Pembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri UN SMA

(1)

Pembahasan Soal Barisan dan Deret

Geometri UN SMA

1.

_{Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai}

jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

A. Rp. 20.000.000,00

B. Rp. 25.312.500,00

C. Rp. 33.750.000,00

D. Rp. 35.000.000,00

E. Rp. 45.000.000,00

PEMBAHASAN :

Kata kunci dalam soal ini adalah “Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya”, ini artinya rasionya 3/4 dan termasuk dalam deret geometri.

Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-3.

u3 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

JAWABAN : C

2.

_{Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan}

ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

A. 65m

B. 70m

C. 75m

D. 77m

E. 80m

PEMBAHASAN :

Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

(2)

Dalam deret takhingga ini, yang menjadi suku pertamaya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 10 x ¾ = 30/4 m (suku pertama)

=

= = 30

P.Lintasan = 10 + 2(30) = 70m

JAWABAN : B

3.

Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing–masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm.

A. 378

B. 390

C. 570

D. 762

E. 1.530

PEMBAHASAN :

u1 = a = 6

u7 = ar6 = 384

6.r6_{= 384}

r6_{= 64 => r = 2}

Sn =

S7 =

= = 762

JAWABAN : D

4.

_{Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul}

(3)

berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.

A. 100

B. 125

C. 200

D. 225

E. 250

PEMBAHASAN :

Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret takhingga)

Pantulan pertama = 25 x 4/5 = 20m (suku pertama)

=

= = 100

P.Lintasan = 25 + 2(100) = 225m

JAWABAN : D

5.

Jumlah deret geometri tak hingga + 1 + + ½ + … = …

A. 2/3 ( + 1)

B. 3/2 ( + 1)

C. 2 ( + 1)

D. 3 ( + 1)

E. 4 ( + 1)

PEMBAHASAN :

(4)

=

x

=

= 2( + 1$

JAWABAN : C

6.

Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …

A. 7/4

B. ¾

C. 4/7

D. ½

E. ¼

PEMBAHASAN :

Deret geometri : a + ar + ar2_{+ ar}3₊_ar4_{+ ar}5₊_ar6_{+ …}

Perhatikan suku genap dan ganjilnya, dimana pada suku-suku genap, suku pertamanya adalah ar dan pada suku-suku ganjil, suku pertamanya adalah ar, dengan rasionya adalah r2_.

7 =

7(1 – r) = a … (i)

Berdasarkan rumus jumlah deret geometri tak hingga diatas, maka kita memperoleh rumus deret geometri takhingga bersuku genap dengan mengganti suku awal dengan “ar” dan rasionya “r2“.

(5)

3 =

3(1 – r2_{) = ar … (ii)}

Substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh :

3(1 – r2_{) = (7(1 – r))r}

3 – 3r2_{= 7r – 7r}2

4r2_{– 7r + 3 = 0}

(4r-3)(r-1) = 0

r = ¾ atau r = 1

substitusi nilai “r” tersebut ke persamaan (i), sehingga diperoleh :

untuk r = ¾

a = 7(1 – r) = 7(1 – ¾) = 7/4

untuk r = 1

a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0

JAWABAN : A

7.

_{Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan}

geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah … orang.

A. 324

B. 486

C. 648

D. 1.458

E. 4.374

PEMBAHASAN :

tahun 1996 => u1 = a = 6

tahun 1998 => u3 = ar2 = 54

6.r2 = 54

r2 = 9 => r = 3

(6)

6.(3)5 = 1.458

JAWABAN : D

8.

Diketahui barisan geometri dengan u1 = x ¾ dan u4 = x . Rasio

barisan geometri tesebut adalah …

A. x2.

B. x2

C. x1/4

D.

E.

PEMBAHASAN :

u4 = x = x 3/2

u4 / u1 = x 3/2

/ x ¾ = x ¾

r 3_{= x}¾_{=> r = x}1/4

JAWABAN : E

http://aimprof08.wordpress.com/2012/07/06/pembahasan-soal-barisan-dan-deret-geometri-un-sma/

Pembahasan Soal Barisan dan Deret

Geometri UN SMA

1.

Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

A. Rp. 20.000.000,00

B. Rp. 25.312.500,00

C. Rp. 33.750.000,00

D. Rp. 35.000.000,00

(7)

PEMBAHASAN :

Kata kunci dalam soal ini adalah “Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya”, ini artinya rasionya 3/4 dan termasuk dalam deret geometri.

Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-3.

u3 = ar 3

= 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

JAWABAN : C

2.

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

A. 65m

Pantulan pertama = 10 x ¾ = 30/4 m (suku pertama)

=

(8)

A. 378

B. 390

C. 570

D. 762

E. 1.530

PEMBAHASAN :

u1 = a = 6

u7 = ar6 = 384

6.r6 = 384

r6 = 64 => r = 2

Sn =

S7 =

= = 762

JAWABAN : D

4.

Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4_/

5 kali tinggi semula. Pematulan ini

berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.

A. 100

B. 125

C. 200

D. 225

E. 250

PEMBAHASAN :

(9)

Pantulan pertama = 25 x 4/5 = 20m (suku pertama)

=

= = 100

P.Lintasan = 25 + 2(100) = 225m

JAWABAN : D

5.

_{Jumlah deret geometri tak hingga} _{+ 1 +} _{+ ½ + … = …}

A. 2/3 ( + 1)

B. 3/2 ( + 1)

C. 2 ( + 1)

D. 3 ( + 1)

E. 4 ( + 1)

PEMBAHASAN :

r = u2 / u1 = 1 / = ½

=

x

=

= 2( + 1$

(10)

6.

Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …

A. 7/4

B. ¾

C. 4/7

D. ½

E. ¼

PEMBAHASAN :

Deret geometri : a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + …

Perhatikan suku genap dan ganjilnya, dimana pada suku-suku genap, suku pertamanya adalah ar dan pada suku-suku ganjil, suku pertamanya adalah ar, dengan rasionya adalah r2_.

7 =

7(1 – r) = a … (i)

Berdasarkan rumus jumlah deret geometri tak hingga diatas, maka kita memperoleh rumus deret geometri takhingga bersuku genap dengan mengganti suku awal dengan “ar” dan rasionya “r2_“.

Sgenap =

3 =

3(1 – r2) = ar … (ii)

Substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh :

3(1 – r2) = (7(1 – r))r

3 – 3r2 = 7r – 7r2

4r2 – 7r + 3 = 0

(4r-3)(r-1) = 0

r = ¾ atau r = 1

substitusi nilai “r” tersebut ke persamaan (i), sehingga diperoleh :

(11)

a = 7(1 – r) = 7(1 – ¾) = 7/4

untuk r = 1

a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0

JAWABAN : A

7.

Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah … orang.

A. 324

B. 486

C. 648

D. 1.458

E. 4.374

PEMBAHASAN :

tahun 1996 => u1 = a = 6

tahun 1998 => u3 = ar2 = 54

6.r2_{= 54}

r2_{= 9 => r = 3}

tahun 2001 => u6 = ar 5

6.(3)5 = 1.458

JAWABAN : D

8.

_{Diketahui barisan geometri dengan u}₁_{= x}¾

dan u4 = x . Rasio

barisan geometri tesebut adalah …

A. x2_.

B. x2

C. x1/4

D.

E.

(12)

u4 = x = x3/2

u4 / u1 = x3/2 / x ¾ = x ¾

r 3_{= x}¾_{=> r = x}1/4

JAWABAN : E

http://aimprof08.wordpress.com/2012/07/06

/pembahasan-soal-barisan-dan-deret-geometri-un-sma/

Pembahasan Soal Deret

dan Barisan SPMB/SNMPTN

Rate This

1.

Jika jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 2n2 + 3n,

maka beda deretnya adalah ….

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

PEMBAHASAN :

S1 = a = 2(1) 2

+ 3(1) = 5

S2 = a + (a+b) = 2(2) 2

+ 3(2) = 14

2a + b = 2(5) + b = 14 b = 4

JAWABAN : C

2.

Pada deret geometri u1 + u2 + …, jika u1 = x–2 , u5 = x2 , u9 = 64 ,maka

(13)

A. -16

B. ½

C. 8

D. 16

E. 32

PEMBAHASAN :

x6 = 64 x = 2

a = u1 = x -2

= 2-2 = 1/4

= x4

r3_{= x}4 _{r = x}4/3

u7 = ar6 = ax(4/3)6 = ax8 = 2-2 28 = 26 = 64

JAWABAN :

3.

Bilangan y_{log (x – 1),}y_{log (x + 1),}y_{log (3x – 1) merupakan tiga suku}

deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan 6, maka x + y = …

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

PEMBAHASAN :

u2 – u1 = u3 – u2 (berdasarkan “beda” pada barisan aritmatika)

2u2 = u1 + u3

2[y_{log (x + 1)] =}y_{log (x – 1) +}y_{log (3x – 1)}

(14)

x2 + 2x + 1 = 3x2 – 4x + 1

2x2 – 6x = 0

2x(x-3) = 0

x = 3 atau x = 0 (tidak mungkin karena numeris log tidak ada yang negative)

y

log (x – 1) + ylog (x + 1) + ylog (3x – 1) = 6

y

log [(x – 1)(x + 1)(3x – 1)] = 6

subsitusi nilai x = 3

y

log [(2)(4)(8)] = 6

64 = y6 2 = y

x + y = 3 + 2 = 5

JAWABAN : D

4.

Suku kedua dari suatu deret aritmetika adalah 5. Jika suku ke – 4 dan ke – 6 sama dengan 28, maka suku ke – 9 adalah …

A. 19

B. 21

C. 23

D. 26

E. 28

PEMBAHASAN :

u2 = a + b = 5

u4 + u6 = (a + 3b) + (a + 5b)

= 2a + 8b

= 2(a+4b) = 28

<=> a + 4b = 14

kemudian subsitusi a = 5 – b ke persamaan a + 4b = 14 sehingga dapat ditulis menjadi :

(5 – b) + 4b = 14

(15)

a = 5 – b = 2

u9 = a + 8b = 2 + 8(3) = 26

JAWABAN : D

5.

Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke – 6 adalah 96, maka 3.072 merupakan suku ke …

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

E. 13

PEMBAHASAN :

u1 = 3 dan u6 = 96

=

= 32

r5_{= 32 => r = 2}

u1 = 3 = a

arn _{= 3072}

3(2)n_{= 3072}

2n_{= 1024} _{n = 10}

JAWABAN : B

6.

Seutas pita dibagi menjadi 10 bagian dengan panjang yang membentuk deret aritmatika. Jika pita yang terpendek 20cm dan yang terpanjang 155cm, maka panjang pita semula adalah … cm.

A. 800

B. 825

C. 850

D. 875

(16)

PEMBAHASAN :

u1 = 20 = a

u10 = 155

20 + 9b = 155

9b = 135 b = 15

Panjang pita semula artinya jumlah barisan aritmatika, jadi :

S10 = n/2 (a + u10)

= 10/2 (20 + 155)

= 5 (175) = 875

JAWABAN : D

7.

Jika jumlah n suku dari suatu deret geometri yang rasionya r adalah Sn, maka S6n/S3n = …

A. r3n

B. r2n

C. r3n_{+ 1}

D. r2n + 1

E. r3n – 1

PEMBAHASAN :

Sn =

S6n =

S3n =

S6n/S3n = ( ) / ( )

=

= r3n_{+ 1}

(17)

8.

Jumlah bilangan di antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah …

A. 168

B. 567

C. 651

D. 667

E. 735

PEMBAHASAN :

Pada langkah awal kita daftarkan dulu anggota bilangan antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7.

{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}

S14 = (a + u14)

= (7 + 98)

= 7(105)

= 735

Bilangan yang habis dibagi 7 dan habis dibagi 4 adalah 28, 56 dan 84. Jumlahnya = 28 + 56 + 84 = 168

Jadi jumlah bilangan di antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah 735 – 168 = 567

JAWABAN : B

9.

_{Seorang petani mencatat hasil panennya selama 11 hari. Jika hasil}

panen hari pertama 15 kg dan mengalami kenaikan tetap sebesar 2 kg setiap hari, maka jumlah hasil panen yang didapat adalah … kg.

A. 200

B. 235

C. 275

D. 325

E. 425

PEMBAHASAN :

(18)

S11 = (2a + (n-1)b)

= (2(15) + (11-1)2)

= 50

= 275

JAWABAN : C

10.

_{Jumlah 10 suku pertama deret aritmatika :}a

log 1/x + alog 1/x2 + alog 1/x3 + … adalah …

A. – 55 alog x

B. – 45 alog x

C. 1/55 alog x

D. 1/45 alog x

E. 55 alog x

PEMBAHASAN :

S10 = 10/2 (a + u10)

= 10/2 (alog 1/x + alog 1/x10)

= 5 (alog(x-1 x-10))

= 5 alog x-11

= -55 alog x