Bab III Aplikasi Teori Kontrol H 2 Pada Sistem Suspensi

Bab III

Aplikasi Teori Kontrol

H

2

Pada Sistem Suspensi

Penggunaan teori kontrol H2 telah banyak digunakan. Oleh karena itu

berikut ini akan diperkenalkan dua macam aplikasi teori kontrol H2 ini. Pada

simulasi pertama, teori kontrol H2 ini diaplikasikan pada sebuah sistem massa

pegas yang terdiri dua massa. Sedangkan pada simulasi kedua, teori kontrol H2

akan diaplikasikan pada “hybrid vibration absorber”.

3.1. Simulasi 1

Pada simulasi 1, teori kontrol H2 akan diaplikasikan pada sistem

suspensi berupa massa pegas yang terdiri 2 buah massa. Adapun suatu sistem suspensi massa pegas tersebut ditunjukan seperti pada gambar (3.1.1) berikut :

Gambar 3.1.1 Sistem suspensi dua massa

Dengan menerapkan hukum Newton kedua dan hukum Hooke, maka gaya - gaya yang bekerja pada sistem tersebut dapat diuraikan sebagai berikut

i. Gaya yang bekerja pada massa m1 dapat diuraikan sebagai

1 1 1( 2 1) 1( 2 1) 1

m x&& =k x −x +b x& −x& +F, dan setelah diuraikan maka didapat

1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1

m x_&& = −x k +k x −b x_& +b x_& +F.

1 x 2 x 2 F 1 F 2 m 2 k b2 1 k b1 1 m ...(3.1.1)

...(3.1.3) ...(3.1.4) ...(3.1.5) ...(3.1.6) ...(3.1.7) ...(3.1.8) ...(3.1.9) ...(3.1.10) Selanjutnya,kedua ruas pada persamaan (3.1.1) dibagi dengan m sehingga ₁

diperoleh 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 k k b b x x x x x F m m m m m − = + − + +

&& & & .

ii. Gaya yang bekerja pada massa m2 dapat diuraikan sebagai

2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1) 2 2 2

m x&& = −k x −x −k x −b x& −x& −b x& +F .

Selanjutnya dengan menggabungkan berdasarkan variabel-variabel yang sejenis sehingga persamaan (3.1.3) menjadi

2 2 1 1 ( 1 2) 2 1 1 ( 1 2) 2 2

m x&& =k x − k +k x +b x& − b +b x& +F ,

dan setelah membagi kedua ruas pada persamaan (3.1.4) dengan m ₂

sehingga diperoleh 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) k k k b b b F x x x x x m m m m m + + = − + − +

&& & & .

Selanjutnya dimisalkan 1 3 2 4 , . x x x x = = & &

Dengan mensubstitusikan persamaan sehingga didapat

1 1 1 1 3 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 1 , 1 . k k b b x x x x x F m m m m m k k k b b b x x x x x F m m m m m = − + − + + + + = − + − + & &

Sehingga didapat persamaan dinamik sistem dari sistem massa pegas di atas adalah sebagai berikut

1 1 2 2 1 3 3 2 4 4 x x x x F A B x x F x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{⎡ ⎤} ⎢ ⎥₌ ⎢ ⎥_{+ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & & & & , dimana ...(3.1.2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 k k b b A m m m m k k k b b b m m m m ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + + ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , dan 1 2 0 0 0 0 1 0 1 0 B m m ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Untuk keperluan perhitungan maka diperlukan nilai-nilai dari setiap parameter di atas. Misalkan nilai-nilainya adalah sebagai berikut

1 1, 4,2 1 0.4, 0.1, 1, 2 1 dan 22

k = k = b = b = m = m = .

Sehingga setelah disubtitusikan ke matriks A dan B, maka diperoleh

0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0.4 0.4 0.5 2.5 0.2 0.25 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢− − ⎥ ⎢ _{− −} ⎥ ⎣ ⎦ , dan 0 0 0 0 1 0 0 0.5 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Untuk mendapatkan plant diperumum, maka plant tersebut digabungkan dengan beberapa fungsi bobot seperti Wu, We, dan Wn dan juga pengontrol K. Adapun diagram blok untuk sistem massa pegas tersebut adalah seperti ditunjukan pada gambar berikut ini

Gambar 3.1.2 Diagram blok Plant digabungkan dengan beberapa fungsi bobot seperti Wu, We, dan Wn dan juga pengontrol K

dengan sistem loop tertutupnya diilustrasikan seperti pada gambar berikut

K Plant We Wn Wu 1 2 x x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 2 n w n ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ z2 y u=F1 1 w =F2 z1 yn

...(3.1.11) ...(3.1.12) ...(3.1.13) ...(3.1.14) ...(3.1.15a) ...(3.1.16a) ...(3.1.15b) Gambar 3.1.3 Sistem Loop Tertutup Sistem Massa Pegas

Pada Plant, persamaan dinamiknya didefinisikan sebagai

(

)

(

)

1 1 1 1 1 2 , . p p p p p p p p x A x B u w x y C x D u w x = + + ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}= + + ⎣ ⎦ &

Pada fungsi bobot input kontrol, yang dinotasikan Wu, persamaan dinamiknya didefinisikan sebagai

1 2 1 , . u u u u u u u x A x B u z C x D u = + = + &

Pada fungsi bobot output plant P, yang dinotasikan We, persamaan dinamiknya didefinisikan sebagai

1 2 e e e e x x A x B x ⎡ ⎤ = + _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ & ,

dan setelah mensubstitusi persamaan (3.1.12) ke dalam persamaan (3.1.15a) maka diperoleh

(

)

(

1 1

)

e e e e p p p

x& = A x +B C x +D u +w , dan untuk output z didapat sebagai ₁

1 1 2 e e e x z C x D x ⎡ ⎤ = + _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦,

sehingga setelah mensubstitusi persamaan (3.1.12) ke dalam persamaan (3.1.16a) maka diperoleh G K 2 1 z z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 w w ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 y y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 u

...(3.1.17) ...(3.1.18) ...(3.1.19) ...(3.1.20) ...(3.1.21) ...(3.1.22) ...(3.1.23) ...(3.1.24a) ...(3.1.25) ...(3.1.16b) ...(3.1.24b)

(

)

(

)

1 e e e p p p 1 1 z =C x +D C x +D u +w .

Pada fungsi bobot noise,yang dinotasikan Wn, persamaan dinamiknya didefinisikan sebagai 2 2 , . n n n n n n n n x A x B w y C x D w = + = + &

Langkah pertama yang akan dilakukan adalah mencari plant diperumum

G. Ada beberapa cara dalam mencari plant diperumum ini. Cara yang pertama

adalah dengan mengeliminasi 1

2 p x Y x ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, sebagai: 1 2 1 11 12 2 21 22 , , . x Ax B w B u z C x D w D u y C x D w D u = + + = + + = + + & dengan p u e n x x x x x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & & & & & , 2 1 1 2 2 F w w n w n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥ ⎢}= ⎛ ⎞_⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎢_{⎣⎝ ⎠}⎥_⎦ , dan u= , F₁ sehingga menjadi: • Pada plant

(

1 1

)

p p p p x& = A x +B u +w . • Pada fungsi bobot Wu

1

0

u u u u

x& =A x + +B u . • Pada fungsi bobot We

(

)

(

1 1

)

e e e e p p p

x_& = A x +B C x +D u +w . dan dapat diubah menjadi

1 1

e e p p e e e p e p

x& =B C x +A x +B D w +B D u . • Pada fungsi bobot Wn

2

n n n n

x& =A x +B w .

Berikutnya persamaan (3.1.22) samapai dengan persamaan (3.1.25) akan digabung sehingga diperoleh persamaan

...(3.1.26) ...(3.1.27) ...(3.1.28) ...(3.1.29) ...(3.1.30) ...(3.1.31)

( )

1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p p p p u u u u e e p e e e p e p n n n n x A x B B x A x w B u x B C A x B D w B D x A x B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎡ ⎤} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₌ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₊ ⎥_{⎢ ⎥+}⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & & & &

dan persamaan (3.1.26) tersebut dapat ditulis dalam bentuk

1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p u p p p p e u u n e e p e e p e p n n n x x x A B B x x A x x B C A B D B D w x A B w u ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢₌ ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & & & & .

Untuk keluaran z terdiri atas dua macam yaitu z dan ₁ z dimana ₂

(

)

(

)

1 e e e p p p 1 1 z =C x +D C x +D u +w , 2 u u u 1 z =C x +D u .

Selanjutnya, persamaan (3.1.28) dan (3.1.29) digabungkan sehingga diperoleh persaman berikut

( )

1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 p e p e u e p e p u e u n x D C C x D D z D D w u C x D z w x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{⎢ ⎥} ⎡ ⎤⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥} + +_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥ ⎣}⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ,

dan persamaan (3.1.30) di atas dapat pula ditulis dalam bentuk

1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 p u e e p e e p e p n u u x x x D C C D D D D z x C D z w w u ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

...(3.1.33) ...(3.1.32) ...(3.1.34) ...(3.1.35) ...(3.1.36) 1 2 n x y y x ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}+ ⎣ ⎦ ,

dan setelah disubstitusi dengan persamaan (3.1.12) dan(3.1.25) maka diperoleh

(

1 1

)

2

p p p n n n

y=C x +D u +w +C x +D w .

Persamaan (3.1.33) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut

[ ]

1 1 2 0 0 p u p n p n p e n x x w y C C D D D u x w x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ _{⎡ ⎤} ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎣ ⎦} +_{⎣ ⎦⎢ ⎥}+_{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ,

dan dapat diubah menjadi bentuk yang lebih sederhana lagi sebagai berikut

2 1 2 1 0 0 p u e n p n p n p x x x x y C C D D D F n n F ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢_{⎝ ⎠}⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Untuk mendapatkan plant diperumumnya maka persamaan (3.1.27), (3.1.31) dan (3.1.35) digabung sehinngga diperoleh

1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p p p p U u u e p e e p e p e e n n n n e p e e p e p U U p n p n p A B B x x A x x B C A B D B D x x A B x x D C C D D D D w z C D w z C C D D D u y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ & & & & .

...(3.1.37) ...(3.1.38) ...(3.1.39) ...(3.1.40) ...(3.1.41) ...(3.1.42) ...(3.1.43) ...(3.1.44) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p p U e p e e p e p n n e p e e p e p U U p n p n p A B B A B C A B D B D A B G D C C D D D D C D C C D D D ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Cara yang kedua adalah dengan menggunakan LFT atau dikenal sebagai transformasi fraksional linier

Mula-mula dari diagram blok pada Gambar 3.1.2 dapat dilihat beberapa hal berikut

• Pada pengontrol K dapat dilihat

1

F = =U Ky.

• Pada Plant dapat dilihat

1 2 1 1 2 2 x P F P F x ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

• Pada bobot pengontrol We dapat dilihat

1 1 2 e x z W x ⎡ ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦. karena 1 _{2 1 1 2} 2 x P F P F x ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥

⎣ ⎦ dari persamaan (3.1.39) maka z menjadi 1

1 e( 2 1 1 2)

z =W P F +P F ,

dan setelah diuraikan maka diperoleh z sebagai ₁

1 e 2 1 e 1 2

z =W P F +W P F .

• Pada bobot pengontrol Wu dapat dilihat

2 u 1

z =W F .

• Pada bobot pengontrol Wn dapat dilihat

2

n n

...(3.1.45) ...(3.1.46) ...(3.1.47) ...(3.1.48) ...(3.1.49) ...(3.1.50) ...(3.1.51) karena ₂ 1 2 n W n ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ sehingga diperoleh 1 2 n n n y W n ⎡ ⎤ = _{⋅ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦.

Kembali perhatikan diagram blok pada gambar 3.1.2 di atas.

1 2 n x y y x ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}+ ⎣ ⎦ .

Karena pada plant 1 _{2 1 1 2}

2 x P F P F x ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dan 1 2 n n n y W n ⎡ ⎤ = _{⋅ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ maka setelah

disubstitusi ke persamaan (3.1.46) diperoleh

1 2 1 1 2 2 n n y P F P F W n ⎡ ⎤ = + + _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦.

Dengan menggunakan operasi pada matriks biasa maka y dapat ditulis sebagai

[

]

2 2 1 1 1 2 n F y P F P W n n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + _⎢⎛ ⎞_⎥ ⎜ ⎟ ⎢_{⎝ ⎠}⎥ ⎣ ⎦ .

Selanjutnya setelah diketahui bahwa pada pengontrol K, F₁ = =U Ky, dari persamaan (3.1.38), dan dapat disubstitusikan ke persamaan (3.1.48) diatas sehingga y menjadi

[

]

2 2 1 1 2 n F y P Ky P W n n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + _⎢⎛ ⎞_⎥ ⎜ ⎟ ⎢_{⎝ ⎠}⎥ ⎣ ⎦ .

Langkah berikutnya misalkan

1 2 z z z ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, karena 1 e 1 2 e 2 1 z =W P F +W P F ,

...(3.1.52) ...(3.1.53) ...(3.1.54) ...(3.1.55) ...(3.1.56) ...(3.1.57) dan 2 u 1 z =W F , maka didapat 2 2 1 1 1 2 0 0 0 e e u F W P W P z n F W n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥ ⎢}⎛ ⎞_⎥+_{⎢ ⎥} ⎜ ⎟ ⎣ ⎦_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ,

dan karena F1= =U Ky selanjutnya diperoleh 2 2 1 1 2 0 0 0 e e u F W P W P z n Ky W n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥ ⎢}⎛ ⎞_⎥+_{⎢ ⎥} ⎜ ⎟ ⎣ ⎦_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ .

Setelah mensubstitusi y ke dalam persamaan di atas maka didapat

(

)

[

]

2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 0 0 0 e e n u F F W P W P z n K I P K P W n W n n − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥ ⎢}⎛ ⎞_⎥+_{⎢ ⎥} − _⎢⎛ ⎞_⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ _{⎢ ⎥} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , dengan mengeluarkan 2 1 2 F n n ⎡ ⎤ ⎢_{⎛ ⎞}⎥ ⎢_{⎜ ⎟}⎥ ⎢_{⎝ ⎠}⎥ ⎣ ⎦ , dapat diperoleh

(

)

1

[

]

2 2 1 2 1 1 2 0 0 0 e e n u F W P W P z K I P K P W n W n − ⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎢ ⎥ =⎢⎢_⎣ ⎥_{⎦ ⎣}+⎢ ⎥_⎦ − ⎥⎢⎛ ⎞_{⎜ ⎟}⎥ ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ . Sehingga:

(

)

1

[

]

2 1 2 1 0 ( ) 0 0 e e n u W P z W P K I P K P W W w − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = +_{⎢ ⎥} − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Ingat kembali lower LFT yang terkait G dimana:

(

)

1 11 12 22 21 , ( ) e F G K =G +G K I−G K − G , jika (I−G K₂₂ )−1 ada.

...(3.1.58) ...(3.1.59) ...(3.1.60) ...(3.1.61) ...(3.1.62) Karena z w ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎣ ⎦memiliki pola yang mirip dengan lower LFT yang terkait G, dengan menggunakan lower LFT yang terkait G tersebut, dapat dilihat

1 11 0 0 0 e W P G = ⎢⎡ ⎤_⎥ ⎣ ⎦, 2 12 e u W P G W ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦,

[

]

21 1 n G = P W , dan

[ ]

22 2 G = P .

Dan berikutnya karena

11 12 21 22 G G G G G ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦,

maka dapat diperoleh plant diperumum dari diagram blok sebagai

1 2 1 2 0 0 0 e e u n W P W P G W P W P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ,

dan fungsi transfernya

2 4 3 2 4 3 2 2 4 3 2 4 3 2 0.15 2.5 0.05 0.5 0.35 1.405 0.45 2 0.35 1.405 0.45 2 ( ) 0.05 0.5 0.5 0.1 0.5 0.35 1.405 0.45 2 0.35 1.405 0.45 2 s S S s S S S s S S S G s S S S s S S S s S S S ⎛ + − − + ⎞ ⎜ _{+ − − − + − − −} ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ − + + ⎟ ⎜ _{+ − − − + − − −} ⎟ ⎝ ⎠ .

Fungsi-fungsi bobot untuk sistem tersebut diberikan sebagai berikut:

‰ Fungsi bobot untuk input: 2 10 u s W s + = + .

‰ Fungsi bobot untuk output:

1 2 0 0 e W W W ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦,

dimana _{1 2} 0.4 2.2 1 W W s = = +

‰ Fungsi bobot untuk noise: 0.1 0 10 0.1 0 10 n s s W s s + ⎡ ⎤ ⎢ ₊ ⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎣ ⎦ .

Proses selanjutnya dengan menggunakan MATLAB 7 sehingga di dapat: Frekwensi Response Fungsi Transfer F₂ Terhadap X ₁

Karakteristik dari domain frekuensi dapat diidentifikasikan sebagai berikut:

1. Peak Amplitudo ( ( ) )

p

M iω

Peak Amplitudo didefinisikan sebagai nilai maximum dari M i(ω) . 2. Resonant Frequency

( )

ωp

Resonant Frequency didefinisikan sebagai frekuensi yang dihubungka dari peak amplitudo

3. Bandwith (BW)

Bandwith didefinisikan sebagai frekuensi yang dihubungkan dari (0) / 2

M

Sehingga karakteristik untuk domain frekuensi Fungsi Transfer F₂

terhadap X₁

Untuk tanpa pengontrol

1. Peak Amplitudo (M iω) =5.869 _p dB 2. Resonant Frequency : ω_p =0.8557rad/sec Untuk tanpa pengontrol

1. Peak Amplitudo ( ) =5.869

p

M iω dB

Untuk menunjukan perfomansinya maka dari diagram step responsenya akan dihitung beberapa hal berikut ini:

1. Delay time

Delay time yang dinotasikan td merupakan waktu yang dibutuhkan response pertama kali untuk mencapai setengah dari nilai akhir

2. Rise time

Rise time yang, dinotasikan tr merupakan waktu yang dibutuhkan response untuk bergerak dari 10% ke 90%, 5% ke 95% atau 0% ke 100% dari nilai akhir

3. Peak time

Peak time yang dinotasikan tp merupakan waktu yang dibutuhkan respon untuk mencapai puncak pada pertama kali

4. Maximum overshoot

Maximum (percent) overshoot, yang dinotasikan Mp merupakan nilai puncak maximum dari kurva respon yang diukur dari kesatuan. Jika nilai akhir steady-state respon berbeda dari kesatuan, maka biasanya digunakan maximum percent overshoot dimana didefinisikan sebagai

Maximum percent overshoot ( ) ( ) 100% ( ) p c t c c − ∞ = × ∞

5.

Settling time

Settling time, yang dinotasikan ts, merupakan waktu yang dibutuhkan kurva respon untuk mencapai dan tetap berada di selang dari nilai akhir yang terukur dari nilai mutlak dari persentase nilai akhir kurva (biasanya 2% dan 5%)

Selanjutnya dengan berbekal pengetahuan tersebut, dapat digunakan pada step respon F2 terhadap posisi x1.

•

Tanpa Pengontrol: 1. Delay Time: td= 2.53 s 2. Rise Time: tr = 3.764 s 3. Peak Time: tP= 5.26 s 4. Maximum overshoot: MP = 56.8% 5. Settling Time (TS) • 5% : ts = 42.82 s • 2% : ts = 64.84 s

•

Dengan Pengontrol: 1. Delay Time: td= 2.56 s 2. Rise Time: tr = 3.9 s 3. Peak Time: tP= 5.26 s 4. Maximum overshoot: MP = 43.34% 5. Settling Time (TS) • 5% : ts = 20.32 s • 2% : ts = 27.81 s

Adapun karakteristik untuk domain frekuensi Fungsi Transfer F

2

Terhadap X

2

Untuk tanpa pengontrol

1. Peak Amplitudo ( ) =-4.997

p

M iω dB

2. Resonant Frequency : ω_p =0.8557rad/sec Untuk tanpa pengontrol

1. Peak Amplitudo (M iω) =-11.19_p dB 2. Resonant Frequency : ωp =0.8557 rad/sec

Selanjutnya perfomansi pada step respon F2 terhadap posisi x1.

•

Tanpa Pengontrol: 1. Delay Time: td= 2.67 s 2. Rise Time: tr = 3.464 s 3. Peak Time: tP= 4.82 s 4. Maximum overshoot: MP = 48.908% 5. Settling Time (TS) • 5% : ts = 50.07 s • 2% : ts = 72.08 s

•

Dengan Pengontrol: 1. Delay Time: td= 2.68 s 2. Rise Time: tr = 3.509 s 3. Peak Time: tP= 4.76 s 4. Maximum overshoot: MP = 40.296% 5. Settling Time (TS) • 5% : ts = 23.45 s • 2% : ts = 31.02 s

3.2. Simulasi 2

Pada simulasi 2 ini, akan digunakan teori kontrol H2 pada “hybrid

vibration absorber” seperti yang dideskripsikan pada gambar 3.2.1 di bawah ini

Gambar 3.2.1 sistem “hybrid vibration absorber”

Langkah pertama yang akan dilakukan adalah mencari plant diperumum. Untuk mencari plant diperumumnya maka diperlukan persamaan dinamik plant dari sistem diatas. Untuk itu akan digunakan hukum Newton yang berbunyi “∑ =F m a. ”.Oleh sebab itu selanjutnya akan diterapkan hukum Newton pada setiap massa pada sistem “hybrid vibration absorber” ini

• Pertama pada massa dari sistem utama M

1 1 1

Mx_&& = −Cx_& −Kx − +u f .

Kedua ruas pada persamaan (3.2.1) dibagi dengan M sehingga diperoleh 1 1 1 C K u f x x x M M M M − = − − + && & .

• Kedua pada massa dari sistem tambahan m

(

) (

)

2 2 3 2 3

mx&& = −c x& −x& −k x −x .

f K k C m m0 M X u c ...(3.2.1) ...(3.2.3) ...(3.2.2) 1 x 3 x 2 x

Selanjutnya membagi kedua ruas pada persamaan (3.2.3) dengan m sehingga diperoleh

(

)

(

)

2 2 3 2 3 c k x x x x x m m = − − − −

&& & & .

Dan setelah persamaan (3.2.4) dijabarkan maka diperoleh

2 2 3 2 3

c c k k

x x x x x

m m m m

= − + − +

&& & & .

• Ketiga pada massa dari motor penggerak m0

(

) (

)

0 3 3 2 3 2 .

m x&& = −c x& −x& −k x −x +u

Berikutnya membagi kedua ruas pada persamaan (3.2.6) sehingga dapat diperoleh

(

)

(

)

3 3 2 3 2 0 0 0 . c k u x x x x x m m m = − − − − +

&& & &

Selanjutnya menguraikan persamaan (3.2.7)

3 3 2 3 2 0 0 0 0 0 . c c k k u x x x x x m m m m m = − + − + +

&& & &

Berikutnya dimisalkan 1 4 2 5 3 6 , , . x x x x x x = = = & & &

Selanjutnya persamaan (3.2.9), (3.2.10) dan (3.2.11) akan disubstitusikan ke persamaan (3.2.2), (3.2.5), dan (3.2.8) sehingga diperoleh.

4 4 1 C K u f x x x M M M M − = − − + & , 5 5 6 2 3 c c k k x x x x x m m m m = − + − + & , 6 6 5 3 2 0 0 0 0 0 c c k k u x x x x x m m m m m = − + − + + & . ...(3.2.7) ...(3.2.4) ...(3.2.5) ...(3.2.6) ...(3.2.8) ...(3.2.9 ) ...(3.2.10) ...(3.2.11) ...(3.2.12) ...(3.2.13) ...(3.2.14)

...(3.2.15) Selanjutnya persamaan (3.2.9) sampai dengan persamaan (3.2.14) digabungkan dan dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai berikut

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 x x x x K C x x u M M x x M M f k k c c x x m m m m x x k k c c m m m m m ⎡ ⎤ _{⎡ ⎤} ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢_{− −} ⎥⎢ ⎥ _{⎢ ⎥}⎡ = + − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ _{⎢ ⎥ ⎣}⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ _{⎢ ⎥} − − ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎣ ⎦ & & & & & & ⎤ ⎥ ⎦

Sehingga persamaan dinamik dari plant untuk sistem tersebut adalah persamaan (3.2.15) yang dapat ditulis sebagai

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 x x x x x x u A B x x f x x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{⎡ ⎤} = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & & & & & & , dimana 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 K C A _{M M} k k c c m m m m k k c c m m m m ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢_{− −} ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , dan

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 B M M m ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Untuk keperluan perhitungan maka diperlukan nilai dari setiap parameter di atas. Adapun nilai-nilai tersebut adalah sebagai berikut:

-4 4

1; 1; 0.01; 0.01; 0.05; 10 ; 10

M = K = C= m= k= c= mo= −

Sehingga setelah nilai-nilai tersebut dimasukan ke dalam matriks A dan B, maka diperoleh 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0.01 0 0 0 1 1 0 0.01 0.01 0 100 100 0 1 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢_{− −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{− −} ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ , dan 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 10000 0 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 3.2.1. Memanipulasi Sistem

Untuk menyederhanakan sistem, maka sistem di atas akan dimanipulasi. Selanjutnya dimisalkan

[

1 2 1 2

]

T

x= x x x& x& .

...(3.2.16) ...(3.2.17) , . v x Ax Bu Gf y Cx = + + = & dimana

(

2 2

)

2

(

)

1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n A Ω μω μω ζ μζ Ω μζ Ω ω ω ζ Ω ζ Ω ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢_{− + − +} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ ,

[

0 0 1 1/

]

T B= − μ ,

[

1 0 0 0

]

C= , dan

[

0 0 1/ 0

]

T G= M .

3.2.1. Menggabungkan dengan fungsi-fungsi bobotnya

Selanjutnya setelah persamaan dinamik dari plant didapat maka plant tersebut digabung dengan beberapa fungsi bobot dan pengontrol dalam suatu diagram blok. Selanjutnya dibutuhkan suatu diagram blok dan yang dipilih adalah diagram blok seperti pada simulasi 1. Adapun diagram blok untuk sistem massa pegas tersebut adalah sebagai berikut

Gambar 3.2.2 : Diagram Plant dengan beberapa fungsi bobotnya Pada Plant, persamaan dinamiknya didefinisikan sebagai

(

)

(

)

1 1 1 1 1 2 , . p p p p p p p p x A x B u w x y C x D u w x = + + ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}= + + ⎣ ⎦ & K Plant We Wn Wu 1 2 x x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 2 n w n ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ z2 y u w=F z1

...(3.2.18) ...(3.2.19) ...(3.2.20a) ...(3.2.21a) ...(3.2.22) ...(3.2.23) ...(3.2.24) ...(3.2.25) ...(3.2.26) ...(3.2.20b) ...( 3.2.21b) Pada fungsi bobot Wu, persamaan dinamiknya didefinisikan sebagai

1 2 1 , . u u u u u u u x A x B u z C x D u = + = + &

Pada fungsi bobot We, persamaan dinamiknya didefinisikan sebagai

1 2 e e e e x x A x B x ⎡ ⎤ = + _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ & ,

dan setelah mensubstitusi persamaan (3.1.12) ke dalam persamaan (3.1.15a) maka diperoleh

(

)

(

1 1

)

e e e e p p p

x& = A x +B C x +D u +w , dan untuk output z didapat sebagai ₁

1 1 2 e e e x z C x D x ⎡ ⎤ = + _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦,

sehingga setelah mensubstitusi persamaan (3.1.12) ke dalam persamaan (3.1.16a) maka diperoleh

(

)

(

)

1 e e e p p p 1 1

z =C x +D C x +D u +w .

Pada fungsi bobot Wn , persamaan dinamiknya didefinisikan sebagai

2 2 , . n n n n n n n n x A x B w y C x D w = + = + &

Langkah pertama yang akan dilakukan adalah mencari plant diperumum G. Ada beberapa cara dalam mencari plant diperumum ini. Cara yang pertama adalah dengan mengeliminasi 1

2 p x Y x ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, sebagai: 1 2 1 11 12 2 21 22 , , . x Ax B w B u z C x D w D u y C x D w D u = + + = + + = + + &

...(3.2.27) ...(3.2.28) ...(3.2.29a) ...(3.2.30) ...(3.2.31) ...( 3.2.29 b) dengan p u e n x x x x x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & & & & & , 2 1 1 1 1 2 2 2 ; dan F f w w n n F u w n n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥ ⎢}= ⎛ ⎞_{⎥ ⎢}= ⎛ ⎞_⎥ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎢_{⎣⎝ ⎠}⎥ ⎢_{⎦ ⎣⎝ ⎠}⎥_⎦ Sehingga menjadi: • Pada plant

(

1 1

)

p p p p x& = A x +B u +w . • Pada fungsi bobot Wu

1

0

u u u u

x& =A x + +B u . • Pada fungsi bobot We

(

)

(

1 1

)

e e e e p p p

x& = A x +B C x +D u +w . dan dapat diubah menjadi

1 1

e e p p e e e p e p

x& =B C x +A x +B D w +B D u .

• Pada fungsi bobot Wn

2

n n n n

x_& =A x +B w .

Berikutnya persamaan (3.2.26) sampai dengan persamaan (3.2.29) akan digabung sehingga diperoleh persamaan

( )

1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p p p p u u u u e e p e e e p e p n n n n x A x B B x A x w B u x B C A x B D w B D x A x B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎡ ⎤} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₌ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₊ ⎥_{⎢ ⎥+}⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & & & &

...(3.2.32) ...(3.2.33) ...(3.2.34) ...(3.2.35) ...(3.2.36) ...(3.2.38) ...(3.2.37) 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p u p p p p e u u n e e p e e p e p n n n x x x A B B x x A x x B C A B D B D w x A B w u ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢₌ ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & & & & .

Untuk keluaran z terdiri atas dua macam yaitu z dan ₁ z dimana ₂

(

)

(

)

1 e e e p p p 1 1 z =C x +D C x +D u +w , dan 2 u u u 1 z =C x +D u

Selanjutnya, persamaan (3.2.32) dan (3.2.33) digabungkan sehingga diperoleh persaman berikut

( )

1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 p e p e u e p e p u e u n x D C C x D D z D D w u C x D z w x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{⎢ ⎥} ⎡ ⎤⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥} + +_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥ ⎣}⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,

dan persamaan (3.2.34) di atas dapat pula ditulis dalam bentuk

1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 p u e e p e e p e p n u u x x x D C C D D D D z x C D z w w u ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Untuk output y dapat dinyatakan sebagai

1 2 n x y y x ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}+ ⎣ ⎦ ,

dan setelah disubstitusi dengan persamaan (3.2.17) dan(3.2.23) maka diperoleh

(

1 1

)

2

p p p n n n

y=C x +D u +w +C x +D w .

...(3.2.39) ...(3.2.40) ...(3.2.41) ...(3.2.42)

[ ]

1 1 2 0 0 p u p n p n p e n x x w y C C D D D u x w x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ _{⎡ ⎤} ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎣ ⎦} +_{⎣ ⎦⎢ ⎥}+_{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ,

dan dapat diubah menjadi bentuk yang lebih sederhana lagi sebagai berikut

1 2 1 0 0 p u e p n p n p n x x x y C C D D D x w w u ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ =_{⎣ ⎦⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Untuk mendapatkan plant diperumumnya, G, maka persamaan (3.2.31), (3.2.35) dan (3.2.38) digabung sehinngga diperoleh

1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p p p p U u u e p e e p e p e e n n n n e p e e p e p U U p n p n p A B B x x A x x B C A B D B D x x A B x x D C C D D D D w z C D w z C C D D D u y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ & & & & .

Selanjutnya plant di perumumnya merupakan :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p p U e p e e p e p n n e p e e p e p U U p n p n p A B B A B C A B D B D A B G D C C D D D D C D C C D D D ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

...(3.2.43) ...(3.2.44) ...(3.2.45) ...(3.2.46) ...(3.2.47) ...(3.2.48) ...(3.2.49) ...(3.2.50) ...(3.2.51) Cara yang kedua adalah dengan menggunakan LFT atau dikenal sebagai transformasi fraksional linier

Mula-mula dari diagram blok pada gambar 3.2.2 dapat dilihat beberapa hal berikut

• Pada pengontrol K dapat dilihat

u=Ky.

• Pada Plant dapat dilihat

1 2 1 2 x P u P f x ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

• Pada bobot pengontrol We dapat dilihat

1 1 2 e x z W x ⎡ ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦, karena 1 _{2 1} 2 x P u P f x ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ maka z menjadi 1 1 e( 2 1 ) z =W P u+P f ,

dan setelah diuraikan maka diperoleh z sebagai ₁

1 e 2 e 1

z =W P u W P f+ .

• Pada bobot pengontrol Wu dapat dilihat

2 u

z =W u.

• Pada bobot pengontrol Wn dapat dilihat

2 n n y =W W⋅ , karena ₂ 1 2 n W n ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ sehingga diperoleh 1 2 n n n y W n ⎡ ⎤ = _{⋅ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦.

Kembali perhatikan diagram blok pada gambar 3.1.2 di atas.

1 2 n x y y x ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}+ ⎣ ⎦ ,

...(3.2.52) ...(3.2.53) ...(3.2.54) ...(3.2.55) ...(3.2.56) ...(3.2.57) ...(3.2.56) karena pada plant 1 _{2 1}

2 x P u P f x ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dan 1 2 n n n y W n ⎡ ⎤ = _{⋅ ⎢ ⎥} ⎣ ⎦ maka 1 2 1 2 n n y P u P f W n ⎡ ⎤ = + + _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦.

Dengan menggunakan operasi pada matriks biasa maka y dapat ditulis sebagai

[

]

2 1 1 2 n f y P u P W n n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + _⎢⎛ ⎞_⎥ ⎜ ⎟ ⎢_{⎝ ⎠}⎥ ⎣ ⎦ .

Selanjutnya setelah diketahui bahwa pada pengontrol K dapat dilihat

u=ky, sehingga dapat disubstitusikan ke persamaan diatas maka y diperoleh menjadi

[

]

2 1 1 2 n f y P ky P W n n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + _⎢⎛ ⎞_⎥ ⎜ ⎟ ⎢_{⎝ ⎠}⎥ ⎣ ⎦ .

Langkah berikutnya misalkan

1 2 z z z ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, karena 1 e 1 e 2 z =W P f +W P u, dan 2 u z =W u, maka didapat 2 1 1 2 0 0 0 e e u f W P W P z n u W n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥ ⎢}⎛ ⎞_⎥+_{⎢ ⎥} ⎜ ⎟ ⎣ ⎦_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ,

...(3.2.57) ...(3.2.58) ...(3.2.59) ...(3.2.60) ...(3.2.61) ...(3.2.62) ...(3.2.63) ...(3.2.64) 2 1 1 2 0 0 0 e e u f W P W P z n ky W n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥ ⎢}⎛ ⎞_⎥+_{⎢ ⎥} ⎜ ⎟ ⎣ ⎦_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ .

Setelah mensubstitusi y ke dalam persamaan di atas maka didapat

(

)

1

[

]

2 1 2 1 1 1 2 2 0 0 0 e e n u f f W P W P z n k I P k P W n W n n − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥ ⎢}⎛ ⎞_⎥+_{⎢ ⎥} − _⎢⎛ ⎞_⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ _{⎢ ⎥} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , dengan mengeluarkan ₁ 2 f n n ⎡ ⎤ ⎢_{⎛ ⎞}⎥ ⎢_{⎜ ⎟}⎥ ⎢_{⎝ ⎠}⎥ ⎣ ⎦ , dapat diperoleh

(

)

1

[

]

2 1 2 1 1 2 0 0 0 e e n u f W P W P z k I P k P W n W n − ⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎢ ⎥ =_{⎢⎢ ⎥}+_{⎢ ⎥} − _⎥⎢⎛ ⎞_⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ . Sehingga:

(

)

1

[

]

2 1 2 1 0 ( ) 0 0 e e n u W P z W P k I P k P W W w − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = +_{⎢ ⎥} − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Ingat kembali lower LFT yang terkait G dimana:

(

)

1 11 12 22 21 , ( ) e F G k =G +G k I−G k − G . jika 1 22 (I−G k)− ada Karena z w ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎣ ⎦memiliki pola yang mirip dengan lower LFT yang terkait G, dengan menggunakan lower LFT yang terkait G tersebut, dapat dilihat

1 11 0 0 0 e W P G = ⎢⎡ ⎤_⎥ ⎣ ⎦, 2 12 e u W P G W ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦,

[

]

21 1 n G = P W , dan

[ ]

22 2 G = P

...(3.2.65) Dan berikutnya karena

11 12 21 22 G G G G G ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

maka plant diperumum dari diagram blok dapat dinyatakan sebagai

1 2 1 2 0 0 0 e e u n W P W P G W P W P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Dengan menggunakan lingkungan matlab 7, fungsi transfer dari plant dengan 1 output didapat

2 2 4 3 2 4 3 2 0.05 1 ( ) 0.0605 2.0105 0.06 1 0.0605 2.0105 0.06 1 s s s P s s s s s s s s s ⎡ − + + ⎤ = ⎢ _{+ + + + + + + +} ⎥ ⎣ ⎦ sehingga 2 1( ) 4 3 2 0.0605 2.0105 0.06 1 s P s s s s s − = + + + + dan 2 2 4 3 2 0.05 1 ( ) 0.0605 2.0105 0.06 1 s s P s s s s s + + = + + + +

sedangkan untuk 2 output didapat

2 2 4 3 2 4 3 2 2 4 3 2 4 3 2 0.05 1 0.0605 2.0105 0.06 1 0.0605 2.0105 0.06 1 ( ) 100 100 0.05 1 0.0605 2.0105 0.06 1 0.0605 2.0105 0.06 1 s s s s s s s s s s s P s s s s s s s s s s s s ⎛ − + + ⎞ ⎜ _{+ + + + + + + +} ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ + + + ⎟ ⎜ _{+ + + + + + + +} ⎟ ⎝ ⎠ sehingga 2 4 3 2 1 ₂ 4 3 2 0.0605 2.0105 0.06 1 ( ) 100 100 0.0605 2.0105 0.06 1 s s s s s P s s s s s s s ⎡ − ⎤ ⎢ _{+ + + +} ⎥ ⎢ ⎥ = + + ⎢ ⎥ ⎢ _{+ + + +} ⎥ ⎣ ⎦ dan 2 4 3 2 2 4 3 2 0.05 1 0.0605 2.0105 0.06 1 ( ) 0.05 1 0.0605 2.0105 0.06 1 s s s s s s P s s s s s s ⎡ + + ⎤ ⎢ _{+ + + +} ⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ _{+ + + +} ⎥ ⎣ ⎦

Untuk perhitungan lebih lanjut, ambil contoh fungsi-fungsi bobotnya sebagai berikut

• Untuk fungsi bobot W _e 1 2 0 0 e W W W ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dimana ₁ 0.5 dan ₂ 0.5 100 100 W W s s = = + +

• Untuk fungsi bobot W u

1 2 u s W s + = +

• Untuk fungsi bobot W _n

0.1 0 0.01 4 0.1 0 0.01 4 n s s W s s + ⎡ ⎤ ⎢ ₊ ⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎣ ⎦

Adapun karakteristik untuk domain frekuensi Fungsi Transfer F Terhadap ₂ 1

X

Untuk tanpa pengontrol

1. Peak Amplitudo (M iω) =-1.61 _p dB 2. Resonant Frequency : ω_p =0.9612rad/sec Untuk dengan pengontrol

1. Peak Amplitudo (M iω) =-10.12 _p dB 2. Resonant Frequency : ω_p =1.013 rad/sec

Dan karakteristik untuk domain frekuensi Fungsi Transfer F₂ Terhadap

1 X

Untuk tanpa pengontrol

1. Peak Amplitudo ( ) =0.9494

p

M iω dB

2. Resonant Frequency : ω_p =19.58rad/sec Untuk dengan pengontrol

1. Peak Amplitudo (M iω) =0.8122_p dB 2. Resonant Frequency : ω_p =0.10533 rad/sec

Selanjutnya perfomansi pada step respon F2 terhadap posisi x2.dapat ditunjukan sebagai berikut:

•

Tanpa Pengontrol: 1. Delay Time: td= 1.07 s 2. Rise Time: tr = 1.6 s 3. Peak Time: tP= 3.14 s 4. Maximum overshoot: MP = 91.28% 5. Settling Time (TS) • 5% : ts = 195.2 s • 2% : ts = 261.1 s

•

Dengan Pengontrol: 1. Delay Time: td= 1.11 s 2. Rise Time: tr = 1.775 s 3. Peak Time: tP= 3.05 s 4. Maximum overshoot: MP = 47.2% 5. Settling Time (TS) • 5% : ts = 10.15 s • 2% : ts = 44.23 s

Tatanama untuk simbol-simbol yang digunakan pada simulasi 2 ini didefinisikan sebagai berikut

M merupakan massa dari sistem utama,

K merupakan konstanta pegas dari sistem utama, C merupakan koefisien damping dari sistem utama, m merupakan massa dari sistem tambahan,

k merupakan konstanta pegas dari penahan vibrasi, c merupakan koefisien damping dari penahan vibrasi, m0 merupakan massa dari motor penggerak,

n

Ω merupakan frekuensi alami dari sistem utama (= K M/ ),

n

ω merupakan frekuensi alami dari penahan vibrasi (= k m/ ),

1

ζ merupakan rasio damping dari sistem utama (=C/(2MΩ_n)),

2

ζ merupakan rasio damping dari penahan vibrasi (=c/(2mΩ_n)), μ merupakan rasio massa (=m/M),

0

μ merupakan rasio massa (=m0/m),

1

x merupakan pergeseran dari sistem utama, 2

x merupakan pergeseran dari penahan vibrasi, 3

x merupakan pergeseran dari motor penggerak, u merupakan gaya kontrol,