Metode Numerik Dichotomus

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Metode Numerik Dichotomus

Rukmono Budi Utomo

Prodi S1 Pendidikan Matematika UMT

April 4, 2016

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Metode Numerik Dichotomus

Metode Numerik Dichotomus

Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Metode Numerik Dichotomus

Metode Numerik Dichotomus adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x yang

meminimumkan suatu fungsi dari f (x ).

I Metode Numerik ini analogi nya sama seperti metode numerik lainnya seperti GR, Fibonacci dan biseksi, namun tentu saja memiliki karakteristik tersendiri

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Algoritma Dichotomus

Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut

I Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x ), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) tersebut

I Tetapkan konstanta  > 0 dan jarak akhir l (lenght) > 0 yang diinginkan

I Tetapkan interval awal [a₁, b₁] . Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) di atas

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Algoritma Dichotomus

Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut

I Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x ), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) tersebut

I Tetapkan konstanta  > 0 dan jarak akhir l (lenght) > 0 yang diinginkan

I Tetapkan interval awal [a₁, b₁] . Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) di atas

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Algoritma Dichotomus

Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut

I Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x ), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) tersebut

I Tetapkan konstanta  > 0 dan jarak akhir l (lenght) > 0 yang diinginkan

I Tetapkan interval awal [a₁, b₁] . Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) di atas

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Algoritma Dichotomus

Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut

I Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x ), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) tersebut

I Tetapkan konstanta  > 0 dan jarak akhir l (lenght) > 0 yang diinginkan

I Tetapkan interval awal [a₁, b₁] . Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) di atas

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Algoritma Dichotomus

Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut

I Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x ), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) tersebut

I Tetapkan konstanta  > 0 dan jarak akhir l (lenght) > 0 yang diinginkan

I Tetapkan interval awal [a₁, b₁] . Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x ) di atas

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

lanjutan

I Penentuan λ_k dan µ_k dilakukan dengan cara:

λ_k = ^ak+b₂ ^k −  dan µ_k = ^ak+b₂ ^k + 

I Kondisi 1 Jika F (λ_k) < F (µ_k), pilih a_k+1 = a_k dan b_k+1= µ_k

Kondisi 2 Jika F (λk) > F (µk), pilih ak+1 = λk dan b_k+1= b_k

I Iterasi berhenti ketika b_k − a_k < l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

lanjutan

I Penentuan λ_k dan µ_k dilakukan dengan cara:

λ_k = ^ak+b₂ ^k −  dan µ_k = ^ak+b₂ ^k + 

I Kondisi 1 Jika F (λ_k) < F (µ_k), pilih a_k+1 = a_k dan b_k+1= µ_k

Kondisi 2 Jika F (λk) > F (µk), pilih ak+1 = λk dan b_k+1= b_k

I Iterasi berhenti ketika b_k − a_k < l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

lanjutan

I Penentuan λ_k dan µ_k dilakukan dengan cara:

λ_k = ^ak+b₂ ^k −  dan µ_k = ^ak+b₂ ^k + 

I Kondisi 1 Jika F (λ_k) < F (µ_k), pilih a_k+1 = a_k dan b_k+1= µ_k

Kondisi 2 Jika F (λk) > F (µk), pilih ak+1 = λk dan b_k+1= b_k

I Iterasi berhenti ketika b_k − a_k < l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Contoh Soal

Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x ) = 2x²− 5x + 3 dengan selang awal [0, 2],  = 0.01 dan l = 0.1

Solusi

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l = ₂₀¹, didapatkan n = 5

I λ₁= ⁰⁺²₂ − 0.01 dan µ₁ = ⁰⁺²₂ + 0.01 , didapatkan λ₁= 0.99 dan µ1 = 1.01

I F (λ₁) = 0.0102 > F (λ₂) = −0.0098, dengan demikian a2 = 0.99 dan b2 = 2

I b1− a₁ = 2 > 0.1 = l , iterasi dilanjutkan sampai terpenuhinya kondisi b_k− a_k < l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Contoh Soal

Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x ) = 2x²− 5x + 3 dengan selang awal [0, 2],  = 0.01 dan l = 0.1

Solusi

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l = ₂₀¹, didapatkan n = 5

I λ₁= ⁰⁺²₂ − 0.01 dan µ₁ = ⁰⁺²₂ + 0.01 , didapatkan λ₁= 0.99 dan µ1 = 1.01

I F (λ₁) = 0.0102 > F (λ₂) = −0.0098, dengan demikian a2 = 0.99 dan b2 = 2

I b1− a₁ = 2 > 0.1 = l , iterasi dilanjutkan sampai terpenuhinya kondisi b_k− a_k < l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Contoh Soal

Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x ) = 2x²− 5x + 3 dengan selang awal [0, 2],  = 0.01 dan l = 0.1

Solusi

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l = ₂₀¹, didapatkan n = 5

I λ₁= ⁰⁺²₂ − 0.01 dan µ₁ = ⁰⁺²₂ + 0.01 , didapatkan λ₁= 0.99 dan µ1 = 1.01

I F (λ₁) = 0.0102 > F (λ₂) = −0.0098, dengan demikian a2 = 0.99 dan b2 = 2

I b1− a₁ = 2 > 0.1 = l , iterasi dilanjutkan sampai terpenuhinya kondisi b_k− a_k < l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

Contoh Soal

Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x ) = 2x²− 5x + 3 dengan selang awal [0, 2],  = 0.01 dan l = 0.1

Solusi

I Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (¹₂)ⁿ≤ _b−a^l = ₂₀¹, didapatkan n = 5

I λ₁= ⁰⁺²₂ − 0.01 dan µ₁ = ⁰⁺²₂ + 0.01 , didapatkan λ₁= 0.99 dan µ1 = 1.01

I F (λ₁) = 0.0102 > F (λ₂) = −0.0098, dengan demikian a2 = 0.99 dan b2 = 2

I b1− a₁ = 2 > 0.1 = l , iterasi dilanjutkan sampai terpenuhinya kondisi b_k− a_k < l

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

lanjutan

Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini:

a_k b_k λ_k µ_k F (λ_k) F (µ_k)

0 2 0.99 1.01 0.0102 -0.0098

0.99 2 1.485 1.505 -0.01455 0.00505

0.99 1.505 1.2375 1.2575 -0.1247 -0.1249

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

1.2375 1.319375 ... ... ... ...

Terlihat bahwa pada iterasi ke 6, b_k− a_k < 0.1 = l dengan demikian iterasi berhenti dan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x ) = 2x²− 5x + 3 ada pada selang [1.2375, 1.319375] dengan hampiran solusi x^∗ = 1.2784375 dan nilai F (x^∗) = −0.123383

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

lanjutan

Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini:

a_k b_k λ_k µ_k F (λ_k) F (µ_k)

0 2 0.99 1.01 0.0102 -0.0098

0.99 2 1.485 1.505 -0.01455 0.00505

0.99 1.505 1.2375 1.2575 -0.1247 -0.1249

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

1.2375 1.319375 ... ... ... ...

Terlihat bahwa pada iterasi ke 6, b_k− a_k < 0.1 = l dengan demikian iterasi berhenti dan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x ) = 2x²− 5x + 3 ada pada selang [1.2375, 1.319375] dengan hampiran solusi x^∗ = 1.2784375 dan nilai F (x^∗) = −0.123383

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

lanjutan

Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang meminimumkan fungsi F (x ) = 2x²− 5x + 3 adalah x = 1.25 dengan F (x^∗) = −0.125. Eror kesalahan nilai hampiran numerik adalah  = |1.2784375 − 1.25| = 0.0284375 dengan eror nilai F (x^∗) terhadap F (x ) adalah 0.001617

Tugas Tentukan nilai x yang meminimumkan F (x ) = X³− 3X² dengan selang awal [0, 4] ,  = l = 0 + JumlahanNim. Kumpulkan Minggu depan.

Metode Numerik Dichotomus Algoritma Metode Numerik Dichotomus

Contoh Soal

lanjutan

Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang meminimumkan fungsi F (x ) = 2x²− 5x + 3 adalah x = 1.25 dengan F (x^∗) = −0.125. Eror kesalahan nilai hampiran numerik adalah  = |1.2784375 − 1.25| = 0.0284375 dengan eror nilai F (x^∗) terhadap F (x ) adalah 0.001617

Tugas Tentukan nilai x yang meminimumkan F (x ) = X³− 3X² dengan selang awal [0, 4] ,  = l = 0 + JumlahanNim. Kumpulkan Minggu depan.