BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Statistical Process Control (SPC)
Statistical Process Control (SPC) merupakan teknik penyelesaian masalah yang
digunakan sebagai pemonitor, pengendali, penganalisis, pengelola, dan
memperbaiki proses menggunakan metode – metode statistik. Filosopi pada konsep pengendalian kualitas proses statistik atau yang lebih dikenal dengan
pengendalian proses statistik (Statistical Process Control) adalah output pada
proses atau pelayanan dapat dikemukakan ke dalam pengendalian statistik melalui
alat-alat manajemen dan tindakan perancangan. Pengendalian proses statistik
merupakan penerapan metode-metode statistik untuk pengukuran dan analisis
variasi proses. Teknik ini merupakan parameter-parameter pada proses dan
analisis proses. Dengan menggunakan pengendalian proses statistik ini maka
dapat dilakukan anlisis dan minimasi penyimpangan atau kesalahan,
mengkuantifikasikan kemampuan proses, menggunakan pendekatan statistik
dengan dasar six – sigma, dan membuat hubungan antara konsep dan teknik yang ada untuk mengadakan perbaikan proses. Sasaran pengendalian proses statistik adalah terutama adalah mengadakan pengurangan terhadap variasi atau kesalahan – kesalahan proses. Selain itu, tujuan utama dalam pengendalian proses statistik adalah mendeteksi adanya khusus (a ssignable cause atau special cause) dalam
variasi atau kesalahan proses melalui analisis data dari masalalu maupun masa
mendatang. Variasi proses terdiri dari dua macam penyebab, yaitu penyebab
umum (random cause atau chance cause atau common cause) yang sudah melekat
pada proses, dan penyebab khusus (assignable cause atau special cause) yang
merupakan kesalahan yang berlebihan. Idealnya, hanya penyebab umum yang
ditunjukkan atau yang tampak dalam proses, karena hal tersebut menunjukkan
bahwa proses berada dalam kondisi stabil dan dapat diprediksi. Kondisi ini
Dalam setiap proses produksi, hal yang perlu dipahami adalah setiap
produk ataupun jasa yang dihasilkan tidak akan 100% sama. Hal ini karena
adanya variasi selama proses produksi berlangsung. Adanya variasi merupakan
hal yang normal dan wajar, namun akan berpengaruh pada kualitas produk
sehingga perlu dikendalikan.
Umumnya, metode statistik banyak digunakan dalam upaya pengendalian
proses produksi. Pendekatan yang paling umum digunakan dalam dunia industri
adalah melalui metode Statistical Process Control (SPC).
Statistical Process Control merupakan metode pengambilan keputusan secara analitis yang memperlihatkan suatu proses berjalan dengan baik atau tidak.
SPC digunakan untuk memantau konsistensi proses yang digunakan untuk
pembuatan produk yang dirancang dengan tujuan mendapatkan proses yang terkontrol (Yuri, T, 2013).
2.1.1 Jenis-Jenis Variasi
Variasi didefinisikan sebagai ketidakseragaman produk atau jasa yang dihasilkan.
Variasi dapat pula didefinisikan sebagai produk atau jasa yang dihasilkan tidak
memenuhi spesifikasi standard yang telah ditetapkan. Variasi dikelompokkan
menjadi 2 jenis:
1. Variasi Terkendali (Controllable Variation)
Variasi terkendali adalah variasi yang dapat dikendalikan atau variasi yang
dapat dihilangkan atau diminimalisir jika dilakukan aktifitas perbaikan. Variasi jenis ini biasanya bersifat stabil, konsisten, kemungkinannya
random, terprediksi, terjadi secara alamiah, inheren, sebab-sebab acak.
Contoh jenis variasi ini adalah kurang homogennya bahan baku, kurang
cermatnya operator dan lain-lain.
2. Variasi Tidak Terkendali (Uncontrollable Variation)
Variasi tidak terkendali adalah variasi yang tidak dapat dikendalikan.
Variasi jenis ini biasanya bersifat tidak stabil, tidak konsisten, tidak
sehingga menyebabkan abnormalitas terhadap sistem dan dapat diperbaiki
secara lokal. Contoh variasi jenis ini adalah kelembaban udara, suhu
ruangan yang berubah-ubah, perubahan tegangan listrik, dan lain-lain.
2.1.2 Tujuan dari Statistical Process Control
Ada beberapa manfaat dari pengendalian proses statistik bagi organisasi yang menerapkannya. Ada beberapa manfaat dari pengendalian proses statistik, antara
lain :
1. Tersedianya informasi bagi karyawan apabila akan memperbaiki proses.
2. Membantu karyawan memisahkan sebab umum dan sebab khusus
terjadinya kesalahan.
3. Tersedianya bahasa yang umum dalam kinerja proses untuk berbagai
pihak.
4. Menghilangkan penyimpangan karena sebab khusus untuk mencapai
konsistensi dan kinerja yang lebih baik.
5. Pengertian yang lebih baik mengenai proses.
6. Pengurangan waktu yang berarti dalam masalah penyelesaian masalah
kualitas.
7. Pengurangan biaya pembuangan produk cacat, pengerjaan ulang terhadap
produk cacat, inspeksi ulang dan sebagainya.
8. Komunikasi yang lebih baik dengan pelanggan tentang kemampuan
produk dalam memenuhi spesifikasi pelanggan.
9. Membuat organisasi lebih berorientasi pada data statistik daripada hanya
berupa asumsi saja.
10.Perbaikan proses, sehingga kualitras produk menjadi lebih baik, biaya
lebih rendah dan produktivitas meningkat.
2.1.3 Multivariate Statistical Process Control (MSPC)
Ada banyak situasi yang memonitor secara bersama atau mengontrol dua atau
Statistical Process Control (SPC) berdasarkan jumlah variabelnya dibedakan
menjadi dua macam, yaitu univariate statistical process control (statistik
pengendali proses univariat), di mana hanya ada satu variabel yang berpengaruh
terhadap proses, dan multivariate statistical process control (statistik pengendali
proses multivariat) yang melibatkan lebih dari satu variabel yang memiliki
pengaruh terhadap proses.
Perbedaan jumlah variabel tentu memilimki pengaruh terhadap
perhitungan statistik yang harus dijalankan, univariate statistical process control
lebih mudah dilakukan karena hanya melibatkan satu variabel, tetapi pada
kenyataannya, dalam dunia industri jumlah variabel yang berpengaruh terhadap
suatu proses produksi terdapat lebih dari satu variabel, sebab itulah multivariate
statistical process control lebih banyak digunakan.
2.2 Deskripsi Data Multivariat
2.2.1 Distribusi Normal Multivariat
Dalam Statistical Process Control Univariat, umumnya menggunakan distribusi
normal untuk menjelaskan perilaku dari karakteristik kualitas kontinu. Fungsi densitas probabilitas normal univariat adalah :
√
(2.1)
Rata – rata dari distribusi normal adalah dan varian adalah . Catat bahwa (bagian dari tanda minus) bentuk eksponential dari distribusi normal bisa ditulis sebagai berikut :
Pendekatan ini dapat digunakan dalam kasus distribusi normal
multivariat. Andaikan terdapat variabel, dinyatakan dengan Variabel – variabel ini disusun dalam komponen vektor [ ].
Variabel xi,x2,...,xp dikatakan berditribusi normal multivariate jika
mempunyai probability density function :
2( )' ( )
berditribusi 2p. Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan distribusi multinormal dapat dilakukan dengan cara membuat q-q plot dari nilai
x x i1,...,n (2.3)
Untuk melakukan pemeriksaan data normal multivariat, dapat dilakukan
dengan cara mengkonstruksikan plot chi-kuadrat dengan langkah-langkah sebagai
berikut :
a. Menghitung jarak tergeneralisasi :
x x
Keterangan :
adalah dengan mencari nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan ke –i
adalah pengamatan yang ke –i, dengan i = 1, 2, ..., n
adalah kebalikan (inverse) matriks varians- kovarian S
x adalah rata-rata variabel x
...
c. Membuat plot ( di mana ( adalah
persentil untuk distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan
p.
d. Plot ini merupakan garis lurus bila data berdistribusi normal multivariat.
Kelengkungann menunjukkan penyimpangan dari normalitas.
Kriteria Pengujian :
Angka signifikansi , maka data berdistribusi normal Angka signifikansi , maka data tidak berdistribusi normal
2.3 Diagram Control Variabel
2.3.1 Asas Dasar Diagram Control
Diagram kontrol adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan
secara luas untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan
kemampuan dan memberi informasi yang berguna dalam meningkatkan proses
tersebut (Montgomery, 1990).
Grafik pengendali atau disebut diagram kontrol adalah alat untuk
menggambarkan dengan cara yang tepat apa yang dimaksudkan dengan
pengendalian statistik, dengan itu dapat digunakan dalam berbagai cara. Grafik
pengendali pertamakali ditemukan oleh Dr. Walter Andrew Shewhart, dari Bell
Telephone Laboratories Amerika Serikat pada tahun 1924. Dalam banyak
penerapan, ini digunakan untuk mengawasi proses pada jalur. Yakni, data sampel
dikumpulkan dan digunakan untuk membentuk grafik pengendali. Grafik
pengendali dapat diklasifikasikan ke dalam dua tipe umum. Apabila karakteristik
kualitas dapat diukur dan dinyatakan dalam bilangan, dinamakan variabel. Dalam
hal seperti itu, tepat sekali untuk melukiskan karakteristik kualitas dengan ukuran
tengah dan ukuran variabilitas. Grafik pengendali untuk nilai tengah dan
Banyak karakteristik kualitas yang tidak diukur dengan skala kuantitatif.
Dalam keadaan ini, dapat dinilai tiap unit produk sebagai sesuai atau tidak sesuai
atas dasar apakah produk itu memiliki atau tidak memiliki sifat tertentu, atau
dapat mencacah banyak yang tidak sesuai (cacat) yang tampak pada suatu unit
produk. Grafik pengendali untuk karakteristik kualitas semacam itu dinamakan
grafik pengendali sifat (atribut).
UCL
Karakteristik
kualitas CL
sampel
LCL
Nomor sampel atau waktu
Gambar 2.1 Contoh Grafik Pengendali
Bentuk dasar grafik pengendali ditunjukkakan dalam Gambar 2.1 yang merupakan
peragaan grafik suatu karakteristik kualitas yang telah diukur atau dihitung dari
sampel terhadap nomor sampel atau waktu. Grafik itu memuat:
1. Central Line (CL) atau disebut garis tengah yang merupakan nilai rata – rata karakteristik kualitas yang berkaitan dengan keadaan terkontrol.
2. Uper Control Limit (UCL) yaitu batas pengendali atas.
3. Lower Control Limit (LCL) yaitu batas pengendali bawah.
Selama titik – titik sampel terletak di dalam batas – batas pengendali, proses dianggap dalam keadaan terkendali, dan tidak perlu tindakan apapun. Jika titik
dan diperlukan tindakan penyelidikan dan perbaikan untuk mendapatkan dan
menyingkirkan sebab atau sebab – sebab tersangka yang menyebabkan tingkah laku itu.
2.3.2 Diagram Control T2 Hotelling
Karya asli dalam pengendalian kualitas multivariat dikerjakan oleh Hotelling pada tahun 1947, yang menerapkan prosedurnya pada data pembidik bom selama
Perang Dunia II.
Misalkan terdapat variabel sampel. Rata- rata sampel dan varian
dihitung dari masing – masing sampel biasa sehinnga,
x ∑ (2.4)
Di mana :
∑ x (2.5)
Di mana :
Di mana adalah observasi ke –i pada karakteristik kualitas ke j dalam sampel ke k. Kovarian antara karakteristik kualitas j dan karakteristik kualitas h dalam
sampel ke k adalah
∑ x x (2.6)
Statistik x , dan adalah rata – rata seluruh sampel m, diperoleh
x ∑ x (2.7)
Di mana :
s ∑ (2.8)
Di mana :
Dan
s ∑ (2.9)
Di mana :
x adalah elemen – elemen dari vektor x, dan rata – rata dari sampel
matriks kovarian adalah sebagai
[
]
(2.10)
Rata- rata sampel matriks kovarian S adalah estimasi dari ketika proses berada dalam keadaan terkendali atau terkontrol.
Control Chart T2. Misalkan S bentuk persamaan digunakan untuk mengestimasi dari dan vektor
Bentuk ini, biasanya disebut Control Chart T2 Hotelling.
Keterangan :
: Nilai Hotelling
x : nilai observasi
x : estimasi mean atau rata-rata observasi
: invers matriks varians kovarians S
Dengan x
= [ x , x ..., x ] adalah vektor nilai nominal bagi tiap karakteristikkualitas dan adalah matriks kovariansi karakteristik kualitas
.
Grafik pengendali mempunyai batas atas dan dapat memperoleh titik
persentase dari titik persentase distribusi melalui hubungan
=
(2.12)
2.4 Matriks
2.4.1 Konsep Dasar dan Definisi Matriks
Definisi. Matriks ialah suatu susunan berbentuk empat persegi panjang dari
elemen-elemen (bilangan-bilangan) yang terdiri dari beberapa baris dan kolom
dibatasi dengan tanda kurung, seperti bentuk :
(2.13)
Atau disingkat dengan:
.
Matriks (2.12) disebut matriks tingkat , atau disingkat matriks ,
karena terdiri dari m baris dan n kolom. Setiap disebut elemen (unsur) dari
matriks itu, sedang indeks dan berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi
elemen terdapat pada baris ke- , kolom ke- . Pasangan bilangan disebut
dimensi (ukuran atau bentuk) dari matriks itu. Suatu matriks tidak mempunyai
harga numerik. Biasanya tanda kurung dapat dipakai seperti
atau ‖
‖.
Pada umumnya matiks disingkat dan dinyatakan dengan huruf besar, sedang
elemen-elemen matriks dengan huruf kecil (Sianipar, P, 2007).
2.4.2 Matriks Transpos
Definisi. Transpos dari suatu matriks A berorde adalah matriks B berorde yang didefinisikan oleh:
=
Untuk dan .
Jika baris-baris dan kolom-kolom dari suatu matriks dipertukarkan (baris
pertama dengan kolom pertama dan seterusnya), maka diperoleh suatu matriks yang disebut transpos yang disingkat atau .
Jadi bilamana:
(
atau
Akibat = .
Definisi. Determinan suatu matriks berorde , dinyatakan sebagai det(A),
adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:
Det(A) : jika n = 1.
+ jika
Di mana =
2.4.4 Invers Matriks
Definisi. Suatu matriks berorde dikatakan taksingular (nonsingular)
atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks sehingga .
Matriks disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari .
Jadi satu matriks memiliki paling banyak satu invers perkalian, dan disebut invers
perkalian dari satu matriks taksingular sebagai invers dari dan ditulis sebagai
(Leon, Steven J., 2001).
Dalam penelitian sebelumnya yang dilakukan pada Produk Monosodium
Glutamat (MSG) di PT. AJINOMOTO INDO-NESIA, pengendalian kualitasnya
baru dilakukan secara kimia dan biologi, sedangkan secara statistik masih
dianalisis secara sederhana. Karakteristik kualitas MSG ada empat yaitu pH, Moist, Alpha D dan Cl- , sehingga di dalam penelitian ini akan dilakukan analisis
untuk meningkatkan kualitas secara statistik yaitu analisis kapabilitas proses.
Analisis kapabilitas proses dilakukan setelah membuat peta kendali Multivariat yaitu T2 Hotelling dan Generalized Variance (GV) . Hasil dari analisis kapabilitas
proses secara multivariat adalah proses produksi MSG jenis RC periode Bulan
Januari sampai Maret 2012 dikatakan belum terkendali dan belum kapabel karena
memiliki nilai Cp yang kurang dari satu, yaitu sebesar 0,608867 (Kurnia et al.
Dalam penelitian sebelumnya mengenai proses produksi kaca, penelitian
menggunakan grafik T2Hotelling. Data yang digunakan merupakan data sekunder
dari proses produksi kaca di Pabrik Kaca di Kabupaten Kendal pada bulan
September 2014 sampai Oktober 2014. Dari sampel data produksi yang diambil,
dengan asumsi bahwa hasil proses produksi yang berlangsung tidak berubah dan
dapat mewakili populasi hasil produksi hari-hari lainnya. Penelitian ini dilakukan
dalam dua tahap dengan menggunakan tiga karakteristik utama dari kualitas yaitu
ketebalan, panjang dan lebar. Hasil dari penelitian ini menyebutkan bahwa Pada
tahap pertama yang dilakukan adalah memonitor terhadap mean pada proses
produksi kaca menggunakan diagram kontrol T2 Hotelling menunjukkan bahwa
proses produksi pada tahap I tidak terkontrol. Hal ini ditunjukkan adanya titik
yang keluar dari batas kontrol pada pengamatan ke-3 dan ke-21. Batas kontrol yang didapat dengan menggunakan rumus BKA adalah 7,9428 pada batas kontrol
atas dan 0 pada batas kontrol bawah. Pada proses produksi kaca tahap II, yaitu
proses produksi bulan Oktober 2014 dengan Batas Kontrol Atas sebesar 7,9925
masih tidak stabil atau tidak terkontrol. Hal ini menunjukkan bahwa rata-rata
proses produksi kaca tahap II belum mendapatkan perbaikan dari perusahaan,
sehingga perusahaan harus melakukan perbaikan agar produk dihasilkan bisa
