Menentukan Polinomial Minimal Atas Gf P

YANG MEMBANGUN GF p n

Nunung Andriani1 dan Bambang Irawanto2 1, 2

Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Tembalang, Semarang.

Abstract. Let F is finite field with p elements, denoted by GF_p. If E be an extension field of F and α∈∈∈∈E is the algebra element of F, then p

( )

x , polynomial of F of smallest degree such that p

( )

α =0 called minimal polynomial of F. If α is primitive element, then p

( )

x whose called primitive polynomial, is the minimal polynomial of F whose generate the elements of GF_pn.The minimal polynomial of F whose generate the elements of GF_pn is the factor of

(((( ))))

x x x

f ==== pn −−−− , because the elements of n

p

GF are the solution of f

(((( ))))

x ====0. So, if p and n are known we have f

(((( ))))

x xpn ₋x

− − − = ==

= . If we factoring it, will be obtained p

( )

x , the minimal polynomial of F whose generate the elements of n

p

GF , where p

( )

x is some irreducible factor in F

[[[[ ]]]]

x of degree n that contain a primitive element.

Keyword: finite field, extension field, irreducible polynomial, minimal polynomial, primitive element.

1. PENDAHULUAN

Misalkan F adalah lapangan ,F

[ ]

x himpunan semua polinomial dalam x atas F dan f(x)∈ F

[ ]

x suatu polinomial monik dan tak tereduksi.

Suatu himpunan yang dibangun oleh suatu polinomial tak tereduksi merupakan ideal maksimal [4]. Selanjutnya Gallian juga menyatakan suatu ring hasil bagi R oleh ideal maksimalnya merupakan lapangan. Akibatnya, jika F lapangan dan

( )

x

p adalah polinomial yang tak tereduksi atas F , maka

[ ]

( )

x p x F adalah lapangan Lapangan yang elemennya berhingga disebut lapangan berhingga. Lapangan berhingga dengan p elemen, dengan p prima disebut juga Galois Field dan dinotasikan dengan GF_p. Pandang polinomial f(x) atas lapangan F , [6] mengatakan bahwa setiap polinomial berderajat positif atas F dapat disajikan

sebagai pergandaan dari koefisien utama dan sejumlah polinomial monik yang tak tereduksi atas F. Dengan demikian, polinomial berderajat n atas F, n bilangan bulat positif, mempunyai paling banyak n akar yang berbeda dalam F. Dalam tulisan ini dibahas metode atau langkah-langkah untuk memperoleh polinomial minimal atas GF_p yang membangun n

p

GF .

2. LAPANGAN PEMISAH

Suatu lapangan yang memuat lapangan yang lain sebagai himpunan bagiannya disebut lapangan perluasan.

Definisi 1 [5]

Misalkan E dan F lapangan, E disebut lapangan perluasan dari F jika Fadalah lapangan bagian (subfield) dari E, ditulis dengan F ≤≤≤≤E .

Dengan demikian jika E lapangan perluasan dari F maka Fadalah lapangan bagian dari Edan jika F adalah lapangan bagian dari E maka E dapat dipandang sebagai ruang vektor atas F . Dimensi dari ruang vektor E atas Fatau E

( )

F disebut derajat dari lapangan perluasan E atas F, dinotasikan dengan

[

E:F

]

[ 7].

Keberadaan lapangan perluasan dari suatu lapangan dijamin oleh teorema

Kronecker berikut ini

Teorema 2 (Teorema Kronecker)

Jika F adalah lapangan dan f

( )

x polinomial yang tidak konstan di dalam

[ ]

x

F , maka terdapat lapangan perluasan E dari F di mana terdapat akar dari

( )

x

f . Artinya terdapat α∈E sedemikian sehingga f

( )

α =0.

Sementara definisi dan teorema mengenai lapangan pemisah (Splitting Field) adalah sebagai berikut.

Definisi 3 [ 6]

Jika E mengandung semua akar dari

(((( ))))

x F

[[[[ ]]]]

x

f ∈∈∈∈ , dimana F ≤≤≤≤E, dan tidak ada lapangan bagian lain dari E selain E itu sendiri yang memuat semua akar ini maka E disebut lapangan pemisah dari

( )

x f .

Contoh 1

1) Lapangan pemisah dari polinomial

( )

x x

[ ]

x f = 2 +1∈ℜ _{atas ℜ adalah C,} sebab f

( ) (

x = x−i

)(

x+i

)

, i∈C dan

( )

{

ℜ = + ∈ℜ

}

= i a bi a b C | ,

2) Lapangan pemisah dari polinomial

( )

x x Q

[ ]

x f = 2 −2∈ atas Q adalah

(((( )))) {{{{

a b|a,b Q

}}}}

Q 2 ==== ++++ 2 ∈∈∈∈ , sebab

( )

x = x2 −2=

(

x− 2

)(

x+ 2

)

f Teorema 4 [5 ]

Jika Fsuatu lapangan dan f

(((( ))))

x polinomial yang tidak konstan di dalam

[[[[ ]]]]

x

F maka terdapat lapangan pemisahE untuk f

( )

x atas F .

Bukti:

Akan dibuktikan dengan induksi pada deg

(

f

( )

x

)

=n. Jika deg

(

f

( )

x

)

=1

maka f

( )

x polinomial linear dan F = E.

Diasumsikan benar untuk polinomial-polinomial yang berderajat lebih kecil dari

n, akan dibuktikan benar untuk

( )

(

f x

)

=n

deg . Misal p

( )

x ∈F

[ ]

x adalah

faktor tak tereduksi dari f

( )

x (mengingat

[ ]

x

F suatu DFT). Menurut teorema 2

terdapatlah lapangan

[[[[ ]]]]

(((( ))))

x p x F E ≅≅≅≅ yang

merupakan lapangan perluasan dari F dan

(((( ))))

x

p memiliki akar α₁∈∈∈∈E sehingga

diperoleh p

(((( )))) (

x ====

(((

x−−−−α₁

)))) (((( ))))

q x di dalam

[[[[ ]]]]

x

E , dan f

(((( )))) (

x ====

(((

x−−−−α₁

)))) (((( )))) (((( ))))

q x g x . Oleh karena q

(((( )))) (((( ))))

x g x memiliki derajat n−−−−1, maka dengan hipotesis induksi terdapatlah lapangan pemisah E untuk q

(((( )))) (((( ))))

x g x yang

memuat akar-akar α₂,α₃,…,α_n dari

( )

x

f . Sehingga f

( )

x terfaktorisasi linear dalam E

[ ]

x dan F

((((

α₁,α₂,α₃,…,α_n

))))

≤≤≤≤ E

adalah lapangan pemisah dari f

( )

x atas

F. Jika F suatu lapangan dan

( )

( )

( )

{

f x f x f x

}

F

[ ]

x

S = ₁ , ₂ ,…, _n ⊆ , maka

∩

_iEi

E = merupakan lapangan pemisah

untuk S, dengan E_i lapangan pemisah

untuk f_i

( )

x atas F, i=1,2,3,…,n.

Misalkan F adalah lapangan dan

( )

x F

[ ]

x

p ∈ polinomial yang tak tereduksi

atas F. Jika

α

adalah akar dari p

( )

x di dalam perluasan E atas F maka F

(((( ))))

α ,

lapangan yang dibangun oleh α, isomorfis

dengan

[ ]

( )

x p x F [4 ].

Misalkan F lapangan dan E

lapangan pemisah atau F ≤≤≤≤E maka

menurut [6] E merupakan perluasan

setiap elemen E merupakan elemen

aljabar atas F atau setiap elemen E

merupakan akar-akar dari polinomial

(((( ))))

x x x

f ==== pn −−−− . Jika F lapangan berhingga dengan p elemen dan E adalah perluasan

berhingga dari F sedemikian sehingga

[

E:F

]

=n maka E memiliki pn elemen [7]. 2. AKAR-AKAR LAPANGAN PEMISAH Polinomial f(x)∈ F

[ ]

x , dimana ) (x

f = 0, dengan α _{∈F maka} α _disebut

akar dari f(x)= 0.

Teorema 5 [7]

Misalkan F suatu sublapangan dari lapangan E, f(x)∈ F

[ ]

x dan f(x) tak

tereduksi serta E memuat akar dari f(x),

maka f(x) tidak mempunyai akar-akar

ganda dalam E jika dan hanya jika

0 ) ( ' x ≠ f Teorema 6 [4]

Misalkan E suatu lapangan dengan _pn

elemen dengan p bilangan prima yang

termuat dalam penutup aljabar Zp dari Z_p

maka elemen-elemen E adalah akar-akar

dari polinomial xpn −x∈Z_p

[ ]

x di Zpatau

{

a Zp

E = ∈ / a akar dari xpn −x∈Z_p

[ ]

x

}

.

Teorema 7[7]

Misalkan f

( )

x ∈F

[ ]

x polinomial tidak

konstan atas F dan E lapangan perluasan

dari F. Elemen α∈E adalah akar berlipat

dari f

( )

x jika dan hanya jika α adalah akar persekutuan dari f

( )

x dan f '

( )

x .

Bukti:

(⇒_{) Misalkan} α _{akar berlipat dari f}

( )

_x

dan m adalah multiplisitas dari α, dengan

2 ≥

m maka f

( ) (

x = x−α

) ( )

mg x , dengan

( )

x

g polinomial atas E sedemikian hingga

( )

α ≠0

g , dengan demikian

( )

x m

(

x

)

g

( ) (

x x

)

g

( )

x

f' = −α m−1 + −α m '

dan karena m≥2, maka

( )

(

)

( ) (

)

'

( )

0

' α =mα−α −1gα + α −α g α =

f m m

Jadi α adalah akar persekutuan dari f

( )

x

dan f '

( )

x .

(⇐) Misalkan α adalah akar persekutuan

dari f

( )

x dan f '

( )

x dan andaikan α

bukan akar ganda (akar berlipat) dari

( )

x

f , dalam hal ini f

( ) (

x = x−α

) ( )

g x ,

dengan g

( )

x polinomial atas E sedemikian

sehingga g

( )

α ≠0. Untuk x=α , maka

(

)

'( ) ( ) ) ( ' x x g x g x f = −α + =

(

α−α

)

g'(α)+g(α)≠0

Sehingga dapat disimpulkan bahwa α

bukan akar persekutuan dari f

( )

x dan

( )

x

f' , ini bertentangan dengan yang

diketahui. Jadi pengandaian harus diingkar dan α adalah akar berlipat dari f

( )

x .

Teorema 8 [7]

Jika F suatu lapangan dengan karakteristik

prima p ≠0 maka polinomial

( )

x x x F

[ ]

X

f = pn − ∈ , dengan n≥1,

memiliki _pn _{akar-akar yang berbeda.}

Bukti: Diketahui polinomial f

( )

x ₌xpn ₋x_, maka '

( )

= n pn−1−1 x p x f . Misalkan F

lapangan dengan karakteristik p≠0,

karena 1∈∈∈∈F, maka p=1+1+⋯+1=0, sehingga n =0 p . Karena n =0 p maka

( )

1 ' x =−

f . Sehingga menurut teorema 5

( )

x

f dan f '

( )

x tidak mempunyai

akar-akar yang sama lebih dari 1. Dengan kata

lain jika F suatu lapangan berhingga

dengan karakteristik p≠0 maka

polinomial f

( )

x = xpn −x∈F

[ ]

X , n≥1

memiliki pn akar-akar yang berbeda.

Teorema 9 [1]

Misal p bilangan prima dan n bilangan

( )

x x x

f = pn − ∈Z_p

[[[[ ]]]]

x dalam lapangan

pemisah atas Z_p yang semuanya berbeda

membentuk lapangan dengan pn elemen.

Bukti:

Dari polinomial f

( )

x = xpn −x, maka

( )

1 ' = _{n p}n−1− x p x f . Selanjutnya karena p

bilangan prima dan f

( )

x ∈ Z_p

[[[[ ]]]]

x , maka

( )

0. 1 1 0

' = _pn−1− =− ≠

x x

f dan menurut

Teorema 8, f

( )

x memiliki akar-akar yang

berbeda. Polinomial f

( )

x = xpn −x

berderajat pn dan memiliki akar-akar yang

semuanya berbeda sehingga jumlah

akar-akarnya adalah pn. Misal F himpunan

semua akar-akar dari f

( )

x atau

{{{{

a

Z

|

F

=

=

=

=

∈

∈

∈

∈

p a akar dari f

(((( ))))

x x x

}}}}

n p ₋₋₋₋ = = = =

akan ditunjukkan F adalah lapangan.

Ambil a,b∈F maka apn −a=0

atau apn =a begitu juga bpn −b=0 atau

b bpn = , sehingga

(

a+b

)

−

(

a+b

)

=0 n p dan

(

a b

)

(

a b

)

n p + = + selanjutnya didapat

(

)

( )

1 1 . − = n n − n p p p b a b a . Dengan demikian F

adalah lapangan dan karena jumlah akarnya pn maka F adalah lapangan dengan

pn elemen atau n

p

GF .

Selanjutnya menurut teorema 6 dan teorema 8, elemen dari n

p

GF adalah akar-akar dari f

( )

x ₌ xpn ₋x_{. Akhirnya}

menurut teorema 7 dan teorema 9, F lapangan dengan pn elemen atau GF_pn jika dan hanya jika F adalah lapangan pemisah dari f

( )

x =xpn −x.

4. MENENTUKAN POLINOMIAL

MINIMAL ATAS GF_p YANG

MEMBANGUN GF_pn

Definisi 10

Jika E lapangan perluasan atas F dan E

∈

α elemen aljabar atas F , maka polinomial monik p

( )

x atas F dengan

derajat terkecil yang memenuhi p

( )

α =0 disebut polinomial minimal atas F.

Jika derajat dari polinomial minimal atas F tersebut sama dengan n, maka α dikatakan sebagai elemen aljabar atas F yang berderajat n.

Teorema 11 [2]

Misalkan E lapangan perluasan atas F dan α∈E elemen aljabar atas F. Misalkan juga p

( )

x ∈F

[ ]

x adalah polinomial dengan derajat terkecil sedemikian hingga p

( )

α =0, maka

(i). p

( )

x adalah polinomial yang tak tereduksi atas F

(ii). Jika g

( )

x ∈F

[ ]

x sedemikian sehingga

( )

α =0

g , makap

( ) ( )

x | g x

(iii). Terdapat dengan tunggal p

( )

x ∈F

[ ]

x

dengan derajat terkecil sedemikian sehingga p

( )

α =0

Bukti:

(i) Andaikan berlaku sebaliknya yaitu

( )

x

p adalah polinomial yang

tereduksi atas F maka

( )

x h

( ) ( )

x q x

p = , dimana degh

( )

x dan

( )

x q

deg kurang dari deg p

( )

x . Maka

( )

α =h

( ) ( )

α qα =0

p , ini berarti

( )

α =0

h atau q

( )

α =0. Dengan demikian α memenuhi sebuah poinomial dengan derajat kurang dari derajat p

( )

x . Ini bertentangan dengan keminimalan dari p

( )

x , sehingga pengandaian harus diingkar. Jadi,

( )

x

p adalah polinomial yang tak tereduksi atas F.

(ii) Misalkan g

( )

x ∈F

[ ]

x dan p

( )

x adalah polinomial seperti pada (i). Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat polinomial q

( )

x dan r

( )

x di

[ ]

x

F sedemikian hingga berlaku

( )

x p

( ) ( )

x q x r

( )

x g = + , r

( )

x =0 atau

( )

x p

( )

x r deg deg < . Karena g

( )

α =0, maka

( )

_α

_=p

( ) ( ) ( )

_α

_q

_α

_+r

_α

₌0⇒_r

( )

_α

=0

g .

Karena p

( )

x adalah polinomial dengan derajat terkecil sedemikian hingga p

( )

α =0, maka maka r

( )

x haruslah 0. Sehingga g

( )

x = p

( ) ( )

x q x , yaitu p

( ) ( )

x |g x .

(iii) Misalkan f

( )

x polinomial monik dengan derajat terkecil sedemikian hingga memenuhi f

( )

α =0, maka dari pembuktian (ii) diperoleh

( )

x f

( )

x

p | dan f

( ) ( )

x | p x . Karena

( )

x

f dan p

( )

x kedua-duanya adalah polinomial monik, maka dari

( )

x f

( )

x

p | dan f

( ) ( )

x | p x diperoleh

( )

x p

( )

x

f = . Ini memperlihatkan bahwa polinomial p

( )

x tunggal.

Teorema 12 [9]

Misalkan p adalah bilangan prima dengan 0

>

p dan n∈N, maka polinomial

x

xpn − merupakan hasil kali semua polinomial monik yang tak tereduksi dalam Z_p

[ ]

x yang derajatnya membagi n.

Bukti:

Jika polinomial monik xpn −xdifaktorkan dalam Z_p

[ ]

x maka akan diperoleh

s n _e s e e p f f f x x 1 2⋯ 2 1 = − dimana es s e e f f f 1, 2, , 2 1 ⋯ adalah polinomial

polinomial monik yang tak tereduksi dan berbeda dalam Z_p

[ ]

x dan e₁,e₂,⋯,e_s∈N Untuk membuktikan teorema di atas akan akan ditunjukkan beberapa hal berikut (a) Tidak ada faktor dari xpd −x yang

membagi xpn −x lebih dari sekali (b) Jika f polinomial monik yang tak

tereduksi dalam Z_p

[ ]

x dengan derajat yang membagi n maka f adalah faktor dari xpn −x(dengan kata lain f sama dengan salah satu dari f_i)

(c) Derajat dari setiap faktor dari

x

xpn − dalam Z_p

[ ]

x harus membagi n

(dengan kata lain setiap derajat dari f_i

membagi d). Bukti dari (a):

Misalkan F =Z_p lapangan dan

[ ]

x F x a x a x a a f = + + 2+⋯+ _n n∈ 2 1 0 ,

maka turunan pertama dari f adalah

1 2 1 2 '= + + + n− nx na x a a f ⋯ . Perlu

diperhatikan bahwa untuk setiap polinomial f dan g di dalam F

[ ]

x dan sebarang a∈F senantiasa berlaku hal-hal berikut :

• (f +g)'= f '+g' • (fg)'= f 'g+ fg' • (af)'=af '

Misalkan f =g2h untuk untuk sebarang

polinomial g dengan derajat ≥1. Dari

fungsi f di atas menghasilkan

) ' ' 2 ( ' ' 2 ' _{ggh g}2_{h g gh gh} f = + = +

Sehingga f dan f ' mempunyai faktor

bersama, yaitu g, dengan derajat ≥1.

Dalam kasus ini P =xpn −x sehingga

0 1 '₌ n−1_{− ≠} p n_x p P . Sesuai teorema 3 P tidak mempunyai akar berlipat dalam perluasan Z_p. Itu artinya bahwa P tidak mempunyai faktor yang berulang atau P

tidak mempunyai faktor yang membagi

x

xpn − lebih dari sekali. Bukti (b):

Misalkan f suatu polinomial monik yang tak tereduksi dalam Z_p

[ ]

x

dengan derajat d membagi n. Akan ditunjukkan f membagi xpn −x. Karena

d membagi n maka _pd −1 _membagi 1

−

n

p dalam Z. Dengan demikian 1 1 − − d p x membagi _pn−1−1 x dalam Z_p

[ ]

x . Dan jika kedua polinomial di atas dikalikan dengan x, diperoleh xpd −x

Sekarang f tak tereduksi dalamZp

[ ]

x dengan derajat d, sehingga K =Z_p[X] f

adalah lapangan dengan _pd _elemen.

Selanjutnya, polinomial minimal dari

( )

f K

x+ ∈ =

α atas Z_p adalah f. Karena

K* adalah grup dengan d −1

p elemen maka dipunyai _pd−1−1

α dan jika bentuk ini dikalikan dengan α diperoleh

0

= −α

αpd _{, yaitu α adalah akar dari}

polinomial xpd −x∈Z_p[x] karena polinomial minimal α atas Z_p adalah f

maka f harus membagi xpd −x. Sementara polinomial terakhir membagi

x

xpn − . Jadi f juga membagi xpn −x. Bukti (c):

Misalkan f polinomial monik yang tak tereduksi dalam Z_p

[ ]

x yang membagi

x

xpn − dan berderajat d. Sebagaimana pada pembuktian (b), dapat dilihat bahwa f

adalah faktor dari xpd −x. Dengan mengasumsikan f juga faktor dari xpn ₋x_,

maka f adalah faktor dari

gcd(xpn −x,xpd −x). Sehingga diperoleh 1 ) 1 , 1 gcd(pn−1− pd−1− = gcd(pn−1,pd−1) = pGCD(n,d)−1− x x x x

Dari sini diperoleh x prima relatif terhadap semua polinomial yang ditunjukkan, mengalikan dengan x diperoleh

x x x x x x D=gcd( pn − , pd − )= pGCD(n,d) −

Sebagaimana pada pembuktian (b), dengan f x Z K = [ ] dan α =x+

( )

f , maka ] [α p Z

K = . Kita ketahui bahwa K mempunyai _pd _{elemen , dan setiap elemen}

dari K adalah akar dari xpd −x. Diberikan e=gcd(n,d), dari uraian di atas

x

xpe − adalah faktor dari xpd −x, jadi

x

xpd − mempunyai _pe _{akar yang berbeda}

dalam K. Akar-akar tersebut membentuk sebuah lapangan bagian L dari K. Tetapi

f membagi xpe −x, jadi α∈L. Lagipula,

p

Z termuat dalam L. Oleh karena itu, ]

[α

p Z

K = termuat dalam L, sehingga K

L= karena itu, _pe _{= p}d_{, jadi e=d .}

Sehingga terbukti d membagi n. Dari pengertian polinomial minimal dan uraian sebelumnya diketahui bahwa polimimal yang akan ditentukan adalah faktor (yang merupakan polinomial tak tereduksi) dari f

( )

x =xpn −x. Sehingga untuk mendapatkan polimial minimal atas

p

GF yang membangun n

p

GF dengan p dan

n diketahui, terlebih dahulu dibentuk polimial f

( )

x = xpn −x. Polinomial ini difaktorkan dengan menentukan koset-koset siklotomiknya dan menggunakan metode faktor persekutuan terbesar (gcd).

Definisi 13 [8]

Misalkan i suatu bilangan bulat tertentu, 0≤i≤m−1. Koset-koset siklotomik (p modulo m) yang memuat i, p bilangan prima dan m bilangan bulat positif, dinyatakan sebagai berikut:

{

_{, ,} 2_{, ,} −1

}

= s

i i ip ip ip

C …

dengan elemen-elemen himpunan diambil dari modm, dan s bilangan bulat terkecil sdemikian sehingga ips ≡i

(

modm

)

.

{

/0≤ ≤ −1

}

= C i m

C _i adalah himpunan

koset-koset siklotomik dari p modulo m.

Teorema 14 [8]

Jika f

( )

x suatu polinomial monik berderajat m atas F =GF_p dan g

( )

x

suatu polinomial atas F dengan

( )

1

degg x ≤m− serta memenuhi

(((( ))))

[[[[

g x

]]]]

p ≡≡≡≡ g

(((( ))))

x

((((

mod f

(((( ))))

x

))))

, maka

( )

x

(

f

( ) ( )

x g x s

)

f r i − =

∏

₌ gcd , 1 . Bukti: Misalkan gcd

(

f

( ) ( )

x,g x −s

)

membagi habis f

( )

x untuk setiap s∈F. Selanjutnya karena

(

)

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

,

)

1 gcd 1 , gcd , gcd , gcd = − − = − − − = t s s x g t x g s x g a b a b a dan

untuk s≠t, dengan t∈F maka

( ) ( )

(

)

(

( ) ( )

)

(

gcd , ,gcd ,

)

1

gcd f x gx−s f x gx−t = ,

untuk s≠t. Dengan demikian

( ) ( )

(

)

∏

∈ − F s s x g x f , gcd membagi habis

( )

x

f . Dari pendefinisian g

( )

x , maka

( )

x f membagi habis

[

g

( )

x

]

p −g

( )

x . Sehingga didapat

∏

(

)

∈ − = − F s p s y y y ,

( )

[

]

( )

_∏

( )

∈ − = − F s p s x g x g x g dan f

( )

x membagi habis

∏

( )

∈ − F s s x g . Dengan

demikian f

( )

x membagi habis

( ) ( )

(

)

∏

∈ − F s s x g x f , gcd . Terakhir karena

( )

x f dan

∏

(

( ) ( )

)

∈ − F s s x g x f , gcd keduanya

polinomial monik, dapat disimpulkan

( )

_∏

(

( ) ( )

)

∈ − = F s s x g x f x f gcd , .

Dari teorema 12 diketahui bahwa faktor atau polinomial yang dicari adalah polinomial yang berderajat n. Kemudian satu ciri lagi dari polinomial yang dapat mengkonstruksi GF_pn secara implisit dapat dilihat pada proposisi dan definisi elemen primitif berikut.

Proposisi 15 [10]

Misalkan F lapangan berhingga dengan

n

p elemen. Misalkan θ elemen primitif dari F dan M

( )

x polinomial minimal atas

p

Z . Maka F isomorfis dengan

[[[[ ]]]]

x M

(((( ))))

x

Z_p . Dalam hal ini degM

( )

x =n.

Definisi 16 [2] Misalkan n p GF , ∈∈∈∈ ≠ ≠≠ ≠ θ θ 0 dan memenuhi persamaan _pn−−−−1 ====1 θ , maka θ dikatakan elemen primitif dari n

p

GF jika hasil perpangkatan θ dengan pangkat kurang

dari n−1 p ( i,0≤≤≤≤ <<<< n −−−−1 p i θ ) semuanya berbeda.

Dengan demikian jika θ adalah elemen primitif, maka

2 3 2 0_{( 1), , , , ,} − = _{θ θ θ θ}pn θ …

kesemuanya berbeda dan semua elemen tersebut di dalam n p GF serta _θi ≠1 _untuk 1 0< < n− p i . Contoh 2

Misal diberikan GF_p, dengan p=3, maka dapat dikonstruksi lapangan GF₃2 dari polinomial x2+2x+2 yang merupakan polinomial yang tak tereduksi atas GF₃. Dapat dilihat bahwa kelas residu x dari

2 2

2

+ + x

x mempunyai elemen primitif 1 2 2 2 + + + + = == = − − − − − −− − = = = = x x x . Kelas-kelas residu tersebut adalah

[[[[ ]]]]

0 ₌1 = = = x

[[[[ ]]]]

x5 ₌2x = = =

[[[[ ]]]]

x1 ====x

[[[[ ]]]]

2 2 6 + ++ + = == = x x

[[[[ ]]]]

2 ₊1 ++ + = == = x x

[[[[ ]]]]

7 ₊2 + + + = == = x x

[[[[ ]]]]

x3 ====2x++++1

[[[[ ]]]]

x8 ====1

[[[[ ]]]]

x4 ====2 Karena _θi,0≤≤≤≤_i<<<< _pn −−−−1 _semuanya berbeda maka kelas residu x mempunyai elemen primitif.

Jika yang digunakan adalah _x2₊1_, yang juga tak tereduksi atas GF₃, maka masih akan didapatkan sebuah lapangan dengan 9 elemen. Namun x2 +1 tidak mempunyai elemen primitif, sebab akar dari x2+1 hanya mempunyai order 4 sebagaimana yang ditunjukkan berikut ini Dari x2 =−1=2 diperoleh

[[[[ ]]]]

0 ₌1 == = x

[[[[ ]]]]

x3 ₌2x = = =

[[[[ ]]]]

x1 ====x

[[[[ ]]]]

1 4 = == = x

[[[[ ]]]]

x2 ====2

Karena θ adalah elemen dari n

p

GF , yaitu θ merupakan akar dari salah satu polinomial tak tereduksi yang merupakan faktor dari f

( )

x ₌xpn ₋x_,

maka polinomial minimal atas GF_p yang membangun GF_pn haruslah mempunyai akar yang merupakan elemen primitif. Dengan perkataan lain, polinomial tersebut harus mengandung elemen primitif.

5. KESIMPULAN

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa polinomial minimal atas GF_p yang membangun GF_pn dapat diperoleh dengan prosedur berikut :

Misal diberikan n

p

GF dengan p dan n diketahui, maka dapat dibentuk polinomial f

( )

x ₌xpn ₋x _yang mempunyai faktor-faktor berupa polinomial monik yang tak tereduksi atas

p

GF .

Dengan menentukan koset-koset siklotomik dari polinomial tersebut dan menggunakan metode faktor persekutuan terbesar (gcd) akan diperoleh p_i

( )

x , faktor-faktor yang tak tereduksi dari

( )

x

f , dimana derajat dari p_i

( )

x pasti membagi n untuk setiap i, dimana i menunjukkan faktor yang ke-i., dan p_i

( )

x semuanya berbeda.

Polinomial minimal yang dimaksud adalah p_i

( )

x yang berderajat n dan mempunyai elemen primitif.

6. DAFTAR PUSTAKA

[1].Bambang Irawanto, (2001), Galois Field, Program Studi Matematika Jurusan Ilmu-ilmu Matematika dan Pengetahuan Alam Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.

[2].Bhattacharya, P. B., (1984), Basic Abstract Algebra, Cambridge University Press, New York.

[3].Fraleigh, J. B., (1994), A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, USA.

[4].Gallian, Joseph, (1990), A Contemporary Abstract Algebra, Second Edition, D.C. Heath and Company, Massachuetts.

[5].Gilbert, Jimmi & Linda., (1998), Elements of Modern Algebra : Second edition, PWS-KENT Publishing Co., Boston.

[6].Raisinghania, M.D. and R.S. Aggarwal, (1980), Modern Algebra, S. Chand and Company Ltd., New Delhi.

[7].Sudibyo, (2001), Faktorisasi Polinomial n −−−−1

x atas Lapangan Berhingga, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro, Semarang.

[8]._______, On Finite Fields,

www.math.uregina.ca/~szechtf/finitefi elds.pdf. Diakses: 8 Mei 2007, 20.38 WIB.

[9]._______, Commutative Rings and

Finite Fields,

www-rohan.sdsu.edu/~mosulliv/courses/codi ng04/FF.pdf. Diakses : 8 Mei 2007, 20.38 WIB.