Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas

(1)

Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas

Pengendalian Kualitas Statistika

Ayundyah Kesumawati

Prodi Statistika FMIPA-UII

(2)

Tujuan

Mahasiswa dapat memahami pentingnya ilmu statistik dalam kualitas Mahasiswa mampu memahami berbagai distribusi probabilitas

(normal, hipergeometrik, eksponensial, weibull, poisson, dan binomial) mahasiswa dapat memahami konsep dasar probabilitas

mahasiswa dapat menerapkan ilmu statistik dan probabilitas dalam kualitas

(3)

Statistik sebagai alat dalam kualitas

Sejak awal perkembangan kualitas, para praktisi telah memperdebatkan pentingnya metode-metode statistik dalam mencapai kualitas yang memuaskan.

Tanpa statistik, maka penggambaran penyelesaian mengenai data akan menjadi sumber malapetaka dalam penerapannya pada berbagai kasus.

konsep penting lainyya adalah variasi atau penyimpangan yang membahas mengenai tidak adanya dua hal yang sama secara sempurna

(4)

Distribusi Probabilitas

Fungsi distribusi probabilitas merupakan rumusan matematika yang berhubungan dengan nilai-nilai karakteristik dengan probabilitas kejadian pada populasi

(5)

ada dua macam jenis distribusi

1 _{Continous (untuk data variabel)}

apabila karakteristik yang diukur dapat membicarakan berbagai nilai (ketepatan pengukuran proses), distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas kontinu. Ada berbagai bentuk distribusi probabilitas yang biasa digunakan, misalnya distribusi probbailitas normal, distribusi probabilitas exponensial, dan distribusi probabilitas Weibull.

2 _{Diskret (untuk data atribut)}

Apabila karakteristik yang diukur hanya membicarakan nilai - nilai tertentu (misalnya 0,1,2,3), distribusi probabilitasnya disebut dengan distribusi probabilitas diskret. Sebagai contoh, distribusi untuk banyaknya kesalahan pada sampel yang berisi 5 unit merupakan distribusi probabilitas diskret karena kesalahan hanya 0, 1, 2, 3, 4, atau 5. Distribusi probbailitas yang dipakai ada 2 yaitu Poisson dan

(6)

Distribusi Probabilitas Normal

Rumus umum untuk Distribusi Probabilitas Normal:

y = 1 σ√2πe −(X−µ)2 2σ2 dimana: e = 2,718 π = 3,14 µ = rata-rata populasi

(7)

Contoh

Sebagai contoh, dari pengalaman proses masa lalu disimpulkan bahwa waktu pemadaman bola lampu listrik mengikuti distribusi normal. Sampel yang diuji sebanyak 50 unit bola dengan rata-rata hidup 60 hari dan deviasi standarnya 20 hari. Berapakah kemungkinan bila lampu dapat hidup setelah 100 hari ?

(8)

Distribusi Probabilitas Eksponensial

Fungsi distribui probabilitas eksponensial adalah

y = 1

(9)

Contoh

Sebagai contoh, waktu antara kegagalan yang berurutan dari suatu alat diukur dan menghasilkan histogram yang menyerupai distribusi

eksponensial. rata-rata waktu antara kegagalan tersebut adalah 100 jam. berapakah probabilitas waktu antara dua kegagalan yang berurutan dari alat tersebut paling tidak 20 jam ?

(10)

Distribusi Probabilitas Weibull

Fungsi Distribusi Weibull adalah:

f(x;θ, β) = β θβx β−1_e−(x θ) β dengan α= 1 θβ dimana: α = parameter skala β = parameter bentuk

(11)

(12)

Kurva distribusi Weibull ini akan bervariasi tergantung pada nilai-nilai numerik parameternya.

yang terpenting adalah parameter bentuk β yang menunjukkan model

kurva.

apabila β = 1,0, maka fungsi Weibull turun sampai dengan

eksponensial dan apabilaβ = 3,5 (danα= 1 danγ = 0), Weibull

(13)

Distribusi Probabilitas Poisson

Apabila probabilitas terjadinya p dari suatu peristiwa adalah konstan untuk setiap n percobaan yang tidak tergantung, probabilitas terjadinya c pada n percobaan adalah f(c,np) = (np) c_e−np c! dimana: n = banyanya percobaan p = probabilitas terjadinya c = banyaknya kejadian

(14)

Distribusi Probabilitas Poisson

distribusi probabilitas poisson juga dapat membuat perkiraan atau prediksi

distribui poisson digunakan dalam menghitung probabilitas yang berkaitan dengan prosedur pengambilan sampel.

Contoh,Suatu produk sebanyak 300 unit dihasilkan dimana terdapat 2 % kesalahan atau kerusakan. Secara acak diambil 40 unit yang dipilih dari 300 unit tersebut sebagai sampel.Berdasarkan tabel distribusi poisson dapat dilihat bahwa nilai np = 40(0,02)=0,8 dengan berbagai variasi nilai c seperti tabel di bawah ini

(15)

Latihan

1 _{The length of life X, in hours, of an item in a machine shop has a}

Weibull distribution withα = 0.01 andβ = 2. What is the

probability that it fails before eight hours of usage?

2 During a laboratory experiment, the average number of radioactive

particles passing through a counter in 1 millisecond is 4. What is the probability that 6 particles enter the counter in a given millisecond?

(16)

Jawaban

1 _{The cumulative distribution function for the Weibull distribution is}

given by

F(x) = 1−e−αxβ

for α, β >0,danx ≥0 sehingga

P(X <8) =F(8) = 1−e−(0,01)82 = 1−0,527 = 0,473

(17)

Distribusi Probabilitas Binomial

Apabila kondisi pada distribusi Poisson tidak dapat ditemukan, maka distribusi binomial mungkin dapat diterapkan. Apabila probabilitas terjadinya p dari suatu peristiwa konstan pada setiap n percobaan yang bersifat tidak tergantung, maka probabilitas dari c kejadian dalam n percobaan tersebut adalah

n!

c!(n−c)!p c_qn−c

dimana : q = 1 - p

(18)

Dalam praktek, asumsi bahwa probabilitas terjadinya bersifat konstan beralasan apabila ukuran banyaknya populasi sekurang-kurangnya 10 kali ukuran banyaknya sampel. Distribusi binomial juga dapat digunakan untuk membuat perkiraan atau prediksi.

Sebagai contoh, suatu produk terdiri dari 100 unit diserahkan oleh pemasok yang telah menguji kualitasnya dan diketahui terdapat 5 % kesalahan. Secara acak diambil 6 unit sebagai sampel dari 100 unit produk tersebut. Probabilitas berbagai sampel tersebut tampak seperti Tabel di bawah ini

(19)

Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Distribusi yang bersifat diskret lainnya adalah distribusi hipergeometrik yang digunakan apabila asumsi pada distribusi poisson dan binomial tidak dapat ditemukan, diskret uniform atau semua nilai memiliki probabilitas yang sama dan multinomial atau apabila dua atau lebih parameter diobservasi dalam sampel tersebut.

Distribusi Probabilitas Hipergeometrik terjadi apabila populasi terbatas dan sampel yang diambil secara acak dilakukan tanpa pengembalianatau penggantian.

(20)

Rumusan hipergeometrik disusun dengan tiga kombinasi, yaitu kombinasi total, kombinasi ketidaksesuaian, dan kombinasi kesesuaian, dan

diformulasikan dengan P(d) = C D dCN−Dn−d CN n dimana:

P(d) = Probabilitas dari d unit yang tidak sesuai pada ukuran sampel n

CN

n = Kombinasi semua unit

CDd = kombinasi unit-unit ketidaksesuaian

CN−Dn−d = Kombinasi unit-unit yang sesuai

N = Banyaknya unit yang dihasilkan (populasi) n = banyaknya unit dalam sampel

(21)

Rumusan tersebut dicapai dari penerapan definisi probabilitas, perkalian sederhana, dan kombinasi - kombinasinya.

Pembilang adalah cara atau hasil pencapaian unit-unit yangtidak sesuai atau hasil pencapaian unit-unit yang sesuai, dan penyebut adalah cara atau hasil yang mungkin secara kesuluruhan.

Simbol - simbol yang digunakan dapat diubah agar lebih tepat digunakan dalam pengendalian kualitas

(22)

Contoh

Contoh, 9 unit produk yang dihasilkan terdapat 3 unti yang mengalami ketidaksesuaian. Berapak probabilitas satu unit yang tidak sesuai pada 4 unit sampel yang diambil secara acak ?

Dari contoh tersebut tampat bahwa N = 9, D = 3, n = 4, dan d = 1. Sehingga, P(1) = C 3 1C9−34−1 C9 4 = 0,476

Dengan cara yang sama maka P(0) = 0,119, P(2)= 0,357, dan P(3)= 0,048. Sehingga jumlah probabilitasnya pasti sama dengan 1.

(23)

Latihan

1 Lots of 40 components each are deemed unacceptable if they contain

3 or more defectives. The procedure for sampling a lot is to select 5 components at random and to reject the lot if a defective is found. What is the probability that exactly 1 defective is found in the sample if there are 3 defectives in the entire lot?

(24)

Jawaban

1 Using the hypergeometric distribution with n = 5, N = 40, k = 3,

and x = 1, we find the probability of obtaining 1 defective to be

P(1) = C 3 1C40−35−1 C40 5 = 0,3011

(25)

Konsep Dasar Probabilitas

Probabilitas mempunyai sejumlah persamaan, seperti kemungkinan, kesempatan, kecenderungan, dan sebagainya.

Probabilitas memang menunjukkan kemungkinan terjadinya sutau peristiwa. Apabila peristiwa A dapat terjadi pada Na hasil dari N kemungkinan dengan kesempatan yang sama, maka probabilitas peristiwa tersebut adalah:

P(A) = Na

N

dimana:

P(A) = probabilitas peristiwa A akan terjadi Na = banyaknya hasil dari peristiwa A N = banyaknya hasil yang mungkin terjadi.

(26)

7 teorema probabilitas

Probabilitas ditunjukkan dengan angka antara 1,000 dan 0,000 di mana nilai 1, merupakan kepastian bahwa peristiwa akan terjadi dan nilai 0 adalah kepastian bahwa perstiwa tidak akan terjadi.

(27)

Teorema 2

Apabila P(A) adalah probabilitas bahwa peristiwa A akan terjadi, kemudian probabilitas bahwa A tidak akan terjadi adalah 1,000 - P(A).

(28)

Teorema 3

Apabila A dan B adalah dua peristiwa yang bersifat mutually exclusive, sehingga probabilitas bahwa peristiwa A atau peristiwa B akan terjadi merupakan jumlah probabilitas masing-masing.

P(A atau B) = P(A)+P(B)

Mutually exclusive berarti terjadinya satu peristiwa membuat peristiwa lain tidak akan terjadi.

Sebagai contoh, apabila dari tigas pemasok, X, Y, dan Z terdapat produk yang mempunyai kesalahan dan tidak adalah sebagai berikut:

(29)

Dari 261 unit produk, probabilitas produk yang ditawarkan oleh pemasok X atau Z adalah:

P(X atau Z)= P(X) + P(Z) = ₂₆₁53 + ₂₆₁77 = 0,498 Probbailitas produk

yang salah dari pemasok X atau produk yang sesuai dari pemasok Z adalah P(ks. X atau k.Z) = ₂₆₁3 +₂₆₁75 = 0,299

Probabilitas produk yang ditawarkan pemasok Z atau produk yang tidak sesuai dari pemasok X atau produk yang sesuai dari pmasok Y adalah: P(ks. X atau k.Y) = ₂₆₁77 +₂₆₁3 +125₂₆₁ = 0,785 = 0,299

(30)

Teorema 4

Apabila peristiwa A dan B tidak bersifat mutually exclusive sehingga probabilitas peristiwa A atau B atau keduanya ditentukan dengan : P(A atau B keduanya)= P(A)+P(B)-P(keduanya)

Dari 261 unit produk tersebut, probabilitas produk yang ditawarkan oleh pemasok X atau produk yang mengalami ketidaksesuaian adalah: P(X atau ks. atau keduanya) = P(X) + P(ks.) - P(X dan ks) = ₂₆₁53 +₂₆₁11 − ₂₆₁3 = 0,785 = 0,234

(31)

Teorema 5

Jumlah probabilitas peristiwa-peristiwa dari situasi yang ada sama dengan 1

(32)

Teorema 6

Apabila A dan B merupakan dua peristiwa yang bersifat independen, maka probabilitas keduanya A dan B terjadi merupakan hasil dari probabilitas keduanya.

(33)

Teorema 7

Apabila A dan B merupakan dua peristiwa yang saling tergantung (dependen), probabilitas keduanya A dan B terjadi adalah: