangan real, yaitu :
1) ( a + b )A = aA + bA 2) a ( A + B ) = aA + aB 3) a( bA ) = (ab)A
3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks)
Matriks A yang berordo m p dangan suatu matriks B yang berordo pn adalah matriks yang berordo mn.
A m p.B pn = C mn.
Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini
tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan. Secara umum jika A =
23 22 21 13 12 11 a a a a a a ordo matriks 2 3 B =
32 31 22 21 12 11 b b b b b b ordo matriks 3 2 C = A . B =
22 21 12 11 c c c c ordo matriks 2 2 Dimana c11 a11.b11a12.b21a13.b31 32 13 22 12 12 11 12 a .b a .b a .b c
31 23 21 22 11 21 21 a .b a .b a .b c 32 23 22 22 12 21 22 a .b a .b a .b c (Ruminta,2009).4. Menentukan Determinan dan Invers a. Determinan Matriks Persegi Berordo 2
Matriks A =
d c b aHasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal samping disebut determinan matriks A. Notasi determinan matriks A adalah A atau det A = ad – bc. Contoh : Jika A =
3 4 2 1 Maka det A = 4 3 2 1
= ( 1)(4) – (2)(-3) = 4 +6 = 10b. Determinan Matriks Persegi Berordo 3
Matriks A =
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a aCara menentukan det A sebagai berikut : Cara 1 : det A = 32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a = a11
a22.a33
a23.a32
a12
a21.a33
a23a31
a13
a21a32
a22a31
Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus
det A = 32 31 33 32 31 22 21 23 22 21 12 11 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a - - - + + + = a11.a22.a33a12.a23.a31a13.a21.a32a13.a22.a31a11.a23.a32 a12.a21.a33
c. Invers Matriks Bujur Sangkar
Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas. Misal A =
2 1 5 3 dan B =
3 1 5 2 Maka BA =
3 1 5 2
2 1 5 3 =
1 0 0 1 = IDengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1 maka A-1A = I. Jika A =
d c b amaka invers A (ditulis A-1)
Dapat dirumuskan
a c b d bc ad A 1 1Harga (ad – bc) disebut determinan dari matriks A atau det A. Matriks
d c b amempunyai invers jika dan hanya jika (ad – bc) 0.
Jika (ad – bc) = 0 maka matriks
d c b atidak mempunyai invers. Matriks yang determinannya = 0, dinamakan matriks
Singular
(Wikaria,2005).5. Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks
Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti : r qy px c by ax
Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan : D = q p b a = a
.
q b.
p
Dx = q r b c = c
.
q b.
r
Dy = r p c a =a.
r
c.
pKemudian x dan y dapat ditentukan dengan
D Dx x dan D Dy y (Ruminta,2009).
BAB 3. METODOLOGI 3.1 Alat dan Bahan
a. Alat 1. Laptop ASUS X453M b. Bahan 1. Software Matlab 3.2 Cara Kerja 1. Hidupkan laptop.
2. Pastikan bahwa dalam laptop tersebut sudah terinstal aplikasi matlab. 3. Jika sudah terinstal, buka software matlab.
4. Tuliskan syntax matriks yang akan kita operasikan pada command window.
5. Screenshoot atau simpanlah hasil perhitungan yang kita kerjakan pada matlab saat praktikum.
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Matriks merupakan kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris- baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta t ermuat diantara sepasang tanda kurung. Matriks juga dapat didefinisikan sebagai kumpulan beberapa vector kolom atau vector baris. Matriks didefinisikan dengan kurung siku ([ ]) dan biasanya dituliskan baris perbaris. Tanda koma (,) digunakan untuk memisahkan baris. Kita juga dapat menggunakan spasi untuk memisahkan kolom dan menekan
enter ke baris baru untuk memisahkan baris.
Matlab dapat kita gunakan untuk membuat skalar, vektor maupun matriks. Dalam membuat skalar kita dapat mendefinisikannya dengan atau tanpa kurung siku. Berbeda dengan skalar, dalam menuliskan vektor kita harus menggunakan kurung biasa.
Tanda koma (,) dalam penulisan vektor digunakan untuk memisahkan baris, sedangkan tandatitik koma (;) digunakan untuk memisahkan kolom.
Penulisan matriks dalam matlab dapat kita definisikan dengan cara mendefinisikan matriks secara langsung, misalnya matriks 3x3 atau mendefinisikannya elemen per elemen.
Mendefinisikan matriks secara langsung hampir sama dengan vektor yakni menggunakan tanda titik koma untuk memisahkan kolom. Dalam pendefinisian matriks kita juga harus menggunakan kurung siku.
Sedangkan apabila kita mendefinisikan matrix elemen per elemen kita dapat menuliskan syntax mat(1,1)=100, yang berarti elemen pada baris ke 1 kolom ke 1 adalah 100.
Di dalam pengoperasian matriks menggunakan matlab, kita juga dapat menggabungkan variabel yang ada untuk membentuk matriks baru. Penulisan syntaxnya yakni denagn manggunakan kurung siku.
baris
Jumlah baris dan kolom pada matriks gabungan harus valid agar dapat membentuk matriks persegi panjang.
Apabila kita ingin mengetahui ukuran atau dimensi dari matriks yang ada, kita dapat menggunakan command size dan length. Command size digunakan untuk mengetahui ukuran matriks, sedangkan length digunakan untuk mengetahui ukuran suatu vektor.
Gambar tersebut menunjukkan bahwa panjang vektor 2 adalah 3 elemen, dan ukuran matriks 1 adalah 3 baris-3 kolom(3x3). Kita juga dapat menyimpan keluaran command dalam variabel baru.
Istilah lain yang perlu kita ketahui didalam pengoperasian matriks pada matlab adalah ‘manipulasi matriks’. Dalam vektor maupun matriks, indeks digunakan untuk menunjuk satu atau beberapa elemen dari vektor atau matriks. Indeks dituliskan di dalam tanda kurung ( ) dengan pola umum sebagai berikut: Untuk vektor : nama_vektor(indeks)
Dalam suatu vektor, elemen pertama diberi indeks 1, sementara dalam matriks, indeks menunjukkan nomor baris dan kolom dari elemen yang ingin ditunjuk.
Kita juga dapat mengambil beberapa baris dan kolom sekaligus dari suatu matriks dengan operator titik dua ( : ). Dalam hal ini, tanda titik dua berarti ‘sampai dengan ‘.
Mengambil elemen baris ke-1 sampai ke-2, dan kolom ke-2 sampai ke-3 dari matriks dapat dilakukan dengan menuliskan syntax matrix(1:2,2:3).
Untuk mengambil seluruh elemen dari suatu vektor atau matriks kita dapat menggunakan tanda titik dua ( : ).
Apabila kita ingin mengambil seluruh elemen dalam suatu matriks namun hanya dalam baris tertentu saja dapat menggunakan syntax matriks (1,:) atau (: ,2) apabila kita ingin mengambil seluruh elemen matriks dalam kolom tertentu, misalnya kolom ke-2.
Mengubah nilai elemen suatu matriks yang telah ada dapat kita lakukan dengan menggunakan indeks seperti vektor_ini(1)=1000.
Perintah ones pada gambar tersebut maksudnya, kita ingin mengubah elemen matriks dengan nilai seratus hanya pada baris ke-1 kolom ke-3.
Di dalam matriks terdapat beberapa operasi penjumlahan yang sudah sangat kita kenal, diantaranya yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Hampir sama dengan semua operasi pada matlab, untuk penjumlahan menggunakan tanda ‘+’, pengurangan’-‘, dan perkalian ‘*’.
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuat diantara sepasang tanda kurung. Matriks juga dapat didefinisikan sebagai kumpulan beberapa vector kolom atau vector baris. Matriks dapat dinyatakan sebagai : Am x n = |aij| . Dimana : aij = elemen atau unsur matriks. Beberapa bentuk pengoperasian matriks yang terdapat dalam matlab antara lain pendefinisian skalar, vektor dan matriks, menentukan ukuran dari vektor dan matriks, manipulasi suatu matriks, dan operasi dari matriks itu sendiri yakni berupa penjumlahan, pengurangan dan perkalian. 5.2 Saran
Praktikan hendaknya selalu mengasah kemampuan matlab mereka diluar jam praktikum, agar dapat lebih memahami dan menguasai tentang matlab terutama yang berkaitan dengan matriks. Apabila terjadi error selama praktikum berlangsung,jangan ragu untuk bertanya kepada asisten apa yang menyebabkan pengoperasian matlab milik kita menjadai error. Selain itu, apabila kita menemukan hal yng tidak kita mengerti atau pahami selam melakukan praktikum jangan ragu untuk bertanya kepada asisten.
DAFTAR PUSTAKA
Gazali,Wikaria.2005. Matriks dan Transportasi Linear Edisi Ke-1. Yogyakarta:Penerbit Graha Ilmu
Kalangu,Josep Bintang.2005. Matematika Ekonomi untuk Bisnis Edisi Ke-1. Jakarta:Penerbit Salemba Empat
Ruminta.2009. Matriks Persamaan Linear dan Pemrograman Linear Edisi Ke-1. Bandung:Penerbit Rekayasa Sains
