FOURIER TRANSFORMS AND THEIR PROPERTIES

(1)

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER DI (ℝ) DAN (ℝ)

FOURIER TRANSFORMS AND THEIR PROPERTIES IN (ℝ) AND (ℝ)

Rusdin, Mawardi Bahri, Loeky Haryanto

Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

Alamat Korespondensi:

Rusdin, S.Si

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin

Makassar,

HP: 081355588940

Email: [email protected]

(2)

ABSTRAK

Uraian utama tesis ini adalah definisi transformasi Fourier dan sifat-sifat transformasi Fourier di (ℝ). Sifat-sifat yang dibahas seperti sifat utama yang sangat penting dalam pembahasan transformasi Fourier yaitu sifat penjumlahan, sifat linear, pergeseran, modulasi, skala, konjugat, kontinuitas, dan sifat terbatas. Selanjutnya dibahas konvolusi untuk transformasi Fourier, invers transformasi Fourier dan turunan pada transformasi Fourier. Selanjutnya transformasi Fourier diperluas di (ℝ). sifat-sifat transformasi Fourier di (ℝ) dibahas lebih lanjut seperti linearitas, modulasi dan konvolusi.

Kata kunci : Transformasi Fourier, Konvolusi, invers , modulasi, turunan.

ABSTRACT

The main description of this thesis is the definition of the Fourier transform and their properties in (ℝ). The basic properties such as addition, linearity, translation, modulation, scaling,conjugation, continuously and boundary properties are presented. Next, the fundamental properties for Fourier transform such as convolution, inverse for Fourier transform and it derivative are also established. Finally, the Fourier transform in (ℝ) are extended to (ℝ).

Properties of the Fourier transform are generalized in (ℝ) such as linearity, modulation and convolution.

Keywords: Fourier transform, convolution, inverse, modulation, derivative.

(3)

PENDAHULUAN

Trasformasi matematis digunakan terhadap suatu sinyal untuk mengetahui informasi lain yang terkandung dalam sinyal tersebut yang tidak dapat terbaca pada sinyal aslinya. Ada banyak metode yang digunakan untuk melakukan transformasi. Salah satu transformasi yang paling banyak digunakan adalah transformasi Fourier, yaitu pemetaan fungsi-fungsi yang bernilai riil atau kompleks ke fungsi-fungsi yang bernilai kompleks. Transformasi ini telah umum digunakan untuk merubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi.

Transformasi Fourier (TF) dikenal sebagai alat yang handal untuk menganalisis sinyal termasuk untuk pengolahan gambar. Performasi frekuensi suatu sinyal fungsi dapat dipelajari karena TF melakukan transformasi dari domain atau kawasan waktu ke domain frekuensi. TF memerankan suatu bagian yang sangat penting dalam teori beberapa cabang ilmu sains dan teknologi.

Transformasi berarti mengubah sesuatu, transformasi Fourier merupakan alat matematik yang sangat penting untuk pengolahan sinyal, meliputi analisis sinyal, pengolahan sinyal, serta menguraikan sinyal (domain waktu) menjadi komponen- komponenen sinusoida (domain frekuensi). Penelitian sebelumnya dilakukan oleh Brandwood (2003) dan Debnath (2005) yang menguraikan beberapa sifat-sifat transformasi Fourier.

Secara sederhananya transformasi Fourier dipergunakan untuk mengubah dari kawasan waktu menjadi kawasan frekuensi. Pengubahan itu dimaksudkan untuk mempermudah analisis yang dilakukan. Dalam bidang pengolahan sinyal maka pengubahan tersebut dapat dilakukan terhadap sinyal maupun terhadap sistemnya. Transformasi Fourier sinyal akan menghasilkan spektrum sinyal.

Sedangkan transformasi Fourier terhadap sistem akan menghasilkan tanggapan frekuensi sistem.

Dalam tulisan ini diperkenalkan Transformasi Fourier (TF) secara detail.

Akan diselidiki dan dibuktikan sifat-sifat fundamentalnya di (ℝ). Selanjutnya akan diselidiki sifat-sifat transformasi Fourier di (ℝ). Penelitian ini bertujuan merumuskan definisi transformasi fourier di (ℝ) dan sifat-sifatnya

(4)

membuktikan sifat-sifat transformasi Fourier di (ℝ), memperluas definisi transformasi Fourier di (ℝ) ke (ℝ) beserta sifat-sifatnya.

Penelitian ini dilakukan dengan metode kajian pustaka yang akan menghasilkan pembuktian sifat-sifat transformasi Fourier secara detail.

BAHAN DAN METODE

Penelitian yang dilakukan adalah penelitian kepustakaan dengan mengumpulkan dan mempelajari beberapa referensi berupa jurnal, makalah ilmiah, buku elektronik dan halaman web di internet tentang Transformasi Fourier, buku yang berkaitan dan hal-hal yang terkait dengannya. Penelitian dilakukan di kampus Universitas Hasanuddin.

HASIL

Tabel 1 memuat sifat-sifat transformasi Fourier di (ℝ). Sifat-sifat ini kemudian diselidiki dan dibuktikan. Mulai dari sifat penjumlahan, linearitas, translasi, modulasi, turunan, konvolusi, skala dan invers. Kemudian akan disajikan sifat-sifat transformasi Fourier di (ℝ).

PEMBAHASAN

Penelitian ini membahas sifat-sifat transformasi Fourier (ℝ) dan kemudian membuktikan sifat-sifat tersebut dengan detail. Selanjutnya diperluas ke sifat-sifat transformasi Fourier di (ℝ) .

Transformasi Fourier di (ℝ)

Sebuah fungsi : ℝ → ℝ, ∈ (ℝ) jika ∫ | |_ℝ < ∞, yaitu jika terintegral lebesgue. Jadi (ℝ) = ∫ | |_ℝ < ∞ . Misalkan adalah sebuah fungsi yang terintegral secaraLebesgue pada ℝ. Karena kontinu dan terbatas, perkalian

( ) terintegral secara lokal untuk setiap ℝ. Jelas bahwa = 1 untuk setiap dan pada ℝ. Dengan memberikan integral

(5)

∫^∞_∞ ( ) , ∈ ℝ . (1) Ini memberikan

∫^∞_∞ ( ) ≤ ∫ | ( )|^∞_∞ = ‖ ‖ < ∞. (2)

Ini berarti bahwa (1) ada (eksis) untuk setiap ∈ ℝ. Definisi berikut berdasarkan Brandwood (2003) dan Debnath (2005)

Definisi 1. (Transformasi Fourier dalam (ℝ))

Misalkan ∈ (ℝ). Transformasi Fourier ( ) dilambangkan dengan ( ) dan didefinisikan oleh

( ) = ℱ{ ( )}( ) = ∫^∞_∞ ( ) . (3) Secara fisis, persamaan (3) menunjukkan pergerakan osilasi pada frekuensi

, dan ( ) disebut spektrum frekuensi sinyal atau waveform ( ).

Berdasarkan hal tersebut ( ) dianggap sebagai sinyal dalam domain waktu dan ( ) sebagai sinyal dalam domain frekuensi. Bentuk transformasi yang umum digunakan untuk merubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi adalah dengan transformasi Fourier. Transformasi Fourier suatu sinyal atau fungsi ( ) didefinisikan oleh (3). Sinyal ( ) dapat direkonstruksi dengan rumus balikan Fourier

( )= ∫^∞ ( )

∞ . (4) Sifat-sifat dasar Transformasi Fourier

Beberapa sifat transformasi Fourier dikumpulkan dalam teorema berikut yang selanjutnya disajikan dalam tabel.

Teorema 1. (Sifat Penjumlahan). Jika ( ) dan ( )∈ (ℝ), maka berlaku ℱ{ ( )( ) + ( )}( ) = ℱ{ ( )}( ) + ℱ{ ( )}( ). (5)

(6)

Bukti. Dari persamaan (3) diperoleh

ℱ{ ( ) + ( )}( ) = ∫ [ ( ) + ( )]^∞_∞ .

= ∫^∞ ( )

∞ + ∫^∞ ( )

∞

= ( ) + ( )

= ℱ{ ( )}( ) + ℱ{ ( )}( ).

Teorema 2. (Sifat linear). Jika ( ) dan ( )∈ (ℝ) dan α, β adalah dua konstanta kompleks, maka

ℱ{ ( )( ) + ( )}( ) = ℱ{ ( )}( ) + ℱ{ ( )}( ). (6) Bukti : Dari definisi transformasi Fourier diperoleh

ℱ{ ( )( ) + ( )}( ) = ( ( ) + ( ))

∞

= ∫^∞_∞ ( ) + ∫^∞_∞ ( )

= ∫^∞_∞ ( ) + ∫^∞_∞ ( )

= ( ) + ( ) = ℱ{ ( )} + ℱ{ ( )}.

Teorema 3. (Sifat pergeseran atau translasi)

Misalkan ( ) adalah fungsi yang digeser oleh ℝ , yaitu ( )= ( − ),

maka diperoleh

( )= ( ) . (7) teorema 4. (Sifat modulasi)

(7)

Diberikan fungsi ∈ (ℝ) dan ω ∈ ℝ , misal ℎ( ) = ( ) maka

ℱ{ℎ}( ) = ℱ{ }( − ). (8) Bukti: Diketahui ℎ( ) = ( ),maka berdasarkan definisi Transformasi Fourier diperoleh

ℱ{ℎ}( ) = ∫ ℎ( )

= ∫ ( )

= ∫ ( )

= ∫ ( ) ⁽ ⁾ .

Berdasarkan definisi Transformasi Fourier, diperoleh

= ℱ{ }( − ).

Teorema 5. (Sifat scaling)

Diberikan fungsi f, a ∈ ℝ, a ≠ 0, dan misal ∅( ) = ( ) maka ℱ{∅}( ) =

| |ℱ{ } . (9)

Teorema 6 (konjugasi)

Misalkan ∈ ^′( ) dan untuk setiap maka

ℱ ̅ ( ) = ℱ{ }(− ) (11) ℱ f̅ (ω) = ℱ{f}(−ω. )

Invers Transformasi Fourier

Jika transformasi Fourier dimaksudkan untuk mengubah fungsi berdomain waktu menjadi fungsi berdomain frekuensi, maka sebaliknya invers dari Transformasi Fourier akan mengubah fungsi berdomain frekuensi menjadi fungsi berdomain waktu. Berikut ini akan didefinisikan bentuk dari invers Transformasi Fourier disertai dengan bunyi sebuah teorema yang berkaitan dengannya. Namun

(8)

khusus teorema ini tidak akan dibuktikan melainkan hanya dituliskan saja bunyi teorema tersebut.

Definisi 2 Invers

Untuk suatu fungsi dimana ∫ | ( )|^∞_∞ < ∞, maka invers Transformasi Fourier dari untuk setiap ∈ didefinisikan oleh

ℱ ¹{ }( ) = ¹

2 ∫^∞ _∞ ( ) . (12) Teorema 6

Jika ∈ ¹( ) dan ∫ | ( )|^∞_∞ < ∞ maka

ℱ ¹ℱ{ }( ) = ( ). (13) Definisi 3 (Invers Transformasi Fourier ) Misalkan fungsi g ∈ ^′(ℝ), maka invers dari TF g didefinisikan untuk setiap bilangan real x , sebagai

ℱ ^ı [ℱ{ }]( ) = ¹

2 ∫^∞ ( )

∞ .

Konvolusi

Salah satu operasi matematis penting yang perlu dipahami dalam mempelajari pengolahan citra digital adalah operasi konvolusi. Ini dikarenakan konvolusi merupakan operasi yang mendasar dalam pengolahan citra. Tanda ∗ menyatakan operator konvolusi, dan peubah (variabel) adalah peubah bantu (dummy variabel) (lebih jelasnya lihat pada definisi konvolusi).

Definisi 4

Diberikan dua fungsi dan (terdefinisi dan terintegralkan pada ), maka konvolusi dari dan dinyatakan oleh f ∗ g dan didefinisikan sebagai

( ∗ )( ) = ∫ ( ) ( − ) , ∈ (14) Sifat-Sifat Konvolusi

Setelah didefinisikan, operasi konvolusi ternyata memiliki beberapa sifat- sifat. Diantaranya adalah bersifat komutatif, linearity, shifting dan konvolusi dengan dirac . Pembahasan selanjutnya akan dijelaskan mengenai pembuktian dari sifat-sifat tersebut.

(9)

Teorema 7 Komutatif Untuk fungsi dan berlaku

( ∗ )( ) = ( ∗ )( ). (15) Bukti :

Untuk setiap ∈ dan dari definisi konvolusi pada Persamaan (10) diketahui ( ∗ )( ) = ∫ ( ) ( − ) .

Misal = − maka = − dan = − .

Karena nilai fixed, sehingga saat = −∞ maka = ∞ dan saat = ∞ maka

= −∞ sehingga diperoleh

( ∗ )( ) = ( − ) ( )(− )

= ( ) ( − )

dan menurut definisi konvolusi diperoleh

= ( ∗ )( ).

Teorema 8 Linearitas

(a) Untuk fungsi f, g1 dan g2, serta untuk skalar α, β ∈ R berlaku

f ∗ (αg + βg ) = α(f ∗ g ) + β(f ∗ g ); (16) (b) Untuk fungsi f, g1 dan g2, serta untuk skalar α, β ∈ R berlaku

(αg + βg ) ∗ f = α(g ∗ f) + β(g ∗ f). (17) Teorema 9 Shifting

Untuk suatu fungsi , dan ∈ R, serta misal f adalah fungsi yang ditranslasikan yang didefinisikan oleh

f (x) = f(x − a) maka untuk fungsi yang sesuai berlaku

(a) ( ∗ )( ) = ( ∗ ) ( ) (18) (b) ( ∗ )( ) = ( ∗ ) ( ). (19)

(10)

Transformasi Fourier di (ℝ)

Pada bagian ini akan diperkenalkan perluasan Transformasi Fourier di

 

L2 beserta sifat-sifatnya. Sebagaimana telah dijelaskan di awal bahwa Suatu fungsi ∶ ℝ → ℝ dikatakan dapat diintegralkan pada ℝ jika

∫ | ( )| < ∞. Fungsi yang seperti itu dinamakan sebagai (ℝ) atau dapat ditulis (ℝ) = ∫ | |_ℝ < ∞ , maka dengan cara yang sama, suatu fungsi ∶ ℝ → ℝ dikatakan dapat diintegralkan kuadrat pada ℝ jika

∫ | ( )| < ∞. Fungsi yang seperti itu dinamakan sebagai (ℝ), dengan adalah fungsi yang terintegral Lebesgue pada ℝ, maka (ℝ) =

∫ | ( )|_ℝ < ∞ , yang selanjutnya akan disebut fungsi yang terintegral kuadrat (square integrable functions). Terdapat banyak fungsi dalam fisika dan engineering, termasuk amplitudo gelombang dalam mekanika klasik dan quantum adalah terintegral kuadrat.

Ruang (ℝ), yang dilengkapi hasil kali dalam 〈 , 〉 = ∫ ( ) ( ) merupakan ruang Hilbert. Karena (ℝ) bukan himpunan bagian dari (ℝ), maka definisi transformasi Fourier tidak otomatis berlaku di (ℝ). Namun demikian, dengan menggunakan fakta bahwa (ℝ) ∩ (ℝ) padat di (ℝ), transformasi Fourier dari fungsi (ℝ) dapat didefinisikan sebagai limit dari suatu barisan (dalam norm di (ℝ)), dengan (ℝ) ∩ (ℝ) dan

→ ( → ∞) dalam norm di (ℝ).

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh rumusan dan definisi serta sifat-sifat transformasi Fourier di (ℝ) dan (ℝ)seperti ditunjukkan di tabel 1.

DAFTAR PUSTAKA

Asmar, Nakhle. 2000. Partial differential equations with Fourier series. second ed.

. Pearson Prentice Hall: New Jersey.

Brandwood, David. 2003. Fourier Transform in Radar and Signal Processing.

…….Arthec House. Boston.

(11)

B. Mawardi, E.Hitzer. 2010. Windowed Fourier Transform of two Dimensional

…….Quaternionic Signals. Journal of Applied Mathematics and Computation,

……..Vol.216, pp.2366-2379.

Debnath, Lokenath. 2002. Wavelet Transforms and their Applications.

……..Birkhauser. Boston.

Debnath, Lokenath dan Mikusisnski, Piotr. 2005. Hilbert Spaces with

…….Applications. Elsevier. USA.

Folland, Gerald B. 1999. Real Analysis: Modern Techniques and Their

…….Applications. John Willey & Sons. New York.

Folland, Gerald B. dan Sitaram, Alladi. 1997. The Uncertainty Principle : A

…….Mathematical Survey. The Journal of Fourier Analysis and Applications,

…….Volume 3, pp. 207-238.

Folland, Gerald B. 1992. Fourier Analysis and Its Applications. The Wadsworth

…….& Brooks. USA.

Sonka, M., Hlavac. 2008. Image Processing, Analysis, and Machine Vision.

………Thomson Learning. United State of America.

Lampiran

Tabel 1. Sifat-sifat transformasi Fourier

Sifat ( ) ( )

Penjumlahan ( ) + ( ) ( ) + ( )

Sifat linier ( ) + ( ) ( ) + ( )

Dualitas ( ) (− )

Konvolusi ( ∗ )( ) ( ) ( )

Perkalian ( ) ( ) ( ∗ )( )

translasi ( − ) ( )

modulasi

( ) ( − )

Turunan ( )

( ) Skala

( ) 1

| | konjugasi

(− ) ( )

(12)