MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Oleh
JaelaniRahman
0800299
DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Markov Switching Autoregressive
Oleh Jaelani Rahman
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© JaelaniRahman 2015 Universitas Pendidikan Indonesia
Juni 2015
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
LEMBAR PENGESAHAN
MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE
Oleh:
JaelaniRahman
0800299
DisetujuidanDisahkanOleh
Pembimbing I
Dra.EntitPuspita, M.Si.
NIP. 196704081994032002
Pembimbing II
Drs. H. MamanSuherman, M.Si.
NIP. 195202121974121001
Mengetahui,
KetuaDepartemenPendidikanMatematika
MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE
Oleh: JaelaniRahman
ABSTRAK
Runtun waktu ialah himpunan observasi yang dicatat berurut berdasarkan waktu. Tujuan dari metode runtun waktu ialah menemukan model yang sesuai sehingga didapatkan hasil peramalan yang baik. Salah satu model runtun waktu yang telah dikenal adalah
Autoregressive. Pada data ekonomi sering terjadi perubahan struktur yang di akibatkan oleh
perubahan kebijakan pemerintah, krisis ekonomi, perang dan model Autoregressive belum mampu menjelaskan perubahan struktur tersebut. Perubahan struktur biasanya ditandai dengan adanya perubahan dramatis. Markov Switching Autoregressive adalah salah satu model yang dapat digunakan jika pada data ditemui adanya perubahan struktur. Model dengan perubahan struktur ialah model dengan parameter yang berubah-ubah dalam periode waktu tertentu. Ide dasar dari Markov Switching Autoregressive ialah membuat model yang dinamis seiring denga nberubahnya data. Perubahan yang terjadi pada data seringkali dipengaruhif aktor-faktor yang tidak dapat diamati secara langsung. Markov Switching
Autoregressive adalah salah satu model alternatif untuk memodelkan data yang dipengaruhi
variable tidak teramati. Dalam literatur variable tidak teramati tersebut disebut state atau disimbolkan dengan �� , dimana �� mengikuti rantai Markov. Nilai tukar rupiah terhadap dollar mengalami perubahan dramatis pada periode 1997-1998 dan perubahan tersebut dapat terjadi kembali di masa yang akan datang. Penyebab terjadinya perubahan pada nilai tukar tersebut juga seringkali tidak dapat diamati secara langsung. Estimasi parameter dengan menggunakan maksimum likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritma
ExpectationMaximization. Dalam pendugaan parameter menggunakan software Eviews dan
Oxmetrics 7. Chow test menangkap adanya perubahan struktur pada data nilai tukar dollar terhadap rupiah November 1995 sampai Maret 2015 dan model yang sesuai adalah MSAR(3,1).
MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE
By: JaelaniRahman
ABSTRACT
Time Series is a set of observations generated sequentially in time. The purpose of time series method is to find an appropriate modelto get goodforecastingresults. One of time series model has been known is Autoregressive. In Economic data often occurs structural change is
influenced by government policy, economic crisis, war and autoregressive hasn’t been able
to explain that structural change. Structural change is usually characterized by a dramatic change. Markov Switching Autoregressive is a model that can be used if in data is found structural change. The basic idea of Markov Switching Autoregressive is to create dynamic model to follow changes in data. Changes indata are ofteninfluenced byfactorsthat can’t beobserved directly. Markov Switching Autoregressive is one of alternative model for modeling data thatinfluenced byunobservablevariables. In the literature, unobserved variables is called state or symbolized by ��, where �� follow a Markov Chain. In the period 1997-1998 the exchange rate of rupiah to US Dollar occur dramatic change and that changes can be happen again in the future and the cause of dramatic change often cannot be observed directly. Parameters estimation are using maximum likelihood and calculation using Expectation Maximization. Parameters estimation with Eviews and Oxmetrics 7 software. Chow test capture in the exchange rate of Dollar to Rupiah from November 1996 until March 2015 occur structural change and appropriate model is MSAR(3,1)
DAFTAR ISI
2.3 Fungsi Autokerelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial ... 6
2.3.1 Fungsi Autokorelasi ... 6
2.3.2 Fungsi Autokorelasi Parsial ... 7
2.4 Proses White Noise ... 8
2.5 Metode Runtun Waktu Box-Jenkins ... 8
2.5.1 Model Runtun Waktu untuk Data Stasioner ... 9
2.5.1.1 Proses Autoregressive (AR) ... 9
2.6.3 Estimasi Parameter ... 17
BAB 3MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE ... 25
3.1 Model Markov Switching Autoregressive ... 25
4.4 Pemodelan Markov Switching Autoregressive ... 41
4.4.1 Uji Perubahan Struktur ... 41
4.4.2 Uji Bai-Perron ... 41
4.4.3 Estimasi Parameter ... 43
4.4.4 Uji Nonlinearitas ... 45
BAB 5 PENUTUP ... 49
5.1 Kesimpulan ... 49
5.2 Saran ... 50
DAFTAR PUSTAKA ... 51
LAMPIRAN ... 53
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 ADF Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah ... 36
Tabel 4.2 ADF Data Return ... 37
Tabel 4.3 Estimasi Parameter AR(1)... 39
Tabel 4.4 Estimasi Parameter MA(1) ... 40
Tabel 4.5 Estimasi Parameter ARMA(1,1)... 40
Tabel 4.6 Uji Perubahan Struktur ... 41
Tabel 4.7 Identifikasi Waktu Breaks ... 42
Tabel 4.8 Estimasi Parameter ... 43
Tabel 4.9 Peluang Transisi ... 44
Tabel 4.10 Nilai Ramalan Return ... 46
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 4.1 Plot Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah ... 35
Gambar 4.2 Plot Return Dollar Terhadap Rupiah ... 37
Gambar 4.3 Plot fak dan fakp data return ... 38
Gambar 4.4 Plot Bai Perron ... 42
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Autokovarian AR(1) ... 53
Lampiran 2 Inferensi Peluang Pemulusan Peluang regime ... 55
Lampiran 3 Peluang Transisi m-Periode kedepan Markov 2 state ... 56
Lampiran 4 Data Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah ... 59
Lampiran 5 Data Return Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah... 61
Lampiran 6 Output Oxmetrics ... 64
Lampiran 7 Klasifikasi regime ... 65
DAFTAR SIMBOL
: Mean/ rata-rata
: Langkah ke-k
: White Noise
: Varians dari
: Autokovariansi lag ke-k
: Estimasi autokovariansi lag ke-k
: Autokorelasi lag ke-k
: Estimasi autokorelasi lag ke-k
: Autokorelasi parsial lag ke-k
: Parameter Autoregressive
: Parameter Moving Average
: Operator Backshift
: Operator differensi
: Nilai eigen
: Forecast probabilities
: Inference probabilities
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model Autoregressive Moving Average (ARMA) adalah salah satu model
yang sangat populer dan sering digunakan dalam pemodelan data runtun waktu.
Model ARMA merupakan campuran model Autoregressiveyang mengasumsikan
data sekarang dipengaruhi oleh data sebelumnya dan Moving Average yang
mengasumsikan data sekarang dipengaruhi oleh nilai residual data sebelumnya.
Sedangkan runtun waktu adalah susunan observasi yang dicatat berurut
berdasarkan waktu. Model ARMA diperkenalkan oleh George Edward Pelham
Box dan Gwilym Meirion Jenkins (1976).Oleh karena itu pembentukan model
ARMA juga sering disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. Pada data runtun
waktuekonomi seringkali terjadi perubahan strukturyang diakibatkan oleh krisis
keuangan, perang dan perubahan kebijakan pemerintah. Perubahan struktur adalah
perubahan pola yang terjadi pada data runtun waktu. Model ARMA belum
mampu untuk menjelaskan perubahan struktur yang terjadi pada data runtun
waktu.Terdapat beberapa model untuk mengatasi masalah tersebut diantaranya
Threshold Autoregressive (TAR), Self Exciting Threshold Autoregressive (SETAR) dan Markov Switching Autoregressive (MSAR).
Model TAR dan SETAR memungkinkan adanya pergeseran model seiring
terjadinya perubahan pola pada data runtun waktu. Namun model TAR dan
SETAR tidak mempertimbangkan peluang untuk bertahan dalam satu model atau
berpindah ke model lainnya. Hamilton (1989) memperkenalkan Markov Switching
Autoregressive, pada model Markov Switching Autoregressiveselain dapat menjelaskan perubahan struktur, model ini juga mempertimbangkan peluang
untuk bertahan pada satu model atau berpindah ke model yang lain.Perubahan
struktur pada data ekonomi misalnya karena krisis keuangan dapat terulang
kembali di masa depan dan tidak diketahui kapan akan terjadi lagi. Berdasarkan
2
berapa peluang dari keadaan normal berubah ke keadaan krisis ataupun sebaliknya,
yang sangat berguna salah satunya untuk sistem peringatan dini.
Perubahan pola pada data dalam Markov Switching Autoregressive
dianggap dipengaruhi oleh peubah acak diskrit tak teramati St yang biasa disebut
state atau regime, dimana peubah acak diskrit St diasumsikan mengikuti rantai Markov orde pertama. Markov Switching Autoregressive merupakan penggabungan model Autoregressive dengan rantai Markov. Rantai Markov
adalah suatu metode yang mempelajari sifat-sifat suatu variabel pada masa
sekarang yang didasarkan pada sifat-sifatnya di masa lalu dalam usaha menaksir
sifat-sifat variabel tersebut di masa yang akan datang (Siagian, 2006). Suatu rantai
Markov dikatakan berorde satu jika nilai suatu state pada periode tertentu hanya
bergantung pada state satu periode sebelumnya. Penerapan model Markov
Switching Autoregressive telah dilakukan pada beberapa data ekonomi seperti Groos National Product oleh Hamilton (1989), Composite index oleh Leslie (2001), Exchange rate oleh Masoud (2012).
Kurs atau exchange rate adalah perbandingan nilai mata uang suatu negara
dengan negara lain. Krisis ekonomi pada periode 1997-1998 ditandai dengan
menurunnya nilai tukar rupiah terhadap dollar secara dramatis. Penurunan nilai
tukar rupiah ini berdampak besar pada perekonomian Indonesia, beberapa
pengaruh dengan adanya penurunan tersebut adalah membengkaknya utang luar
negeri serta naiknya harga barang-barang impor dan berkembang dengan
lumpuhnya sendi-sendi ekonomi di Indonesia. Perilaku perubahan pola dari
exchange rate yang menurun tajam dapat terulang kembali di masa depan dan tidak diketahui kapan akan terjadi lagi. Perubahan perilaku tersebut dapat
dianggap dipengaruhi oleh suatu variable acak takt eramati St. Oleh karena itu,
penulis tertarik untuk memodelkan data nilai tukar dollar terhadap rupiah dengan
3
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah bagaimana
penerapan model Markov Switching Autoregressive pada data nilai tukar dollar
terhadap rupiah beserta peramalannya.
1.3 Batasan Masalah
Dalam skripsi dalam yang akan dibahas adalah switching dalam parameter
autoregressive dan jug akonstanta, dengan data yang dipergunakan adalah data
bulanan rata-rata nilai tukar dollar terhadap rupiah dari November 1995 sampai
Maret 2015 yang diperoleh dari data The University of British Columbia, Canada
pada situsnya http://fx.sauder.ubc.ca/data.html.
1.4 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah mengimplementasikan
model Markov Switching Autoregressive pada data nilai tukar dollar terhadap
rupiah serta untuk meramal nilai tukar dollar terhadap rupiah di masa yang akan
datang.
1.5 Manfaat Penulisan
1.5.1 Manfaat Teoritis
Manfaat penulisan skripsi ini secara teoritis adalah memperluas
pengetahuan dalam ragam pemodelan runtun waktu.
1.5.2 Manfaat Praktis
Model Markov Switching Autoregressive dapat digunakan sebagai early
25
BAB III
MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)
3.1 Model Markov Switching Autoregressive
Model runtun waktu Markov Switching Autoregressive adalah salah satu
model runtun waktu yang merupakan perluasan dari model Autoregressive (AR).Ide
dasar dari model ini adalah membuat model yang dinamis seiring dengan terjadinya
perubahan pola data. Perubahan pola data dianggap dipengaruhi oleh peubah acak
diskrit tak teramati St yang biasa disebut state atau regime, dimana peubah acak
diskrit St diasumsikan mengikuti rantai Markov orde pertama. Suatu rantai Markov
dikatakan berorde satu jika nilai suatu state pada periode tertentu hanya bergantung
pada state satu periode sebelumnya. Sebagai contoh, pada kasus hanya dua regime,
Stdapat diasumsikan memiliki nilai 1 dan 2, sehingga model dengan AR(1) adalah
sebagai berikut
= {�� , + � , − + � , jika =
, + � , − + � , jika =
yang bisa disederhanakan sebagai berikut
= � ,��+ � ,�� − + � .
Karena regime saat ini yaitu St hanya tergantung pada regime satu periode
sebelumnya St-1. Oleh karena itu, model dilengkapi dengan mendefinisikan peluang
transisi dari satu state ke state lainnya,
� = | − = = �
� = | − = = �
� = | − = = �
26
koleksi peluang transisi dapat dituliskan dalam matriks transisi P
� = [�� �� ]
dimana � + � = dan � + � = .
Peluang tak bersyarat proses berada pada tiap regimeyaitu � = untuk = , ,
berdasarkan persamaan (2.35) dan (2.36) untuk model Markov Switching dua state
memiliki peluang tak bersyarat sebagai berikut:
� = = − � − � , .− �
� = = − �
− � − � . .
Multiple Regimes
Markov switching Autoregressive dengan m regimesdi definisikan sebagai berikut
= � , ��+ � , �� − + … + ��, �� −�+ � , jika = .
dimana � ~ . . �. � , �
= , ⋯ , , dengan peluang transisi
� = � = | − = , , = , … , ,
� ≥ untuk i, j = 1, . . . , m dan ∑ = � = untuk semua i=1, . . . , m
Langkah-langkah untuk membentuk model Markov Switching Autoregressive yaitu:
1. Memodelkan data dengan proses AR yang sesuai
a. Membuat plot runtun waktu untuk melihat kestasioneran data.Apabila data
belum stasioner lakukan penyelisihan (differencing) dan atau transformasi
data.
27
c. Mengestimasi parameter dari model AR yang dipilih
2. Uji Perubahan Struktur
3. Estimasi parameter dari model MarkovSwicthing Autoregressive
4. Uji nonlinearitas
5. Gunakan model untuk tujuan peramalan.
3.2 Estimasi Parameter
Parameter dalam model Markov Switching dapat diestimasi menggunakan
teknik maksimum likelihood. Namun, dikarenakan kenyataan bahwa proses Markov
Sttidak terobservasi, masalah estimasinya tidaklah standar. Tujuan dari prosedur
estimasi tidak hanya untuk mendapatkan estimasi parameter dalam model
autoregressive dalam state yang berbeda dan peluang transisi dari satu state ke state
yang lain, tetapi juga untuk mendapatkan perkiraan state yang terjadi pada tiap titik
28
� ′, �
− menotasikan himpunan observasi sebelumya� − = { − , − , ⋯ ,
−�}. � dan � sepenuhnya menjelaskan semua peluang transisi, sebagai contoh,
� = − � . syarat semua observasi sampai t atau �̂| , dengan syarat semua observasi di seluruh
sampel atau �̂| , secara berurutan estimasi ini disebut forecast, inference dan smooth
29
Jika regime yang terjadi pada saat − diketahui termasuk himpunan informasi � −
,peramalan optimal dari peluang regime secara sederhana sama dengan peluang
transisi dari proses Markov . Secara formal dituliskan sebagai berikut
�̂| − = �. � − .
�̂| − menotasikan vektor peluang bersyarat berukuran × yaitu �̂| − =
(� = |� − ; � , � = |� − ; � )′, � − = , ′ jika = dan �− =
, ′ jika = dan P adalah matriks yang berisi peluang transisi,
� = ( �− � − �� ) .
Pada praktiknya regime pada saat − tidak diketahui, oleh karena itu disebut tak
teramati. Salah satu cara terbaik adalah dengan mengganti �− pada (3.8) dengan
sebuah estimasi peluang dari masing-masing regime yang terjadi pada saat −
dengan syarat observasi sampai − . Notasikan vektor berukuran × berisi
inferensi optimal peluang regimeyang terjadi sebagai �̂− | − . Berikan nilai awal �̂ |
dan nilai parameter di dalam �, dapat dihitung peramalan optimal dan inferensi dari
peluang regime bersyarat adalah dengan mengiterasi persamaan berikut
�̂| = �̂| − ⊙ �
�′ �̂ | − ⊙ � .
�̂+ | = �. �̂| .
untuk = , ⋯ , , dimana � menotasikan vektor yang berisi fungsi kepadatan
peluang pada persamaan (3.6) untuk dua regime, 1adalahvektor berukuran × dari
satu dan simbol ⊙ ialah perkalian elemen per elemen. Nilai awal yang diperlukan
30
Misalkan�̂| menotasikan vektor yang berisi inferensi pemulusan pada peluang
regime yaitu estimasi dari peluang bahwa regime j terjadi pada saat t dengan syarat semua observasi yang mungkin, � = |� ; � . Kim (1993) mengembangkan
sebuah algoritma untuk mendapatkan peluang regime ini dari peluang bersyarat �̂|
dan �̂+ |
Inferensi pemulusan peluangregime pada saat tdihitung
�̂| = �̂| ⊙ (�′[�̂+ | ÷ �̂ + | ]) .
dimana ÷ adalah pembagian elemen per elemen. Algoritma berjalan mundur melalui
sampel yang dimulai dengan �̂ | dari (3.10) yang diterapkan pada persamaan (3.12)
untuk = − , − , ⋯ , .Secara detail Kim(1993) dan Hamilton(1994),
memenuhi rumus (3.12) (Lampiran 2).
Estimasi maksimum likelihood dari peluang transisi adalah sebagai berikut
31
�̂ adalah estimasi kuadrat terkecil tertimbang dari regresi pada , dengan bobot diberikan oleh akar dari peluang pemulusan dari terjadinyaregime j. Oleh karena itu,
estimasi�̂ dapat diperoleh dengan
�̂ = (∑
Estimasi Maksimum Likelihood dari variansi residual diperoleh dengan
menggunakan (3.15) sebagai rata-rata residual kuadat dari dua regresi kuadrat terkecil
tertimbang.
Tempatkan semua elemen bersama-sama, prosedur iteratif untuk mengestimasi
parameter dari model Markov Switching. Berikan nilai awal untuk vektor parameter
�̂ , pertama hitung peluang pemulusan regime (smoothed regime probabilities). Selanjutnya peluang pemulusan regime�̂| dikombinasikan dengan estimasi awal
dari peluang transisi �̂ untuk mendapatkan estimasi baru dari peluang transisi �̂
dari (3.13). Akhirnya, (3.16) dan (3.15) dapat digunakan untuk mendapatkan
estimasi baru dari parameter autoregressive dan variansi residual. Kombinasikan
dengan estimasi baru dari peluang transisi, ini memberikan estimasi baru untuk
semua parameter dalam model, �̂ . Iterasi prosedur ini menghasilkan
estimasi�̂ , �̂ , ⋯ dan prosedur ini berlanjut sampai konvergensi terjadi, yaitu
sampai estimasi di iterasi berikutnya cukup dekat. Prosedur ini merupakan aplikasi
dari algoritma Expectation Maximization (EM) yang dikembangkan oleh Dempster,
32
fungsi likelihood, yang menjamin bahwa estimasi akhirnya adalah estimasi
Maksimum Likelihood.
Untuk selanjutnya perhitungan akan dilakukan dengan menggunakan software
Oxmetrics dan Eviews.
3.3 Uji Nonlinearitas
Persamaan (3.3) sebelumnya dapat dituliskan sebagai
= � , ��+ � , �� − + … + ��, �� −� + � , � =
Pendekatan alami dari uji nonlinearitas adalah mengambil model linear sebagai
hipotesis nol dan model regime switching sebagai hipotesis alternatif. Pada kasus
model 2 regime, hipotesis nol dapat dinyatakan sebagai kesamaan parameter
autoregressive pada kedua regimeyaitu
model nonlinear markov switching terdapat parameter gangguan atau nuisance
parameter yang tidak teridentifikasi dibawah asumsi hipotesis nol dan tidak hadir dalam model linear, dalam hal ini adalah � atau peluang transisi. Sebagai
konsekuensinya teori statistik konvensional tidak dapat diterapkan untuk
memperoleh distribusi dari tes statistik hal ini dijelaskan (Davies 1977, 1987)
(Garcia 1995) dan (Hansen 1996). Tes statistiknya cenderung memiliki distribusi
yang tidak standar, yang seringkali ekspresi analisisnya tidak tersedia. Hanya setelah
melakukan estimasi markov switching dapat dilihat hubungan atau relevansi antara
model Markov Switching dan model linear AR.
Ketika mengkaji relevansi dari model MSW, pendekatan alami nya adalah
33
linear melawan hipotesis alternative yaitu model MSW, � = � = � diuji dengan
menggunakan tes statistik berikut
LRMSW=
L
MSW -L
ARdimana
L
MSW danL
AR adalah nilai dari fungsi log likelihood yang berhibungan dengan MSW dan model AR. Dalam kasus dua regime, parameter � dan � yangmendefinisikan peluang transisi dalam model MSW adalah parameter gangguan tak
teridentifikasi di hipotesis nol. LR statistik memiliki distribusi yang tidak standar
yang tidak dapat dikarakterisasi secara analisis. Nilai kritis (critical value) untuk
menentukan signifikansi dari uji statistik harus ditentukan dengan cara simulasi.
Struktur dasar dari percobaan simulasi tersebut salah satunya menghasilkan sejumlah
besar time series artificial ∗ menurut model dibawah hipotesis nol. Kemudian,
estimasi antara AR dan model MSW untuk masing-masing artificial time series dan
hitung LR statistik � ���∗ . Tes statistik ini dapat digunakan untuk mendapatkan
sebuah perkiraan dari distribusi lengkap dari tes statistik dibawah hipotesis nol, atau
sekedar untuk menghitung p-value dari LR statistik untuk time series yang asli.
Estimasi model MSW bisa memakan waktu dan prosedurnya menuntut jumlah
dalam komputasi (Van Dijk, 2003). Perhitungan selanjutnya menggunakan Pcgive
14 Oxmetrics.
3.4Peramalan
Peramalan adalah salah satu tujuan utama dari pemodelan runtun waktu, hasil
peramalan yang baik jika nilai estimasi tidak jauh dari nilai sebenarnya.
Peramalan untuk nilai dari runtun waktu +ℎ adalah peramalan dari +ℎ dengan
syarat regime pada saat + ℎ, yaitu +ℎ dikali dengan peramalan dari peluang pada
masing-masing regime pada saat + ℎ. Sebagai contoh, peramalan satu langkah ke
depan untuk model Markov Switching Autoregressive dengan banyaknya state
sebanyak dua adalah sebagai berikut:
34
× �[ + | + = , Ω ] ∙ � + = |Ω ; � .
Peramalan dari + dengan syarat regime pada saat + mengikuti langsung dari
persamaan (3.5), contoh untuk AR(1)
�[ + | + = , Ω ] = � , + � , ,
dimana
� + = |Ω ; � , = , adalah peramalan optimal peluang regimeyaitu�̂+ |
Matriks peluang transisi m periode kedepan untuk rantai Markov 2 state
� =
sebagai contoh jika proses berada pada state 1, peluang m periode berikutnya akanada di state 2 adalah
�{ + = | = } = − � − � − �− � − � ,
DAFTAR PUSTAKA
Amami, Surya. (2010). Peramalan Pangsa Pasar Kartu GSM dengan Pendekatan Rantai Markov. Skripsi FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan.
Anggraeni, Silvy. (2012). Model Volatilitas Conditional Heteroscedastic Autoregressive Moving Average. Skripsi FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan.
Bergman, U.Michael dan Hansson, Jesper. (2005). “Real Exchange Rate and Switching Regimes”. Journal of International Money and Finance. 24, 121-138.
Box, G.E.P. and Jenkins,G.M. (1976). Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden-Day, California.
Clements, Michael P. dan Krolzig, Hans Martin. (1997). A Comparison of the Forcast Performance of Markov Switching and Threshold Autoregressive models of US GNP.
Djuranovik, Leslie. (2001). Penyusunan Composit Index Indonesia 1983-2000 dan Pemodelan Menggunakan MSAR. Skripsi FMIPA Institut Pertanian Bogor. Bogor: tidak diterbitkan.
Doornik, Jurgen A. (2013). Econometric Analysis with Markov Switching Models. Timberlake.
Ekasari, Yunita. (2012). Model Nilai Tukar Kanada Terhadap Rupiah Menggunakan Markov Switching GARCH. Skripsi FMIPA Universitas Sebelas Maret. Surakarta: tidak diterbitkan.
Frances, Philip Hans dan Dijk, Dick Van. (2003). Non Linear Time Series Models in Empirical Finance. Cambrige University Press.
Hamilton, James D. (1989). “A New Approach to the Economics Analysis of Nonstasionary Time Series and The Business Cycle”. Econometrica. 57, (2), 357-384.
Hamilton, James D. (1990). “Analysis of Time Series Subject to Changes in
Regime”. Journal of Econometrics. 45, 39-70.
Hamilton, James D. (1994). Time Series Analysis. New Jersey: Princeton University Press.
Mostafaei, Hamid Reza dan Safaei Maryam. (2012). “Point Forecast Markov Switching Model for U.S. Dollar/Euro Exchane Rate”. Sain Malaysiana. 41, (4), 481-488.
Retnowati, Enung. (2011). Pemodelan Smooth Transition Autoregressive. Skripsi FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan.
Soejoeti, Zanzawi. (1987). Analisis Runtun Waktu. Jakarta: Karunika, Universitas Terbuka.
Yarmohammadi, Masoud. Mostafaei, Hamid Reza dan Safaei Maryam. (2012).
“Markov Switching Models for Time Series Data with Dramatic Jumps”.