Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

(1)

Kesimpulan

SISTEM LINIER DI

R

n

Kus Prihantoso Krisnawan

March 7, 2012

(2)

Kesimpulan BentukeAt

PD Linier Homogen Orde 1

1.Solusi darix˙ =ax adalahx =eat_x

(3)

PD Linier Homogen Orde 1

1.Solusi darix˙ =ax adalahx =eat_x

(4)

Sistem tak berpasangan

2.Bagaimanakah solusi dan gambar potret fase dari sistem

˙

x1 = ax1

˙

(5)

Sistem tak berpasangan

˙

x1 = ax1

˙

x2 = bx2 (1)

Solusinya adalah

x1 = eatx01 (2)

(6)

˙

x1 = ax1

˙

x2 = bx2 (1)

Solusinya adalah

x1 = eatx01 (2)

x2 = ebtx02 (3)

Perhatikan bahwa persamaan (2) dapat ditulis sebagai

t=lnx1

x₀₁

1_a

(7)

Sistem tak berpasangan

˙

x1 = ax1

˙

x2 = bx2 (1)

Solusinya adalah

x1 = eatx01 (2)

x2 = ebtx02 (3)

Perhatikan bahwa persamaan (2) dapat ditulis sebagai

t=lnx1

x₀₁

1_a

, substitusi nilai ini ke persamaan (3) didapatkan

x =x x

b

(8)

(9)

Sistem tak berpasangan

(10)

Titik( ¯x1,x¯2)yang memenuhi persamaanx˙1=0 danx˙2=0 disebut titik kesetimbangan (equilibrium point)atautitik tetap (fixed point).

(11)

Pada soal 2., titik ekuilibriumnya adalah( ¯x1,x¯2) = (0,0).

(12)

Sistem tak berpasangan

Jikaflow(semuamanifold) dari sistem menuju titik ekuilibrium, maka titik ekuilibrium dikatakanstabildan sistemnya disebutsistem stabil.

(13)

Jika semuamanifoldmeninggalkan ekuilibrium, maka titik ekuilibrium dikatakantidak stabildan sistemnya disebutsistem tidak stabil.

Jika adamanifoldyang menuju titik ekuilibrium dan adamanifold

(14)

Sistem tak berpasangan

Jika semuamanifoldmeninggalkan ekuilibrium, maka titik ekuilibrium dikatakantidak stabildan sistemnya disebutsistem tidak stabil.

Jika adamanifoldyang menuju titik ekuilibrium dan adamanifold

yang meninggalkan titik ekulibrium, maka titik ekuilibrium sistem disebuttitik saddledan sistemnya disebutsistem tidak stabil.

Dari gambar potret fase, terlihat bahwa untuk kasus E dan F titik ekuilibrium(0,0)stabil, untuk kasus A dan B titik ekuilibrium(0,0)

(15)

Bentuk

e

At

3.Bagaimanakah solusi dari sistem

˙

x =Ax, (5)

denganx =

     x1 x2 .. . xn     

danA=

    

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

..

. . .. ...

an1 · · · ann

(16)

Bentuk

e

At

˙

x =Ax, (5)

denganx =

     x1 x2 .. . xn     

danA=

    

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

..

. . .. ...

an1 · · · ann

     .

(17)

Bentuk

e

At

˙

x =Ax, (5)

denganx =

     x1 x2 .. . xn     

danA=

    

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

..

. . .. ...

an1 · · · ann

     .

Ingat bahwa solusi darix˙ =ax adalahx =eatx0.

(18)

Bentuk

e

At

˙

x =Ax, (5)

denganx =

     x1 x2 .. . xn     

danA=

    

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

..

. . .. ...

an1 · · · ann

     .

Ingat bahwa solusi darix˙ =ax adalahx =eatx0.

Berdasarkan solusi dari kasus tersebut (secara intuitif) kita dapatkan solusi dari sistem (5) adalahx =eAtx0.

(19)

Bentuk

e

At

Ingat bahwa, kita dapat menderetkan Taylor fungsieat_,

eat =1+at+ 1

2!a

2_t2₊ 1

3!a

(20)

Bentuk

e

At

eat =1+at+ 1

2!a

2_t2₊ 1

3!a

3_t3₊_{· · ·} ₍₆₎

Dengan pemikiran yang sama, makaeAt _{didefinisikan sebagai}

Definisi

Misalkan A adalah matriks n×n, maka untuk t ∈R

didefinisikan

eAt = ∞

X

k=0

Aktk

(21)

Bentuk

e

At

eat =1+at+ 1

2!a

2_t2₊ 1

3!a

3_t3₊_{· · ·} ₍₆₎

Dengan pemikiran yang sama, makaeAt _{didefinisikan sebagai}

Definisi

Misalkan A adalah matriks n×n, maka untuk t ∈R

didefinisikan

eAt = ∞

X

k=0

Aktk

(22)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen real dan berbeda

Teorema

Jika nilai eigen dari suatu matriks A yang berukuran n×n adalahλ1, λ2,· · ·, λn, denganλi ∈Runtuk setiap i danλi 6=λj

untuk i 6=j, maka himpunan vektor eigen yang terkait, yaitu

{v1,v2,· · · ,vn}, membentuk basis untukRn, dan matriks P= [v1 v2 · · · vn]adalah matriks invertibel, serta memenuhi

P−1

AP =D (8)

dengan D=diag[λ1, λ2,· · ·, λn].

(23)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen real dan berbeda

Selanjutnya, perhatikan bahwa

  

a1 0 0

..

. . .. ... 0 · · · an

  

k

=

  

ak₁ 0 0 ..

. . .. ... 0 · · · ak

n

 

(24)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen real dan berbeda

  

a1 0 0

..

. . .. ... 0 · · · an

   k =   

ak₁ 0 0 ..

. . .. ... 0 · · · ak

n

 

 (9)

Berdasarkan persamaan (7), (8), dan (9) didapat

eAt = P

     I+   

λ1 0 0

..

. . .. ... 0 · · · λn

  t+

  

λ2₁ 0 0 ..

. . .. ... 0 · · · λ2_n

  

t2

2!+· · ·

    

(25)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen real dan berbeda

  

a1 0 0

..

. . .. ... 0 · · · an

   k =   

ak₁ 0 0 ..

. . .. ... 0 · · · ak

n

 

 (9)

eAt = P

     I+   

λ1 0 0

..

. . .. ... 0 · · · λn

  t+

  

λ2₁ 0 0 ..

. . .. ... 0 · · · λ2_n

  

t2

2!+· · ·

    

P−1

= P

 

eλ₁t ₀ ₀

..

. . .. ...

 P−1

(26)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen real dan berbeda

(27)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen real dan berbeda

Berdasar pers. (10), jika matriksA(n×n)punya n nilai eigen real dan berbeda, maka solusi dari sistemx˙ =Ax adalah

x1 = c11e λ₁_t

+c12e λ₂_t

+· · ·+c1ne λ_n_t

..

. ... ... . .. ...

xn = cn1e λ₁_t

+cn2e λ₂_t

+· · ·+cnne λ_n_t

(11)

(28)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen real dan berbeda

x1 = c11e λ₁_t

+c12e λ₂_t

+· · ·+c1ne λ_n_t

..

. ... ... . .. ...

xn = cn1e λ₁_t

+cn2e λ₂_t

+· · ·+cnne λ_n_t

(11)

dengancij adalah konstanta.

Perhatikan bahwa setiapxi pd pers (11) adl kombinasi linier

(29)

adl sebuah matriks2n×2n dg blok2×2sepanjang diagonal.

(34)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kompleks

Selanjutnya, perhatikan bahwa jikaλj =aj+ibj maka

diag

aj −bj

bj aj

k

=diag

"

Re{λk_j} −Im{λk_j}

Im{λk_j} Re{λk_j}

#

(35)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kompleks

diag

aj −bj

bj aj

k

=diag

"

#

(13)

eAt = P

( ∞

X

k=0

diag

aj −bj

bj aj

k

tk k!

)

(36)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kompleks

diag

aj −bj

bj aj

k

=diag

"

#

(13)

eAt = P

( ∞

X

k=0

diag

aj −bj

bj aj

k

tk k!

)

P−1

= P

( ∞

X

k=0

diag

"

Re{(λjt)k

k! } −Im{

(λ_jt)k

k! }

Im{(λjt)k

k! } Re{

(λ_jt)k

k! }

#)

(37)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kompleks

diag

aj −bj

bj aj

k

=diag

"

#

(13)

eAt = P

( ∞

X

k=0

diag

aj −bj

bj aj

k

tk k!

)

P−1

= P

( ∞

X

k=0

diag

"

Re{(λjt)k

k! } −Im{

(λ_jt)k

k! }

Im{(λjt)k

k! } Re{

(λ_jt)k

k! }

#)

P−1

= P diag

Re{eλ_jt_{} −}_Im_{_eλ_jt_}

(38)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kompleks

Sehingga

eAt =P diag

eajt

cos(bjt) −sin(bjt)

sin(bjt) cos(bjt)

P−1

(39)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kompleks

Sehingga

eAt =P diag

eajt

P−1

(14)

Perhatikan bahwa setiapxi pd pers (2) adalah kombinasi linier

darieajt_{, dengan}_a

j =Re{λj},∀j∈ {1,2,· · ·,n}, dan titik

(40)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kompleks

Sehingga

Nilai eigen kembar

Teorema

Jika matriks A(n×n)mempunyai sebanyak k nilai eigen real yang berulang, yaitu: λ1ada sebanyak j1,λ2ada sebanyak j2,

· · ·, danλk ada sebanyak jk, dengan j1+j2+· · ·+jk =n, maka

terdapat basis{v1,v2,· · ·,vn}untukRn, dengan vi adalah

vektor eigen-vektor eigen tergeneralisasi untuk setiap i, dan matriks P = [v1 v2· · ·vn]invertibel serta memenuhi

A=S+N, (15)

dg P−1

SP=diag[λj]. Matriks N=A−S adl nilpoten orde

(46)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kembar

Berdasarkan persamaan (7) dan (15) maka didapatkan

eAt =e(S+N)t =eSteNt

KarenaP−1

SP =diag[λj]danNk =0 maka

eAt =P diag[eλ_jt_]

I+Nt+· · ·N

k−1

tk−1 (k −1)!

P−1

. (16)

Setiapxi pd pers (16) adl komblin darie λ_j_t

.

(47)

Kesimpulan Nilai eigen kembar

Nilai eigen kembar

KarenaP−1

Akibat

Dengan menggunakan hipotesis yang sama dengan teorema sebelumnya maka solusi dari sistemx˙ =Ax dengan nilai awal x(0) =x0adalah

x(t) =diag[eλjt_]

I+Nt+· · ·N

k−1

tk−1 (k −1)!

(51)

Kesimpulan

Bentuk

e

At

Kesimpulan terkait bentukeAt_:

1 _{Jika nilai eigen real dan berbeda maka:}

eAt =P diag[eλjt_]_P−1

,

2 Jika ada nilai eigen kompleks (_λ_j =a_j+ib_j dan ¯

λj =aj−ibj), maka:

eAt =P diag

eajt

P−1

3 _{Jika ada nilai eigen kembar:}

eAt =diag[eλjt_]

I+Nt+· · ·N

k−1

tk−1 (k−1)!

(52)

Kesimpulan

Bentuk

e

At

Kesimpulan terkait bentukeAt_:

1 _{Jika nilai eigen real dan berbeda maka:}

eAt =P diag[eλjt_]_P−1

,

2 Jika ada nilai eigen kompleks (_λ_j =a_j+ib_j dan ¯

λj =aj−ibj), maka:

eAt =P diag

eajt

P−1

3 _{Jika ada nilai eigen kembar:}

eAt =diag[eλjt_]

I+Nt+· · ·N

k−1

tk−1 (k−1)!

(53)

Kesimpulan

Kestabilan Sistem

x

˙

=

Ax

(secara intuitif)

Kesimpulan terkait kestabilan sistemx˙ =Ax:

1 _Titik₍₀_,₀_,_{· · ·}_,₀₎_{merupakan titik ekuilibrium dari sistem.}

2 Mempunyai solusix =eAtx₀dengan setiapx_i merupakan

kombinasi linier darieajt_{, dengan}_a_j ₌_Re_{_λ_j}_,

∀j ∈ {1,2,· · · ,n}.

3 JikaRe{_λ_j}_<0,∀j∈ {1_,2_,· · ·_,n}, maka saatt → ∞,

sistem stabil.

4 Jika adajsehinggaRe{_λ_j}_>0, maka saat nilait→ ∞,

(54)

Kesimpulan

Latihan

Analisis sistem linierx˙ =Ax, dengan matriksAsbb:

1

−3 0

0 −1

2

1 −3 0 2

3

3 −2 1 1

4

−3 −1 1 −1

5

0 −1 1 0