Optimasi Non-Linier. Metode Analitik

Metode Analitik

Pendahuluan

 Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya

mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya, contohnya adalah sebagai berikut:

 Metode Optimasi Analitis

 Satu Variabel tanpa Kendala  Multi Variabel Tanpa Kendala

 _{Multi Variabel dengan Kendala Persamaan}

 Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan

 Metode Optimasi Numerik Satu Dimensi

 Teknik Eliminasi  Teknik Pendekatan

Satu variable tanpa kendala (1)

 Dimisalkan x adalah variabel penentu dan f(x) adalah fungsi tujuan

dari suatu masalah. Metode optimasi menyelesaikan masalah:

 Untuk menyelesaikan permasalahan seperti tertera di atas

digunakan kalkulus diferensial yang dinyatakan seperti di bawah ini:

 Misalkan f adalah fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b]

dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b).

 (i) Jika f’(x) > 0 untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menanjak pada [a,b].

 (ii) Jika f’(x) < 0 untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menurun pada [a,b]. x atau x f(x) minimumkan f(x) n maksimalka

Satu variable tanpa kendala (2)

 Test derivasi pertama: Misalkan f adalah fungsi yang menerus

dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada

interval terbuka (a,b) kecuali mungkin di titik c yang berada

didalam (a,b).

 (i) Jika f’(x) > 0 untuk a < x < c dan f’(x) < 0 untuk c < x < b,

maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f.

 (ii) Jika f’(x) < 0 untuk a < x < c dan f’(x) > 0 untuk c < x < b,

maka f(c) adalah sebuah minimum lokal dari f.

 (iii) Jika f’(x) < 0 atau f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,b) kecuali x

Satu variable tanpa kendala (3)

 Test derivasi kedua: Misalkan f adalah fungsi yang dapat

diderivasikan pada interval terbuka yang berisi titik c dan f’(c)

= 0,

 (i) Jika f ”(c) < 0, maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f.  (ii) Jika f ”(c) > 0, maka f(c) adalah sebuah minimum lokal dari f.

Satu variable tanpa kendala (4)

 Contoh 1:

Sebuah perusahaan catering (makanan ringan yang

menyediakan konsumsi untuk suatu penataran di JTE FT UMY berusaha mengurangi

pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus tersebut terbuat dari kertas karton

seperti tampak pada Gambar di samping. Keempat pojoknya akan dipotong segi empat samasisi sedemikian rupa sehingga volumenya menjadi maksimum.

Satu variable tanpa kendala (5)

 Dari contoh di atas tampak bahwa dengan cara analitis

kalkulus diferensial nilai x yang memberikan nilai f maximum

dapat dicari tanpa mengetahui nilai dari f itu sendiri.

 Untuk melengkapi teorema optimasi nonlinier satu variabel yang telah dijelaskan di atas disajikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan titik-titik ekstrem dari suatu fungsi satu variabel.

 Teorema:

 Misalkan f’(c) = f ”(c) = … = f(n-1)(c) = 0, tetapi f(n)(c) ≠ 0. Maka

f(c) adalah:

 (i) nilai minimum dari f(x), jika f(n)(c) > 0 dan n adalah bilangan genap,  (ii) nilai maximum dari f(x), jika f(n) (c) < 0 dan n adalah bilangan genap,  (iii) bukan minimum dan maximum jika n adalah bilangan gasal.

Satu variable tanpa kendala (6)

 Contoh 2.

Tentukan maximum dan minimum dari fungsi di bawah ini  Penyelesaian: 5 40 45 12 ) (x  x5  x4  x3  f

Multi variable tanpa kendala (1)

 Cara analitis yang diterapkan pada permasalahan optimasi

satu variabel dapat pula diterapkan kepada permasalahan multi variabel.

 Secara umum teknik yang digunakan pada optimasi satu dimensi

dapat digunakan dalam optimasi multi variabel.  Definisi dan simbol-simbol yang digunakan:

} ,..., , { ,..., , dengan setara ) ( ) ( ,..., 2 , 1 untuk ) ,..., , ( ) ( ) ( ) ,..., , ( ) ( ) ( } ,..., , { dengan ) ( sebagai ditulis akan ) ,..., , ( ) ( 2 1 2 1 * * * 2 * 1 * * * 2 * 1 * 2 1 2 1 n n n j n n n c c c x f x f x f C X f iv n j x x x f x X f iii x x x f X f ii x x x X X f x x x f i                      

Multi variable tanpa kendala (2)

 Teorema:

 Jika f(X) mempunyai sebuah titik ekstrem (minimum

maupun maximum) pada X = X* _{dan jika derivasi pertama}

dari f(X) mempunyai nilai pada titik X*_{, maka ∇f(X}*_{) = 0}

 PERHATIAN: Kebalikannya belum tentu benar yaitu jika

Multi variable tanpa kendala (3)

 Teorema:

 Titik X* disebut titik maksimum lokal dari f(X) jika dan

hanya jika:

 (i) ∇f(X*) = 0

 (ii) H(X*) < 0 definit negatif dengan H = matrik Hessian yang

didefinisikan sebagai: jj j j j j j j i ij nn n n h h h h H H x x f h h h h h H           1 1 11 2 1 1 11 det dengan n 1,2,..., j untuk 0 ) 1 ( jika hanya dan jika negatif definit adalah H dengan                   

Multi variable tanpa kendala (4)

 Teorema:

 Titik X* disebut titik minimum lokal dari f(X) jika dan

hanya jika:

 (i) ∇f(X*) = 0

Multi variable tanpa kendala (5)

Multi variable tanpa kendala (6)

 Contoh 3:

 Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi:

6

4

2

)

,

(

x

₁

x

₂



x

₁3



x

₂3



x

₁2



x

₂2



f

Multi variable dengan Kendala (1)

 Pada bagian ini akan didiskusikan teknik optimasi multi

variabel dengan kendala persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

 disini m ≤ n, jika terjadi bahwa m > n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan

 Untuk menyelesaikan permasalahan optimasi di atas, digunakan metode pengali Lagrange, yaitu:

t n j x x x X m j X g X f f } ,..., , { dengan ,..., 2 , 1 dengan , 0 ) ( Kendala ) ( M in/M aks 2 1         m j j jg X X f X L 1 ) ( ) ( ) , (  

Multi variable dengan Kendala (2)

 Teorema:

 Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(X) dengan kendala g_j(X) = 0,

dengan j = 1, 2, …, m agar mempunyai minimum relatif pada titik X* _{adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya}

yang didefinisikan sebagai L = L(x₁,x₂,…,x_n, λ₁,λ₂,…,λ_n) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

 Teorema:

 Syarat harus bagi sebuah fungsi f(X) agar mempunyai minimum (atau

maximum) relatif pada titik X* _{adalah jika fungsi kuadrat, Q,}

yang didefinisikan sebagai

dievaluasi pada X = X* _{harus definit positif (atau negatif) untuk}

setiap nilai dX yang memenuhi semua kendala.



      n i m j j i j i dx dx x x L Q 1 1 2

Multi variable dengan Kendala (3)

 Syarat perlu agar

menjadi definit positif (atau negatif) untuk setiap variasi nilai

dX adalah setiap akar dari polinomial, z_i, yang didapat

dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif).



      n i m j j i j i dx dx x x L Q 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 1 3 2 1 2 12 2 23 22 21 1 11 1 13 12 11                                 mn m m m n n mn m nm n n n n n m n g g g g g g g g g g g g g g z L L L L g g L L z L L g g L L L z L j i ij j i ij x X g g x x X L L        ) ( dan , ) , ( dengan * * 2 

Multi variable dengan Kendala (4)

 Contoh: Sebuah perusahaan pelumas ingin membuat kaleng

pelumas dari seng. Kaleng berbentuk silinder dengan bahan yang terpakai seluas A₀ = 24π. Berapa maximum volume kaleng yang dapat dibuat dari bahan yang tersedia?

Multi variable dengan Kendala

Pertidak-samaan (1)

 Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala pertidak-samaan yang mempunyai bentuk

umum sebagai berikut:

m j X g x x x X X f f j t n ,..., 2 , 1 dengan , 0 ) ( Kendala } ,..., , { dengan ) ( M in/M aks _{1 2}    

Multi variable dengan Kendala

Pertidak-samaan (2)

 Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala pertidak-samaan menjadi persamaan dengan

menambah variabel slack. Jadi permasalahan optimasi di atas

dapat ditulis kembali sebagai:

 Permasalahan ini dapat diselesaikan metode pengali Lagrange. Untuk itu, dibentuk fungsi Lagrange sebagai berikut:

slack le tor variab adalah vek } ,..., , {y Y dengan ,..., 2 , 1 dengan , 0 ) ( ) , ( Kendala } ,..., , { dengan ) ( M in/M aks 2 1 2 2 1 t m j j j t n y y m j y X g Y X G x x x X X f f       

Multi variable dengan Kendala

Pertidak-samaan (3)

 Syarat perlu untuk suatu penyelesaian optimum pers.1.17 diperoleh dari penyelesaian sistem persamaan di bawah ini.

Multi variable dengan Kendala

Pertidak-samaan (4)

 Syarat perlu agar persamaan optimasi, mencapai titik

minimumnya dapat pula dicari dengan syarat Kuhn-Tucker. Syarat ini perlu tetapi secara umum bukan merupakan syarat cukup untuk mencapai minimum. Tetapi untuk problema jenis konvex, syarat Kuhn-Tucker menjadi syarat perlu dan cukup untuk sebuah minimum global.

Multi variable dengan Kendala

Pertidak-samaan (5)

 PERHATIAN:

 Jika permasalahannya adalah memaksimumkan {bukan

meminimumkan seperti contoh}, maka λ_j ≤ 0 dalam Pers.(1.21d).

 Jika kendalanya adalah g_j ≥ 0, maka λ_j ≤ 0 dalam Pers.(1.21d).  Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika

Multi variable dengan Kendala

Pertidak-samaan (6)

 Contoh: Sebuah perusahaan pembuat komputer mendapat kontrak

untuk menyediakan 50 unit komputer pada akhir bulan pertama, 50 unit komputer pada akhir bulan kedua, dan 50 unit komputer pada akhir bulan ketiga. Biaya produksi x buah komputer tiap

bulannya adalah x2_{. Perusahaan ini dapat memproduksi komputer}

lebih dari yang dipesan dan menyimpannya di gudang untuk

diserahkan pada bulan berikutnya. Biaya gudang adalah sebesar 20 satuan harga untuk tiap komputer yang disimpan dari bulan yang lalu kebulan berikutnya. Diandaikan bahwa pada permulaan

pesanan di gudang tidak terdapat persediaan komputer. Tentukan jumlah produksi komputer tiap bulannya agar biaya pembuatannya minimum.