SISTEM BONUS-MALUS DENGAN SEBARAN FREKUENSI KLAIM ADALAH GEOMETRIK DAN SEBARAN UKURAN KLAIM ADALAH PARETO ANI AFRIANI

(1)

SISTEM BONUS-MALUS DENGAN SEBARAN FREKUENSI KLAIM

ADALAH GEOMETRIK DAN SEBARAN UKURAN KLAIM

ADALAH PARETO

ANI AFRIANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(2)

SISTEM BONUS-MALUS DENGAN SEBARAN FREKUENSI KLAIM

ADALAH GEOMETRIK DAN SEBARAN UKURAN KLAIM

ADALAH PARETO

ANI AFRIANI

G54104032

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(3)

ABSTRAK

ANI AFRIANI. Sistem Bonus-Malus dengan Sebaran Frekuensi Klaim adalah Geometrik dan Sebaran Ukuran Klaim adalah Pareto. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.

Sistem Bonus-Malus adalah salah satu sistem yang ditawarkan oleh suatu perusahaan asuransi, yang dalam perhitungan premi resikonya berdasarkan sejarah klaim dari setiap pemegang polis. Sistem Bonus-Malus biasanya menetapkan premi resiko untuk setiap pemegang polis hanya berdasarkan banyaknya klaim yang diajukan tanpa bergantung dari ukuran klaim.

Dalam karya tulis ini, dijelaskan dua jenis sistem Bonus-Malus yang berbeda yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal. Sistem Bonus-Malus klasik menetapkan perhitungan premi resiko bagi setiap pemegang polis hanya berdasarkan frekuensi klaim yang diajukan. Sedangkan sistem Bonus-Malus optimal menetapkan perhitungan premi resiko bagi setiap pemegang polis berdasarkan frekuensi klaim dan ukuran klaim.

Kedua sistem Bonus-Malus tersebut dibandingkan, dengan frekuensi klaim dan ukuran klaim diasumsikan masing-masing memiliki sebaran geometrik dan Pareto. Resiko yang dihadapi oleh setiap pemegang polis berbeda-beda sehingga banyaknya klaim dan ukuran klaim yang akan diajukan setiap pemegang polis pun berbeda-beda. Kerugian yang dialami oleh setiap pemegang polis diukur dengan fungsi kerugian kuadratik. Dicari sebaran posterior dari parameter frekuensi dan ukuran klaim, kemudian parameter tersebut diduga menggunakan pendekatan Bayes (solusi Bayes). Sehingga dengan solusi Bayes diperoleh perhitungan premi resiko dengan kedua sistem tersebut.

Hasil yang diperoleh dalam karya tulis ini yaitu perbandingan nilai premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan kedua sistem tersebut. Maka perhitungan premi resiko dengan sistem Bonus-Malus yang ditetapkan berdasarkan frekuensi dan ukuran klaim lebih adil dibandingkan dengan sistem Bonus-Malus yang ditetapkan hanya berdasarkan frekuensi klaim.

(4)

ABSTRACT

ANI AFRIANI. Bonus-Malus Systems with The Claim Frequency Distribution is a Geometric and The Claim Severity Distribution is a Pareto. Under supervision by I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.

Bonus-Malus systems is one of systems on the market by a company of insurance, which in account of premium based on the history claim from each policyholders. Bonus-Malus systems usually assigns each policyholder a premium based on the number of his/her accidents irrespective of their size.

This script explained two different type of Malus systems that is the classical Bonus-Malus systems and an optimal Bonus-Bonus-Malus systems. The classical Bonus-Bonus-Malus systems under which a premium is set by taking into account only the number of accidents each policyholder. While an optimal Bonus-Malus systems under which a premium is set by taking into account both the frequency and the severity of the claims of each policyholder.

Both of the Bonus-Malus systems are compared, with the number and size of the claims an insured person are assumed to follow respectively a geometric and a Pareto distribution. The risk faced by each policyholder are different each other so that the number and size of the claims to be experienced of each policyholder are also different. Natural loss by each policyholder is measured with quadratic loss function. It was searched the posterior distribution from severity and frequency claim parameter, then the parameter is estimated by using the Bayes approximation (Bayes solution). With Bayes solution, it was obtained by the calculation of premium with both of the systems.

The result obtained in this script, that is comparison of the risk premium value to be paid by each policyholder with both of the systems. Hence calculation of the risk premiums with Bonus-Malus systems which take into account the number and size of the claims is fairer compared to Bonus-Malus systems with only take into account the number of claims.

(5)

SISTEM BONUS-MALUS DENGAN SEBARAN FREKUENSI KLAIM

ADALAH GEOMETRIK DAN SEBARAN UKURAN KLAIM

ADALAH PARETO

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

ANI AFRIANI

G54104032

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(6)

Judul

: Sistem Bonus-Malus dengan Sebaran Frekuensi Klaim adalah

Geometrik dan Sebaran Ukuran Klaim adalah Pareto

Nama :

Ani

Afriani

NRP :

G54104032

Menyetujui:

Pembimbing I,

Dr.Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA

NIP. 131 878 945

Pembimbing II,

Dr.Ir. I Wayan Mangku, M.Sc

NIP. 131 663 020

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

(7)

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah S.W.T atas segala rahmat dan karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Sistem Bonus-Malus dengan Sebaran Frekuensi Klaim adalah Geometrik dan Sebaran Ukuran Klaim adalah Pareto. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada Rasulullah SAW beserta keluarga, sahabat dan umatnya hingga akhir zaman.

Tugas akhir ini penulis persembahkan untuk kedua orang tua dan seluruh keluarga yang selalu mendukung, menasehati dan mendoakan penulis dengan dukungan yang luar biasa. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah memberikan dorongan terhadap penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini, yaitu :

1. Kedua dosen pembimbing penulis, bapak I Gusti Putu Purnaba dan I Wayan Mangku atas bantuan dan bimbingannya sehingga penulis mampu menyelesaikan tugas akhir ini.

2. Bapak Effendi Syahril yang telah menjadi dosen penguji penulis saat sidang.

3. Untuk mamah, bapa, a gugum dan teh astri, teh pipit, de’satya, dan mas toni, a asep dan nur, juga keluarga besar mamah dan bapa, yang telah memberikan kasih sayang, nasehat, dukungan, serta doanya.

4. K’Prima yang selalu ada, mendukung dan mendoakan penulis dalam situasi apapun, makasih atas segalanya.

5. Sahabat-sahabat penulis di karawang, retno, ratna, dilah, nunu, mey, atas doa dan kebersamaan kita selama ini, semoga tiada akhir.

6. Buat teman-teman di sini, dee-dee, ayu, liay, amy, memed, widya, makasih atas doa, support dan semua pengalaman bersama kalian, dengan kalian penulis belajar banyak hal.

7. Teman-teman matematika angkatan 41, tities, fitrie, penny, yang telah menjadi pembahas penulis pada saat seminar, mba’situl makasih catatannya, mukti, rofah yang deg-degan bareng waktu seminar, eci, roma, enny, eva, endit, uwie, iyank, dian, nene’, maetom, liam, jannah, nyit-nyit, hasi, enyon, rinzul, mb’sifa, tia, mb’maryam, rite, ria, qurenz, mahar, ika, yeni, cocom, fredo, adji, racil, dika, iboy, udin, great, chubby, zali, yaya, idris, momo, mazid, mimin, triyadi, cumi, amin, deni, yos, hendri, kebersamaan selama kuliah jadi kenangan indah, kita kumpul lagi tanggal 28 Desember 2008.

8. Seluruh dosen matematika IPB, penulis mampu menyelesaikan tugas akhir ini atas segala ilmu yang telah diberikan, dan kepada staf dan TU matematika IPB, bu susi, bu ade, mas deni, bu marisi, mas yono, dan lain-lain, atas bantuan yang telah diberikan kepada penulis.

9. Semua crew Istana 200, riza, k’nana, k’dian, ayu, dinda, iffa, fitri, nida dan lain-lain. Kamar 12 tempat penulis merenung dengan laptopnya yang menemani mengerjakan tugas akhirnya hingga selesai.

10. Semua kakak dan adik kelas penulis Matematika IPB, teh wali, teh mayang, untuk k’rency, gandronk, teh mika, dan teh ifni makasih atas tugas akhirnya yang sedikit banyak membantu penulis dalam hal bahasan ataupun materinya, dan semua kakak dan adik kelas matematika yang lain.

11. Juga untuk semua pihak yang membantu penulis, yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu, makasih banyak untuk semuanya.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pihak lain umumnya yang membutuhkan.

Bogor, Januari 2008

(8)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Karawang, 27 April 1987 dari pasangan Drs.H. Ading Safruddin, MM dan Hj. Badriah, A.Ma.Pd sebagai anak keempat dari empat bersaudara.

Pada tahun 1998 penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Nagasari XII Karawang, yang dalam tahun yang sama penulis juga menyelesaikan sekolah agama di Al-Irsyad al-islamiyah Karawang. Kemudian penulis melanjutkan pendidikannya ke Sekolah Lanjut Tingkat Pertama di SLTPN I Karawang. Pada tahun 2001 penulis memasuki pendidikan Sekolah Menengah Atas di SMAN I Karawang. Setelah lulus SMU pada tahun 2004, penulis melanjutkan kuliah di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB.

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif pada beberapa kegiatan kemahasiswaan yaitu penulis pernah menjadi anggota himpro Gugus Mahasiswa Matematika IPB periode 2005-2006 sebagai anggota divisi kewirausahaan. Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara -acara antara lain Try Out Gumatika tahun 2005 dan 2006, Pelatihan Software MATLAB dan Mathematica 2006, Welcome Ceremony Mathematics 2006 dan 2007, Matematika Ria 2006 dan 2007, dan beberapa kegiatan kemahasiswaan matematika lainnya.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI... vii

DAFTAR TABEL... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

LANDASAN TEORI ... 1

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang... 1

Peubah Acak dan Sebarannya ... 2

Nilai Harapan ... 3

Likelihood ... 3

Pendekatan Bayes ... 4

DESKRIPSI MASALAH... 4

Sistem Bonus-Malus Klasik... 4

Sistem Bonus-Malus Optimal ... 6

PEMBAHASAN DAN APLIKASI... 8

Sistem Bonus-Malus Klasik... 8

Sistem Bonus-Malus Optimal ... 8

SIMPULAN ... 10

DAFTAR PUSTAKA ... 10

(10)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1. Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim... 8

Tabel 2. Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim sebesar 250000) ... 9

Tabel 3. Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim sebesar 1000000)... ... 9

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1. Grafik fungsi kepekatan peluang sebaran inverse-gamma ... 17

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran geometrik ... 12

Lampiran 2. Perhitungan premi sistem Bonus-Malus klasik dengan pendekatan Bayes ... 14

Lampiran 3. Maximum Likelihood Estimation (MLE) ... 16

Lampiran 4. Sebaran inverse-gamma ... 17

Lampiran 5. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran Pareto ... 18

Lampiran 6. Perhitungan premi sistem Bonus-Malus optimal dengan pendekatan Bayes... 20

Lampiran 7. Bukti nilai harapan dari sebaran gamma... 23

Lampiran 8. Bukti nilai harapan dari sebaran inverse-gamma ... 25

Lampiran 9. Bukti solusi Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik ... 27

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Asuransi merupakan sarana bagi para pemegang polis dalam mengantisipasi adanya kerugian secara finansial yang akan dihadapi akibat suatu kejadian yang tidak diharapkan. Berbagai jenis sistem ditawarkan oleh perusahaan asuransi, salah satunya adalah sistem Bonus-Malus.

Sistem Bonus-Malus merupakan sistem yang dalam pembayaran premi resikonya disesuaikan dengan sejarah dari klaim setiap pemegang polis. Bonus biasanya merupakan pemotongan premi resiko yang diberikan apabila tidak terjadi klaim, sedangkan malus merupakan penambahan premi resiko yang diberikan apabila suatu yang diasuransikan merupakan suatu klaim.

Karya tulis ini merupakan rekonstruksi dari Mehmet dan Saykan (2005) yang membahas mengenai dua sistem Bonus-Malus yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Malus optimal. Kedua sistem Bonus-Malus tersebut memiliki perbedaan yang cukup mendasar.

Sistem Bonus-Malus klasik merupakan sistem yang dalam perhitungan premi resikonya hanya berdasarkan banyaknya klaim yang dibuat oleh setiap pemegang polis. Dalam sistem Bonus-Malus ini, baik

pemegang polis asuransi yang mengalami kerugian kecil ataupun besar akan memperoleh beban premi yang sama.

Sistem Bonus-Malus optimal merupakan sistem yang dalam perhitungan premi resikonya berdasarkan dua hal yaitu banyaknya klaim yang dibuat (frekuensi) dan ukuran klaim dari setiap pemegang polis. Sistem Bonus-Malus dikatakan optimal jika total jumlah bonus sama dengan total jumlah malus dan jika setiap pemegang polis membayarkan premi resiko yang proporsional dengan resiko yang dihadapi.

Tujuan

Tujuan penulisan karya tulis ini adalah: 1. Mempelajari penghitungan premi resiko

yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi dengan kedua sistem Bonus-Malus tersebut.

2. Mempelajari perbandingan sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Bonus-Malus optimal, dengan frekuensi klaim memiliki sebaran geometrik dan ukuran klaim memiliki sebaran Pareto.

LANDASAN TEORI

Ruang contoh, Kejadian dan Peluang

Definisi 1 (Percobaan acak)

Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak.

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 2 (Ruang contoh dan kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Definisi 3 (Medan-σ)

Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut : 1. ∅∈F , 2. Jika A ∈F maka c A ∈F , 3. Jika A A1, 2,...∈F maka 1 i i A ∞ = ∈

∪

F .

[Grimmett dan Stirzaker,1992] Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi P:F → ⎡ ⎤_{⎣ ⎦}0,1 pada (Ω,F) yang memenuhi :

(12)

2

1. P

( )

∅ =0,P

( )

Ω =1,

2. Jika A A1, 2,...∈F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai∩Aj= ∅ untuk setiap pasangan i≠ j, maka

( )

1 1 i i i i P A P A ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝

∪

⎠

∑

.

[Grimmett dan Stirzaker,1992] Peubah Acak dan Sebarannya

Definisi 5 (Peubah Acak)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X:Ω → dengan sifat

( )

{

ω∈ Ω: X ω ≤x

}

∈F untuk setiap x∈ . [Grimmett dan Stirzaker,1992] Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari .

[Grimmett dan Stirzaker,1992] Catatan :

Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p: → ⎡ ⎤_{⎣ ⎦}0,1 yang diberikan oleh :

( )

(

)

X

p x =P X=x .

[Grimmett dan Stirzaker,1992] Definisi 8 (Sebaran Poisson)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Poisson dengan parameter λ, jika memiliki fungsi massa peluang :

( )

; , 0,1, 2,... dengan 0 ! x X e p x x x λ_λ λ = − = λ> .

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 9 (Sebaran Geometrik)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar geometrik dengan parameter θ, jika memiliki fungsi massa peluang :

( ) (

)

; 1 , dengan 0,1, 2,... dan 0 1. x X p x x θ θ θ θ = − = < <

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 10 (Sebaran Binom Negatif)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar binom negatif dengan parameter r dan p, jika memiliki fungsi massa peluang :

( )

1

(

)

; 1 , 1 dengan 0 1 , , 1, 2,... 1 ( 1)! . 1 ( )!( 1)! x r r X x p x p p p r p x r r r x x r x r r − − ⎛ ⎞ =⎜ ₋ ⎟ − ⎝ ⎠ < < = + + − ⎛ ⎞₌ − ⎜ ₋ ⎟ ₋ ₋ ⎝ ⎠ [Ghahramani, 2005] Definisi 11 (Fungsi Sebaran)

MisalkanX adalah suatu peubah acak dengan ruang A. Fungsi sebaran dari peubah acak

X dinyatakan sebagai,

( )

(

)

.

X

F x =P X≤x

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi fX

( )

x sehingga fungsi sebaran

( )

(

)

X

F x =P X≤x dapat dinyatakan sebagai

( )

x

( )

X X

F x f u du

−∞

=

_∫

,

x∈R, dengan f: →⎡⎣0,∞

)

adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X .

[Grimmett dan Stirzaker,1992] Definisi 13 (Sebaran Eksponensial)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter θ, jika X memiliki fungsi kepekatan peluang :

( )

; x , 0

X

f xθ =θe−θ x> dan θ>0. [Ghahramani, 2005] Definisi 14 (Sebaran Gamma)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar gamma dengan parameter α dan β , dinotasikan gamma

(

α β,

)

, jika memiliki fungsi kepekatan peluang :

(

)

_{( )}

1 ; , , x X x e g x x α β α α β α β − − + = ε Γ

dengan α>0,β>0 dan 0,Γ

( )

α > dimana

( )

1 0 y yα e dy α ∞ − − Γ =

_∫

.

(13)

3

Definisi 15 (Sebaran Inverse-Gamma) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar inverse-gamma dengan parameter sdan m, jika memiliki fungsi kepekatan peluang :

(

)

( )

1 1 ; , , dengan 0, 0 dan 0. m x X s e m g x s m x s m s m x − + = ⎛ ⎞ Γ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ > > >

[

Hogg dan Klugman, 1984] Definisi 16 (Sebaran Pareto)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Pareto dengan parameter x0 dan α, jika memiliki fungsi kepekatan peluang :

(

)

( )

( 1) 0 0 0 ; , , , 0 X f xα x =xαα x − +α x≥x α> . [Bowers et al, 1997] Definisi 17 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)

Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suatu fungsi 2

[ ]

: 0,1

F →

yang didefinisikan oleh

(

,

)

(

,

)

XY

F x y =P X≤x Y≤y .

[Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 18 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Marjinal)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah

( )

, 2 XY

(

,

)

XY F x y f x y x y ∂ = ∂ ∂

dan fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak Y adalah

( )

(

,

)

Y XY

f y ∞ f x y dx

−∞

= ∫ .

[Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 19 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marginal fY

( )

y >0. Fungsi kepekatan

peluang bersyarat dari X dengan syarat Y=yadalah |

(

)

( )

_{( )}

, | XY X Y Y f x y f x y f y = .

[Grimmet dan Stirzaker, 1992]

Nilai Harapan

Definisi 20 (Nilai Harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pX

( )

x , maka nilai harapan dari X , dinotasikan dengan E X

( )

, adalah

( )

X

( )

x

E X =

∑

x p x ,

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika X adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang fX

( )

x , maka nilai harapan dari X adalah

( )

X

( )

E X x f x dx

∞

−∞

=

_∫

,

asalkan integral di atas konvergen mutlak.

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 21 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan f_{X Y}_|

(

x y|

)

adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y=y. Nilai harapan dari X dengan syarat Y=y adalah

[

|

]

X Y|

(

|

)

E X Y y xf x y dx ∞ −∞ = =

_∫

.

[Hogg dan Craig, 1995] Likelihood

Definisi 22 (Fungsi Likelihood)

Misalkan X X1, 2,...,Xn adalah contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang f x

( )

;θ , dengan x merupakan realisasi dari peubah acak X . Fungsi kepekatan peluang bersama dari X X1, 2,...,Xn (fungsi likelihood) adalah :

( )

;

(

1;

) (

2;

) (

... n;

)

L xθ = f x θ f x θ f x θ . Fungsi kemungkinan maksimum merupakan maksimum dari fungsi likelihood.

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 23 (Maximum Likelihood

Estimation)

Misalkan X X1, 2...,Xn adalah contoh acak berukuran n dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang f x

( )

;θ . Penduga kemungkinan maksimum bagi θ dinotasikan dengan θˆ, adalah f X

(

1,...,Xn

)

yang

(14)

4

memaksimumkan fungsi likelihood

(

1,..., n;

)

L X X θ .

[Hogg dan Craig, 1995] Pendekatan Bayes

Definisi 24 (Sebaran Prior)

Suatu peubah acak X yang memiliki fungsi kepekatan peluang bersama yang dilambangkan dengan f x

(

1,...,xnθ

)

dan fungsi marjinal u

( )

θ , dinamakan sebaran prior.

[Arnold,1990] Definisi 25 (Sebaran Posterior)

Misalkan peubah acak X memiliki sebaran prior dengan fungsi kepekatan peluang bersama f x

(

1,...,xnθ

)

dan θ memiliki fungsi kepekatan peluang marjinal u

( )

θ . Fungsi kepekatan peluang gabungan dari

(

X,θ

)

dilambangkan dengan U

(

θ x x1, 2,...,xn

)

dinamakan fungsi kepekatan peluang dari sebaran posterior, dan dinyatakan dengan :

(

)

₍

(

1 2

₎

)

_{( )}

( )

2 1 1 2 , ,..., , ,..., , ,..., n n n f x x x u U x x x f x x x u d θ θ θ θ θ θ =

∫

. [Arnold,1990] Definisi 26 (Fungsi Kerugian)

Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan parameter θ dan penduga parameternya δ

( )

θ . Fungsi kerugian (loss function) dari parameter tersebut adalah :

; 0,

L X⎡_⎣ θ⎤_⎦≥ ∀X, dan

(

;

)

0 jika

( )

L X θ = X = δθ .

Fungsi kerugian kuadratik merupakan fungsi kerugian dengan kesalahan kuadrat dari parameter tersebut yang dinyatakan dengan :

( )

2

;

L X⎡_⎣ δθ ⎤ ⎡_{⎦ ⎣}= X− δθ ⎤_⎦ .

[Bain dan Engelhardt, 1993] Definisi 27 (Fungsi Resiko)

Fungsi resiko adalah nilai harapan dari fungsi kerugian, yang dinyatakan sebagai berikut :

( )

(

;

)

X

R θ = ⎣E L X⎡ θ ⎤_⎦.

[Bain dan Engelhardt, 1993] Definisi 28 (Solusi Bayes)

Misalkan θ adalah suatu parameter dengan penduga parameternya θˆ, dengan fungsi kerugian L⎡_⎣θ θ,ˆ⎤_⎦ dan nilai harapan dari fungsi kerugian tersebut E L⎡_⎢_⎣

( )

θ θ,ˆ ⎤_⎥_⎦, dikatakan solusi Bayes jika penduga parameter θˆ meminimumkan E L

( )

θ θ,ˆ Y y L θ θ,ˆ k

( )

θ y dθ ∞ −∞ ⎡ ₌ ⎤₌ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

.

[Hogg dan Craig, 1995] Solusi Bayes ini tergantung dari fungsi kerugiannya, sehingga :

• Jika digunakan fungsi kerugian kuadratik

( )

2

( )

ˆ ˆ , E L θ θ Y y θ θ k θ y dθ ∞ −∞ ⎡ ₌ ⎤₌ ₋ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

,

maka dengan solusi Bayes :

( )

ˆ _E _y

θ= θ .

• Jika digunakan fungsi kerugian mutlak

( )

_,ˆ ˆ

( )

E L θ θ Y y θ θ k θ y dθ ∞ −∞ ⎡ ₌ ⎤₌ ₋ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

,

maka dengan solusi Bayes : θˆ=med f

( )

θ y .

DESKRIPSI MASALAH

Seseorang yang menjadi pemegang polis suatu perusahaan asuransi diharuskan membayar premi resiko atas klaim yang dibuat, penetapan besarnya premi resiko dihitung berdasarkan sistem yang digunakan oleh perusahaan asuransi tersebut. Salah satu jenis sistem yang digunakan oleh suatu perusahaan asuransi adalah sistem Bonus-Malus.

Terdapat dua jenis sistem Bonus-Malus yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal. Kedua jenis sistem tersebut berbeda, karena hal yang akan

mempengaruhi perhitungan premi resiko setiap pemegang polis berbeda pula. Setiap pemegang polis diharuskan membayar premi resiko berdasarkan sejarah dari klaim pemegang polis tersebut.

Sistem Bonus-Malus klasik

Dalam sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi hanya bergantung pada frekuensi klaim. Frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis asuransi berbeda-beda

(15)

5

sehingga nilai harapan dari banyaknya klaim yang diajukan pun berbeda-beda.

Misalkan pada asuransi mobil yang memiliki portofolio yang berbeda (heterogen), setiap pemegang polis memiliki resiko dasar yang tidak sama atas kejadian yang dialaminya. Willmot (1993) menyebutkan bahwa sebaran Poisson campuran memberikan hasil yang baik untuk data frekuensi klaim ketika portofolionya bersifat heterogen. Maka pada karya tulis ini digunakan sebaran Poisson campuran sebagai sebaran dari frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis tersebut yaitu sebaran geometrik.

Parameter dari frekuensi klaim dilambangkan dengan λ yang memiliki sebaran Poisson dan parameter λ tersebut menyebar eksponensial, sehingga frekuensi klaim untuk setiap pemegang polis merupakan sebaran geometrik. Diasumsikan banyaknya klaim yang diajukan dinyatakan dengan k yang menyebar Poisson dengan parameter λ.

(1) ( ) ! k k e P k k λ_λ λ = − , k=0,1, 2,...dan λ>0,

dengan λ menyatakan perbedaan resiko yang mendasari atas klaim dari setiap pemegang polis tersebut. Asumsikan λ menyebar eksponensial dengan parameter θ, maka fungsi kepekatan peluangnya adalah :

(2) u( )λ =θe−λθ

,

λ>0 dan θ>0.

Kemudian sebaran tak bersyarat dari k yang merupakan sebaran geometrik dengan parameter 1 θ θ ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ⎟

⎝ ⎠ (diuraikan pada Lampiran

1) adalah : (3)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 (1 ) 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ! ! ! 1 1 ! 1 ( !) ! 1 k k k u k k k k P k P k u d e e d k e d k e u du k k k k k λ λ λθ λ θ λ λ λ λ θ λ θ _{λ λ} θ θ θ θ θ θ ∞ ∞ − − ∞ − + ∞ − + + + = = = = + = Γ + + = +

∫

( )

(

)

1 1 1 , 1 1 dengan k = 0,1,2,... dan 0 1. k k k P k θ θ θ θ θ θ + = + ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜_⎝ ₊ ⎟⎜_⎠⎝ ₊ ⎟_⎠ < <

Misalkan ki menyatakan banyaknya klaim dari setiap pemegang polis dalam tahun

i

,

dengan i=0,1, 2,...,t

.

Total banyaknya klaim yang terjadi dalam t tahun adalah

1 t

i i

K=

∑

₌k . Maka total banyaknya klaim dalam t tahun menyebar Poisson dengan parameter λ : (4)

(

1 2

)

1 , ,..., ! t K K t t i i e P k k k k λ_λ λ − = =

∏

.

Untuk menduga parameter dari frekuensi klaim tersebut, digunakan pendekatan Bayes dengan quadratic loss function (fungsi kerugian kuadratik). Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari kumpulan klaim pemegang polis dalam t tahun, k k1, 2,...,kt, dan fungsi kepekatan peluang dari λ maka diperoleh sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim tersebut yaitu :

(

1 2

) (

1 2

)

( )

( ) , ,..., , ,..., . t t t K t K U k k k P k k k u e e e λ λθ λ θ λ λ λ λ λ − − − + ∝ ∝ ∝ Jika ( ) 0 1 t K Ae λ θλ λd ∞ − + ₌

∫

dengan, 1 ( ) ( 1) K t A K θ + + = Γ + , A adalah konstan

(nilai A diperoleh dengan perhitungan pada Lampiran 2), maka (5)

(

)

1 ( ) 1 2 ( ) , ,..., , 0 ( 1) K t K t t U k k k e K λ θ θ λ ₌ + + − + λ λ_> Γ +

(

1 2

)

1 , ,..., 1, ( ) t U k k k gamma K t λ θ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ ∼ .

Menghitung atau mengukur kerugian dari suatu yang diasuransikan menggunakan fungsi kerugian kuadratik (lihat pada Lampiran 2). Misalkan penduga parameter λ atau banyaknya klaim pada tahun t+1 adalah λˆt+1. Fungsi kerugian dari penduga parameter itu adalah L( ,λ λˆt+1). Penduga λˆt+1 yang akan

(16)

6

meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian tersebut

(

E L⎣⎡

(

λ λ,ˆt+1

)

⎤⎦

)

. Karena menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu

(

) (

)

2

1 1

ˆ ˆ , _t _t

L λ λ₊ = λ₊ −λ , maka dengan solusi Bayes, λˆt+1 sama dengan nilai harapan dari banyaknya klaim yang terjadi pada setiap pemegang polis dengan sejarah klaim

1, 2,..., t

k k k (dibuktikan pada Lampiran 9) :

(6)

( )

1 ˆ 1 1 1 , dengan . 1 t E _K K t K t λ λ θ λ λ λ θ + = + = + + = = +

Nilai harapan dari sebaran gamma dibuktikan pada Lampiran 7. Nilai λ diperoleh dengan menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE). (dijelaskan pada Lampiran 3)

Jika diasumsikan premi resiko awal pada saat t=0 dinyatakan dengan p0, maka premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi pada tahun t+1, adalah : (7) 1 0 1 . 1 t K premi p tλ + + = +

Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa premi resiko yang harus dibayarkan pada tahun t+1 hanya bergantung pada banyaknya klaim (frekuensi) yang diajukan setiap pemegang polis.

Sistem Bonus-Malus optimal

Dalam sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi, selain berdasarkan frekuensi klaim, tetapi juga berdasarkan ukuran klaim.

Ukuran klaim dilambangkan dengan θ diasumsikan memiliki sebaran eksponensial dan parameter θ tersebut merupakan nilai dari peubah acak yang memiliki sebaran inverse-gamma, maka ukuran klaim memilki sebaran Pareto. Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan x

.

Untuk setiap pemegang polis, x menyebar eksponensial dengan parameter θ, fungsi kepekatan peluangnya adalah :

(8) f x

( )

θ 1e xθ , θ 0

θ

−

= > .

Sebaran dari θ adalah inverse-gamma dengan parameter s dan m , fungsi kepekatan peluangnya adalah :

(9)

( )

1 1 , 0 m s e m g s m θ θ θ θ − + = > ⎛ ⎞ Γ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

.

[Hogg and Klugman, 1984] Fungsi kepekatan peluang dari sebaran inverse gamma merupakan inverse dari fungsi kepekatan peluang sebaran gamma, yang telah dibuktikan pada Lampiran 4.

Nilai harapan dari rata-rata ukuran klaim

θ(dibuktikan pada Lampiran 8) adalah :

(10)

( )

1 m E s θ = − .

[Frangos dan Vrontos, 2001] Sebaran tak bersyarat dari x yang merupakan sebaran Pareto dengan fungsi kepekatan peluangnya (diuraikan pada Lampiran 5), adalah :

( )

(

)

0 1 0 ( ) 2 0 1 0 1 1 11 ( ) ( ) m x s x m s s s s u x f x f x g d e m e d s m m e d s m u e du s x m θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ∞ − ∞ ₋ + + − ∞ + ∞ − + = = ⎛ ⎞ Γ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = Γ = − Γ +

∫

(

)

( 1) , 0. s s m s x m − + x = + >

Misalkan xi dinotasikan sebagai ukuran dari klaim setiap pemegang polis dalam tahun i

,

i=0,1, 2,...,K. Total ukuran klaim yang terjadi untuk setiap pemegang polis dalam

ttahun adalah 1 K k k X x =

=

∑

. Maka sebaran total ukuran klaim menyebar eksponensial dengan parameter θ

:

(12)

(

)

1 1 1 2 1 , ,..., K k k t i i x K k f x x x θ e θ θ = = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ = ∑

.

(17)

7

Menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Digunakan pendekatan Bayes dengan quadratic loss function (fungsi kerugian kuadratik) untuk menduga parameter dari ukuran klaim tersebut. Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total ukuran klaim setiap pemegang polis dengan K klaim sampai t tahun, x x1, 2,...,xK, dan fungsi kepekatan peluang dari θ maka diperoleh sebaran posterior dari parameter ukuran klaim tersebut :

(

) (

)

( )

1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 , ,..., , ,..., 1 1 K k k t i i K k k t i i k K K x m s k x m k s x g x x x f x x x g e e m e e θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = = = − ₋ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ + +⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∝ ∑ ∝ ⎛ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∝ ∑ ∝ 1 1 1 1 1 1 . K t k i i K k k t i i m k s x m k s e θ θ θ θ = = = = ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ _⎛ _⎞ ⎜ ⎟ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ −_⎜ + +_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −_⎜ + +_⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∝ ∑ Jika 1 1 1 0 1 K t k k i i x m k s Ae θ θ dθ = = ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ _⎛ _⎞ ⎜ ⎟ ∞ ₋⎝ ⎠ −⎜_⎜ + +⎟_⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ =

∫

dengan,

(

)

( ) 1 K s K k k x m A K s + = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = Γ +

∑

,

maka, diperoleh sebaran posterior dari ukuran klaim tersebut, yaitu :

(

13)

(

)

(

)

1 1 1 2 ( 1) 1 1 , ,..., , 0 K k k x m K k k K K s K k k e x m g x x x K s x m θ θ θ θ = ⎛ ⎞ ⎜ +⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = + + = ∑ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = > ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Γ + ⎜ ₊ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(

1 2

)

1 , ,..., - , K K k k gθx x x inverse gamma K s x m = ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ ∼

.

Karena menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu L

(

θ θ,ˆt+1

) (

= θˆt+1−θ

)

2 , maka dengan solusi Bayes , penduga parameter θ atau ukuran klaim pada tahun t+1

dilambangkan dengan θˆt+1 sama dengan nilai harapan dari jumlah ukuran klaim x x1, 2,...,xK dalam t tahun diduga sebagai :

(14)

( )

1 1 ˆ 1 K k k t x m E X _K _s θ θ = + + = = + −

∑

. (lihat pada Lampiran 6)

Jika premi resiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim, k k1, 2,...,kt, tetapi juga bergantung pada ukuran klaim yaitu x x1, 2,...,xK, maka premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis pada tahun t+1, adalah :

(15) 1 1 1 . 1 K k k t x m K premium t θ K s = + + + = + + −

∑

.

(18)

PEMBAHASAN DAN APLIKASI

Sistem Bonus-Malus klasik

Misalkan pada suatu perusahaan asuransi mobil, banyaknya klaim diasumsikan menyebar geometrik, dipilih parameter θ sebesar 1,25. Dalam perhitungan premi resiko ini digunakan Net Premium Principle (Prinsip Premi Bersih).

Asumsikan premi resiko yang harus dibayarkan setiap pemegang polis setara pada tahun pertama. Misalkan premi resiko pada tahun t=0 adalah 100. Jika pemegang polis mengajukan satu klaim

(

K=1

)

di tahun pertama, maka premi resiko yang harus dibayarkan adalah 100 1 1 111 1 1 1, 25 + = + .

Seorang pemegang polis yang mengajukan 2

klaim

(

K=2

)

di tahun ke-3

(

t=3

)

, premi resiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis adalah 100 1 2 88 3 1 1, 25 + ₌ + . Jika pemegang

polis tidak mengajukan klaim sama sekali selama tahun yang ditetapkan maka ia akan mendapat bonus yang cukup tinggi. Sedangkan jika setiap pemegang polis sudah mengajukan banyak klaim di tahun pertama maka ia akan mendapat malus yang sangat tinggi.

Tabel berikut dapat dilihat perhitungan premi resiko dalam 7 tahun dengan variasi klaim K=0,1, 2,...5 menggunakan persamaan (7) dengan software Microsoft Excel.

Tabel 1. Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim

Tahun Banyaknya Klaim

t 0 1 2 3 4 5 0 100 1 56 111 167 222 278 333 2 38 77 115 154 192 231 3 29 59 88 118 147 176 4 24 48 71 95 119 143 5 20 40 60 80 100 120 6 17 34 52 69 86 103 7 15 30 45 61 76 91

Dari tabel di atas dapat dilihat, bonus akan didapatkan pada tahun pertama oleh seorang pemegang polis yang tidak mengajukan klaim, pemegang polis tersebut akan mendapat bonus 44% dari premi resiko awal. Sedangkan jika pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka pemegang polis harus membayar malus sebesar 11% dari premi resiko awal.

Dari tabel di atas juga dapat dilihat bahwa pemegang polis yang tidak mengajukan klaim sama sekali selama 7 tahun maka ia akan mendapat bonus sebesar 85% dari premi resiko awal. Kemudian malus yang tinggi akan diperoleh, jika pemegang polis mengajukan 5 kali klaim saat tahun pertama. Ia harus membayar premi resiko tiga kali lipat lebih dari premi resiko awal.

Sistem Bonus-Malus optimal

Misalkan pada perusahaan asuransi mobil seperti di aplikasi sebelumnya, kita gunakan sistem Bonus-Malus yang dalam perhitungan premi resikonya berdasarkan dua komponen yaitu komponen frekuensi dan ukuran klaim. Premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan sistem Bonus-Malus optimal dihitung dengan menggunakan persamaan (15).

Seperti pada aplikasi yang sebelumnya, frekuensi klaim menyebar geometrik dengan parameter θ, dipilih nilainya sebesar 1,25.

Total ukuran klaim diasumsikan menyebar Pareto, dengan parameter m dan

s dari sebaran tersebut dipilih sebesar 495000 dan 2,5. Total ukuran klaim dipilih sebesar 250000 dan 1000000, diambil dua total ukuran klaim yang berbeda untuk membandingkan efek dari total ukuran klaim terhadap premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis.

Dengan ukuran klaim 250000, jika seorang pemegang polis mengajukan satu klaim di tahun pertama, maka ia harus membayar premi resiko sebesar 264889

(19)

9

(lihat Tabel 2), jadi ia mendapatkan malus dari perusahaan asuransi tersebut. Sedangkan jika total ukuran klaim 1000000, seorang pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun pertama, ia harus membayar premi resiko sebesar 531556 (lihat Tabel 3), ia membayar malus yang lebih tinggi.

Pada Tabel 2 dan 3, dapat dilihat perhitungan premi resiko dari beberapa contoh kasus pemegang polis dengan variasi klaim,

0,1, 2,...,5

K= , dan total ukuran klaim sebesar 250000 dan 1000000, sampai tahun ke-7 menggunakan persamaan (15) dengan software Microsoft Excel.

Tabel 2. Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim sebesar 250000)

T 0 1 2 3 4 5 0 264000 1 146667 264889 283810 294321 301010 305641 2 101538 183385 196484 203761 208392 211598 3 77647 140235 150252 155817 159358 161810 4 62857 113524 121633 126138 129004 130989 5 52800 95360 102171 105956 108364 110031 6 45517 82207 88079 91341 93417 94854 7 40000 72242 77403 80269 82094 83357

Tabel 3. Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim sebesar 1000000)

T 0 1 2 3 4 5 0 264000 1 146667 531556 569524 590617 604040 613333 2 101538 368000 394286 408889 418182 424615 3 77647 281412 301513 312680 319786 324706 4 62857 227810 244082 253122 258874 262857 5 52800 191360 205029 212622 217455 220800 6 45517 164966 176749 183295 187461 190345 7 40000 144970 155325 161077 164738 167273

Dari kedua tabel di atas dapat dilihat bahwa bagi seorang pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim 250000, jika mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka ia akan membayar premi resiko yang lebih tinggi dari premi resiko awal. Sedangkan bagi seorang pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim sebesar 1000000, jika ia mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka ia harus membayar premi resiko yang jauh lebih tinggi dari premi resiko awal.

Kedua pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim yang berbeda akan sama-sama mendapat bonus dari perusahaan asuransi tersebut, apabila pemegang polis tidak mengajukan klaim sama sekali selama 7 tahun.

Oleh karena itu premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis berbeda-beda bergantung pada banyaknya klaim dan total ukuran klaim dari setiap pemegang polis asuransi tersebut.

(20)

SIMPULAN

Karya tulis ini telah membandingkan

sistem Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal, yang biasa digunakan beberapa perusahaan asuransi seperti perusahaan asuransi mobil. Kedua sistem Bonus-Malus ini memiliki dasar perhitungan premi yang berbeda.

Dapat dilihat dari aplikasinya, sistem Bonus-Malus klasik ini bisa dikatakan tidak adil karena perhitungan premi resiko dari setiap pemegang polis tidak bergantung pada ukuran klaim setiap pemegang polis. Sedangkan perusahaan asuransi dengan sistem

Bonus- Malus optimal cukup adil karena premi resiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis asuransi proporsional dengan resiko yang dihadapi. Premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan kerugian yang kecil dan besar adalah berbeda. Sistem Bonus-Malus ini bergantung pada frekuensi dan total ukuran klaim dari setiap pemegang polis tersebut.

Oleh karena itu, beban premi yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan sistem Bonus-Malus optimal lebih adil dibandingkan sistem Bonus-Malus klasik.

DAFTAR PUSTAKA

Arnold, S. F. 1990. Mathematical Statistics.

Prentice Hall, Inc. New Jersey. Bain, L. J dan M. Engelhardt. 1992.

Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Ed ke-2. PWS-KENT publishing Company, Boston.

Bowers, N. L. Jr. et al. 1997. Actuarial Mathematics. The society of Actuaries. Schaumburg. Illinois.

Frangos, N. E. dan S. D Vrontos. 2001. Design of an Optimal Bonus-Malus Systems with a frequency and a severity component on an individual basis in Automobile Insurance. ASTIN Bulletin 31. 1-22.

Ghahramani, S. 2005. Fundamentals of Probability. Ed ke-3. Prentice Hall, Inc. NewJersey.

Grimmet, G.R dan D.R Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2. Clarendon Press.Oxford. New York.

Hogg, R.V dan A.T Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed Ke-5. Prentice Hall, Inc. New Jersey.

Hogg, R.V dan S.A Klugman. 1984. Loss Distributions. John Willey & Sons. NewYork.

Mert, M dan Y. Saykan. 2005. On a Bonus Malus System where The Claim Frequency Distribution is Geometri and The Claim Severity Distribution is Pareto. 75-81. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics.

Willmot, G. 1993. Mixed Compound Distributions. ASTIN Bulletin 16. 59-79.

(21)

(22)

12

Lampiran 1.

Sebaran tak bersyarat dari k (banyaknya klaim) adalah dengan mengintegralkan persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh :

0 0 0 (1 ) 0 ( ) ( ) ( ) ! ! . ! k k k P k P k u d e e d k e e d k e d k λ λ λθ λ λθ λ θ λ λ λ λ θ λ θ _{λ λ} θ _{λ λ} ∞ ∞ − − ∞ − − ∞ − + = = = =

∫

Dengan memisalkan (1 ) (1 ) u u λ θ λ θ = + ⇔ = + dan 1 (1 ) (1 ) du θ λd dλ du θ = + ⇒ = + maka :

( )

1 0 . !(1 ) u k k P k e u du k θ θ ∞ − + = +

∫

Dengan memisalkan kembali 1 . k k u u v u dv ku du dw e du w e − − − = ⇒ = = ⇒ = −

Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini sehingga diperoleh:

( )

0 1 0 1 0 1 1 0 !(1 ) . !(1 ) k u u k k u k k P k u e e ku du k k e u du k θ θ θ θ = _∞ − ∞ − − + ∞ − − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − + + ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎡ ⎤ = ₊ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga diperoleh :

( ) 0 1 2 0 1 0 2 1 0 ( 1) !(1 ) ( 1) . !(1 ) k u u k k u k k P k k u e e k u du k k k e u du k θ θ θ θ = _∞ − − ∞ − − + ∞ − − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − + − ⎢ ⎥ + _⎣ _⎦ ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥ + _⎣ _⎦

∫

Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh :

( )

(

)(

)

[

]

0 0 1 0 1 1 2 ... !(1 ) ( 1)( 2)...(1) !(1 ) u u k k P k k k k ue e du k k k k k θ θ θ θ = _∞ − ∞ − + + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − − + + ⎢_⎣ ⎥_⎦ = − − +

∫

(23)

13 ( ) 1 ! 1 k ( 1) !(1 ) (1 ) 1 , dengan 0,1,2,... dan 0 1 . 1 1 k k k P k k k k θ θ θ θ θ _θ θ θ + + = Γ + + = + ⎛ ⎞⎛ ⎞ =_⎜ _⎟⎜ _⎟ = < < + + ⎝ ⎠⎝ ⎠

Maka k yang dinyatakan sebagai frekuensi klaim dalam sistem Bonus-Malus ini memiliki sebaran geometrik dengan parameter

1 θ θ ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ .

(24)

14

Lampiran 2.

Kita gunakan pendekatan Bayes untuk menduga parameter dari sistem Bonus-Malus klasik yaitu

λ, dengan fungsi struktur posterior dari kumpulan frekuensi klaim pemegang polis dalam t tahun, 1, 2,..., t

k k k , maka diperoleh sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim tersebut : • Sebaran awal (prior distribution) :

Fungsi kepekatan peluang bersama dari total frekuensi klaim adalah

(

1 2

)

1 , ,..., ! t K t t i i e P k k k k λ_λ λ − = =

∏

dan fungsi kepekatan peluang dari λ:

( )

uλ =θe−λθ, λ >0

.

• Sebaran akhir (posterior distribution) :

(

1 2

) (

1 2

)

( )

( ) , ,..., , ,..., . t t t K t K U k k k P k k k u e e e λ λθ λ θ λ λ λ λ λ − − − + ∝ ∝ ∝ Jika ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 1 1 . t K t K t K Ae d A e d e d A λ θ λ θ λ θ λ λ λ λ λ λ ∞ − + ∞ − + ∞ − + = ⇔ = ⇔ =

∫

Dengan memisalkan ( ) ( ) u u t t λ θ λ θ = + ⇔ = + dan 1 ( ) ( ) du t d d du t θ λ λ θ = + ⇒ = + maka : 1 0 1 1 . ( ) u K K e u du A t θ ∞ − + ⇔ = +

∫

Dengan memisalkan kembali

1 . K K u u v u dv Ku du dw e du w e − − − = ⇒ = = ⇒ = −

Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini, maka : 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ( ) 1 1 . ( ) K u u K K u K K u e e Ku du A t K e u du A t θ θ = _∞ − ∞ − − + ∞ − − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⇔ = − + + ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎡ ⎤ ⇔ = _⎢ _⎥ + _⎣ _⎦

∫

Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali, maka :

0 1 2 0 1 0 1 1 ( 1) ( ) K u u K K K u e e K u du A t θ = _∞ − − ∞ − − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⇔ = − + − ⎢ ⎥ + _⎣

∫

_⎦

(25)

15 2 1 0 1 1 ( 1) ( ) u K K K K e u du A t θ ∞ − − + ⎡ ⎤ ⇔ = ₊ ⎢ − ⎥ ⎣

∫

⎦

.

Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang dari persamaan di atas, maka :

[

]

0 0 1 0 1 1 1 1 1 ( 1)( 2)... ( ) 1 1 ( 1)( 2)...(1) ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( ) . ( 1) u u K K K K K K K ue e du A t K K K A t K A t t A K θ θ θ θ = _∞ − ∞ − + + + + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⇔ = − − − + + ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⇔ = − − + ⇔ = Γ + + + ⇔ = Γ +

∫

Sehingga diperoleh, (5)

(

)

1 ( ) 1 2 ( ) , ,..., , 0 ( 1) K t K t t U k k k e K λ θ θ λ ₌ + + − + λ λ_> Γ +

(

1 2

)

1 , ,..., 1, ( ) t U k k k gamma K t λ θ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ ∼ .

Dengan menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu L

(

λ λ,ˆt+1

) (

= λˆt+1−λ

)

2, diperoleh solusi Bayes : (6)

( )

1 ˆ 1 1 1 , dengan . 1 t E _K K t K t λ λ θ λ λ λ θ + = + = + + = = + Maka 1 1 ˆ 1 t K t λ λ λ + + = + , dengan 1 λ θ = .

(26)

16

Lampiran 3.

Pada karya tulis ini digunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk menduga parameter

λ terhadap θ. Maka penduga parameter λ terhadap θ adalah :

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 , ln , ln . ln , . n i i i n n i n i i n i i eksponensial L e e L n L n θ λ λ θ λ θ λ θ θ θ λ θ θ θ λ λ θ λ θ θ = − − = = = ∑ = = ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ ∂ _{= + −}⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ _⎝ _⎠

∏

∑

∼

Dengan MLE maka ln

(

L

(

λ θ,

)

0

θ ∂ = ∂ 1 1 1 0 1 1 . n i i n i i n i i n n n λ θ λ θ λ θ λ θ = = = ⎛ ⎞ ⇔ + −_⎜ _⎟= ⎝ ⎠ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

∑

Maka diperoleh penduga parameter λ terhadap θadalah : λ =_θ1.

(27)

17

Lampiran 4.

Sebaran inverse-gamma memiliki fungsi kepekatan peluang yang merupakan inverse dari fungsi kepekatan peluang sebaran gamma.

Bukti :

- ( , )

inverse gamma s m

θ∼

Jika θ∼inverse gamma- ( , )α β maka ₁ 1

( , )

gammaα β

θ∼ −

Fungsi kepekatan peluang dari sebaran gamma :

( )

_{( )}

1 1 g e θ α β α θ θ α β − − = Γ . (16) Misal : Y h

( )

θ 1 θ

= = kemudian transformasi ke persamaan (16) menghasilkan :

( )

(

( )

)

( )

( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . Y y y y d g y g h y g y dy e y y e y y e θ α β α α β α α β α α β α β α β − − − − + − − − + = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} Γ _{⎝ ⎠} ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} Γ _{⎝ ⎠} = Γ

Maka substitusi kembali α dengan s, β−1

dengan m, dan y dengan θ. Sehingga diperoleh fungsi kepekatan peluang dari θ∼inverse gamma s m- ( , ) adalah :

( )

_{( )}

( )

1 1 1 . m s _m s s e m _m g e s s m θ θ θ θ θ − − − + + = = Γ _{⎛ ⎞ Γ} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (17) Inverse-gamma Fungsi Kepekatan Peluang

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Keterangan : α=1 , β=1 α=2 , β=1 α=3 , β=1 α=3 , β =0.5

(28)

18

Lampiran 5.

Sebaran tak bersyarat dari x (ukuran klaim) adalah dengan mengintegralkan persamaan (8) dan (9), sehingga diperoleh :

( )

0 1 0 ( ) 2 0 ( ) 2 0 1 1 ( ) . ( ) m x s x m s s x m s s f x f x g d e m e d s m m e d s m e d s θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ∞ − ∞ ₋ + + − ∞ + + − ∞ + = = ⎛ ⎞ Γ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = Γ = Γ

∫

Dimisalkan u (x m) θ + = 2 2 ( ) x m du d d du x m θ θ θ θ + = − ⇔ = − + maka :

( )

0 2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) s s u s s s s u s m x m f x e du x m s x m m u e du x m s θ θ − + ∞ − + ∞ + = − + Γ + = − + Γ

∫

Dengan memisalkan kembali

1 . s s u u v u dv su du dw e du w e − − − = ⇒ = = ⇒ = −

Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini, maka :

( )

0 ₀ 0 1 1 0 1 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) s s u u s s s u s s m f x u e e su du x m s m s e u du x m s = − − − ∞ + ∞ − − + ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − + + Γ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎡ ⎤ = − _⎢ _⎥ + Γ _⎣ _⎦

∫

( ) 0 ₀ 1 0 2 1 0 2 1 ( 1) ( ) ( ) ( 1) . ( ) ( ) s s u u s s s u s s m f x s u e e s u du x m s m s s e u du x m s = − − − − ∞ + ∞ − − + ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − + − ⎢ ⎥ + Γ _⎣ _⎦ ⎡ ⎤ = − ₊ _Γ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦

∫

( )

(

)(

)

0 ₀ 0 1 1 2 ... ( ) ( ) s u u s m f x s s s ue e du x m s = − − ∞ + ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − − − + + Γ ⎢_⎣

∫

⎥_⎦

(29)

19

( )

[

]

( ) 1 ! 1 1 ( 1)( 2)...( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) , 0 dengan s 0,1,2,... s s s s s s s m f x s s s x m s m s x m s m s x m x + + − + = − − − − + Γ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ = − − Γ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + Γ _⎝ _⎝ _⎠_⎠ = + > =

Maka x yang dinyatakan sebagai ukuran klaim dalam sistem Bonus-Malus ini memiliki sebaran Pareto dengan parameter s dan m.

(30)

20

Lampiran 6.

Digunakan pendekatan Bayes untuk menduga salah satu parameter dari sistem Bonus-Malus optimal yaitu θ, dengan fungsi struktur posterior dari ukuran klaim setiap pemegang polis sampai t tahun dengan K klaim, x x1, 2,...,xK, maka diperoleh sebaran posterior dari parameter ukuran klaim tersebut :

• Sebaran awal (prior distribution)

Fungsi kepekatan peluang bersama dari total ukuran klaim adalah :

(

)

1 1 1 2 1 , ,..., K k k t i i x K k f x x x θ e θ θ = = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ = ∑

dan fungsi kepekatanpeluang dariθadalah:

( )

1 1 m s e m g s m θ θ θ − + = ⎛ ⎞ Γ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

.

• Sebaran akhir (posterior distribution) :

(

) (

)

( )

1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 , ,..., , ,..., 1 1 K k k t i i K k k t i i K K x m s k x m k s g x x x f x x x g e e m e e θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = = = − ₋ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ + +⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∝ ∑ ∝ ⎛ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∝ ∑ ∝ 1 1 1 . K t k k _i i x m k s θ _θ = = ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ _⎛ _⎞ ⎜ ⎟ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ −_⎜ + +_⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ Jika 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 . K t k k _i i K t k k i i K t k k i i x m k s x m k s x m k s Ae d A e d e d A θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = = = = = ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ _⎛ _⎞ ⎜ ⎟ ∞ ₋⎝ ⎠ −⎜_⎜ + +⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ _⎛ _⎞ ⎜ ⎟ ∞ ₋⎝ ⎠ −⎜_⎜ + +⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ _⎛ _⎞ ⎜ ⎟ ∞ ₋⎝ ⎠ −⎜_⎜ + +⎟_⎟ ⎝ ⎠ ∑ _∑ = ∑ _∑ ⇔ = ∑ ∑ ⇔ =

∫

Dengan memisalkan : 1 1 K K k k k k x m x m u u θ θ = = + + =

∑

⇔ =

∑

dan 1 2 2 1 K k k K k k x m du d d du x m θ θ θ θ = = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =− ⇔ =− ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(31)

21 maka : ( 1) 0 2 1 1 1 K s K k u k K k k x m e du A u x m θ − + + − = ∞ = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ = − ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _⎝ _⎠ ⎝ ⎠

∑

∫

∑

2 1 0 ( 1) 2 1 ( ) 0 ( 1) 1 1 1 . K k k u K s K s K k k K s K u K s k k x m u e u du A x m x m e u du A = − + + + + ∞ = − + − + − = ∞ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ = − ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ = −_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

∑

∫

Dengan menggunakan integral parsial, dimisalkan :

1 2 ( 1) K s K s u u v u dv K s u du dw e du w e + − + − − − = ⇒ = + − = ⇒ = − maka : ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 0 ( ) 2 1 ( ) 0 2 1 1 ( 1) 1 1 . K s K K s u u K s k k K s K u K s k k x m u e e K s u du A x m K s e u du A = − + + − − − + − ∞ = ∞ − + − + − = ∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ _⎢ _⎥ ⇔ = −_⎜ + _⎟ − + + − ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ _⎣ _⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⇔ = −_⎜ + _⎟ _⎢ + − _⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∑

∫

∑

∫

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ( ) 0 3 0 1 0 ( ) 0 3 0 1 1 1 2 1 1 2 . K s K K s u u k k K s K K s u u k k x m K s ue e K s u du A x m K s K s ue e u du A = − + + − − − ∞ = ∞ = − + + − − − ∞ = ∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ _⎢ _⎥ ⇔ = −_⎜ + _⎟ + − − + + − ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ _⎣ _⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ _⎢ _⎥ ⇔ = −_⎜ + _⎟ + − + − − + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ _⎣ _⎦

∑

∫

∑

∫

(

)(

)

(

)(

) ( )

(

)

(

)

(

)

0 ( ) 0 0 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 2 ... 1 1 2 ... 1 1 1 ! 1 K s K u u k k K s K k k K s K k k K s K k k K s K k k x m K s K s ue e du A x m K s K s A x m K s A x m K s A x m A K s = − + − − ∞ = ∞ − + = − + = − + = + = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ _⎢ _⎥ ⇔ = −_⎜ + _⎟ + − + − − + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ _⎣ _⎦ ⎛ ⎞ ⇔ = −_⎜ + _⎟ ⎡_⎣ + − + − − ⎤_⎦ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ = −_⎜ + _⎟ − + − ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ =_⎜ + _⎟ Γ + ⎝ ⎠ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ = Γ +