8. Logaritma

1

MATEMATIKA

08

MATERI D

AN L

ATIHAN SO

AL UJIAN NASIONAL (UN)

TOP LE

VEL - XII SM

A

Set 8

LOGARITMA

A. Review SingkAt MAteRi a. alog b = c – ac _{= b}

syarat numerous a, b > 0, a ≠ 1 b. Sifat-sifat

1. a_{log xy =} a_{log x +} a_{log y}

2. a_log x y = alog x – alog y 3. a_{log x}m _{= m} a_{log x} 4. a_{log b= log} loga= log log = 1 log b b a a p p b 5. an m a b m n b log = log 6. a_{log b .} b_{log c =} a_{log c}

7. a_{log 1 = 0}

8. a alog b _{= b}

c. Persamaan

a_{log f(x) =} a_{log g(x)}

2

d. Pertidaksamaan a_{log f(x) <} a_{log g(x), f(x), g(x) > 0} 1. f(x)< g(x) bila a > 1 2. f(x) > g(x) bila 0 < a < 1

Contoh Soal

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log (52x _{+ 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13} adalah . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2013)

A. {x ∈ R | x < 0 atau x > 2} B. {x ∈ R | 0 < x < 2} C. {x ∈ R | x ≤ 0 atau x > 2} D. {x ∈R | 0 ≤ x < 2} E. {x ∈ R | x > 2} Pembahasan:

log (52x _{+ 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13} log (52x _{+ 25) > x – xlog 2 + log 26}

log (52x _{+ 25) > log 10}x _{– log 2}x _{+ log 26}

log (52x _{+ 25) > log 5}x _{. 26} maka 52x _{+ 25 > 5x . 26} [5x]2 _{– 26 . 5}x _{+ 25 > 0} (5x _{– 25)(5}x _{– 1) > 0} pembuat nol x = 2, x = 0 garis bilangan 0 + _ + 2 x Hp = {x | x < 0 atau x > 2, x ∈ R} Jawaban: A

2. _{Nilai x dengan x > 4 yang memenuhi x−} x − _x− x− 4 2 4> 4 5

(

)

(

)

adalah . . . . (Soal SiMAk

Ui tahun 2012)

A. -1 < x < 3 2 B. x > 4

3

C. x > 5 D. x > 3 2 atau x < 1 E. x > 3 4 atau x < -1 Pembahasan: Karena x > 4 maka x – 4 > 0 sehingga x x x x x x x x x x − − ⇒ − − ⇒ − − ⇒ − − − − − − 4 > 4 4 > 4 4 > 5 2 2 8 > 5 2 2 4 5 x 4 x 5 2 2 2

(

)

(

)

(

)

(

)

⇒ ⇒ − − ⇒ − 2 3 > 0 2 3 +1 > 0 2 x x x x

(

)(

)

akar x = 3 2 atau x = -1 garis bilangan -1 + _ + x 3 2 Hp = x x| < -1atau >x 3 2       Jawaban: D

3. Batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2log < 1 log 10 2 -3-1 x x ( ) adalah . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2010) A. x > 3 4 17 4 − B. 3 4 17 4 < < 17 4 + 3 4 − x C. 3 2 < 17 4 + 3 4 ≤ x

4

D. 3 2< < 17 4 + 3 4 x E. 3 2 < 17 4 + 3 4 ≤ x Pembahasan: 2log < 1 log 10 2 3-1 x x − ( ) syarat: 1) x > 0 . . . Hp₁ 2) (2x – 3)-1 _{> 0} 1 2x −3> 0 akar x = 3 2 garis bilangan _ ₊ x 3 2

Hp₂ = x x| >3 2       3) (2x – 3)-1 _{≠ 1} 1 2x −3≠1 2x – 3 ≠ 1 x ≠ 2 . . . Hp₃ Penyelesaian pertidaksamaan 2log < 1 log 10 log < log 2 3 2log < -2log 2 3 lo 2 3 2 10 -1 -1 x x x x x x − − − ( )

(

)

(

)

gg < -log 2x

(

x −3

)

5

log < log 2 3 < 1 2 3 1 2 3< 0 2 3 1 2 3 < 0 -1 2 x x x x x x x x x − − − − − − −

(

)

x_1,2 =3 – 9 + 8 4 =3 – 17 4

akar pembilang (Rumus ABC)

x₁= 3 17 x₂ 4 , = 3 + 17 4 − akar penyebut x = 3 2 garis bilangan – + – + x 3 2 3 17 4 − 3+ 17 4 Hp₃ = x<3 17 x 4 3 2< < 3 + 17 4 − _∪ maka Hp_total Hp_total = Hp₁ ∩ Hp₂ ∩ Hp₃ 0 2 3 4 17 4 − 3₂ 3 4+ 17 4 Hp_total = x|3 x 2< < 17 4 + 3 4         _{Jawaban: D}

4. Jika p dan memenuhi persamaan 3_{log (4(3}x_{) – 7) = -1 +} 3_{log (9}x _{+ 6), maka nilai p + q = . . . .}

(Soal SiMAk Ui tahun 2009)

A. -6 B. -3 C. 3

6

D. 6 E. 12 Pembahasan: 3_{log (4(3}x_{) – 7) = -1 +} 3_{log (9}x _{+ 6)} ⇒ − ⇒ − 3 3 3 2 3 3 log 4 3 7 = log1 3+ log 3 + 6 log 4 3 7 = log x x x

( )

(

)



( )

  _

( )

(

)

33 + 6 3 4 3 7 = 3 + 6 3 3 12 3 + 27 = 0 3 9 3 3 = 2 2 2 x x x x x x x

( )

( )

( )

( )

( )

(

)(

)

⇒ − ⇒ − ⇒ − − 00 3 = 9 atau 3 = 3 = 2 atau = 1 = 2 atau = 1 maka + = 3 1 2 ⇒ ⇒ ⇒ x x x x p q p q ⇒ − ⇒ − 3 3 3 2 3 3 log 4 3 7 = log1 3+ log 3 + 6 log 4 3 7 = log x x x

( )

(

)



( )

  _

( )

(

)

33 + 6 3 4 3 7 = 3 + 6 3 3 12 3 + 27 = 0 3 9 3 3 = 2 2 2 x x x x x x x

( )

( )

( )

( )

( )

(

)(

)

⇒ − ⇒ − ⇒ − − 00 3 = 9 atau 3 = 3 = 2 atau = 1 = 2 atau = 1 maka + = 3 1 2 ⇒ ⇒ ⇒ x x x x p q p q Jawaban: C

5. Himpunan penyelesaian |log(x – 1)| < 1 adalah . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2009) A. {x | 11 < x < 110} B. {x | -11 < x < 110} C. {x | -9 < x < 110} D. x| -11 x 10< <11       E. x|11 x 10< <11       Pembahasan: |log(x – 1)| < 1 • syarat x – 1 > 0 x > 1 . . . Hp₁ • |log(x – 1)| < 1 -1 < log(x – 1) < 1

7

log 1 10< log 1 < log10 1 10< 1<10 11 10< <11 ... Hp2 x x x − −

(

)

• Hp_total = Hp₁ ∩ Hp₂ 1 11 x 11 10 Hp_total = x|11 x x 10< <11, ∈R       _{Jawaban: e}

6. Nilai x yang memenuhi 93log 2 +1( x )+ 42log +3(x )= 85adalah . . . . A. -5 dan 3 B. 2 dan 3 C. 3 dan 5 D. 3 E. 5 Pembahasan: 3 + 2 = 85 3 + 2 = 85 2 +1 2 log 2 +1 2 log +3 log 2x+1 log +3 3 2 3 2 2 2 x x x x ( ) ( ) ( ) ( )

((

) (

2

)

2 2 2 2 2 + + 3 = 85 4 + 4 +1+ + 6 + 9 = 85 5 +10 75 = 0 + 2 15 = 0 + 5 x x x x x x x x x x − −

((

)(

x

)

x x − 3 = 0 = -5 atau = 3 1 2 test 2x + 1 x + 3 x₁ = -5 -9 x -2 x bukan solusi x₂ = 3 7  6  solusi solusinya x = 3 Jawaban: D

8

7. x_{log xy .} y_{log xy +} x_{log (x – y) .} y_{log (x – y) = 0} x > y > 0, x, y ≠ 1, nilai x + y adalah . . . . A. _{3 + 2} B. ₇ C. ₅ D. _{2 + 3} E. _{1+ 5} Pembahasan:

x_{log xy .} y_{log xy +} x_{log (x – y) .} y_{log (x – y) = 0}

log log log log + log y log log log = 0 log 2+ lo xy x xy y x x x y y xy ×

(

−

)

×

(

−

)

[

]

_ gg

(

x y−

)

_2 = 0

log xy = 0 dan log (x – y) = 0

xy = 1 x – y = 1 . . . (2) y x = 1& (1) (1) substitusi ke (2) x x x x a b c x b b a a x − ⇒ − ⇒ − ⇒ 1_{= 1} + 1= 0 = 1, = 1, = -1 =- – 4 c 2 = -1– 5 2 =-1+ 5 2 2 1,2 2 xx > 0

{

}

9

y x y y x y x y = 1 = 1 -1+ 5 2 = 2 5 1 5 +1 5 +1 = 5 +1 2 maka + = 5 1 2 + 5 +1 2 + = 5 ⇒ ⇒ − × − Jawaban: C

8. U_n menyatakan suku ke-n dari suatu barisan. Jika log =log45 + log15 log25

log125 +

1

1+ log5 + log 5+ log5

5 2 1

U_n − n− n−

log =log45 + log15 log25

log125 +

1

1+ log5 + log 5+ log5

5 2 1 U_n − n− n− _{, maka rumus U} n adalah . . . . A. 0,3 × 10n B. 27 × 10n C. 10 × 3n D. 270 10n E. 9 × 10n Pembahasan:

log =log45 + log15 log25

log125 +

1

1+ log5 + log 5+ log5 =log 5 2 -1 U_n − n− n 227 3 + log10 log10 log10 log5 + log5 =1 3log27 + 1 log2 + 1 -1 -1 n n n n − − −

(

)

((

)

(

)

log5 = log3 + n 1 log10 = log3 10 -1 − × n _{→→ ×} × U_n n n = 3 10 = 0,3 10 -1 Jawaban: A

10

9. Harga x yang memenuhi persamaan _{3 + 2 2 3 2 2 =}3

2      x x − − adalah . . . . A. 3-2 2_log2 B. 3-2 2_log3 C. 1+ 2_log2 D. 2_{log 1+ 2}

(

)

E. 3_log2 Pembahasan: 3 + 2 2 3 2 2 =3 2 2 +1 2 1 =3 2 2 +1 1 2 +              x x x x x − − − − − 11 =3 2 misal 2 +1 = 1₌3 2 2 2 = 3 2 3 2 = 0 2 +1 2 2      

(

)

x x y y y y y y y y y − − − − − 22 = 0 = -1 2 atau = 2 2 +1 = -1 2 2 +1 = 2

(

)

     y y x x 3 + 2 2 3 2 2 =3 2 2 +1 2 1 =3 2 2 +1 1 2 +              x x x x x − − − − − 11 = 3 2 misal 2 +1 = 1₌3 2 2 2 = 3 2 3 2 = 0 2 +1 2 2      

(

)

x x y y y y y y y y y − − − − − 22 = 0 = -1 2 atau = 2 2 +1 = -1 2 2 +1 = 2

(

)

     y y x x

pilihan pertama tidak mungkin karena _ 2 +1 > 0_x maka 2 +1 = 2 log 2 +1 = log2 = log2 2+1 2+1 2+1       x x x Jawaban: C

11

10. Bila log 2 = a, log 3 = b, dan 2x+1 _{= 3}2-3x_{, maka nilai x + 1 adalah . . . .}

A. 5 3 + a a b B. 5 3 a a b− C. 5 + 3 b a b D. 5 3 b a− b E. 3 + 5 a b a Pembahasan: 2x+1 _{= 3}2-3x ⇒ ⇒ − ⇒ − ⇒ log2 = log3 +1 log2 = 2 3 log3 +1 = 2 3 + 3 +1 2-3 x x x x x a x b ax

(

)

(

)

(

) (

)

bbx b a x a b b a x b a a b x b a a b a b a b x = 2 + 3 = 2 =2 + 3 +1=2 + 3 + + 3 + 3 +1 − ⇒ − ⇒ − ⇒ − ⇒

(

)

== 5 + 3 b a b ⇒ ⇒ − ⇒ − ⇒ log2 = log3 +1 log2 = 2 3 log3 +1 = 2 3 + 3 +1 2-3 x x x x x a x b ax

(

)

(

)

(

) (

)

bbx b a x a b b a x b a a b x b a a b a b a b x = 2 + 3 = 2 =2 + 3 +1=2 + 3 + + 3 + 3 +1 − ⇒ − ⇒ − ⇒ − ⇒

(

)

== 5 + 3 b a b Jawaban: C

Soal Latihan

1. Diketahui 2_log 2_log 3_{log x =} 2_log 3_log 2_{log y = 0, maka x + y adalah . . . .} A. 8

B. 9 C. 16 D. 17 E. 18

12

2. Bila x, log3, dan log4 adalah tiga sisi dari segitiga siku-siku, nilai x yang mungkin adalah . . . .

A. log4 dan log12 B. log4

3 dan log12

C. log4 3 saja

D. log12 saja

E. tidak ada yang memenuhi 3. Apabila x memenuhi ₂ 2log₈

log2 log2= 3

x

x − , maka nilai dari 1 + x + x

2 _{+ x}3 _{+ x}4 _{+ ... adalah . . . .} A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 4 E. 8

4. Perhatikan xy = 10a, yz = 10b, xz = 10c. Nilai dari log x + log y + log z adalah . . . . A. abc B. abc 2 C. a + b + c D. 2a + 2b + 2c E. a b c+ + 2 5. Diketahui persamaan 2x _– 3_{log y = 7} 2y ₊ 3_{log x = 9}

maka nilai x + y adalah . . . . A. 3

B. 4 C. 5 D. 6 E. 8