Transien 1. Solusi umum persamaan gelombang. Contoh contoh Switch on kondisi unmatched. Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 Presentasi 9 1

Transien 1

Solusi umum persamaan gelombang

Contoh contoh

Contoh‐contoh

Switch on

kondisi unmatched

percabangan

percabangan

Pada pembahasan sebelumnya :

pengandaikan sinyal yang harmonis, atau pengandaikan sinyal yang harmonis, atau  kondisi sinyal pada saat kondisi stabil (steady statesteady state)  Maka fungsi waktu bisa digambarkan dengan fungsi sinus (konsep phasor) Tetapi ada suatu kondisi lain, yang disebut kondisi transientransien.  Keadaan yang diamati seketika setelah adanya suatu aksi, tanpa menunggu  kondisinya stabil. 

Pada teknik tenaga listrik : Pada teknik tenaga listrik : proses penyalahan,  proses hubungan singkat,  proses induksi tegangan pengganggu akibat kejadian di atmosfir, dll Di teknik telekomunikasi :  selalu digunakan sinyal yang tak periodis.  Pada komunikasi data dipergunakan impuls‐impuls

Pada komunikasi data dipergunakan impuls‐impuls. 

Bagaimana semua ini akan berjalan di saluran transmisi ? 

hanya bisa dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial yang pertama  kali kita temui di bab pertama, dan 

kita solusikan tanpa mengubahnya ke bentuk phasor. kita solusikan tanpa mengubahnya ke bentuk phasor.

Solusi Persamaan Gelombang Secara Umum

kasus tak mengandung kerugian (R’ = 0 dan G’ = 0) kasus tak mengandung kerugian (R = 0, dan G = 0)

t

i

L

z

v

∂

∂

−

=

∂

∂

'

(a)

t

z

∂

∂

t

v

C

z

i

∂

∂

−

=

∂

∂

'

_(b)

t

z

∂

∂

i

v

∂

∂

2 2 ( ’) Turunan (a) terhadap z :

t

z

i

L

z

v

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

2

'

(a’) 2 2 (b’) 2 2 2

'

t

v

C

z

t

i

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

Turunan (b) terhadap t :

dengan

t

z

i

z

t

i

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

2 2

t

z

z

t

∂

∂

∂

∂

Memasukkan b’ ke a’

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

⋅

−

=

∂

∂

2 2 2 2

'

'

t

v

C

L

z

v

⎠

⎝

2 2 2 2

'

'

C

v

L

v

∂

∂

=

∂

∂

2 2

t

z

∂

∂

Persamaan gelombang secara umum yang berlaku untuk saluran transmisi tak mengandung kerugian.

Solusi persamaan itu pertama kali didapatkan oleh D’Alembert (1717‐1783).

⎟

⎟

⎞

⎜

⎜

⎛

+

+

⎟

⎟

⎞

⎜

⎜

⎛

−

=

f

_h

t

z

f

_r

t

z

v

_⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

ph r ph h

v

f

v

f

z

t

t

+

z

f_h dan f_r fungsi bebas tetapi memiliki argumen dan

ph

v

t

−

ph

v

t

+

Bagaimana bentuk kedua fungsi yang sebenarnya, ditentukan oleh nilai awal dan nilai batas, seperti akan ditunjukkan di contoh.

Bukti persamaan di atas adalah solusi dari persamaan gelombang bisa Didapat dengan memasukkannya ke persamaan gelombang

2 2 2 2 2

1

1

z

t

f

z

t

f

_{h r}

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

∂

⎞

⎛

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

∂

⎞

⎛

∂

2 2 2 2

1

1

z

v

v

z

v

v

z

v

ph ph ph ph

∂

⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

∂

⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

∂

∂

⎟

⎟

⎟

⎞

⎜

⎜

⎜

⎛

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

∂

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

∂

∂

2 2 2

1

v

z

t

f

v

z

t

f

v

ph r ph h

⎟

⎟

⎟

⎠

⎜

⎜

⎜

⎝

∂

⎠

⎝

+

∂

⎠

⎝

=

∂

2 2 2 2

z

z

v

z

ph ph ph

⎠

⎝

2 2

z

t

f

z

t

f

_⎜

⎜

⎛

_⎟

⎟

⎞

∂

_⎜

⎜

⎛

+

_⎟

⎟

⎞

∂

2 2 2 2

t

v

t

f

t

v

t

f

t

v

ph r ph h

∂

⎟

⎟

⎠

⎜

⎜

⎝

+

∂

+

∂

⎟

⎟

⎠

⎜

⎜

⎝

−

∂

=

∂

∂

1

Supaya persamaan‐persamaan di atas menjadi solusi ada syarat berikut:

'

'

1

C

L

v

_ph

=

Persamaan untuk arus pada saluran transmisi diturunkan dengan persamaan (b)

v

C

i

∂

−

=

∂

'

t

C

z

=

∂

∂

didapatkan

_⎛

_⎞

_⎛

_⎞

1

1

didapatkan o ph r ph h

I

v

z

t

f

Z

v

z

t

f

Z

i

_⎟

⎟

+

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1

1

'

'

C

L

Z

=

Impedansi karakteristik dan

v_h = f_h(-z/v) t = 0 z i_h = f_h(-z/v)/Z v_h = f_h(t₁-z/v) t = t₁ z i_h = f_h(t₁-z/v)/Z vt₁

v_r = f_r(+z/v) t = 0 z i_r =- f_r(+z/v)/Z v_r = f_r(t₁+z/v) t = t₁ z i_r =- f_r(t₁+z/v)/Z _vt1

Batas Awal dan Syarat Batasan Pada Transien (Contoh‐contoh)

Distribusi tegangan dan arus pada proses transien ditentukan oleh  syarat awal dan syarat batas dari problem yang diberikan.

Syarat awal : misal pada saat t = 0 diberikan suatu distribusi tegangan  dan arus awal di sepanjang saluran transmisi, 

dan arus awal di sepanjang saluran transmisi,

kemudian akan diperhatikan apa yang terjadi pada lanjutannya ini. S t b t k di i b t d dib ik il i t Syarat batas: kondisi batas yang padanya diberikan nilai tegangan  atau arus sebagai fungsi waktu.  Misalnya sebuah open pada ujung saluran transmisi adalah sebuah  syarat batas, yang di sana berlaku i = 0 untuk semua waktu.y y g

Contoh 1:

Syarat Awal : Distibusi Muatan pada Saluran Transmisi

A d ik d i i ki 0 d b h l i i

Andaikan pada suatu posisi sekitar z = 0 pada sebuah saluran transmisi yang tak terhingga panjangnya, mendadak muncul suatu distribusi muatan tertentu. 

Muatan listrik terinduksi itu akan menghasilkan medan listrik, sehingga akan terjadi beda potensial atau suatu distribusi tegangan di lokasi muatan tersebut misalnya bisa di tuliskan sebagai fungsi f(z)

muatan tersebut, misalnya bisa di tuliskan sebagai fungsi f(z). v (z, t=0) = f(z) adalah syarat awal dari masalah transien ini.

Pada momen pertama t = 0, tak ada arus yang mengalir, atau i (t=0) = 0.

Sehingga dengan solusi persamaan diferensial (persamaan (9 4) dan (9 6)): Sehingga dengan solusi persamaan diferensial (persamaan (9.4) dan (9.6)):

⎟

⎟

⎞

⎜

⎜

⎛

+

⎟

⎟

⎞

⎜

⎜

⎛

=

f

z

f

z

z

f

(

)

_⎟

⎟

⎠

⎜

⎜

⎝

+

⎟

⎟

⎠

⎜

⎜

⎝

−

=

ph r ph h

v

f

v

f

z

f

(

)

⎞

⎛

⎞

⎛

₁

1

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

ph r ph h

v

z

f

Z

v

z

f

Z

1

1

0

Dari dua persamaan di atas kita dapatkan

1

z ⎟⎞

⎜

⎛

)

(

2

1

z

f

v

z

f

ph h

⎟

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

1

⎞

⎛

)

(

2

1

z

f

v

z

f

ph r

⎟

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

Terbentuk dua gelombang bagian, yang akan merambat ke kanan (ke arah z positif), dan dengan besar dan bentuk yang sama akan

merambat ke kiri (z negatif). Sehingga total didapatkan tegangan dan arus( g ) gg p g g

(

z

v

t

)

f

(

z

v

t

)

f

v

=

−

_ph

+

+

_ph

2

1

2

1

(

)

f

(

z

v

t

)

Z

t

v

z

f

Z

i

=

−

_ph

−

+

_ph

2

1

2

1

Contoh 2:

Syarat Batas : Switch-On pada Sebuah Saluran Transmisi panjang tak hingga

Yang diketahui adalah, karena saluran transmisi panjangnya tak hingga,  maka hanya akan terdapat gelombang datang v_h.

G l b d t i i k b t k h itif d

Gelombang datang ini akan merambat ke arah z positif dengan  kecepatan v_ph, sehingga berlaku

⎪⎪

⎨

⎧

_<

ph

v

z

t

V

untuk

0

dan

⎪⎪

⎨

⎧

_<

ph

v

z

t

i

untuk

0

⎪

⎪

⎩

⎪

⎨

>

=

ph h ph

v

z

t

v

V

untuk

dan

⎪

⎪

⎩

⎨

>

=

ph h p

v

z

t

v

i

untuk

Z

Pada saat t = 0 berlaku hukum Kirchhoff dan hukum Ohm :

h

h

R

v

i

V

₀

=

i

_h

⋅

R

+

v

_h

V

₀

+

dan dengan impedansi karakteristik saluran transmisi di atas:

o h h h

V

R

Z

Z

v

v

R

Z

v

V

+

=

⇒

+

⋅

=

0 vh z ih

Refleksi dan Pembelokan (Reflection and Refraction) 

Bentuk gelombang tergantung dari kondisi awal. 

Gelombang ini akan merambat tanpa gangguan (tanpa perubahan bentuk) 

di j l t i i h

di sepanjang saluran transmisi yang homogen. 

Bahkan, jika saluran transmisinya tak mengandung kerugian, gelombang, j y g g g , g g ini juga memiliki besar yang tak berubah.

Tetapi jika ada gangguan, misalnya pada beban, yang tak matching, atau sambungan saluran transmisi lain, yang memiliki impedansi gelombang yang berbeda, maka akan terbentuk kejadian tambahan.

Z₁ , v_{1 Z}

2 , v2

z z = L

Sebuah gelombang, dengan tegangan

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

−

=

f

t

z

V

_{h h} g g g g g

⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

v

1

t

f

V

_{h h} dan arus

I

=

1

f

_⎜⎜

⎛

t

z

_⎟⎟

⎞

dan arus

_⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

−

=

1 1

v

t

f

Z

I

_{h h}

merambat di saluran transmisi 1 menuju sambungan yang terletak di posisi z = L.

Pada sambungan akan terjadi refleksi gelombang datang ini, 

sehingga akan terbentuk gelombang refleksi yang merambat di saluran transmisi 1 menuju arah negatif z,

transmisi 1 menuju arah negatif z, 

dan gelombang transmisi yang merambat di saluran transmisi 2 menuju positif z. 

S hi k l h di d b ( ≤ L) t d t

Sehingga secara keseluruhan, di depan sambungan (z ≤ L) terdapat gelombang datang dan pantul, dengan

⎞

⎛

⎞

⎛

1

⎛

⎞

1

⎛

⎞

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

1 1 1

v

z

t

f

v

z

t

f

V

_{h r} dan

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

1 1 1 1

1

1

v

z

t

f

Z

v

z

t

f

Z

I

_{h h h}

Dan sesudah sambungan (z ≥ L) hanya ada gelombang transmisi

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2 2

v

z

t

f

V

_t

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2 2

1

v

z

t

f

Z

I

_{h t} dan

Pada sambungan z = L, harus berlaku V₁(z=L) = V₂(z=L) dan I₁(z=L) = I₂(z=L), sehingga

Dua variabel dan dua persamaan dengan eliminasi akan didapatkan Dua variabel dan dua persamaan, dengan eliminasi akan didapatkan

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

2 1

L

t

f

Z

Z

Z

Z

L

t

f

_{r h}

_⎟

⎠

⎜

⎝

+

⎟

⎠

⎜

⎝

v

1

Z

2

Z

1

v

1 h r

⎟

⎞

⎜

⎛

⎟

⎞

⎜

⎛

L

2

Z

₂

L

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1 1 2 2 2

2

v

L

t

f

Z

Z

Z

v

L

t

f

_{t h}

Gelombang pantul didapatkan melalui mengalikan gelombang datang Gelombang pantul didapatkan melalui mengalikan gelombang datang dengan konstanta refleksi

1 2

Z

Z

Z

Z

r

+

−

=

1 2

Z

Z

+

dan gelombang transmisi didapat dari hasil kali gelombang datang dengan faktor transmisi

2

2Z

t

2

Z

Z

t

+

=

v1

v1

v₂

v₂

Contoh Perhitungan

Sumber tegangan DC V_o= 2 V, dengan impedansi dalam Z_i=20 Ω,  dihubungkan ke beban Z_LL = 200 Ω  dengan melalui saluran transmisi dengan panjang L dan memiliki impedansi gelombang Z_o= 100 Ω.  Lukiskanlah proses transien di sepanjang saluran transmisi tersebut jika pada t = 0 rangkaian ‘switch on’ dengan menentukan tegangan jika pada t = 0 rangkaian switch on  dengan menentukan tegangan pada z = 0 dan z = L sebagai fungsi waktu.

Pada saat t = 0, generator akan melihat Z = Z_o sebagai bebannya, sehingga pada saat t = 0, didapatkan rangkaian pengganti

Maka pada saat t = 0 s tegangan pada gerbang masukan sesuai dengan Maka pada saat t = 0 s, tegangan pada gerbang masukan, sesuai dengan aturan pembagian tegangan, menjadi

Z

100

V

V

V

Z

Z

Z

t

V

_o o i o in

2

1

,

67

120

100

)

0

(

=

⋅

=

+

=

=

Dan untuk kondisi ‘steady-state’ t → ∞, pengaruh saluran transmisi terhadap kondisi sinyal sudah tak ada lagi, impedansi beban langsung terlihat oleh generator, sehingga didapatkan rangkaian

Dengan aturan pembagi tegangan:

Z

200

V

V

V

Z

Z

Z

t

V

t

V

_o L i L out in

2

1

,

82

220

200

)

(

)

(

=

⋅

=

+

=

∞

→

=

∞

→

Sekarang, bagaimana untuk 0 < t < ∞ ?

Andaikan gelombang membutuhkan waktu tg g _ss untuk menempuh jarak dari awal ke akhirp j saluran.  Sehingga gerbang keluaran baru kedatangan gelombang setelah waktu  di atas  tertempuh tertempuh.  Tegangannya merupakan superposisi dari tegangan datang dan tegangan pantul.  Tegangan pantul diakibatkan adanya kondisi ‚unmatched’ di gerbang  keluaran dengan  faktor refleksi

3

1

=

−

=

L o out

Z

Z

r

3

+

_o L out

Z

Z

Jadi pada gerbang keluaran, pada saat t = t_s, terdapat dua gelombang  tegangan, tegangan datang (V_o) dan tegangan pantul (r_outV_o) 

Sinyal pantul ini akan merambat kembali ke arah gerbang masukan,  dan tiba di sana setelah waktu 2t_s tertempuh. 

Gelombang ini akan kembali terpantulkan karena kondisi input dilihat Gelombang ini akan kembali terpantulkan, karena kondisi input dilihat  dari saluran transmisi juga ‚unmatched’, dengan faktor refleksi

2

80

Z

Z

3

2

120

80

₌

₋

−

=

+

−

=

o in o in in

Z

Z

Z

Z

r

Jadi pada saat t = 2 t_s di gerbang masukan (z = 0) terdapat  tiga buah gelombang tegangan: Tegangan eksitasi (V_o) T d d i b b ( V ) d

Tegangan datang dari beban (r_outV_o) dan 

Tegangan datang dari beban yang dipantulkan pada input  (r_in r_out V_o)

V(z=0) V(z=L) V asimtot 2.2 1 8 2 1.6 1.8 1.4 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Contoh 2:

Pada rangkaian di bawah ini sebuah gelombang tegangan konstan yang  merambat pada saluran transmisi dan mengenai sambungan berupa merambat pada saluran transmisi dan mengenai sambungan berupa  percabangan dua buah saluran transmisi, bagaimana daya listrik terbagi  pada masing‐masing saluran transmisi tersebut ? V_o Z₂ = 3Z_o Z₁ = Z_o Z₃₃ = 5Z_oo

Gelombang datang mempunyai daya o o h

Z

V

P

2

=

Pada sambungan di akhir saluran transmisi 1, dipasangkan saluran

transmisi 2 dan 3 secara seri, sehingga di sana terlihat impedansi beban sebesar 3Z_o+5Z_o = 8Z_o, sehingga faktor refleksinya menjadi

o r o o

_V

_V

Z

Z

Z

Z

r

9

7

9

7

8

8

₌

_⇒

₌

+

−

=

o o

Z

Z

9

9

8

+

dan faktor transmisinyay

o

V

V

Z

t

2

⋅

8

16

_t

16

_o o o o

V

V

Z

Z

t

9

9

8

+

=

⇒

=

=

Karena beban merupakan rangkaian seri dari dua impedansi, maka berlaku hukum pembagian tegangan:

o t o o t

V

V

Z

Z

V

3

2

8

3

1

=

=

Z

5

o t o o t

V

V

Z

Z

V

9

10

8

5

2

=

=

Maka kita dapatkan, daya datang akan terdistribusi ke gelombang berikut

o r r

Z

V

Z

V

P

2 2

81

49

=

=

o o r

Z

Z

81

o o t t

Z

V

Z

V

Z

V

P

2 2 2 1 , 1 ,

81

12

27

4

3

=

=

=

o o o

Z

Z

Z

,

81

27

3

o t t

V

V

P

2 2 2 , 2

20

=

=

o o t

Z

Z

2 ,

81

5