JURNAL MATEMATIKA UNAND
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Kampus UNAND Limau Manis Padang 25163
Telp. 0751-73224, Hp. 0852-64652866
http://jmua.fmipa.unand.ac.id
DAFTAR ISI
VOLUME VII No 1
NO
PENULIS
JUDUL
HAL
1
Elva Rahimah,
Lyra
Yulianti, Des
Welyyanti
Penentuan Bilangan Kromatik Lokasi Graf
Thorn
Dari
Graf Roda
W3
1 – 8
2
Annisa Maula Zakiya,
Yanita, Nova Noliza
Bakar
Menentukan Invers Moore-Penrose Dengan Metode
Ben Noble
9 – 18
3
Chintia Deva Rianti,
Narwen, Lyra Yulianti
Bilangan Kromatik Lokasi Dari Graf
Spinner
19 – 23
4
Citra Ariadini
Chairunnisa,
Hazmira
Yozza, Dodi Devianto
Pengukuran Nilai Risiko Portofolio Berdasarkan
Mean-Var
24 – 32
5
Dian Yosefanny,
Hazmira Yozza, Izzati
Rahmi H.G
Model Spline Kuadratik Untuk Merancang Kurva
Pertumbuhan Balita di Kota Padang
33 – 42
6
Dilla Oktavia
Solusi Asimtotik Pada Persamaan Difusi Dengan Waktu
Singkat
43 – 51
7
Dwi Novri Asmara,
Syafrizal Sy, Effendi
Bilangan
Rainbow Connection
dan
Strong Rainbow
Connection
Pada Graf Jahangir
J2,m
52 – 58
8
Hary Wahyudi,
Narwen
Penentuan
Bilangan
Rainbow
Connection
Dari
Amalgamasi Graf Roda
59 – 63
9
Haves Derindo,
Lyra
Yulianti, Syafrizal Sy
Bilangan
Strong Rainbow Connection
Pada Graf
Beaded
Wheel
64 – 69
10
Inda Silvia Afni,
Yanita, Nova Noliza
Bakar
Operator VEC dan VECH pada Matriks
70 – 75
11
Indah Citra Apsari,
Mahdhivan Syafwan,
Ahmad Iqbal Baqi
Penyelesaian Persamaan Adveksi Nonlokal Dalam Kasus
Domain Satu Dimensi Dengan Menggunakan Metode
Karakteristik
76 – 84
12
Iswahyuli,
Hazmira
Yozza, Dodi Devianto
Peramalan Curah Hujan Bulanan Desa Sungai Ipuh Solok
Selatan Dengan Model
Autoregressive Integrated
Moving Average
13
Karina Foresti,
Maiyastri, Yudiantri
Asdi
Penerapan Metode Six Sigma Pada Pengendalian
Kualitas Air Kemasan Di PT. Gunung Naga Mas
93 – 102
14
Khairannisa Al Azizu
Pelabelan Total Sisi Ajaib Super Pada Graf Prisma
Bercabang (C
5X P
2)
K
2103 – 108
15
Nessa
Bilangan
Rainbow Connection
Untuk Graf Kubik C
n,2n,n109 – 114
16
Ridha Khairiyah,
Maiyastri, Rita Diana
Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Dan Metode
Bayes Pada Model Regresi Linier Dengan Galat Yang
Autokorelasi
115 – 124
17
Sarifah Aulia,
Hazmira
Yozza, Maiyastri
Perhitungan Iuran Pensiun Untuk Pensiun Normal
Berdasarkan Metode
Benefite Prorate
Tipe
Constant
Dollar
125 – 135
18
Shelli Fitrianda,
Lyra
Yulianti, Narwen
Rainbow Connection Number
dan
Strong Rainbow
Connection Number
Pada Graf Tangga Segitiga
Diperumum
Tr4
136 – 142
19
Suciana Budi Aryani,
Lyra Yulianti, Syafrizal
Sy
Batas Atas Bilangan
Rainbow Connection
untuk Graf
Kubik
Cn,2n,2n,2n,n
143 – 148
20
Zul Hazizah,
Ferra
Yanuar, Riri Lestari
Analisis Tingkat Kepuasan Masyarakat Terhadap Kualitas
Pelayanan Jasa RSUD Dr. Rasidin Padang
149 – 158
21
Zalfa Ahmad Syauqi,
Mahdhivan Syafwan
Penjadwalan Matakuliah Menggunakan Pewarnaan Titik
Pada Graf
Jurnal Matematika UNAND Vol.VIINo.1Hal. 136 – 142 ISSN : 2303–2910
c
Jurusan Matematika FMIPA UNAND
RAINBOW CONNECTION NUMBER
DAN
STRONG
RAINBOW CONNECTION NUMBER
PADA GRAF
TANGGA SEGITIGA YANG DIPERUMUM
SHELLI FITRIANDA, LYRA YULIANTI, NARWEN
Jurusan Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.
email : shellifitrianda@gmail.com
Abstrak.MisalkanGadalah graf terhubung taktrivial dengan pewarnaanc:E(G)→ {1,2,· · ·, k},k∈N, untuk sisi dariG, dimana sisi yang bertetangga boleh diberi warna
yang sama. Misal terdapat titikudanvdiG, sebuah lintasanPdiGadalahrainbow path
jika tidak ada dua sisi dari titikudanvdiPmemiliki warna yang sama. GrafGadalah
rainbow connected dengan pewarnaancjikaGmemilikirainbow path untuk setiap dua titiku, v∈V(G).Rainbow connection number dari graf terhubung dinotasikan dengan
rc(G), didefinisikan sebagai banyaknya warna minimum yang diperlukan untuk membuat grafGbersifatrainbow connected.
Untuk dua titikudanvdariG, sebuahrainbow geodesic(u, v) diGadalahrainbow path(u, v) dengan panjangd(u, v) dimanad(u, v) adalah jarak diantaraudanv(panjang
path (u, v) terpendek diG). GrafGadalahstrongly rainbow connected jikaGmemiliki sebuahrainbow geodesic (u, v) untuk setiap dua titiku danv diG. Minimumkyang terdapat pada pewarnaan c : E(G) → {1,2,· · ·, k} dari sisi G sedemikian sehingga
G strongly rainbow connected dinamakan strong rainbow connection number,src(G). Pada tulisan ini akan dibahasrainbow connection numberdanstrong rainbow connection number pada graf tangga segitiga yang diperumumT r4.
Kata Kunci: Rainbow connection number, Strong rainbow connection number, graf tangga segitiga yang diperumum
1. Pendahuluan
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu dari matematika yang sudah ada sejak lebih dari dua ratus tahun yang lalu. Paper pertama tentang teori graf muncul pada tahun 1736, oleh matematikawan terkenal dari Swiss bernama Leonhard Euler [1]. Saat ini teori graf semakin berkembang pesat karena aplikasinya yang sangat luas dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam berbagai bidang ilmu. Salah satu topik dalam teori graf adalahrainbow connection pada graf.
Konseprainbow connection number pada graf pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand, dkk pada tahun 2006 [2]. Misalkan G adalah graf terhubung tak triv-ial dan didefinisikan pewarnaan sisi c : E(G) → {1,2,· · ·, k}, dengan k ∈ N,
sedemikian sehingga dua sisi yang bertetangga boleh memiliki warna yang sama. Suatu (u, v)-path P diGdikatakanrainbow path jika tidak ada dua sisi dalam lin-tasan tersebut memiliki warna yang sama. GrafGdikatakanrainbow connectedjika setiap dua titik yang berbeda diGdihubungkan olehrainbow path.
rc(T r4)dansrc(T r4) 137
Konseprainbow connection number dapat digunakan untuk pengamanan pengi-riman informasi rahasia antar pemerintah dan agen [6]. Dalam hal ini, pemerintah dan agen tidak diizinkan untuk saling mencek informasi karena berhubungan dengan keamanan nasional, sehingga informasi kepada agen satu dan lainnya harus meng-gunakan sandi. Dengan demikian, akan terdapat satu atau lebih lintasan informasi untuk setiap dua agen dan harus dipastikan tidak ada sandi yang berulang. Kata sandi setiap lintasan harus berbeda, sehingga harus ditentukan jumlah sandi yang dibutuhkan, agar terdapat satu lintasan yang aman antara dua agen. Situasi inilah yang dimodelkan dalamrainbow connection number.
Penelitian terkait rainbow connection berkembang cukup pesat, dapat dilihat pada [3], [5], [6], [7], [8], [9], dan [10]. Untuk itu akan dibahas rainbow
connec-tion number danstrong rainbow connection number pada graf tangga segitiga yang
diperumum.
2. Definisi dan Terminologi dalam Teori Graf 2.1. Graf Tangga Segitiga yang Diperumum
Definisi dan terminologi yang digunakan dalam tulisan ini diambil dari [1] dan [2]. Graf tangga segitiga yang diperumum dapat diperoleh dari beberapa graf dengan cara sebagai berikut. Dua segitiga dikatakan terhubung jika beririsan pada satu sisi. MisalkanT adalah kumpulan segitiga-segitiga terhubung, makaT adalah graf planar terhubung dengan siklus terpendek 3 dan masing-masing segitiga beririsan pada paling sedikit satu sisi dengan lainnya. Kumpulan segitiga terhubung disebut
triomino. Jadi,T disebutn - triomino jikaT adalah susunan darinsegitiga yang
terhubung. Graf tangga segitiga dengan panjangnadalahn - triominoyang disusun secara mendatar, dengan menempatkannsegitiga dengan cara seperti pada Gambar 1 [3], yang dinotasikan dengann-graf tangga segitiga.
Gambar 1. Graf Tangga Segitiga,n≥1.
Graf piramida dengan n baris, ditulis P rn adalah graf yang dibentuk dengan
menempatkan graf tangga segitiga dengan cara sebagai berikut. Pertama-tama ter-dapat (2n−1)-graf tangga segitiga, kemudian diletakkan (2n−3)-graf tangga segi-tiga diatasnya, seterusnya hingga di bagian puncak terdapat 1-graf tangga segisegi-tiga
138 Shelli Fitrianda dkk.
seperti pada Gambar 2 [4]. Dapat dilihat bahwa terdapat nbaris pada graf terse-but. Titik paling atas dari graf piramida dinamakan sebagai titik puncak dan titik paling bawah dari graf piramida dinamakan sebagai titik-titik bawah.
Gambar 2. Graf Piramida dengannbaris.
Berdasarkan Gambar 2, dengan menambahkan satu titik dibawah graf pi-ramida, dinamakan titik dasar (titik utama) dan sebanyak n sisi tertentu yang menghubungkan titik dasar dengan titik-titik bawah pada graf piramida, maka diperoleh graf tangga segitiga yang diperumum yang dinotasikan sebagaiT rn,
un-tuk n ≥ 2, dengan n merupakan banyaknya sisi yang terkait dengan titik utama dan banyaknya tingkat pada graf tangga segitiga yang diperumum tersebut.
Dengan demikian diperoleh bentuk umum dari graf tangga segitiga yang dipe-rumum adalah sebagai berikut :
V(T rn) ={v} ∪ {vij|1≤i≤n,1≤j≤n−i+ 1},dan E(T rn) =E1∪E2∪E3∪E4,dengan E1(T rn) ={vv1j|1≤i≤n}, E2(T rn) ={vijvi(j+1)|1≤i≤n−1,1≤j≤n−i}, E3(T rn) ={vijv(i+1)j|1≤i≤n−j,1≤j≤n−1}, E4(T rn) ={vijvi+1(j−1)|1≤i≤n−1,2≤j≤n−i+ 1}.
Pada Gambar 3 diberikan contoh untuk graf tangga segitiga yang diperumum (T rn).
2.2. Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection Number
Lintasan geodesic antara titik u dan v dari graf G adalah lintasan u−v dengan panjang minimum. Panjang lintasan adalah jumlah sisi yang terdapat di dalam lintasan. Jarak antara u dan v adalah panjang lintasan terpendek dari u dan v yang dinotasikan dengan d(u, v). Diameter adalah jarak maksimum dari sebarang dua titik di G, dinotasikan dengandiam(G).
Misal terdapat titik u dan v di G, sebuah lintasan P di G adalah rainbow path jika tidak ada dua sisi dari titik u dan v di P memiliki warna yang sama.
rc(T r4)dansrc(T r4) 139
Gambar 3. Graf Tangga Segitiga yang DiperumumT rn,n≥2.
Graf G adalah rainbow connected dengan pewarnaan c jika G memiliki rainbow path untuk setiap dua titik u, v ∈ V(G). Pewarnaan c dikatakan sebuah rainbow
coloring dariG. Jikakwarna digunakan makacadalahrainbow k-coloring.Rainbow
connection number dari graf terhubung dinotasikan dengan rc(G), didefinisikan
sebagai banyaknya warna minimum yang diperlukan untuk membuat grafGbersifat
rainbow connected.
Untuk dua titik u dan v dari G, sebuah rainbow geodesic-(u, v) di G adalah
rainbow path-(u, v) dengan panjang d(u, v) dimana d(u, v) adalah jarak diantara u dan v (panjang path-(u, v) terpendek di G). Graf G adalah strongly rainbow
connected jika G memiliki sebuah rainbow geodesic-(u, v) untuk setiap dua titik
u, v∈V(G). Dalam kasus ini, pewarnaancdikatakan sebuahstrong rainbow coloring
dariG. Minimumkyang terdapat pada pewarnaanc:E(G)→ {1,2,· · · , k}dari sisi Gsedemikian sehinggaGadalahstrongly rainbow-connected adalahstrong rainbow connection number,src(G) dariG.
Chartrand dkk. (2006) telah memberikan teorema dasar rainbow connection
number suatu graf, seperti dituliskan pada Teorema 2.1 dan Teorema 2.2 berikut.
Teorema 2.1. [2]JikaGadalah graf taktrivialterhubung berukuranmyang
mem-punyai diameter diam(G), maka
diam(G)≤rc(G)≤src(G)≤m.
Bukti. Akan dibuktikan bahwa diam(G)≤rc(G). Perhatikan bahwa diam(G) = max{d(u, v) | u, v ∈ V(G)}. Karena rc(G) berlaku pada lintasan sebarang yang menghubungkan u ke v dimana u, v ∈ V(G), maka berdasarkan definisi diameter G, diam(G)≤rc(G). MisalkanPg adalah lintasan geodesic yang menghubungkan
140 Shelli Fitrianda dkk.
yang menghubungkanukevdengan panjang lintasan adalaht. Karena jarak adalah banyak sisi pada lintasan geodesic, maka s ≤t. Perhatikan bahwa rc(G) berlaku pada lintasan sebarang dariukevdimanau, v∈V(G). Akibatnyarc(G)≤src(G) untuk setiap graf terhubung G. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa src(G)≤m. Karena madalah banyak sisi padaG, jelas bahwasrc(G)≤m.
Teorema 2.2. [2]Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial yang berukuran m, maka:
(a) rc(G) = 1jika dan hanya jikaGadalah graf lengkap, (b) rc(G) = 2jika dan hanya jikasrc(G) = 2,
(c) rc(G) =m jika dan hanya jikaGadalah graf pohon.
Bukti.
(a) JikaGadalah graf lengkap, maka pewarnaan yang memberikan warna 1 untuk setiap sisi di G adalah strong rainbow 1-coloring dari G dan juga rc(G) = src(G) = 1. Di sisi lain, jikaGadalah bukan graf lengkap, makaGmengandung paling sedikit dua titik yang tidak bertetangga, namakanudan v, sedemikian sehingga setiap lintasan geodesic-(u, v) di G mempunyai panjang minimal 2, jadisrc(G)≥2.
(b) Misalkan rc(G) = 2 maka haruslahsrc(G)geq2. Karenarc(G) = 2, berartiG memiliki rainbow 2-coloring, yang mengakibatkan setiap dua titik yang tidak bertetangga terhubung oleh suaturainbow path dengan panjang 2. Karena lin-tasan tersebut adalah linlin-tasangeodesic, maka tidak mungkinsrc(G)>2. Maka haruslahsrc(G) = 2. Di sisi lain, asumsikansrc(G) = 2. Berdasarkan (a) harus-lahrc(G)≤2. KarenaGbukan graf lengkap, maka haruslah rc(G) = 2.
(c) Andaikan G bukan graf pohon. Maka G memiliki suatu cycle C :
v1, v2,· · ·, vk, v1 dimana k ≥3. Berikan (m−1)-coloring terhadap sisi-sisi di
G, yaitu dengan memberikan warna 1 untuk sisiv1v2 dan v2v3, serta (m−2)
buah warna berbeda dari himpunan warna{2,3,· · ·, m−1} untuk m−2 sisi tersisa di G. Pewarnaan ini adalah rainbow coloring. Jadi,rc(G)≤m−1. Se-lanjutnya, misalkanGadalah graf pohon dengan ukuran m. Asumsikan bahwa rc(G)≤m−1. Misalkancadalah suatuminimum rainbow coloringdiG. Maka terdapat sisi edanf sehinggac(e) = c(f). Asumsikan, tanpa mengurangi pe-rumuman, bahwae=uv dan f =xy dan Gmemiliki suatu (u, v)-path, yaitu u, v,· · · , x, y. Maka tidak terdapat rainbow path-(u, v) di G. Ini kontradiksi dengan G adalahrainbow connected. Jadi, haruslahGadalah graf pohon dengan ukuranm.
3. Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection Number pada Graf Tangga Segitiga yang Diperumum
Diameter dari graf tangga segitiga yang diperumum untukn= 4 diperoleh dengan menghitung jarak dari titik dasar ke titik puncak. Panjang lintasan terpendek dari titik dasar ke titik puncak adalah 4. Sehingga diperoleh bahwa diameter dari graf
rc(T r4)dansrc(T r4) 141
tangga segitiga yang diperumum untukn= 4 adalah diam(T r4) = 4.
Teorema 3.1. ♦Rainbow connection number untuk graf tangga segitiga yang
dipe-rumum untuk n= 4,T r4 adalah
rc(T r4) = 4.
Bukti. Berdasarkan Teorema 2.1 dandiam(T r4) = 4, maka 4≤rc(T r4).
Akan ditunjukkan bahwa rc(T r4) ≤4. Didefinisikan pewarnaanc :E(T rn)→
{1,2,3,4}sebagai berikut. c(vv11) = 1, c(vv1j) = 4−k,untukk=j−2, 2≤j≤4−1, c(vv14) = 4, c(vijv(i+1)j) =i+ 1,untuk 1≤i≤4−j, 1≤j ≤4−1, c(vijv(i+1)(j−1)) =i+ 1,untuk 1≤i≤4−1, 2≤j≤4−i+ 1, c(vijvi(j+1)) = [1,4]− 4 [ i=1 c(vi1v(i+1)1)untuk 1≤i≤4−1, 1≤j≤4−i,
dimana notasi [1,4] menyatakan bilangan bulat dari 1 sampai 4.
Gambar 4. GrafT r4
Pada pewarnaan tersebut, dapat dilihat bahwa untuk setiap dua titikudan v di T r4, terdapat lintasan rainbow di antara keduanya. Sehingga diperoleh bahwa
rc(T r4) = 4.
Teorema 3.2. ♦Strong rainbow connection number untuk graf tangga segitiga yang
diperumum untuk n= 4,T r4 adalah
src(T r4) =rc(T r4) = 4.
Bukti. Berdasarkan Teorema 2.1, jelas bahwasrc(T r4)≥rc(T r4), sehingga
142 Shelli Fitrianda dkk.
pembuktian Teorema 3.1, dapat dilihat bahwa pewarnaan tersebut adalah strong
rainbow coloring, karena untuk setiap dua titik u, v di T r4, lintasan rainbow di
antara kedua titik tersebut adalah lintasan geodesic. Jadi,src(T r4)≤4.
4. Kesimpulan
Pada makalah ini telah diperoleh rainbow connection number dan strong rainbow
connection number untuk graf tangga segitiga yang diperumum untukn= 4, yang
dinotasikan denganT r4, dimana diperoleh bahwa
rc(T r4) =src(T r4) = 4.
5. Ucapan Terima kasih
Terima kasih kepada bapak Dr. Mahdhivan Syafwan, bapak Dr. Dodi Devianto, dan bapak Syafruddin M.Si selaku dosen penguji, yang telah memberikan kritik dan saran dalam penulisan makalah ini.
Daftar Pustaka
[1] Bondy, J. A. and U. S. R Murty. 1976.Graph Theory with Applications. Macmil-lan, London
[2] Chartrand, G., Kalamazoo, G. L. Johns, S Valley, and K. A McKeon. 2008. Rainbow connection in graph.Mathematica Bohemica,133(1) : 85 – 89 [3] Shulhany, M.A dan A. N. M Salman. 2015. Bilangan terhubung pelangi graf
berlian.Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Mate-matika
UMS 2015.1: 916 – 924
[4] Yanti, Helma. 2014. Analisis Graf Piramida, Graf Berlian, dan Graf Bintang Sebagai Graf Perfect.Tesis S-2,unpublished. Fakultas Sains dan Teknologi Uni-versitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau
[5] Arnasyitha, Yulianti dan Dafik. 2014. Rainbow connection number pada operasi graf.Prosiding Seminar Nasional Matematika 2014.1(1): 83 – 87
[6] Mahmudah, Muhlisatul dan Dafik. 2014. Rainbow connection hasil operasi graf.
Prosiding Seminar Nasional Matematika 2014.1(1): 174 – 183
[7] Sy. Syafrizal, G.H. Medika, L. Yulianti. 2013. The rainbow connection of fan and sun.Applied Mathematical Sciences.7(64) : 3155 – 3159
[8] X. Li dan Y. Shi. 2010. Rainbow connection in 3 - connected graphs. Graphs
and Combinatorics.29(5) : 1471 – 1475
[9] X. Li dan Y. Sun. 2010. Rainbow connection numbers of complementary graphs.
Utilitas Math.86(2011) : 23 – 32
[10] X. Li dan Y. Sun. 2011. Rainbow connection of graphs - a survey.Graphs and
