TINJAUAN PUSTAKA. Sebaran spasial adalah sebaran individu atau koloni pada suatu ruang tertentu

TINJAUAN PUSTAKA

Pola Sebaran Spasial

Sebaran spasial adalah sebaran individu atau koloni pada suatu ruang tertentu atau berdasarkan posisinya pada suatu habitat tertentu. Secara umum pola sebaran spasial individu dalam populasi menyebar secara acak, seragam dan bergerombol.

Pola sebaran spasial secara acak jika setiap unit dalam habitat mempunyai peluang yang sama untuk ditempati individu atau koloni, sebaran ini sering tejadi pada lingkungan yang populasinya homogen. Pola sebaran spasial seragam jika setiap unit mengandung individu atau koloni dengan jumlah konstan, pola ini terjadi bila ada persaingan yang keras diantara individu-individu dalam populasinya, sehingga timbul kompetisi yang negatif. Hal ini mendorong pembagian ruang hidup yang kurang lebih sama. Pola sebaran spasial bergerombol jika setiap unit dalam habitat peluangnya ditempati individu atau koloni tidak sama, ada unit yang ditempati banyak individu, ada unit yang mengandung hanya sedikit individu, bahkan ada unit yang tidak memuat satu individupun (kosong). Pola sebaran spasial yang umum terjadi di alam adalah menggerombol. Penggerombolan terjadi mungkin karena sifat individu-individunya yang mengelompok, lingkungan yang heterogen, cara reproduksi dan sebagainya.

Dalam tulisan berikut wilayah pengamatan bempa ruang dimensi dua, yaitu unit-unitnya mempunyai indeks ganda, yij, i =1, 2, ..., I, j =1, 2,.. .,

J

dan I.J=N. Untuk lebih mempermudah, semua notasi diberi indeks dengan subskrip tunggal,

yi =I, 2, 3, . . . ., N. Pengindeksan barn menggunakan konversi unit (ij) menjadi unit (I*(j-l)+i).

Metode Konvensional Pendngaan Total Populasi pada Data Spasial

Metode penarikan contoh paling sederhana yang dapat digunakan untuk menduga total populasi adalah penarikan contoh acak sederhana tanpa pemulihan.

Untuk populasi yang menyebar spasial dan secara geografi jarang-jarang, hasil pendugaan total populasi yang diperoleh dengan menggunakan metode di atas kurang bagus, karena contoh yang terambil mungkin unit-unit contohnya mayoritas bernilai nol. Hal ini menyebabkan nilai dugaan yang diperoleh jauh menyimpang dari nilai total populasi sebenamya.

Metode kedua yang dapat digunakan untuk menduga ukuran populasi pada populasi bergerak yang menyebar secara spasial adalah menggunakan metode penandaan-penangkapan kembali (Capture-Recapture Sampling). Metode ini pertama kali digunakan oleh Petersen (1896). Selanjutnya Lincoln dari the US Fish and Wildlife Service dalam tahun 1930 menggunakan metode ini untuk mengetahui populasi itik di wilayah Amerika Utara, dan Jackson pada tahun 1933 menggunakan untuk populasi serangga.

Asumsi dasar yang digunakan:

1. Hewan bertanda mempunyai mortalitas yang sama seperti hewan tak bertanda. 2. Hewan bertanda ditangkap pada laju yang sama seperti hewan tak bertanda. 3. Tanda-tanda tidak hilang

5. Rekrutmen dapat diabaikanldiduga.

Metode penarikan contoh di atas menghasilkan ketelitian yang dipercaya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi: 1) peluang tertangkapnya setiap individu di dalam populasi adalah sama; 2) tidak ada kelahiran atau individu yang masuk dari luar populasi diantara waktu penangkapan pertama dan penangkapan berikutnya; 3) jumlah individu yang matilkeluar mempunyai kecepatan yang sama, baik yang ditandai maupun yang tidak ditandai; 4) tidak ada tanda yang hilang.

Kelemahan metode di atas sering kali nilai yang dihasilkan kurang sesuai dengan kenyataan, ha1 ini disebabkan karena jarang dibandingkan dengan seluruh nilai populasi. Kelemahan lainnya adalah memerlukan biaya yang mahal dan jangka waktu pengamatan yang lebih lama.

Pada tahun 1976, Alikodra menggunakan metode ini untuk mengetahui populasi penyu laut betina di pantai Pangumbahan Sukabumi (Alikodra,l990). Tanda yang digunakan adalah plastik dan cat pada punggung penyu. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini bahwa seringkali nilai yang dihasilkan menyimpang dari kondisi yang sebenarnya. Sumber kesalahan tersebut berasal dari beberapa hal, yaitu:

1) Penangkapan yang tidak tepat (baik karena waktu, musim maupun alat); 2) adanya sifat individu satwaliar yang cenderung menyesuaikan diri dengan lingkungannya (erat hubungannya dengan disain letak alat penamgkap dan sebagainya); 3) adanya proses belajar, sehingga satwa liar menjadi kenal dengan sistem percobaan ataupun menjadi segan untuk berbuat sesuatu yang wajar, 4) disain tata letak jerat yang tidak tepat.

Metode penandaan-penangkapan kembali dapat digunakan untuk menduga total populasi yang pola sebarannya bempa sebaran spasial acak, misalnya pada ikan dan burung.

Pergerakan yang dilakukan itik adalah dengan arah rute yang tetap mengikuti kondisi lingkungannya. Arah pergerakan ini menyebabkan pola sebarannya berupa sebaran spasial bergerombol dan cenderung jarang-jarang, karena itu untuk menduga total populasi itik metode penandaan-penangkapan kembali kurang tepat digunakan, ha1 ini disebabkan asumsi menyebar secara cak tidak dipenuhi.

Penarikan Contoh Gerornbol Adaptif pada Data Spasial

Pada penarikan contoh gerombol adaptif daerah pengamatan dibagi menjadi N unit berlabel berbentuk kuadrat (luasan) dan peubah yang diperhatikan adalah jumlah objek-objek yang terdapat dalam satu kuadrat. Selanjutnya kuadrat disebut dengan unit contoh. Populasi yang diamati berupa himpunan berhingga {yl, y2,

. .

. . .

.

,

YNJ,

di mana y, rnenyatakan jumlah objek yang terdapat: dalam unit contoh ke-i. Tujuan yang ingin dicapai dalam penarikan contoh ini adalah pendugaan nilai tengah populasi atau jumlah total populasi ( r ).

Prosedur penarikan contoh gerombol adaptif adalah; pertama tarik contoh awal bemkuran nl, secara acak sederhana tanpa pemulihan. Selanjutnya bila nilai y dalam unit yang terpilih memenuhi syarat yang ditentukan sebelumnya misalnya C, unit-unit tetangga dari unit tersebut ditambahkan pada contoh.

Untuk setiap unit i dalam populasi didefinisikan suatu lingkungan sekitar (neigborhoods) Ai yaitu terdiri dari kumpulan (collection) unit-unit tetangga unit-i

termasuk unit i. Lingkungan sekitar ini tidak tergantung pada nilai populasi-y. Lingkungan sekitar dapat didefinisikan dengan banyak cara selain sistem spasial berdekatan. Misalnya suatu lingkungan sekitar unit terdiri dari suatu himpunan yang luas dari unit-unit yang berdampingan. Dalam situasi penarikan contoh yang lain lingkungan sekitar dapat didefinisikan sebagai hubungan sosial atau institusional antara unit-unitnya. Dalam penarikan contoh spasial pada tulisan ini, lingkungan sekitar dari setiap unit terdiri dari himpunan unit-unit yang berdekatan dan bersebelahan secara geografis. Misalnya wilayah pengamatan dalam ruang dimensi dua, jika unit (ij) terpilih sebagai contoh dan yijeC, maka unit-unit (i-lj), (i+lj), (ij-I), (i,j+I) juga dimasukkan sebagai contoh dan diamati. Relasi lingkungan sekitar merupakan suatu relasi simetrik yaitu jika unit j terletak pada lingkungan sekitar unit i, maka unit i terletak pada lingkungan sekitar unit j.

Syarat pemasukan unit-unit tambahan ke dalam contoh diberikan dalam bentuk selang atau himpunan C. Unit i dikatakan memenuhi syarat (conditional) jika y i ~ C. Dalam tulisan ini suatu unit dikatakan memenuhi syarat jika peubah yi 2 c, dimana c suatu konstanta yang ditetapkan, atau

C

=(y: yzc}.

Jika tetangga dari contoh yang terjadi berdasarkan sifat adaptif juga memenuhi syarat C, maka tetangga tersebut dimasukkan dalam contoh, demikian seterusnya sampai tidak ada lagi unit yang memenuhi sifat adaptif. Gabungan dari contoh awal dengan semua unit-unit tambahan yang bersifat adaptif disebut dengan gerombol (cluster). Suatu jaringan (network) didefinisikan sebagai himpunan unit- unit memenuhi syarat C. Unit yang tidak memenuhi syarat tetapi berada dalam

lingkungan sekitar disebut dengan unit batas. Suatu gerombol memuat unit batas dan jaringan.

N

Untuk menduga total populasi r = _{yi , definisikan mi} = ukuran jaringan

i=I

yaitu jumlah unit-unit dalam jaringan termasuk unit ke-i. Setiap unit yang memenuhi syarat C berlaku nz, > 1, sedangkan jika unit i berupa unit batas rnaka mi=l. Contoh

akhir memuat x n i i + e unit-unit yang berbeda, dimana e adalah jumlah total unit

i=l

batas. Hanya unit yang bukan unit batas yang digunakan dalam pendugaan.

Menurut Thompson (1990) penduga tak bias r merupakan modifikasi dari penduga klasik Hansen-Hurwitz untuk rancangan penarikan contoh berpeluang tidak sama,

"1,

dimana z, = Nn<'C yj dan yj adalah total y dalam jaringan ke-i

j=l j=l

Karena untuk contoh awal nilai zi diketahui, penduga yang dimodifikasi dapat dipertimbangkan untuk menduga kelimpahan berdasarkan penarikan contoh acak sederhana tanpa pemulihan dari himpunan transformasi 8, = {z,, z,, ...., zN} .

Penduga alternatif yang dapat digunakan adalah penduga modifikasi dari penduga Horvitz-Thompson dengan penduga tak bias untuk

z

adalah

dimana v jumlah jaringan berbeda muncul pada contoh

,

awal memotong jaringan ke-i.

Pada penduga dengan modifikasi Horvitz-Thompson populasi disusun ulang menjadi himpunan jaringan yang saling asing

b,,

x,

,...,

xcj. ,

Penarikan contoh gerombol adaptif sangat efisien jika { y ~ } mempunyai sebaran yang sangat menjulur (Thompson, 1990; Smith,at al, 1995; Christman, 1997). Akibatnya penduganya mungkin akan memiliki sebaran diskrit dan mempunyai tingkat kemenjuluran tinggi. Selain itu, penduganya juga mernpunyai peluang positif untuk bernilai nol.

Beberapa penelitian mengenai efisiensi penarikan contoh gerombol adaptif diantaranya; Smith, ef.01. (1995) untuk menduga kepekatan unggas air dan Christman (1997). Seperti halnya Thompson (1990), Smith, et.a/. memperoleh bahwa penarikan contoh gerombol adaptif memberikan ragam yang Iebih rendah dibandingkan penarikan contoh konvensional, hasil lain yang diperoleh efesiensi penarkan contoh gerombol adaptif dipengaruhi oleh ukuran kuadrat, ukuran contoh awal, serta rancangan penarikan contoh yang digunakan pada penarikan contoh awal.

Christman (1997) membandingkan efesiensi dua rancangan penarikan contoh konvensional, yaitu penarikan contoh berimbang dengan meniadakan unit-unit bersebelahan (balanced snnpliig excluding contigi~ozrs units, BSEC) dan penarikan contoh acak sederhana tanpa pemulihan terhadap penarikan contoh gerombol adaptif untuk populasi yang menyebar spasial dan bergerombol. Hasil yang diperoleh bahwa pada keadaan npopulasi yang secara geografi jarang-jarang penarikan gerombol adaptif Iebih efisien dibandingkan dengan penarikan contoh konvensional. Sedangkan metode BSEC hanya dapat digunakan jika populasi yang diduga berdimensi satu yaitu unit-unit pengamatan hanya dapat dinyatakan dengan pengindeksan dengan satu subskrip k=1,2, ..., N, dan pengertian tetangga berdekatan adalah sebelah kiri (i-I) dan sebelah kanan (i+l).

Selang Kepercayaan

Selang kepercayaan adalah suatu kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang sebenarnya. Nilai tersebut terdiri dari batas bawah (B) dan batas atas (A). Kedua batas selang dihitung dari suatu contoh acak yang ditarik dari populasi bersangkutan. Oleh karena itu sebelum penarikan contoh dilakukan B dan A merupakan besaran acak. Tujuan pendugaan selang kepercayaan adalah untuk mengetahui seberapa besar kita dapat meyakini bahwa parameter yang kita duga berada dalam suatu selang tertentu.

Selang kepercayaan dapat bersifat satu arah atau dua arah. Selang kepercayaan yang umum digunakan adalah selang kepercayaan dua arah, di mana pendugaan selang kepercayaan berusaha mencari batas atas dan batas bawah untuk

suatu taraf kepercayaan tertentu (1-

a )

sedemikian sehingga jarak antara batas atas dan batas bawah bawd minimal. Selang kepercayaan satu arah hanya membatasi pada satu arah dan memberikan kebebasan pada batas lainnya.

Pada umumnya pendugaan selang kepercayaan mengasumsikan bahwa fungsi sebaran statistik bersifat simetris. Pada kasus seperti ini selang kepecayaan dua arah yang tersempit akan diperoleh dengan mendistribusikan taraf kesalahan

( a )

secara seimbang ke arah kiri dan kanan penduga parameter, yakni sebesar aI2.

Metode Bootstrap

Istilah bootstrap berasal dari '>dl otieselfup by one 's bootst~np " (Efion dan Tibshirani, 1993) yang berarti berpijak di atas kaki sendiri, berusaha dengan sumber daya yang minimal. Sumber daya yang minimal dapat berarti jumlah data yang sedikit, data yang menyimpang dari asumsi-asumsi tertentu, maupun data yang tidak memenuhi asumsi-asumsi apapun mengenai sebaran populasinya. Tujuan penggunaan metode bootstrap adalah untuk mendapatkan pendugaan terbaik yang berasal dari data yang minimal, sehingga penggunaan komputer sangat dibutuhkan.

Metode bootstrap merupakan metode penarikan contoh yang banyak digunakan untuk menduga selang kepercayaaan suatu parameter. Landasan utama metode bootstrap adalah asumsi bahwa hngsi sebaran data contoh merupakan hngsi sebaran empiris dari populasi data yang sebenamnya. Dalam pelaksanaannya metode bootstrap ditarik contoh berukuran n dengan pemulihan sebanyak B kali, dan parameter

8'

diduga setiap contoh terambil. B merupakan bilangan yang hesar,

bernilai 200-500 untuk pendugaan rataan atau lebih besar dari 1000 untuk pendugaan ragam (Efron dan Tibshirani, 1993).

Efron dan Tibshirani (1993) mengemukakan 4 tipe selang kepercayaan bootstrap yaitu: Selang kepercayaan bootsrap pendekatan normal, selang kepercayaan bootsrap t-persentil, selang kepercayaan bootstrap persentil dan selang kepercayaan persentil terakselerasi dan bias terkoreksi (BCa).

Dari keempat tipe selang kepercayaan bootstrap di atas, selang kepercayaan Bootstrap persentil yang paling populer, karena mudah, tidak memerlukan asumsi sebaran contoh dan tidak memerlukan tabel untuk konstruksi selang kepercayaan. Hanya diperlukan perhitungan

ib,

membuat order statistik darinya dan kemudian

menghitung persentil yang sesuai.

Pada metode ini, sebaran bootstrap untuk

6'

yaitu

p(8)

meru~akan pendekatan dari sebaran

>

(6

). Selang kepercayaan 1-a untuk

0

adalah selang yang memuat nilai-nilai

4'

antara persentil ke a/2 dan ke 1-a/2 dari sebaran

F(6').

Metode persentil menghapus anggapan parametrik seperti yang diharuskan pada teknik tradisional maupun pendekatan normal. Bila sebaran statistik tidak simetris, ha1 ini tidak mempengaruhi ketepatan selang kepercayaan persentil. Teorema limit pusat menjamin normalitas untuk n besar atau bila peubah menyebar normal, tetapi kedua kondisi tersebut tidak dipenuhi disini, misalnya untuk contoh acak dari sebaran Eksponensial, sebaran penarikan contoh

X

tidak simetris. Dalam ha1 ini penduga parametrik tradisional

F ( z )

tidak sesuai sehingga akan menghasilkan batas yang tidak akurat. Metode bootstrap persentil dapat diaplikasikan

untuk bentuk apapun dari +($). Hal ini akan menghasilkan selang kepercayaan yang tidak simetris sekitar nilai harapan

6

(Kartiko, 2000).

Penelitian ynng Pernah Dilaksanakan

Metode bootstrap untuk data survei dibahas oleh Rao dan Wu (1988), dengan melakukan simulasi dibawah penarikan contoh acak berlapis. Hasil yang diperoleh titik-titik batas selang kepercayaan bootstrap mempunyai angka galat yang lebih baik dibandingkan dengan pendekatan normal, tetapi penduga ragam metode bootstrap kurang stabil dibandingkan metode Jackknife dan metode linearisasi (Taylor).

Metode bootstrap untuk populasi berhingga diulas oleh Gross (1980), dan selanjutnya Bickel dan Friedman (1984) serta Boot, etall(1994).

Sitter (1992a) menyelidiki beberapa prosedur penarikan contoh berulang untuk menduga ragam dan selang kepercayaan pada penarikan contoh data survei (dengan penarikan contoh tanpa pemulihan), yaitu: metode Jackknife, metode bootstrap dengan pemulihan (BWO), metode bootstrap tanpa pemulihan (BWR), dan bootstrap penskalaan ulang (rescafing). Hasil yang diperoleh menunjukkan metode BWR dan BWO hanya dapat digunakan pada rancangan yang sederhana. Bukti secara teoritis maupun empiris menunjukkan dalam pendugaan selang kepercayaan satu arah nilai galat metode bootstrap lebih baik dibandingkan dengan metode jackknife dan metode linearisasi. Secara empiris juga diperoleh bahwa metode-metode yang diusulkan penggunaan pendekatan persentil untuk menduga ragam maupun selang kepercayaan memberi hasil yang lebih baik.

Sitter (1992b) merekomendasikan tiga inetode bootstrap yang dapat digunakan pada populasi berhiigga yaitu metode Sitter's mirror-match, metode Gross, metode Rescaling Rao dan Wu, dilnana contoh diainbil menggunakan rancangan penarikan contoh sederhana tanpa peinulihan.

Cluistman dan Pontius (2000) menggunakan ketiga metode bootstrap yang direlco~nendasikan ole11 Sitter untuk menduga selang kepercayaan pada penarikan colltoh gerolnbol adaptif. Hasil yang diperoleh secara keseluruhan, metode terbaik sangat tergantung pada tipe populasi dan ukuran contoli yang dignnakan. Dengan inenggunakan metode selang kepercayaan bootstrap persentil selang kepercayaan yang dihasilkan ketiga metode tersebut mirip, dan biasanya selang kepercayaan bootstrap persentil lebih baik dibandingkan dengan selang kepercayan bootstrap pendekatan normal maupun BCa.