LogIF Logika Predikat Berkuantor dengan Inferensi

(1)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (1)

Latihan

Diberikan pernyataan-pernyataan: “setiap mahasiswa di kelas Logika Matematika ini juga mengambil kuliah SLD”, “Andre mahasiswa Logika Matematika di kelas ini”, “Benny tidak mengambil kuliah SLD”.

Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa

“Andre mengambil kuliah SLD dan Benny tidak mengambil kuliah Logika Matematika di kelas ini”.

(2)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (1)

Latihan

Solusi:

1 De…nisikan domainD:=fxjxmahasiswag, predikat_LM(x) :=“x mahasiswa di kelas Logika Matematika ini”, dan predikatSLD(x) :=“x

(3)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (1)

Latihan

Solusi:

mengambil kuliah SLD”.

(4)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (1)

Latihan

Solusi:

2 Melalui translasi ke formula logika predikat, kita memiliki premis-premis berikut

(5)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (1)

Latihan

Solusi:

8x(LM(x)!SLD(x))

(6)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (1)

Latihan

Solusi:

8x(LM(x)!SLD(x))

LM(Andre)

(7)

Aturan Inferensi untuk Formula Berkuantor

3 Akan diperiksa apakah dengan premis-premis yang telah dijelaskan dapat disimpulkkanSLD(Andre)^ :LM(Benny).

Langkah-langkah inferensi:

1 8_x(LM(_x)!_SLD(_x)) (premis)

2 _LM(Andre) _(premis)

3 :_SLD(Benny) (premis)

(8)

4 _LM(Andre)!_SLD(Andre) (instansiasi universal dari 1)

(9)

5 _SLD(Andre) (modus ponens dari 4 dan 2)

(10)

6 _LM(Benny)!_SLD(Benny) (instansiasi universal dari 1)

(11)

7 :_LM(Benny) (modus tollens dari 6 dan 3)

(12)

7 :_LM(Benny) (modus tollens dari 6 dan 3)

8 _SLD(Andre)^ :LM(Benny) (konjungsi dari 5 dan 7)

(13)

Modus Ponens Universal dan Modus Tollens Universal

MisalkanP danQadalah dua predikat uner yang kebenarannya dievaluasi pada domainD dana2D.

Modus Ponens Universal

8x (P(x)!Q(x))

P(a), untuk suatu elemen tertentua2D

)

(14)

Modus Ponens Universal dan Modus Tollens Universal

Modus Ponens Universal

8x (P(x)!Q(x))

)Q(a)

Modus Tollens Universal

8x (P(x)!Q(x))

:Q(a), untuk suatu elemen tertentua2D

)

(15)

Modus Ponens Universal dan Modus Tollens Universal

Modus Ponens Universal

8x (P(x)!Q(x))

)Q(a)

Modus Tollens Universal

8x (P(x)!Q(x))

:Q(a), untuk suatu elemen tertentua2D

)_:P(a)

(16)

Modus ponens universal merupakan aturan turunan yang dapat diturunkan dari modus ponens dan instansiasi universal. Hal yang serupa juga berlaku untuk modus tollens universal.

Misalkan kita memiliki premis8x(P(x)!Q(x))danP(a)untuk suatua2D.

Modus Ponens Universal

1 8_x(_P(_x)!_Q(_x)) _(premis)

2 _P(_a) (premis)

(17)

Misalkan kita memiliki premis8x(P(x)!Q(x))danP(a)untuk suatua2D.

Modus Ponens Universal

1 8_x(_P(_x)!_Q(_x)) _(premis)

2 _P(_a) (premis)

3 _P(_a)!_Q(_a) (instansiasi universal dari 1)

(18)

(19)

(20)

(21)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (2)

Latihan

Dengan mengasumsikan bahwa pernyataan berikut benar:

“Untuk semua bilangan bulat positifn, jikan >4, makan2<2n

”,

tunjukkan bahwa1002

<2100 .

(22)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (2)

Latihan

”,

tunjukkan bahwa1002

<2100 .

Solusi:

1 Misalkan semesta pembicaraan adalah himpunan seluruh bilangan bulat positif,P(n) :=“n >4”,danQ(n) :=“n2

(23)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (2)

Latihan

”,

tunjukkan bahwa1002

<2100 .

Solusi:

<2n_”_.

(24)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (2)

Latihan

”,

tunjukkan bahwa1002

<2100 .

Solusi:

<2n_”_.

(25)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (2)

Latihan

<2n_”_.

2 Pernyataan yang menjadi asumsi dapat ditulis sebagai8n (P(n)!Q(n)).

(26)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (2)

Latihan

<2n_”_.

3 Perhatikan bahwa_P(100)benar_karena₁₀₀>4.

4 Dengan aturan inferensi modus ponens universal, kita dapat menyimpulkan

(27)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (2)

Latihan

<2n_”_.

3 Perhatikan bahwa_P(100)benar_karena₁₀₀>4.

4 Dengan aturan inferensi modus ponens universal, kita dapat menyimpulkan

Q(100)atau 1002 <2100

(28)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (3)

Latihan

Diberikan pernyataan-pernyataan: “beberapa mahasiswa di kelas Logika Matematika ini tidak pernah membaca buku teks”, “setiap mahasiswa di kelas Logika Matematika ini lulus kuliah Logika Matematika”.

Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa“ada mahasiswa yang lulus kuliah Logika Matematika tanpa pernah membaca buku teks”.

(29)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (3)

Latihan

Solusi:

1 Misalkan semesta pembicaraan adalah_D:=f_xj_xmahasiswag dan

(30)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (3)

Latihan

Solusi:

predikat-predikat yang digunakan adalahLM(x) :=“xmahasiswa di kelas MD 1 ini”,Buku(x) := \xpernah membaca buku teks”,Lulus(x) :=“xlulus kuliah Logika Matematika”.

(31)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (3)

Latihan

Solusi:

2 Akibatnya dari pernyataan-pernyataan yang ada pada soal diperoleh premis-premis berikut

(32)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (3)

Latihan

Solusi:

2 Akibatnya dari pernyataan-pernyataan yang ada pada soal diperoleh premis-premis berikut

9x(LM(x)^ :Buku(x))

(33)

3 Akan diperiksa apakah dari premis-premis yang telah dijelaskan dapat disimpulkan bahwa9x(Lulus(x)^ :Buku(x)).

1 9x(LM(x)^ :_Buku(x)) (premis)

2 8_x(LM(_x)!_Lulus(_x)) (premis)

(34)

3 _LM(c)^ :_Buku(c) (untuk suatuc2D, diperoleh dari instansiasi eksistensial pada 1)

(35)

4 _LM(c) (simpli…kasi dari 3)

(36)

5 _LM(c)!_Lulus(c) (untukcyang sama dengan yang terdapat pada 3 dan 4,

diperoleh dari instansiasi universal pada 2)

(37)

6 _Lulus(c) (modus ponens dari 5 dan 4)

(38)

7 :_Buku(c) (simpli…kasi dari 3)

(39)

8 _Lulus(c)^ :_Buku(c) (konjungsi dari 6 dan 7)

(40)

8 _Lulus(c)^ :_Buku(c) (konjungsi dari 6 dan 7)

9 9_x(Lulus(_x)^_Buku(_x)) (generalisasi eksistensial dari 8)

(41)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

Periksa apakah dari premis-premis8x(P(x)!(Q(x)^S(x))) dan 8x(P(x)^R(x)), dapat disimpulkan8x(R(x)^S(x)).

Solusi:

(42)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

Solusi:

1 8_x(_P(_x)!(_Q(_x)^_S(_x))) (premis)

2 8_x(_P(_x)^_R(_x)) (premis)

(43)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

Solusi:

1 8_x(_P(_x)!(_Q(_x)^_S(_x))) (premis)

2 8_x(_P(_x)^_R(_x)) (premis)

3 _P(_c)!(_Q(_c)^_S(_c)) (instansiasi universal dari 1 dengan_c adalah sembarang elemen pada domain yang ditinjau)

(44)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

Solusi:

1 8_x(_P(_x)!(_Q(_x)^_S(_x))) (premis)

2 8_x(_P(_x)^_R(_x)) (premis)

3 _P(_c)!(_Q(_c)^_S(_c)) (instansiasi universal dari 1 dengan_c adalah sembarang elemen pada domain yang ditinjau)

4 _P(_c)^_R(_c) (instansiasi universal dari 2 dengan_c adalah sembarang elemen pada domain yang ditinjau)

(45)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

sembarang elemen pada domain yang ditinjau)

5 _P(_c) (simpli…kasi dari 4)

(46)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

6 Q(c)^S(c) (modus ponens dari 3 dan 5)

(47)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

7 S(c) (simpli…kasi dari 6)

(48)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

7 S(c) (simpli…kasi dari 6)

8 R(c) (simpli…kasi dari 4)

(49)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

(50)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (4)

Latihan

4 _P(_c)^_R(_c) (instansiasi universal dari 2 dengan_c adalah sembarang elemen pada domain yang ditinjau) elemen pada domain yang ditinjau)

(51)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (5)

Latihan

Diberikan pernyataan-pernyataan: “semua asisten kuliah Logika Matematika adalah mahasiswa teknik informatika tingkat tiga atau tingkat akhir”, “semua mahasiswa teknik informatika tingkat akhir sudah lulus kuliah RPL dan DAA”, “Raymond adalah asisten kuliah Logika Matematika yang sudah lulus kuliah RPL namun belum lulus kuliah DAA”.

Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa

“ada asisten kuliah Logika Matematika yang merupakan mahasiswa tingkat tiga”.

Solusi:

(52)

Latihan Inferensi Formula Berkuantor (5)

Latihan

Diberikan pernyataan-pernyataan: “semua asisten kuliah Logika Matematika adalah mahasiswa teknik informatika tingkat tiga atau tingkat akhir”, “semua mahasiswa teknik informatika tingkat akhir sudah lulus kuliah RPL dan DAA”, “Raymond adalah asisten kuliah Logika Matematika yang sudah lulus kuliah RPL namun belum lulus kuliah DAA”.

Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa

“ada asisten kuliah Logika Matematika yang merupakan mahasiswa tingkat tiga”.

Solusi:

1 Misalkan semesta pembicaraan adalah

D:=fxjxmahasiswa teknik informatikag dan predikat-predikat yang digunakan adalahAsisten(x) :=“xadalah asisten kuliah Logika

Matematika”,Tiga(x) :=“xadalah mahasiswa tingkat tiga”,Akhir(x) :=

“xadalah mahasiswa tingkat akhir,RPL(x) :=“xsudah lulus kuliah RPL”, danDAA(x) :=“xsudah lulus kuliah DAA”.

(53)

3 Dari pernyataan-pernyataan pada soal diperoleh premis

(54)

8x(Asisten(x)!Tiga(x)_Akhir(x))

(55)

8x(Akhir(x)!RPL(x)^DAA(x))

(56)

Asisten(Raymond)^RPL(Raymond)^ :DAA(Raymond)

4 Akan diperiksa apakah dari premis-premis yang telah dijelaskan dapat disimpulkan bahwa

(57)

Asisten(Raymond)^RPL(Raymond)^ :DAA(Raymond)

4 Akan diperiksa apakah dari premis-premis yang telah dijelaskan dapat disimpulkan bahwa9x(Asisten(x)^Tiga(x)).

(58)

1 8x(Asisten(x)!_Tiga(x)__Akhir(x)) (premis)

2 8x(Akhir(x)!_RPL(x)^_DAA(x)) (premis)

3 _Asisten(Raymond)^_RPL(Raymond)^ :_DAA(Raymond) (premis)

(59)

4 _Asisten(Raymond)!_Tiga(Raymond)__Akhir(Raymond) (instansiasi

universal dari 1)

(60)

universal dari 1)

5 _Akhir(Raymond)!_RPL(Raymond)^_DAA(Raymond) (instansiasi

universal dari 2)

(61)

universal dari 1)

universal dari 2)

6 _Asisten(Raymond) (simpli…kasi dari 3)

(62)

universal dari 1)

universal dari 2)

7 _Tiga(Raymond)__Akhir(Raymond) (modus ponens dari 4 dan 6)

(63)

universal dari 1)

universal dari 2)

8 _RPL(Raymond)^ :_DAA(Raymond) (simpli…kasi dari 3)

(64)

universal dari 1)

universal dari 2)

9 :_DAA(Raymond) (simpli…kasi dari 8)

(65)

universal dari 1)

universal dari 2)

10 :_RPL(Raymond)_ :_DAA(Raymond) (penambahan dari 9)

(66)

universal dari 1)

universal dari 2)

11 :(RPL(Raymond)^_DAA(Raymond)) (De Morgan dari 10)

(67)

universal dari 1)

universal dari 2)

12 :_Akhir(Raymond) (modus tollens dari 5 dan 11)

(68)

universal dari 1)

universal dari 2)

13 _Tiga(Raymond) (silogisme disjungtif dari 7 dan 12)

(69)

universal dari 1)

universal dari 2)

14 _Asisten(Raymond)^_Tiga(Raymond) (konjungsi dari 6 dan 13)

(70)

universal dari 1)

universal dari 2)

14 _Asisten(Raymond)^_Tiga(Raymond) (konjungsi dari 6 dan 13)

15 9_x(Asisten(_x)^_Tiga(_x)) (generalisasi eksistensial dari 14)