Optimasi arus maksimum pada jaringan

(1)

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana

Program Studi Matematika

Disusun oleh :

NAMA : MARIA AGUSTINA AMELIA

NIM : 023114005

FAKULTAS MATEMATIKA DAN PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(2)

(3)

(4)

Persembahan

Skripsi ini kupersembahkan untuk:

Mamaku yang terhebat di dunia, Ch. Yuni Hastuti. Makasi ya ma dah

mau ikutan gila-gilaan sama Lia selama ini. I luv U sooooo Much!!!!!!!!!!!!!!

Papaku: R.B. Sutoyo. I`m sorry that I can`t be your perfect

daughter…

Eyang ti dan Mbah Kung, matur nuwun atas segala doa, nasehat dan contoh nyata dalam menjalani hidup ini.

Adik-adikku:Dira, Ayu, Dian. Sumber segala kekacauan, masalah,

pengertian dan cinta di rumah. _{Let`s rock the world, sist!!!!!!}

Me Amo : Bon-bon, thanks dah menyadarkanku waktu aku masih bodoh. Ayo kita

jalanin program-program KKN kita yang belum slesai.

(5)

Motto

Love is patient Love is kind It does not envy It does not boast

It is not proud

It is not rude It is not self-seeking It is not easily anggered It keeps no record of wrongs

Love does not delight in evil but rejoices with the truth

(6)

Pernyataan Keaslian Karya

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 20 Maret 2007 Penulis

(7)

ABSTRAK

Suatu jaringan dapat menghasilkan sebuah gambaran atau model yang membantu memberi pengertian dalam menunjukkan hubungan antar komponen dalam berbagai permasalahan. Dalam penulisan ini akan dibahas masalah optimasi pada jaringan, yaitu masalah arus maksimum. Penyelesaian masalah arus maksimum yang akan dibahas lebih lanjut dalam penulisan ini adalah penyelesaian menggunakan proses pelabelan Ford Fulkerson dan metode max flow-min cut.

Dalam penggunaan proses pelabelan Ford Fulkerson, pertama kali ubah jaringan menjadi bentuk matriks. Kemudian lakukan proses pelabelan dan perhitungan kembali nilai arus. Proses berulang kembali ke proses pelabelan, jika sudah tidak dapat ditemukan lagi flow augmenting path pada matriks, proses dihentikan karena arus maksimum sudak didapat.

Dalam penyelesaian menggunakan metode max flow-min cut mula-mula perlu dicari jalur yang menghubungkan simpul awal dan simpul akhir pada jaringan. Kemudian hitung nilai slackpada masing-masing busur dan dilakukan perhitungan kembali arus. Proses berulang kembali ke pencarian jalur pada jaringan. Jika tidak dapat ditemukan jalur yang menghubungkan simpul awal ke simpul akhir maka simpul-simpul pada jaringan terpartisi menjadi dua buah himpunan yaitu himpunan yang memuat simpul awal dan yang memuat simpul akhir. Hitung kapasitas masing-masing busur yang menghubungkan simpul-simpul dari himpunan yang memuat simpul-simpul awal ke himpunan yang memuat simpul akhir. Nilai kapasitas tersebut akan sama dengan arus maksimum. Metode max flow-min cutdapat dihentikan.

(8)

ABSTRACT

Network can give a representation or models that can help for giving sense to show relation between components in various problems. This writing will discuss about maximum network flow optimization. Maximum flow problem solving that will discuss further in this writing is using Ford-Fulkerson method and max flow-min cut method.

To use Ford-Fulkerson method, first change the network into the matrix form. Then do the labeling process and find flow-augmenting path to get the new value of the flow. That process return to the labeling process again. If there is no flow-augmenting path, we stop the process, and get the maximum flow.

To use max flow-min cut method, first find a path that connected source and sink on the network. Then find slack value for each arc to get the new value of the flow. This process returns to find the flow augmenting steps. If the path that connected source and sink cannot found, divide the set of nodes on the network into two subsets that contain the source and the sink, respectively. Count each arcs capacity that connected nodes from the sets that contain the source to the sets that contain the sink. That capacity will equal to the maximum flow and the process of max flow-min cut end.

(9)

KATA PENGANTAR

Syukur kepada Tuhan YME, atas segala berkat yang diberikan kepada saya hingga saya dapat menyelesaikan penulisan skripsi dengan judul Optimasi Arus Maksimum pada Jaringan ini.

Terimakasih saya sampaikan pula kepada ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si yang telah meluangkan banyak kesempatan untuk membimbing dan mengkoreksi hasil tulisan saya.

Dalam penulisan ini banyak sekali bantuan, dukungan dan berbagai masukan dari berbagai pihak. Karena itu saya juga mengucapkan terimakasih sebanyak-banyaknya kepada :

1. Bapak Y. G. Hartono selaku ketua prodi Matematika yang telah membantu pada awal pengerjaan tulisan ini hingga selesai.

2. Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmoko, M.Sc sebagai pembimbing akademik angkatan 2002 yang telah banyak memberikan inspirasi dan semangat selama saya dan teman-teman menjalani pendidikan di Sanata Dharma. 3. Bapak Drs. B. Susanta dan Dr. Frans Susilo, SJ yang telah memberikan

kuliah dengan suasana yang berbeda dan menyenangkan.

4. Ibu Dra. Maria Agustiani, M.Si dan Ibu M.V. Any Herawati, S.Si, M.Si yang mengajarkan untuk berpikir secara runut dan logis.

5. Ibu Prof. Dra. Moeharti Hadiwidjojo, M.A, Bapak Prof. Drs. R. Soemantri dan Bapak Drs. A. Tutoyo yang telah membantu menyampaikan dasar pada ilmu yang saya pelajari.

6. Ibu Ch. L. Suwarni dan Bapak Z. Tukija yang selalu direpotkan dengan urusan kesekretariatan di FMIPA.

7. Pimpinan Perpustakaan dan Staff yang sangat membantu memberi kenyamanan dalam mencari bahan untuk penulisan ini.

(10)

9. Eyang Bani Putri dan Eyang Bani kakung di Baturetno, Suster Diana dan Bulik Nia. Terimakasih atas semua dukungan semangat dan doanya.

10. Teman-teman angkatan 2002, teman seperjuanganku. Ijup my best friend, Lenta, Debby, Priska, Lili, Ika, Vida, Archi, Retno, Sari, Padhe Galih, Aan, Tato, Markus, Bani, Taim, Felix, ayo.. perjuangan belum berakhir…!!!!!!! Serta teman-teman yang sudah melanjutkan fase hidup yang baru Cia, Aning, Palma, Rita, Asih, Desy, Dani, Wuri, Deon, Nunung, kalian hebat….!!!!

11. Keluarga Glodogan Bapak Jaka dan Ibu Lilik, Yoga, Ivan, Mbah Mul putri Mbah Mul Kakung, Wawan, Ruri, Yani dan seluruh warga pedukuhan Glodogan yang sangat membantu waktu pelaksanaan KKN angkatan XXXI. 12. Bapak Drs. Severinus Domi, M.Si selaku DPL KKN serta saudara-saudara

KKN: Mami`Dewi`, Tante`Dianing`, Kakak`Tubruk`, Sari, Elli, Dedek`Gusti`, Pak Leo, Eyang kakung, Babas.

13. Guru-guruku yang telah membimbing dan mempersiapkanku dalam menghadapi dunia. Jasa ibu dan bapak tidak akan pernah kulupakan.

14. Teman-teman geng Steceku: Tyas, Vedel, Karin, Elsa.

15. Dan banyak pihak yang telah banyak membantu yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu. Terima kasih….

Yogyakarta, 28 Maret 2007

(11)

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL……… i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……….... ii

HALAMAN PENGESAHAN………. iii

HALAMAN PERSEMBAHAN……….…… iv

HALAMAN MOTTO……… iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………...………… vi

HALAMAN ABSTRAK………...……… vii

HALAMAN ABSTRACT………...……… viii

KATA PENGANTAR………...………. ix

DAFTAR ISI……….. xi

BAB I PENDAHULUAN………...………...… 1

A. Latar Belakang Masalah………...………. 1

B. Perumusan Masalah………...……… 5

C. Pembatasan Masalah………...……….. 5

D. Tujuan Penulisan………...………….... 5

E. Metode Penulisan………...…………... 5

F. Manfaat Penulisan………...…………..… 6

G. Sistematika Penulisan………...………. 6

BAB II BEBERAPA MASALAH DALAM JARINGAN…………..………... 8

A. Jaringan………...……….. 8

B. Jaringan Planar………...………... 17

C. Masalah jalur terpendek (Shortest path problem)………...… 21

BAB III MASALAH ARUS MAKSIMUM……….... 34

A. MetodeFord-Fulkerson……….. 40

B. Metodemax flow-min cut………...…. 63

C. Mencari potongan minimum menggunakan jarak terpendek... 81

D. Aplikasi masalah arus maksimum………...…… 94

BAB IV PENUTUP………... 102

A. Kesimpulan ………..…. 102

(12)

DAFTAR TABEL

Tabel 2.3.1 Label awal pada tabel jalur terpendek ……….……….... 25

Tabel 2.3.2 Bentuk matriks dari jaringan pada Gambar 2.3.1 ………...……. 28

Tabel 2.3.3 Tabel setelah iterasi pertama ………..…. 29

Tabel 2.2.4 Tabel setelah iterasi kedua ………..……… 30

Tabel 2.2.5 Tabel setelah iterasi ketiga ……….………. 31

Tabel 2.2.6 Tabel setelah iterasi ke empat ……….……… 32

Tabel 2.2.7 Tabel setelah algoritmaDjikstraselesai ……….….. 32

Tabel 3.1.1 Jaringan dalam bentuk matriks ……… 50

Tabel 3.1.2 PelabelanFord Fulkersonpada Iterasi 1 ……….…… 51

Tabel 3.1.3 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 1 …..…….. 52

Tabel 3.1.4 PelabelanFord Fulkersonpada Iterasi 2 ……….… 54

Tabel 3.1.5 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 2 …….….. 55

Tabel 3.1.7 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 3 …..……. 58

Tabel 3.1.9 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 4 ………… 60

Tabel 3.1.10 Tabel iterasi 5 ……….…. 62

Tabel 3.2.1 Contoh 3.1.1 dan 3.2.1 menggunakan program komputer ... 80

Tabel 3.2.2 Banyak iterasi dan jalur yang dipilih pada program komputer ….. 81

Tabel 3.3.1 Matriks awal sebelum iterasi dengan algoritmaDjikstra…....…. 89

Tabel 3.3.2 Matris setelah ditemukan nilai jalur terpendek ……….… 89

Tabel 3.3.3 Jaringan primal dalam bentuk matriks ………..… 91

Tabel 3.3.4 Arus maksimum dengan metodeFord Fulkerson………. 91

Tabel 3.3.5 Contoh 3.3.1 menggunakan program komputer ………. 92

Tabel 3.3.6 Banyak iterasi dan jalur yang dipilih pada program komputer... 93

Tabel 3.4.1 Bentuk matriks dari Gambar 3.3.2 ………...…. 98

Tabel 3.4.2 Matriks setelah metodeFord Fulkerson………...… 98

Tabel 3.4.3 Contoh 3.4.1 menggunakan program komputer ……….…. 100

(13)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Graf dengan empat simpul dan tiga busur ……….……. 1

Gambar 1.2 Penerbangan kotaAke kotaBdimodelkan dengan jaringan….. 4

Gambar 2.1.1 Jaringan planar dengan lima buah simpul dan 9 buah busur .... 18

Gambar 2.3.1 Jaringan dengan 9 simpul dan 15 busur ………...………….... 28

Gambar 2.3.2 Pohon perentang pada jaringan ……….... 33

Gambar 2.3.3 Jalur terpendek pada jaringan ………... 33

Gambar 3.1 Skema pengolahan bahan mentah menjadi bentuk energi …... 35

Gambar 3.1.1 Jaringan berarahG………...……. 49

Gambar 3.2.1 Jaringan dengan 8 simpul dan 12 busur ………. 73

Gambar 3.2.2 Jaringan setelah iterasi pertama ……….…. 74

Gambar 3.2.3 Jaringan setelah iterasi kedua ……….…. 75

Gambar 3.2.4 Jaringan setelah iterasi ketiga ……… 76

Gambar 3.2.5 Jaringan setelah iterasi keempat ………. 77

Gambar 3.2.6 Jaringan setelah iterasi kelima ………. 78

Gambar 3.3.1 Dual dari suatu jaringan planar ………..……. 82

Gambar 3.3.2 Jaringan planar dengan 8 simpul dan 15 busur ……… 87

Gambar 3.3.3 Dual dari jaringan planar ……….…. 88

Gambar 3.3.4 Jalur terpendek pada jaringan dual ………..…. 90

Gambar 3.4.1 Skema jalan yang dapat dilalui dari gudang ke toko ………….. 96

Gambar 3.4.2 Jaringan dengan simpul awal s dan simpul akhirt………….. 97

(14)

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Dalam bidang matematika terdapat sebuah subyek yang mengalami perkembangan yang luar biasa, yaitu masalah jaringan. Masalah tentang jaringan tersebut dilatarbelakangi oleh teori graf yang pertama kali muncul pada tahun 1736 berkaitan dengan masalah jembatan konigsberg. Orang yang memunculkan masalah tersebut adalah orang berkebangsaanSwissbernamaLeonhart Euler.

Suatu graf adalah kumpulan obyek yang terdiri dari himpunan simpul-simpul yang dihubungkan oleh himpunan busur. Berikut merupakan contoh suatu graf dengan empat simpul dan tiga busur.

(15)

Jika dua simpul dihubungkan dengan sebuah busur, maka simpul tersebut dikatakan berdampingan (adjacent). Dari Gambar 1.1 dapat dilihat bahwa simpul dua, tiga dan empat terhubung dengan simpul satu.

Graf dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya simpul melambangkan lokasi dari kota-kota dan busur melambangkan jalan-jalan yang menghubungkan kota-kota tersebut, atau simpul melambangkan komponen listrik dan busur melambangkan kawat yang menghubungkan komponen-komponen yang berbeda. Juga jika simpul melambangkan atom-atom maka busur melambangkan ikatan kimia. Contoh-contoh tersebut adalah beberapa situasi yang dapat dimodelkan dengan graf. Jika sebuah busur menghubungkan simpul i ke simpul j, maka busur tersebut juga menghubungkan simpul j ke simpul i dan dinotasikan dengan busur (i,j) atau busur (j,i).

(16)

Arus pada jaringan menyangkut banyak bidang, misalnya bidang matematika terapan, ilmu komputer, bidang teknik, manajemen dan bidang riset operasi.

Dalam kenyataan, sebuah jaringan menghasilkan sebuah gambaran yang kuat dan membantu memberi pengertian dalam menunjukkan hubungan antar komponen dari suatu sistem yang banyak digunakan dalam bidang ilmu pengetahuan. Salah satu perkembangan tentang masalah jaringan yang menggembirakan beberapa tahun terakhir adalah perkembangan dalam bidang metodologi dan aplikasi untuk masalah optimasi arus pada jaringan.

Masalah optimasi pada jaringan mulai dibicarakan pada akhir tahun 1940 hingga awal tahun 1950 ketika para peneliti dan para ahli secara terus-menerus mengembangkan masalah optimasi sebagai bidang yang berdiri sendiri. Pada saat dimulainya perkembangan komputer maka didapat sebuah alat yang digunakan untuk menampilkan perhitungan masalah optimasi tersebut secara lebih ilmiah.

(17)

Gambar 1.2 Rute penerbangan dari kotaAke kotaBdimodelkan dengan jaringan

Dalam jaringanGini, kotaAsebagai kota awal penerbangan disebut simpul awal dan kota B sebagai kota tujuan disebut simpul akhir. Simpul x, y dan z melambangkan bandara penghubung. Nilai-nilai pada setiap busur menyatakan kapasitas penumpang yang dapat diterbangkan dari satu tempat ke tempat lain.

Secara umum optimasi arus pada jaringan dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan diketahui jaringan dengan kapasitas tak negatif pada busur-busur. Untuk mendefinisikan masalah optimasi arus diperkenalkan dua buah simpul istimewa dalam jaringan tersebut, yaitu simpul awal sdan simpul akhirt. Akan dicari arus maksimum dari simpul awalske simpul akhirt yang sesuai dengan kapasitas dari busur dan memenuhi syarat tertentu.

(18)

B. Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:

1. Bagaimana cara mencari optimasi arus pada jaringan dengan metode Ford-Fulkerson?

2. Bagaimana cara mencari optimasi arus pada jaringan dengan metode max flow-min cut?

C. Pembatasan Masalah

Masalah optimasi arus pada jaringan dalam skripsi ini hanya dibahas menggunakan dua metode saja, yaitu metode Ford-Fulkerson dan metode max flow-min cut.

D. Tujuan Penulisan

Skripsi ini bertujuan untuk menambah pengetahuan dan memahami hal-hal yang berkaitan dengan optimasi arus pada jaringan.

E. Metode Penulisan

(19)

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah agar penulis lebih mengetahui tentang masalah jaringan terutama masalah optimasi arus maksimum pada jaringan.

G. Sistematika Penulisan

Bab I PENDAHULUAN

Bab ini berisi tentang latar belakang penulisan tentang masalah optimasi arus. Tentang bagaimana masalah optimasi arus, yaitu masalah arus maksimum dirumuskan dan juga pembatasan masalah dalam penulisan ini. Selain itu, terdapat tujuan penulisan, metode penulisan dan manfaat penulisan bagi penulis. Selanjutnya diberikan pula sistematika penulisan dalam masalah optimasi arus ini.

Bab II BEBERAPA MASALAH DALAM JARINGAN

(20)

Bab III MASALAH ARUS MAKSIMUM

Bab ini berisi pembahasan tentang jaringan dengan arus maksimum. Bagaimana mencari arus maksimum menggunakan metode Ford-Fulkerson dan metode max flow-min cut. Selain itu dibahas pula bagaimana mencari arus maksimum pada jaringan yang khusus yaitu jaringan planar menggunakan algoritma untuk mencari jalur terpendek.

Bab IV PENUTUP

(21)

BAB II

BEBERAPA MASALAH DALAM JARINGAN

A. Jaringan

Dalam kehidupan sehari-hari, masalah tentang jaringan selalu muncul. Misalnya jaringan listrik yang memberi penerangan pada bangunan-bangunan dan jalan-jalan, jaringan telepon yang sangat membantu orang-orang untuk saling berkomunikasi tanpa susah payah, jaringan kereta api, sistem jalan raya dan jaringan yang melayani masalah penerbangan. Jaringan tersebut membantu pekerjaan sehari-hari dalam menempuh perjalanan dari satu tempat ke tempat lain dan memungkinkan seseorang untuk mengunjungi tempat-tempat baru dan menikmati pengalaman baru.

Definisi 2.1.1

Graf merupakan kumpulan obyek-obyek yang disebut simpul, bersama dengan himpunan busur. Jika dua buah simpul dihubungkan dengan sebuah busur maka simpul-simpul tersebut dikatakan berdampingan (adjacent).

Definisi 2.1.2

(22)

Definisi 2.1.3

Perjalanan (walk)pada suatu graf merupakan barisan yang terdiri dari himpunan simpul dan himpunan busur. Suatu sikel (cycle) merupakan perjalanan dari suatu simpul dan kembali ke simpul tersebut tanpa ada pengulangan busur dan simpul yang dilalui.

Definisi 2.1.4

Jalur (path) pada suatu graf merupakan perjalanan tanpa ada pengulangan pada simpul-simpul pada jaringan.

Dipath(directed path)merupakan jalur yang mempunyai arah tertentu.

Definisi 2.1.5

Suatupohon(tree) merupakan garaf terhubung yang tidak memuat sikel.

Suatupohon perentang (spanning tree)merupakan pohon dari suatu grafGyang memuat semua simpul.

Definisi 2.1.6

Simpul awal (source) pada sebuah digraf merupakan sebuah simpul di mana semua busur yang terhubung dengan simpul tersebut merupakan busur maju.

Definisi 2.1.7

(23)

Definisi 2.1.8

Sebuah graf atau digraf dikatakanterhubung (connected) jika untuk setiap dua simpul pada graf tersebut terdapat sebuah jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut.

Definisi 2.1.9

Jaringan (network) merupakan digraf terhubung yang memiliki sebuah simpul awal dan sebuah simpul akhir.

Definisi 2.1.10

Kapasitas (capacity) sebuah busur merupakan arus maksimum dari suatu barang yang dapat melewati busur tersebut . Kapasitas arus dinotasikan denganCij yang merupakan bilangan bulat tak negatif. Nilai Cij = 0 jika simpul i dan j bukan merupakan dua buah simpul yangadjacent.

Definisi 2.1.11

Jaringan berarah merupakan graf berarah dimana busur-busurnya berkaitan dengan suatu nilai tertentu. Biasanya nilai tersebut berkaitan dengan biaya, kapasitas, permintaan, atau persediaan barang.

Definisi 2.1.12

(24)

Definisi 2.1.13

Digraf D:(N`,A`) disebut underlying digraf dari jaringan G:(N,A) jika digraf D tersebut mempunyai simpul awal s dan simpul akhir t serta kapasitas busur C yang berupa bilangan bulat tak negatif. Dengan N`NdanA`A

Definisi 2.1.14

Pada suatu jaringan G:(N,A), dengan simpul awals, simpul akhir t dan kapasitas dari busur (i,j) adalah Cij, arus (flow) pada jaringan berarah merupakan fungsi yang mengawankan busur (i,j) ke sebuah nilai fij.Nilaifijinilah yang disebut besar arus pada jaringan. Nilaifijtersebut harus memenuhi dua hal :

1. 0≤fij≤Cij untuk semuai,jNdan (2.1)

2. f f untuksetiapi N -{s,t}

N j

ji N

j

ij







 

(2.2)

(25)

Definisi 2.1.15

Jumlahtotal arus yang keluardari simpuli dapat ditulis



N j

ij

f untuk setiapiN – {s,t}

Jumlahtotal arus yang masukke simpulidapat ditulis



N j

ij

f untuk setiap iN – {s,t}

Untuk busur (i,j) pada jaringan G:(N,A), nilai fij disebut arus yang masuk ke busur (i,j) atau arus sepanjang busur (i,j) dan dapat dikatakan sebagai nilai dari bahan yang dapat dipindahkan oleh arusfsepanjang busur (i,j).

Perhatikan persamaan berikut



   N j i ji N j i ij f f , , atau 0 , ,  



  i j N

ji N j i ij f f

Penjumlahan dilakukan pertama-tama terhadap j, kemudian terhadap i sehingga didapat 0        

 



N  

i j N j N ji ij f f

Persamaan konservasi arus menyatakan hasil penjumlahan di dalam tanda kurung sama dengan nol kecuali pada simpul awal s atau simpul akhir t, maka

 , 0

       

 



st  

(26)

    0 , ,  

 

    i st j N

ji t

s i j N

ij f f 0          



  

 j N

jt N j js N j tj N j

sj f f f

f 0    



j j j j

jt tj

js

sj f f f

f

Sehingga diperoleh















j j j j

tj jt

js

sj f f f

f

Definisi 2.1.16

Misalkan terdapat jaringan berarah dengan simpul awal s, simpul akhir t dan himpunan simpul-simpul pada jaringan G:(N,A). Nilai dari arus F merupakan bilangan bulat dan didefinisikan sebagai

val(F) =



   N j js N j sj f f

Atau menurut konservasi arus, ekivalen dengan

val(F) = tj

N j N j jt f f



  

(27)

Teorema 2.1.17

Pada jaringan berarah G:(N,A) dengan simpul awal s dan simpul akhir t dimana tidak ada arus yang masuk ke simpul awal sdan tidak ada arus yang keluar dari simpul akhirtmaka berlaku bahwa

val(F) =



 



N

j j N jt sj f f

Bukti

Secara umum pada suatu jaringan G:(N,A) tidak ada arus yang masuk ke simpul awal sdan tidak ada arus yang keluar dari simpul akhirt, yaitufjs = 0 = ftj untuk semua himpunan simpul-simpulN. Maka nilai dari arus val(F) adalah

val(F) =



   N j js N j sj f f

=



0

N j sj f =



N j sj f

atau ekivalen dengan

val(F) = tj

N j N j jt f f



  

=



0

(28)

Dengan demikian nilai dari arus dapat ditulis sebagai berikut : val(F) =



 



N

j j N jt sj f f

Konstruksi arus pada jaringan

Pertama-tama tempatkan sebuah jalur (path), namakan P, yang menghubungkan simpul awal s ke simpul akhir t. Arah jalur tersebut ditunjukkan dengan tanda panah pada busur. Didefinisikan arus pada jalur tersebut sebagai berikut:

      P j i P j i fij ) , ( jika 0, ) , ( jika 1,

Arus yang didefinisikan tersebut disebut sebagai unit flow karena nilai dari arus pada busur adalah 1. Arus tersebut juga memenuhi konservasi arus.

 Jika jmerupakan simpul yang tidak terdapat pada P, maka semua busur yang memasuki dan keluar darijmempunyai nilai arus sama dengan 0.

 Jika jmerupakan arus yang terdapat pada P, maka tepat satu busur memasuki simpul j yang mempunyai nilai arus tidak nol dan tepat satu busur meninggalkan simpulj.

 Setiap busur pada jalurPtersebut masing-masing mempunyai nilai 1.

(29)

Jika didapatkan kapasitas terkecil pada jalur P, maka dikatakan jalur P tersebut mempunyai busur jenuh (saturated arc), yaitu ada minimal satu busur yang memuat nilai arus sama dengan kapasitas busur tersebut.

Jaringan dapat digunakan untuk memodelkan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya jaringan dapat digunakan untuk memodelkan masalah sistem pendistribusian minyak. Model jaringan tersebut memuat sejumlah berhingga simpul-simpul dan busur-busur. Busur-busur yang menghubungkan antar simpul merepresentasikan pipa-pipa yang mengalirkan minyak dari simpul awal menuju ke simpul akhir. Simpul awal merepresentasikan daerah sumber minyak, simpul akhir merepresentasikan daerah tujuan atau tempat akhir pengiriman minyak. Sedangkan simpul-simpul lain selain simpul awal dan simpul akhir merepresentasikan daerah-daerah yang dilewati oleh pipa-pipa yang mengalirkan minyak tersebut.

(30)

B. Jaringan planar.

Definisi 2.2.1

Sebuah jaringan G:(N,A) disebut jaringan planar jika jaringan tersebut dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian rupa sehingga tidak ada dua atau lebih busur yang saling memotong satu sama lain. Dengan kata lain busur-busur tersebut bertemu satu sama lain pada satu simpul , yaitu pada simpul-simpul pada jaringan.

Pada bagian ini akan dipelajari beberapa bagian dari jaringan planar dan mendeskripsikan algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah arus maksimum pada jaringan planar. Jaringan yang akan dibahas pada bagian ini dibatasi pada jaringan tak berarah.

Pada jaringan tak berarah busur (i,j) merupakan busur yang menghubungkan simpuli dengan simpulj dan sebaliknya. KapasitasCijdari busur (i,j) menunjuk pada jumlah arus maksimum yang dapat dikirimkan dari simpul i ke simpuljatau dari simpuljke simpuli.

Definisi 2.2.2

(31)

Definisi 2.2.3

Batas (boundary) dari daerah z merupakan himpunan dari semua busur-busur yang mengurung daerahz. Batas dari suatu daerahzmembentuk suatu sikel.

Definisi 2.2.4

Suatu daerah disebut daerah terbatas (bounded region) jika daerah tersebut terbatas dan disebut daerah tak terbatas (unbounded region) jika daerah tersebut tak terbatas. Jaringan planar mempunyai tepat satu daerah tak terbatas.

Definisi 2.2.5

Misalkan setiap busur pada jaringan merupakan batas dari paling sedikit dua buah daerah. Daerah z1 dan z2 disebut berdampingan (adjacent) jika batas-batas dari

daerah tersebut memuat busur-busur yang sama.

Gambar 2.1.1 Jaringan planar dengan lima buah simpul dan 9 buah busur

Jaringan di atas menunjukkan suatu jaringan planar yang mempunyai empat daerah. Daerah z1,z2,z3 berada pada daerah terbatas (bounded region) dan

(32)

oleh empat buah busur dan letaknya berdekatan dengan daerah z2 dan z4. Daerah

z2 dibatasi oleh lima buah busur dan letaknya berdekatan dengan daerah

z1,z3danz4.

Teorema 2.2.6 (RumusEuler)

Jika suatu jaringan planar G:(N,A) terhubung mempunyai nbuah simpul, m buah busur danf buah daerah maka berlaku f = m – n + 2.

Bukti

Teorema di atas akan dibuktikan menggunakan induksi matematis terhadap banyaknya daerah.

(i). Untuk jaringan dengan satu daerah, yaituf = 1

maka 1 =m–n+2

atau m=n– 1

(2.3)

Persamaan (2.3) bernilai benar karena suatu jaringan dengan satu daerah, yaitu daerah tak terbatas membentuk suatu pohon perentang.

(ii). Diasumsikan bahwa RumusEulerbernilai benar untuk setiap jaringan dengan banyaknya daerahk, yaitu f=k, maka berlaku

k=m–n+2

(33)

Misalkan ada suatu jaringan G:(N,A) dengan banyaknya daerah k + 1 dan banyaknya simpul n. Dipilih sebarang busur (i,j) yang merupakan batas dari dua daerah, yaituz1danz2.

Jika busur (i,j) tersebut dihapus dari jaringan G maka daerah z1 dan z2 akan

bergabung membentuk sebuah daerah. Banyaknya daerah dan busur masing-masing berkurang satu sedangkan jumlah simpul tetap. Didapatkan jaringanG` dengankbuah daerah dannsimpul. Dari asumsi diketahui bahwa RumusEuler berlaku pada jaringanG`tersebut, yaitu

k=m–n+2

Selanjutnya jika busur (i,j) dimasukkan kembali pada jaringanG`didapatkan (k+ 1) = (m+ 1) –n+2

Rumus Euler tetap bernilai benar karena penambahan banyaknya busur dan daerah tidak mengubah nilai dari persamaan diatas .

Rumus Euler terbukti ■

Teorema 2.2.7

Pada jaringan planar, dengan m buah busur, n buah simpul dan f buah daerah. Berlakum < 3n.

Bukti

Teorema di atas akan dibuktikan menggunakan kontradiksi. Misalkan berlakum≥3natau

(34)

Selanjutnya akan dicari hubungan antara fdan m. Karena jaringan tidak memuat busur yang paralel maka batas dari tiap daerah memuat paling sedikit 3 buah busur. Pada jaringan dengan banyak daerah f, jika setiap daerah ditelusuri satu persatu, maka paling sedikit akan ditemukan sejumlah 3f busur-busur. Perhatikan bahwa pada penelusuran tersebut setiap busur akan dilewati paling banyak dua kali karena busur-busur tersebut merupakan batas untuk paling banyak dua buah daerah. Hal tersebut menunjukkan bahwa 3f ≤ 2matau

f ≤ 2m/3 (2.5)

Dari rumus Eulerdiketahui f = m – n+ 2 atau f+n–m= 2

Dari persamaan (2.4), (2.5) dan RumusEulerdidapatkan f +n–m≤2m/3 +m/3 –m

atau f +n–m≤0

Padahal menurut Rumus Eulerdiketahui bahwa f+n–m= 2. Terjadi kontradiksi, maka pengandaian bahwam≥3nataun≤m/3 salah.

Jadi pada jaringan planar, denganmbuah busur,n buah simpul dan fbuah daerah

Berlakum< 3n. ■

C. Masalah jalur terpendek (Shortest path problem)

(35)

wisatawan akan merencanakan perjalanan lintas Negara dan ingin mengetahui jalanan mana yang dapat dilalui untuk mencapai daerah tujuan wisatanya dengan jarak tempuh terpendek.

Selain contoh-contoh tersebut masih banyak masalah lain yang dapat dinyatakan sebagai masalah jalur terpendek yang akan dibahas pada bab ini. Dalam masalah jalur terpendek akan dicari suatu jalur (path) yang mempunyai jarak minimum dari suatu simpul awal s ke suatu simpul akhir t. Pada kenyataannya algoritma jalur terpendek sering digunakan pada algoritma matematika yang lain sebagai penyelesaian alternatif dalam masalah-masalah yang lebih rumit dengan daerah pembicaraan yang lain.

Masalah jalur terpendek dapat dinyatakan sebagai berikut diberikan suatu jaringan berarah G:(N,A) akan dicari jalur terpendek dari suatu simpul awal yaitu simpul s ke suatu simpul akhir yaitu simpul t. Simpul-simpul tersebut dapat dibayangkan sebagai kota-kota pada suatu peta dan busur-busurnya merupakan jalan-jalan yang menghubungkan kota-kota tersebut. Nilai Uij pada busur (i,j) menyatakan panjang jalan yang menghubungkan kotaike kotaj.

Masalah jalur terpendek dinyatakan sebagai masalah program linear. Misalkan xijsama dengan 1 jika (i,j) dimuat dalam jalur yang menghubungkan

simpulske simpultdan 0 jika sebaliknya. Panjang dari jalur merupakan jumlahan dari panjang busur-busur pada jalur yang dinyatakan dengan





 

N j i

ij ij x U u

,

(36)

simpul awal smaka dapat ditulis



1

N j

sj

x . Dengan cara yang sama, karena pada

jalur tersebut berakhir pada simpul t dan hanya ada satu busur yang memasuki satu simpultini maka



1

N i

it

x .

Untuk sebarang simpul-simpul i pada jaringan, jika busur yang berada pada jalur memasuki simpul j, yaitu





 N i

ij

x 1 maka akan ada satu busur yang

meninggalkan simpul j tersebut, yaitu



1

N i

ji

x . Dengan cara yang sama, jika

tidak ada busur pada jalur yang memasuki simpul j, yaitu



0

N i

ij

x maka tidak

ada busur pada jalur tersebut yang meninggalkan simpul, yaitu



0

N i

ji

x .

Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada simpul-simpul selain simpul awal dan simpul akhir, sebarang busur yang memasuki suatu simpul pasti akan meninggalkan simpul tersebut, atau



   N k jk N i ij x

x untuk sebarang simpul j yang

terletak antara simpul s dan simpul t. Maka dalam program linear, jika diketahui suatu jaringan berarah G:(N,A) dengan simpul awal s dan simpul akhirt, masalah jalur terpendek dari jaringan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

Minimumu = ij

N j i ij x U 



 ,

Dengan kendala



1

(37)



 



N k j

jk N

j i

ij x x

, ,

dengan Uij= panjang busur yang menghubungkan simpulidengan simpul j

Perhatikan bahwa variabel kendala pada persamaan di atas berupa bilangan bulat positif. Jika digabungkan dengan kendala yang lain berarti nilai dari semua variabel adalah 0 atau 1. Ketika didapatkan penyelesaian optimal dari masalah jalur terpendek, variabel-variabel yang bernilai 1 menentukan busur-busur yang termasuk dalam jalur sementara variabel-variabel yang bernilai 0 menentukan busur-busur yang tidak termasuk di dalam jalur.

Misalkan d(j) menotasikan panjang jalur dari simpul awal ke simpul j, dengan jidan d(s) = 0. Jika d(j*) merupakan jalur terpendek dari jaringan G:(N,A), makad(j*) memenuhi

d(j*)≤d(i*) +Uij untuk semua (i,j)A (2.2.1) Pertidaksamaan di atas menyatakan bahwa untuk setiap busur (i,j) yang terletak pada jaringan, berlaku panjang dari jalur terpendek dari simpul awal ke simpul j tidak akan melebihi panjang dari jalur terpendek dari simpul awal ke simpuliditambah panjang busur (i,j).

(38)

Algoritma Djikstra ini berguna untuk mencari jarak suatu jalur dengan jumlah jarak terpendek dari simpul awalske simpul akhirt dalam suatu jaringan. Untuk menggunakan algoritma ini, pertama-tama ubah jaringan ke dalam bentuk matriks dengan aturan :

1) Pada diagonal utama matriks, tuliskan semua simpul pada jaringan.

2) Karena pada algoritma Djikstradiasumsikan bahwa jaringan yang digunakan tak berarah, maka masukkan semua panjang busur (i,j) pada jaringan tersebut. Elemen pada baris ke-idan kolom ke-j.

aij=aji=Uij dengani,j simpul-simpul pada jaringan,dan i j

Jika simpul 1 menghubungkan simpul 2, maka pada sel (1,2) tuliskan panjang busur (1,2), yaknia12 =a21 =U12

Setelah diperoleh suatu matriks yang merepresentasikan jaringan, maka algoritmaDijkstradinyatakan sebagai berikut :

1. Berikan label pada setiap baris dan kolom yang menyatakan jalur terpendek dari simpul dari simpul awal ke simpulj. Label pada simpul awal adalah

l1= 0

sehingga didapatkan tabel sebagai berikut

Tabel 2.3.1 Label awal pada tabel jalur terpendek 0

0 1

2 ...

(39)

2. Pada setiap sel (i*,j) dengan i* adalah baris berlabel dan j adalah kolom yang belum berlabel, berikan nilai d(j) yang merupakan jarak dari simpul awal ke simpulj, yakni

d(j) =ai*j+li*

3. Tentukan lj = min {d(j)}, j  N dan beri label pada kolom yang bersesuaian dengan simpuljtersebut.

4. Beberapa kemungkinan yang terjadi pada tabel

(i). Jika masih ada entri pada busur berlabel dan kolom yang tidak berlabel, kembali ke Langkah 2.

(ii). Jika semua kolom sudah mempunyai label, yang berarti semua simpul sudah mempunyai label, maka langkah dihentikan dan l(t) merupakan jalur terpendek dari simpul awal ske simpul akhirt.

(40)

Diagram alir algoritmaDjikstra

Tandai simpul awal dengan labell1 = 0

Hitung d(j) =ai*j+li*

dengani*adalah baris berlabel

Hitunglj = min {d(j)} Tetapkani*=j

Apakah terdapatai*jpada baris berlabel dan kolom tidak berlabel?

(41)

Contoh 2.3.1

Tentukan jalur terpendek yang dapat ditempuh untuk menghubungkan simpul awalAhingga simpul akhirIpada jaringan berikut

Gambar 2.3.1 Jaringan dengan 9 simpul dan 15 busur

Penyelesaian

Pertama-tama bentuk jaringan akan diubah dalam bentuk matriks, yaitu :

A 3 4

3 B 2 7 6

4 2 C 5 4

7 5 D 2 4 4

6 4 2 E 6 4

4 6 F 2 2 3

4 4 2 G 4 5

2 4 H 2

3 5 2 I

Tabel 2.3.2 Bentuk matriks dari jaringan pada Gambar 2.3.1

Iterasi 1

Langkah 1

(42)

Langkah 2

Kolom yang belum berlabel pada baris 1 adalah kolom 2 dan 3, maka d(B) =a12+l1 = 3 + 0 = 3

d(C) =a13+l1= 4 + 0 = 4

Langkah 3

Karena min {d(B),d(C)} = min {3, 4} = 3

maka diperolehl2= 3. Tuliskan label tersebut pada baris dan kolom 2.

Langkah 4

Dari baris 2, kolom yang belum berlabel adalah kolom 3,4, dan 5 dan didapatkan tabel baru yaitu:

0 3

0 A 33 44

3 3 B 2 7 6

4 2 C 5 4

7 5 D 2 4 4

6 4 2 E 6 4

4 6 F 2 2 3

4 4 2 G 4 5

2 4 H 2

3 5 2 I

Tabel 2.3.3 Tabel setelah iterasi pertama

Iterasi 2

Langkah 2

Kolom yang belum berlabel pada baris 2 adalah kolom 3, 4 dan 5, maka d(C) =a23+l2= 2 + 3 = 5

d(D) =a24+l2= 7 + 3 = 10

(43)

Langkah 3

Karena min {d(C),d(D),d(E)} = min {5, 10, 9} = 5

Langkah 4

Dari baris 3, kolom yang belum berlabel adalah kolom 4 dan 5 dan didapatkan tabel baru yaitu:

0 3 4

0 A 33 44

3 3 B 25 710 69

4 4 2 C 5 4

7 5 D 2 4 4

6 4 2 E 6 4

4 6 F 2 2 3

4 4 2 G 4 5

2 4 H 2

3 5 2 I

Tabel 2.3.4 Tabel setelah iterasi kedua

Iterasi 3

Langkah 2

Kolom yang belum berlabel pada baris 3 adalah kolom 4 dan 5, maka d(D) =a34+l3= 5 + 4 = 9

d(E) =a35+l3 = 4 + 4 = 8

Langkah 3

Karena min {d(D),d(E)} = min {9, 8} = 8

(44)

Langkah 4

Dari baris 5, kolom yang belum berlabel adalah kolom 4, 6 dan 7, dan didapatkan label baru yaitu:

0 3 4 8

0 A 33 44

3 3 B 25 710 69

4 4 2 C 59 48

7 5 D 2 4 4

8 6 4 2 E 6 4

4 6 F 2 2 3

4 4 2 G 4 5

2 4 H 2

3 5 2 I

Tabel 2.3.5 Tabel setelah iterasi ketiga

Iterasi 4

Langkah 2

Kolom yang belum berlabel pada baris 5 adalah kolom 4, 6 dan 7, maka d(D) =a54+l5= 2 + 8 = 10

d(F) =a56+l5 = 6 + 8 = 14

d(G) =a57+l5= 4 + 8 = 12

Langkah 3

Karena min {d(D),d(F),d(G)} = min {10, 14, 12} = 10

Langkah 4

(45)

0 3 4 9 8

0 A 33 44

3 3 B 25 710 69

4 4 2 C 59 48

9 7 5 D 2 4 4

8 6 4 210 E 614 412

4 6 F 2 2 3

4 4 2 G 4 5

2 4 H 2

3 5 2 I

Tabel 2.3.6 Tabel setelah iterasi ke empat

Lanjutkan iterasi dengan cara yang sama, maka pada iterasi ke 9 akan didapatkan tabel yang memuat jalur terpendek dari simpulA ke simpulIyaitu

0 3 4 9 8 13 12 15 16

0 A 33 44

3 3 B 25 710 69

4 4 2 C 59 48

9 7 5 D 2 413 413

8 6 4 210 E 614 412

13 4 6 F 2 215 316

12 4 4 2 G 416 517

15 2 4 H 217

16 3 5 2 I

Tabel 2.3.7 Tabel setelah algoritmaDjikstraselesai

Label pada baris dan kolom 9 merupakan jumlah jalur terpendek yang dapat dilalui dari simpulA ke simpulIdengan jumlah jarak 16.

(46)

Gambar 2.3.2 Pohon perentang pada jaringan

jalur terpendek dari jaringan yang menghubungkan simpul awal, simpul A ke simpul akhir, simpul I adalah jalur P: {A, C, D, F, I} dengan panjang jalur adalah 16, seperti yang ditunjukkan pada gambar sebagai berikut

(47)

BAB III

MASALAH ARUS MAKSIMUM

Masalah jalur terpendek (shortest path problems) dan masalah arus maksimum (maximal flow problems) merupakan dua masalah khusus dan penting yang muncul sebagai masalah pada jaringan. Kedua masalah tersebut serupa dan saling melengkapi tetapi juga berbeda karena masalah tersebut memunculkan aspek yang berbeda dari suatu jaringan. Masalah jalur terpendek memunculkan masalah tentang jarak pada busur tanpa menyinggung tentang kapasitasnya. Sedangkan masalah arus maksimum memunculkan masalah tentang kapasitas busur tanpa menyinggung tentang jarak pada busur.

Masalah arus maksimum bertujuan untuk mencari jumlah arus yang melewati jaringan, memenuhi syarat-syarat tertentu dan jumlahnya maksimum. Masalah arus maksimum merupakan salah satu persoalan yang sering kali muncul dalam suatu jaringan. Salah satu contoh masalah arus maksimum yang ditemukan dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut.

(48)

memiliki pusat teknologi dan infrastruktur sendiri maka dimungkinkan untuk mengolah bahan-bahan mentah tersebut menjadi bentuk-bentuk energi lain seperti yang dibutuhkan oleh penduduk. Misalnya minyak mentah dapat diolah menjadi minyak tanah atau petroleum. Batu bara dapat diubah menjadi energi listrik dan sebagainya seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut

Gambar 3.1 Skema pengolahan bahan-bahan mentah menjadi suatu bentuk energi Minyak mentah Energi listrik

Batu bara Minyak tanah

Uranium

Tenaga air Gas

Petroleum

Bahan mentah Bentuk energi

(49)

Keterangan gambar :

s= tambang atau tempat diambilnya bahan-bahan mentah tersebut.

t = rumah-rumah penduduk yang membutuhkan energi-energi tersebut untuk menjalankan aktifitas sehari-hari

Pada contoh di atas, yang menjadi permasalahan adalah bagaimana mencari hasil olahan dari bahan-bahan mentah tersebut dalam jumlah yang maksimum agar kebutuhan penduduk kota akan energi terpenuhi.

Misalkan terdapat sebuah jaringan G:(N,A) dengan kapasitas Cij tak negatif pada setiap busur (i,j) A. Masalah arus maksimum dari simpul awal s menuju simpul akhirtdapat ditulis sebagai

Maksimumkan val(F) Dengan kendala             



  t i f t s N i s i f f f N j ji N j ij untuk ) ( val } , { 0 untuk ) ( val

dan 0 fijCij (i, j)A

dengan fijadalah arus pada busur (i,j) danCijadalah kapasitas busur (i,j)

(50)

Asumsi 3.1

Jaringan yang digunakan untuk memodelkan suatu masalah adalah jaringan berarah.

Asumsi ini selalu dapat dipenuhi dengan mengubah jaringan tak berarah menjadi jaringan berarah. Sebuah busur tak berarah (i,j) dengan kapasitas Cij memindahkan arus dari simpul ike simpul jatau dari simpulj ke simpul i. Maka pada masalah arus maksimum dengan model busur tak berarah adalah mempunyai kendala

fij≤Cij ataufji≤Cji.

Karena nilai dari Cij ≥ 0, pada beberapa masalah arus maksimum pada jaringan, diperoleh penyelesaian optimal, yakni salah satu darifijdanfjiakan sama dengan nol. Penyelesaian semacam ini disebutnon-over lapping.

(51)

(i). Jika busur tak berarah {i,j} mengalirkan αunit arus pada simpuli ke simpul j pada jaringan yang sudah ditransformasi maka ditulis arus fij= α dan arus fji= 0.

(ii). Jika busur tak berarah {i,j} mengalirkan αunit arus pada simpulj ke simpul i pada jaringan yang sudah ditransformasi maka ditulis arus fij = 0 dan arus fji=α.

(iii). Jika fij dan fji masing-masing adalah arus pada busur (i,j) dan (j,i) pada jaringan berarah, maka fij – fji atau fji – fij bersesuaian dengan arus pada busur {i,j} pada jaringan tak berarah dengan nilai yang positif yang dapat dinyatakan sebagai berikut.

 

          ij ji ij ji ji ij ji ij ji ij f f f f f f f f f f j i f jika jika 0 jika , Asumsi 3.2

Semua kapasitas busur dalam jaringan adalah bilangan bulat tak negatif.

(52)

Asumsi 3.3

Jaringan tidak memuat suatu jalur yang menghubungkan simpul awal s menuju simpul akhirtdengan busur-busur yang memiliki kapasitas tak terbatas.

Jika setiap busur pada jalur berarahP yang menghubungkan simpuls ke t mempunyai kapasitas tak hingga, maka nilai arus maksimum tak terbatas. Adanya kapasitas yang tak terbatas pada jalur dapat dideteksi menggunakan search algorithm. Namun dalam penulisan ini tidak akan dibahas tentang search algorithmlebih lanjut.

Asumsi 3.4

Jaringan tidak memuat busur paralel, yaitu dua atau lebih busur dengan ujung dan awal yang sama.

(53)

Beberapa metode yang digunakan dalam mencari penyelesaian arus maksimum diantaranya adalah metodeFord-Fulkerson dan metode max flow-min cut.

A. metodeFord-Fulkerson

Definisi 3.1.1

Jika {u0, u1, ...,un} dan {a1, a2, ....,an} masing-masing merupakan simpul-simpul

dan busur-busur pada jaringan G:(N,A) maka barisan berhingga dengan suku-suku yang berselang-seling antara simpul dan busur pada jaringan tersebut didefinisikan sebagai berikut

Q:u0,a1,u1,a2,...,un-1,an,un

Barisan tersebut diawali dengan simpul u0 dan berakhir dengan simpul un sedemikian hingga tidak ada simpul-simpul yang berulang pada barisanQ. Busur ai= (ui,ui-1) atauai=(ui-1,ui) untuki= 1, 2, ...,n merupakan busur-busur pada

barisanQ.

Definisi 3.1.2

Misalkanfmerupakan arus pada jaringan G:(N,A) denganunderlying digraf D dan fungsi kapasitas C. Jalur u0, a1, u1, a2,..., un-1, an, un pada D dikatakan mempunyai arus ftak jenuh(f-unsaturated) jika untuk setiap 1≤i≤n berlaku a. ai= (ui-1, ui)dan f(ai) <C(ai)

(54)

b. ai= (ui, ui-1)dan f(ai) > 0

Jika kondisi (a) dipenuhi maka masih ada arus yang dapat dialirkan dari simpul ui-1 ke simpul ui. Jika kondisi (b) dipenuhi maka arus dari simpului ke

simpului-1dapat dialirkan kembali dari simpului-1ke simpului.

Definisi 3.1.3

JikaQ mempunyai arus ftak jenuh pada jalur yang menghubungkan simpul awal ke simpul akhir dari jaringanG:(N,A) makaQdisebutflow augmenting path.

Definisi 3.1.4

Misalkan G:(N,A) merupakan jaringan dengan underlying digraf D, fungsi kapasitas C dan arusf.Jika fbukan merupakan arus maksimum maka Dmemuat flow augmenting pathyang disimbolkan denganQyakni.

Q:s=u0, a1, u1, a2, u2, ..., un-1, an, un=t

Kapasitas residual (residual capacities), (ai) pada D didefinisikan sebagai berikut









          1 1 , jika ) ( , jika ) ( ) ( ) ( i i i i i i i i i i u u a a f u u a a f a C a

Misalkan=min {(ai)|1≤i≤n} dan f*adalah arus baru yang ditentukan dari f, maka nilai darif*dinyatakan sebagai berikut

                   ) ( jika ) ( 1 untuk ) , ( jika ) ( 1 untuk ) , ( jika ) ( ) ( * 1 1 Q N a a f n i u u a a f n i u u a a f a

f i i

(55)

Jika aj merupakan busur pada Q sedemikian hingga (aj) = , maka f*(aj) =f(aj) + disebut busur jenuh (saturation arc). Dapat dikatakan bahwa nilai f* didapatkan dengan menjumlahkan nilai arus f dengan nilai kapasitas residual pada busur-busur yang terdapat diflow augmenting path.

Lemma 3.1.5

Semua kapasitas residual pada setiap iterasi merupakan bilangan bulat

Bukti

Perhatikan kembali persamaan (3.4) untuk kapasitas residual, yakni









          1 1 , jika ) ( , jika ) ( ) ( ) ( i i i i i i i i i i u u a a f u u a a f a C a

Pada iterasi pertama, lemma bernilai benar karena diasumsikan semua data tentang kapasitas dan arus berupa bilangan bulat. Kapasitas residual pada iterasi pertama berupa bilangan bulat.

(56)

Terbukti bahwa Semua kapasitas residual pada setiap iterasi merupakan bilangan

bulat ■

Untuk mendapatkan arus maksimum dengan menggunakan Metode Ford-Fulkerson, pertama cari flow augmenting path yang menghubungkan simpul awal dengan simpul akhir pada jaringan. Kemudian cari kapasitas residual pada masing-masing busur penyusunflow augmenting path tersebut. Dari masing-masing kapasitas resuidual, carilah nilai minimumnya, selanjutnya nilai minimum dari kapasitas residual digunakan untuk menambah arus yang mengalir untuk busur maju dan mengurangi arus untuk busur mundur pada jaringan. Setelah didapat nilai arus yang baru proses berulang kembali dengan mencari flow augmenting pada jaringan. Jika tidak dapat ditemukan flow augmenting tersebut maka proses mencari arus maksimum dengan metode Ford-Fulkersondihentikan karena telah ditemukan arus maksimum.

Dalam melakukan metode Ford-Fulkerson akan lebih mudah jika jaringan berarah yang diketahui diubah menjadi bentuk matriks. Perubahan jaringan berarah G:(N,A) dengan jumlah simpul n buah menjadi bentuk matriks n x n dapat dilakukan sebagai berikut :

1. Pada diagonal utama matriks, tuliskan semua simpul pada jaringan.

(57)

3. Pada sudut kanan atas matriks, yaitu pada sel (1,n) tuliskan angka nol dan nilai yang berada pada entri tersebut merupakan variabel yang akan dimaksimumkan yaitu arus pada jaringan.

4. Untuk suatu busur (i,j), maka elemen pada sel (i,j) adalah aij=Cij

DenganCij : besarnya kapasitas pada busur (i,j)

Setelah matriks terbentuk, maka selanjutnya dilakukan metode Ford-Fulkersondengan ketentuan sebagai berikut :

1. Tandai simpul awal jaringan, yakni sel (1,1) dengan labelm= 0.

2. Pilih salah satu sel (i, j), yaitu semua simpul yang dapat dilewati oleh busur yang berasal dari simpul awal dengan arus positif, yaituCij> 0.

3. Tandai sel (j,j) yang bersesuaian denganCij> 0 pada Langkah 2 dengan label m=m+ 1.

4. Tentukan simpul j menjadi simpul pangkal busur, yaitu ibaru = j. Kemudian

lanjutkan cara penandaan titik seperti Langkah 2 di atas.

5. Jika titik akhir (sink) dapat ditandai ikuti jalur dari titik akhir tersebut melalui titik-titik yang bertanda lebih kecil hingga mencapai titik awal. Jalur dari titik awal ke titik akhir tersebut dinamakanflow-augmenting.

Jika proses penandaan titik-titik tersebut berhenti tanpa mencapai titik akhir , maka tidak ada jalur flow-augmenting dari titik awal ke titik akhir. Maka metodeFord Fulkersonberhenti.

(58)

Diagram alir dari metodeFord-Fulkerson.

Tandai sel (1,1) dengan label m= 0

Untukm= 1,2,...,n Pilih (i,j) dengan fij> 0 ?

Tandai sel (j,j) dengan labelm=m+ 1

Tentukani=j j=n?

dengann= banyak simpul

(59)

Setelah melakukan proses pelabelan, maka selanjutnya perlu dilakukan proses perhitungan kembali terhadap nilai arus pada matriks dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1) Lacak jalur P yang menghubungkan simpul awal hingga simpul akhir pada matriks dengan mengikuti label-label pada simpul.

Jika terdapat flow augmenting path yang menghubungkan simpul awal ke simpul akhir maka sel (n,n) terhubung dengan sel (1,1). Perhatikan bahwa sel-sel yang berisi kapasitas arus dengan kendala kapasitas positif, merupakan arus maksimum yang dapat mengalir pada jalur. Tandai nilai-nilai tersebut dengan tanda minus, yakniCij-.Juga sel (n,1) yang merupakan kapasitas busur yang masuk ke simpul akhir pada jaringan.

2) Tandai dengan tanda positif, sel-sel yang simetris dengan sel-sel yang sudah ditandai dengan tanda minus. Jika sel (i,j) diberi tanda minus maka sel (j,i) diberi tanda positif, dengan kata lain untuk suatuCij-maka terdapatCij+

3) Cari nilai arus minimum yang dapat mengalir pada sel-sel dengan tanda minus, yakni

min {(ai)}, untuk (i,j)P

dengan





          1 1 , jika ) ( , jika ) ( ) ( ) ( i i i i i i i i i i u u a a f u u a a f a C a (3.4)

4) Hitung nilai arus baru, yakni

Cij-*=Cij-- min {(ai)} dan Cij+*=Cij++ min {(ai)}

(60)

Diagram alir proses penghitungan kembali nilai dari flow augmenting path (F.A.P)

Jalurs-t F.A.P?

Beri tanda minus pada

sel-sel dengan(ai) > 0 dengan

              1 1 , jika ) ( , jika ) ( ) ( ) ( i i i i i i i i i i u u a a f u u a a f a C a

Beri tanda positif

sel-sel yang simetris dengan sel-sel bertanda negatif

Cari nilai minimum(ai) pada sel-sel bertanda negatif

Pada sel bertanda negatif, Cij-*=Cij– min {(ai)} Pada sel bertanda positif, Cj i+*=Cij+ min {(ai)}

Buat matriks baru

MetodeFord-Fulkerson

stop tidak

(61)

Teorema

Banyaknya iterasi dari metode Ford-Fulkersonadalah berhingga.

Bukti

Pada jaringan G:(N,A), kapasitas terkecil dari setiap busur penyusun flow augmenting pathadalah satu. Dalam perhitungan kembali arus pada setiap iterasi, arus pada busur (s,j) akan berkurang sejumlah kapasitas residual minimum untuk setiap simpul j. Namun kapasitas residual yang sama tidak akan menambah arus pada busur (s,i) untuk setiap simpuli, dengan i j .

(62)

Contoh 3.1.1

Carilah arus maksimum dari jaringan berarah, G:(N,A) dengan menggunakan metodeFord-Fulkerson.

Gambar 3.1.1 Jaringan berarahG

Penyelesaian

(63)

s 8 2 9 0

a 6

b 6

c 4 4

6 d 3

5 e 2

f 8

17 t

Tabel 3.1.1 Jaringan dalam bentuk matriks

Iterasi 1

Proses pelabelanFord-Fulkerson Langkah 1

Tandai sel (1,1) yang merupakan simpul awal pada jaringan dengan label 0. Tuliskan label tersebut sebagai indeks atas simpuls.

Langkah 2

(64)

Langkah 3

Dari baris 2, simpul a terhubung dengan simpul b. Nilai arus dari busur tersebut adalah Cab= 6. Pada sel (3,3), simpulb diberi label 2 dan ditulis sebagai indeks atas simpul.

Langkah 4

Lanjutkan cara pelabelan seperti diatas. Akan didapatkan pada iterasi pertama pelabelan simpul akhir mendapat label 3 dan tidak dapat lagi ditemukan simpul dengan kapasitas residual positif.

Langkah 5

Simpul akhir G sudah mendapat label. Proses pelabelan Ford Fulkerson pada iterasi pertama selesai, flow augmenting pada iterasi pertama ini adalah P1= {s,a,b,t}. Maka didapat tabel baru yaitu:

s0 8 2 9 0

a1 6

b2 6

c 4 4

6 d 3

5 e 2

f 8

17 t3

(65)

Selanjutnya akan dihitung arus yang mengalir pada jalur tersebut dengan cara: Penghitungan nilai arus padaflow augmenting path

Langkah 1

Jalur yang menghubungkan simpul awal dan simpul akhir, yaitu P1 = {s,a,b,t}. Tandai sel-sel yang berisi nilai arus pada flow augmenting path tersebut dengan tanda negatif, yakni pada sel (1,2), sel (2,3), sel (3,8) dan sel (8,1).

Langkah 2

Berikan tanda positif pada sel-sel yang simetris denganCij, yakni sel (2,1), sel (3,2), sel (8,3) dan sel (1,8).

Langkah 1 dan 2 dapat dilihat seperti pada tabel berikut:

s0 8- 2 9 0+

+ a1 6

-+ b2 6

-c 4 4

6 d 3

5 e 2

f 8

17- + t3

(66)

Langkah 3

Nilai minimum dariflow augmenting pathadalah

min {Csa,Cab,Cbt,Cts} =Cab= Cbt = 6 Langkah 4

Tentukan nilai arus yang baru (i) Untuk sel-sel bertanda negatif

Csa*=Csa– 6 = 8 – 6 = 2 Cab*=Cab– 6 = 6 – 6 = 0 Cbt*=Cbt – 6 = 6 – 6 = 0 Cts*=Cts– 6 = 17 – 6 = 11 (ii) Untuk sel-sel bertanda positif

Cas*=Cas+ 6 = 0 + 6 = 6 Cba*=Cba+ 6 = 0 + 6 = 6 Ctb*=Ctb + 6 = 0 + 6 = 6 Cst*=Cst+ 6 = 0 + 6 = 6 Langkah 5

(67)

Iterasi 2

Proses pelabelanFord Fulkerson

Dengan cara yang sama dengan langkah-langkah pelabelan Ford Fulkerson pada iterasi pertama diperoleh flow augmenting path pada iterasi kedua ini yaitu P2={s,e,d,t} maka didapatkan tabel baru yaitu :

Tabel 3.1.4 PelabelanFord Fulkersonpada Iterasi 2

Langkah 1

Jalur yang menghubungkan simpul awal dan simpul akhir, yaitu P2 = { s,e,d,t }. Tandai sel-sel yang berisi nilai arus pada flow augmenting path

tersebut dengan tanda negatif, yakni pada sel (1,6), sel (6,5), sel (5,8) dan sel (8,1).

s0 2 2 9 6

2 a

6 b

c 4 4

6 d2 3

5 e1 2

f 8

11 6 t3

(68)

Langkah 2

Tabel 3.1.5 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 2

Langkah 3

Nilai minimum dariflow augmenting pathadalah min {Cse,Ced,Cdt,Cts} = Cdt = 3

Langkah 4

Tentukan nilai arus yang baru (i) sel-sel bertanda negatif

Cse*=Cse– 3 = 9 – 3 = 6

Ced*=Ced– 3 = 5 – 3 = 2

s0 2 2 9- 6+

2 a

6 b

c 4 4

6 d2 + 3

-+ 5- e1 2

f 8

11- 6 + t3

(69)

Cdt*=Cdt – 3 = 3 – 3 = 0

Cts*=Cts– 3 = 11 – 3 = 9

(ii) Untuk sel-sel bertanda positif Ces*=Ces+ 3 = 0 + 3 = 3

Cde*=Cde+ 3 = 0 + 3 = 3

Ctd*=Ctd + 3 = 0 + 3 = 3

Cst*=Cst+ 3 = 6 + 3 = 9

Langkah 5

Proses penghitungan kembali nilai arus dari flow augmenting pathselesai, maka didapatkan tabel baru. Lanjutkan kembali dengan proses pelabelan Ford Fulkerson.

Iterasi 3

(70)

Langkah 1

Jalur yang menghubungkan simpul awal dan simpul akhir, yaitu P3 = { s,e,f,t}. Tandai sel-sel yang berisi nilai arus pada flow augmenting path

Langkah 2

s0 ₂ ₂ ₆ ₉

2 a

6 b

c 4 4

6 d 3

3 2 e1 2

f2 8

9 6 3 t3

(71)

Tabel 3.1.7 Penelusuran jalur dan pemberian tanda pada Iterasi 3

Langkah 3

Nilai minimum dariflow augmenting pathadalah min {Cse,Cef,Cft,Cts} =C13=Cef= 2

Langkah 4

Cse*=Cse– 2 = 6 – 2 = 4

Cef *

=Cef– 2 = 2 – 2 = 0

Cft*=Cft– 2 = 8 – 2 = 6

Cts*=Cts– 2 = 9 – 2 = 7

(ii) Untuk sel-sel bertanda positif Ces*=Ces+ 2 = 3 + 2 = 5

s0 2 2 6- 9+

2 a

6 b

c 4 4

6 d 3

3+ 2 e1 2

-+ f2 8

9- 6 3 + t3

(72)

Cfe*=Cfe+ 2 = 0 + 2 = 2

Ctf*=Ctf+ 2 = 0 + 2 = 2

Cst*=Cst+ 2 = 9 + 2 = 11

Langkah 5

Proses penghitungan kembali nilai arus dari flow augmenting pathselesai, maka didapatkan tabel baru. Lanjutkan kembali dengan proses pelabelan Ford Fulkerson.

Iterasi 4

Dengan cara yang sama dengan langkah-langkah pelabelan Ford Fulkerson pada iterasi pertama diperoleh flow augmenting path pada iterasi keempat ini yaituP4={s,c,f,t} maka didapatkan tabel baru yaitu :

s0 ₂ ₂ ₄ ₁₁

2 a

6 b

c1 ₄ ₄

6 d 3

5 2 e

2 f2 6

7 6 3 t3

(73)

Langkah 1

Jalur yang menghubungkan simpul awal dan simpul akhir, yaitu P4 = {s,c,f,t}. Tandai sel-sel yang berisi nilai arus pada flow augmenting path

Langkah 2

s0 2 2- 4 11+

2 a

6 b

+ c1 4 4

-6 d 3

5 2 e

+ 2 f2 6

-7- 6 3 + t3

(74)

Langkah 3

Nilai minimum dariflow augmenting pathadalah min {Csc,Ccf,Cft,Cts} =Csc= 2

Langkah 4

Csc*=Csc– 2 = 2 – 2 = 0

Ccf*=Ccf – 2 = 4 – 2 = 2

Cft*=Cft– 2 = 6 – 2 = 4

Cts*=Cts– 2 = 7 – 2 = 5

(ii) Untuk sel-sel bertanda positif Ccs*=Ccs+ 2 = 0 + 2 = 2

Cfc*=Cfc + 2 = 0 + 2 = 2

Ctf*=Ctf+ 2 = 0 + 2 = 2

Cst*=Cst+ 2 = 11 + 2 = 13

Langkah 5

(75)

s 2 4 13

2 a

6 b

2 c 4 2

6 d 3

5 2 e

2 2 f 4

5 6 3 2 t

Iterasi 5

Tabel 3.1.10 Tabel iterasi 5

Pada iterasi ke 5 sudah tidak dapat ditemukanflow-augmenting pathyang menghubungkan simpul s sebagai simpul awal ke simpult sebagai simpul akhir. Pada sudut kanan atas nilai variabel yang akan dimaksimumkan terdapat nilai sebesar 13, maka dengan menggunakan metodeFord-Fulkersondidapat nilai arus maksimum adalah 13.

Selain menggunakan metode pelabelan Ford Fulkerson masih ada cara lain yang sering digunakan untuk mencari penyelesaian masalah arus maksimum pada jaringan yaitu metodemax flow-min cut.

(76)

B. metodemax flow-min cut

Definisi 3.2.1

Pada suatu jaringan G:(N,A), potongan (s,t)merupakan partisi dari simpul-simpul pada jaringan, yang membagi jaringan tersebut menjadi dua himpunan bagian tak kosong yang saling asing yaitu himpunanSdanT. Pada kedua himpunan tersebut berlaku bahwa simpul awal berada di himpunan S dan simpul akhir berada di himpunanT.

Definisi 3.2.2

Kapasitas dari potongan (s,t) ditulis sebagai cap(S,T) merupakan jumlahan kapasitas semua busur-busur pada potongan (s,t) dan ditulis sebagai.

cap(S,T) =



 S j T i