Materi 11 (Atom Hidrogen dalam Mekanika Kuantum)

Pertemuan ke-11

FISIKA MODERN

NURUN NAYIROH, M.Si

Werner heinsberg (1901 1976), Louis de Broglie (1892 1987), dan Erwin Schrödinger (1887 1961) merupakan para ilmuwan yang menyumbang berkembangnya model atom modern atau yang disebut sebagai

Prinsip ketidakpastian Heisenberg: “Tidak mungkin dapat ditentukan kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat bersamaan, yang dapat ditentukan adalah kebolehjadian menentukan elektron pada jarak tertentu dari inti atom”

∆x. ∆p>ђ/2

1. Gerakan elektron memiliki sifat gelombang, sehingga lintasannya (orbitnya) tidak stasioner seperti model Bohr, tetapi mengikuti penyelesaian kuadrat fungsi gelombang yang disebut orbital (bentuk tiga dimensi darikebolehjadian paling besar ditemukannya elektron dengan keadaan tertentu dalam suatu atom)

2. Bentuk dan ukuran orbital bergantung pada harga dari ketiga bilangan kuantumnya. (Elektron yang menempati orbital dinyatakan dalam bilangan kuantum tersebut)

3. Posisi elektron sejauh 0,529 Angstrom dari inti H menurut Bohr bukannya sesuatu yang pasti, tetapi bolehjadi merupakan peluang terbesar ditemukannya elektron

4

Fungsi Gelombang Schrodinger

Berdasarkan gagasan de Broglie dan prinsip ketidakpastian Heisenberg Erwin Schrodinger mengajukan pendapat bahwa apabila elektrom mempunyai sifat gelombang.

Maka tentu elektron mempunyai fungsi gelombang yang menyatakan keadaan elektron tersebut.

Karena elektron mempunyai fungsi gelombang, maka menurut Schrodinger electron pada atom tidak mengorbit inti, tetapi lebih bersifat sebagai gelombang yang bergerak pada jarak tertentu dan dengan energi tertentu di sekeliling inti.

5

Menurut Bohr, elektron beredar mengitari inti menurut suatu orbit berbentuk lingkaran dengan dengan jari jari tertentu. Hal ini tidak sesuai dengan fakta bahwa gerakan elektron menyerupai gelombang elektromagnet.

Gelombang tidak bergerak menurut suatu garis melainkan menyebar pada suatu daerah tertentu.

Persamaan gelombang Schrodinger untuk atom Hidrogen:

0

Tahun 1927 Erwin Schrodinger ahli matematika dari Rusia mengajukan teori atom yg disebut teori atom mekanika kuantum. Menurut teori ini, kedudukan elektron dalam atom tidak dapat ditentukan dengan pasti; yang dapat ditentukan adalah probabilitas menemukan elektron sebagai fungsi jarak dari inti atom.

Daerah dengan probabilitas terbesar menemukan elektron disebut orbital. Orbital digambarkan berupa awan yang tebal tipisnya menyatakan besar kecilnya kebolehjadian menemukan elektron didaerah tersebut.

Massa proton mpjauh lebih besar

daripada massaelektron m_e, m_p=1836 m_e.

Diasumsikan proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di bawah pengaruh medan atau gaya coloumb, sehingga kontribusi energi sistem hanya diberikan oleh elektron yaitu energi kinetik:

Dan energi potensialnya:

Sistem koordinat bola bagi atom hidrogen

Sehingga

Dengan demikian persamaan schrodinger untuk atom hidrogen

Mengingat sistem atom hidrogen memiliki simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana bila oprator ∇2_{diungkapkandalam}

koordinat bola (r,θ ,ϕ) ,persamaan di atas menjadi

Untuk mendapatkan solusi bagi persamaan di atas, dilakukan pemisahan variabel (r ) = r ψ (r,θ ,ϕ ) sebagai berikut:

Penjumlahan suku suku yang hanya bergantung pada jari jari dan dua sudut ini akan selalu sama dengan nol untuk

sembarang nilai r, θ danϕ jika masing masing suku sama dengan konstanta. Konstanta (c) berharga ±l(l + 1) . Suku yang hanya bergantung jari jari menjadi:

sedangkan suku yang hanya mengandung sudut θ danϕ menjadi

Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron yang mengitarinya

Persoalan persamaan Schrodinger dalam 3 dimensi memerlukan 3 bilangan kuantum untuk mencirikan semua pemecahannya. Oleh karena itu, semua fungsi gelombang atom hidrogen akan diperikan dengan tiga buah bilangan kuantum.

Pada teori atom mekanika kuantum, untuk menggambarkan posisi elektron digunakan bilangan bilangan kuantum. Daerah kemungkinan elektron berada disebut orbital. Orbital memiliki bentuk yang berbeda beda

Schrodinger menggunakan tiga bilangan kuantum yaitu

bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum azimut (l), dan bilangan kuantum magnetik (m).

Ketiga bilangan kuantum tersebut menjelaskan tingkat energi, bentuk, dan orientasi elektron di dalam orbital. Selain ketiga bilangan kuantum tersebut ada bilangan kuantum spin (s) yang menunjukkan perputaran elektron pada sumbunya.

Bilangan kuantum utama memiliki lambang n yang bernilai bulat 1, 2, 3, ……..

Harga n melambangkan tingkat energi elektron atau kulit elektron seperti halnya dalam model bohr.

energi ini hanya bergantung pada bilangan kuantumn, tidak padaldanm_l.

Harga n untuk berbagai kulit elektron yaitu sebagai berikut: Elektron pada kulit ke 1, memiliki harga n = 1.

Elektron pada kulit ke 2, memiliki harga n = 2. Elektron pada kulit ke 3, memiliki harga n = 3. Elektron pada kulit ke 4, memiliki harga n = 4

Bilangan kuantum azimut menyatakan tingkat energi elektron pada subkulit.

Subkulit elektron mempunyai lambang s, p, d, f. Huruf huruf tersebut berasal dari kata sharp (s), principal (p), diffuse (d), dan fundamental (f)

yang diambil dari nama nama seri spektrum unsur.

Harga luntuk berbagai subkulit yaitu sebagai berikut:

Elektron pada subkulit s memiliki harga l = 0

Elektron pada subkulit p memiliki harga l= 1

Elektron pada subkulit d memiliki harga l= 2

Elektron pada subkulit f memiliki harga l = 3

Nilai – nilai bilangan kuantuml dibatasi oleh nilain. bilangan kuantum

momentum sudut lbernilai bulat dari 0 hinggan–1

Jika n = 1 maka l= 0. Jika n = 2 maka l= 0, 1. Jika n = 3 maka l= 0, 1, 2. Jika n = 4, maka l= 0, 1, 2, 3.

Bilangan kuantum magnetik (m)

Bilangan kuantum magnetik memiliki lambang myang menunjukkan arah orbital elektron.

Bilangan kuantum magnetik menyatakan jumlah orbital pada subkulit elektron.

Jika tiap tingkatan energi diberi nama dengan ketiga bilangan kuantum (n, l, m) . Keadaan dasar memilikin= 1, karena itul= 0. disini hanya satu nilaim_lyang diperkenankan, ml= 0. Jadi, keadaan dasar memiliki bilangan kuantum (1, 0, 0,).

Keadaan eksitasi pertama memilikin= 2, sehingga nilailyang diperkenankan adalahl= 0 ataul= 1. Untukl= 0, hanyalah m_l= 0 yang diperkenankan. Untukl

= 1 , nilaim_ladalah –1, 0, atau + 1. dengan demikian, himpunan bilangan kuantum yang mungkin bagi tingkat ini adalah (2, 0, 0), (2, 1, 1), (2, 1, 0) dan (2, 1, -1). Semua keadaan ini memilikin= 2, dan karena itu semuanya memiliki energi yang sama, karena energi hanya bergantung padan. dengan demikian, semua keadaan initerdegenerasi, dan kita mengatakan bahwa tingkatn= 2 terdegenerasi rangkap-empat.

Pada umumnya, tingkat ke-nterdegenerasi rangkap-n2

Jika gabungan bilangan kuantum yang berbeda ini memiliki energi yang sama, lalu apa manfaatnya mendaftarkan mereka secara terpisah ?

pertama,semua subtingkat sama sekali tidak terdegenerasi, tetapi terdapat sedikit perbedaan energi yang memisahkan mereka (mungkin sekitar 105_eV).

Kedua,dalam mempelajari transisi antara berbagai tingkat energi, kita dapati bahwa intensitas tiap transisi bergantung pada subtingkat tertentu asal transisi itu.

Bilangan kuantum spin (s)

Elektron dalam orbital tidak hanya bergerak di

sekitar inti tetapi berputar pada sumbunya.

Bilangan kuatum spin dengan lambang s,

menyatakan arah perputaran elektron pada

sumbunya.

Momentum sudut

Dalam persamaan Schrödinger, momentum sudut terkait dengan bagian fungsi gelombang yang tidak tergantung r yang berarti tidak tergantung dari potensial V(r) .

Besar dan arah momentum sudut terkait dengan fungsi gelombang yang merupakan fungsi sudut ϕ, θ.

Dalam mekanika klasik, vektor momentum sudut elektron yang beredar mengelilingi inti atom dan tegak lurus bidang orbit elektron dapat kita tuliskan sebagai

Perhitungan lebih teliti berdasarkan pemecahan

persamaan Schrodinger memberikan hubungan antara

panjang vektor , yang kita tunjukkan dengan [ ],

dengan bilangan kuantum

l

, sebagai berikut :

2 hal penting:

1.

Panjang vektor [L] selalu lebih besar dari pada

lћ

,

karena

selalu lebih besar dari pada

l

.

2.

Nilai – nilai ini, yang dapat kita tafsirkan sebagai

”besar” momentum sudut elektron.

) 1 ( + = l l L

Vektor

dapat memiliki komponen sepanjang

sembarang sumbu dalam ruang. (Umumnya kita

memilih sumbu

z

, karena ia merupakan sumbu acuan

dalam sistem koordinat bola).

Nilai – nilai komponen

z

dari

l

_z

, yang kita tunjukkan

dengan

terbatasi menurut pernyataan.

L

_z

=

m

_l

ћ

Dimana

m

_l

adalah bilangan kuantum magnet, yang

bernilai 0, + 1, + 2, ……, +

l

.

Tiap orentasi yang berbeda dari vektor

berkaitan

dengan suatu nilai

m

_l

yang berbeda. Sudut polar θ yang

dibuat vektor

terhadap sumbu

z

adalah:

karena

l

_z

= [

L

] cos θ, maka

Alasan lain memilih dan menaruh perhatian khusus

pada sumbu

z,

adalah karena menurut fisika kuantum,

kita hanya dapat mengetahui secara pasti satu dari

ketiga komponen

(dan berdasarkan kesepakatan, kita

memilih komponen

z

); kedua komponen

lainnya

sama sekali tidak pasti. Ini dapat ditelusuri dari bentuk

tambahan asas ketidak pastian berikut,

T

l

_z

Tφ≥ћ

φ adalah sudut azimut

[L] >

l

haruslah benar, seandainya kita dapati [ ] =

l ћ

,

maka apabila

m

_l

bernilai maksimum

(m

_l

=+1),

akan

z

θ

m_l=+2

m_l=+1

m_l=0

m_l=-1

m_l=-2 lz=+2ћ

l_z= +ћ

lz= 0

lz= -ћ

l_z= -2ћ

Berbagai orientasi sebuah vektor momentum sudut dengan l = 2 dalam ruang dan komponen z -nya. Terdapat 5 kemungkinan orientasi yang berbeda.

Perilaku ini menyatakan suatu aspek menarik fisika kuantum yang disebut kuantisasi ruang, yang hanya memperkenankan orientasi tertentu momentum sudut.

Hitunglah panjang vektor momentum sudut

yang menyatakan gerak sebuah elektron

dalam suatu ke adaan dengan

l

=1 dan

keadaan lain dengan

l

=2.

Tentukan semua komponen

z

yang mungkin

dari vektor

l

, yang menyatakan momentum

sudut gerak orbit dari suatu keadaan dengan

Bilangan bilangan kuantum (n, l, m_l) yang menamai keadaan atom hidrogen, mempunyai dua tafsiran: 1) Bilangan

kuantum adalah label yang muncul dari prosedur

matematika yang terlibat dalam pemecahan persamaan Schrodinger, 2) mempunyai tafsiran geometris.

Pada tafsiran matematik pecahannya, bilangan kuantum merupakan label atau indeks bagi fungsi gelombang yang berbeda.

Komponen fungsi gelombangψ (r,θ,φ) dapat dituliskan sebagai hasil kali tiga buah fungsi satu variable :

(

, ,

)

( )

( )

( )

Tabel Beberapa Fungsi Gelombang atom Hidrogen

Probabilitas menemukan elektron:

Untuk menghitung probabilitas radial P(r) druntuk

menemukan elektron antarardanr + dr(dalam volume kulit bola):

Integralθdan φbernilai satu, karena fungsiR, θ, danφ

masing – masing normalisasikan . jadi,rapat probabilitas radial adalah :

(

θ φ

)

θ

( )

θ φ θ θ φ

Rapat probabilitasP (r) bagi tiga keadaan terendah hidrogen