Nama : Viyanti Yuni Ananda NIM : 22172031P
TUGAS 1 SISTEM LINIER
1. Jelaskan apa itu transformasi Fourier dan bagaimana Anda dapat menggunakannya untuk menganalisis sinyal dan sistem di bidang Teknik Elektro.
JAWABAN :
Transformasi Fourier adalah metode matematika yang memungkinkan kita untuk mengubah suatu sinyal dari domain waktu menjadi domain frekuensi. Dengan menggunakan Transformasi Fourier, kita dapat menganalisis sinyal dan sistem dengan lebih efisien.
Berikut beberapa poin penting terkait Transformasi Fourier:
1. Pengertian Transformasi Fourier:
o Transformasi Fourier ditemukan oleh ilmuwan bernama Joseph Fourier.
o Metode ini bekerja dengan mendekomposisi sebuah sinyal menjadi beberapa gelombang harmonik sinusoidal.
o Gelombang harmonik ini dianggap sebagai Deret Fourier.
2. Tujuan Transformasi Fourier:
o Transformasi Fourier digunakan untuk menganalisis spektral suatu sinyal.
o Tujuannya adalah agar sinyal dari domain waktu dapat diubah menjadi sinyal dalam domain frekuensi.
o Dalam domain frekuensi, perhitungan seringkali lebih mudah daripada dalam domain waktu.
3. Fast Fourier Transform (FFT):
o Salah satu bentuk Transformasi Fourier adalah Fast Fourier Transform (FFT).
o FFT digunakan dalam berbagai bidang pengolahan sinyal digital.
o Contohnya, pada pengolahan Horizontal Vertical Spectral Ratio (HVSR), FFT dapat merubah data lapangan dari domain waktu menjadi domain frekuensi. Hal ini memungkinkan perbandingan spektrum horizontal dan vertikal untuk menghasilkan informasi tentang amplifikasi dan frekuensi natural.
Transformasi Fourier sangat relevan dalam Teknik Elektro, terutama dalam analisis sinyal, pengolahan citra, dan sistem. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menggali lebih dalam tentang karakteristik sinyal dan sistem yang kita hadapi.
2. Bagaimana metode transformasi Laplace digunakan dalam perhitungan matematis dan simulasi model matematik persamaan diferensial pada sistem linier?
JAWABAN :
Metode transformasi Laplace adalah alat yang berguna dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Mari kita jelajahi bagaimana metode ini digunakan dalam perhitungan matematis dan simulasi model matematik pada sistem linier:
1. Transformasi Laplace: Transformasi Laplace adalah proses mengubah persamaan diferensial yang berada dalam domain waktu menjadi bentuk yang lebih mudah dianalisis dalam domain frekuensi. Langkah-langkah dasar dalam menggunakan metode transformasi Laplace adalah sebagai berikut:
o Persamaan diferensial yang berhubungan dengan waktu (t) diubah menjadi bentuk dalam domain frekuensi (s) menggunakan transformasi Laplace.
o Tabel transformasi Laplace dapat digunakan untuk mempermudah proses transformasi.
2. Penerapan pada Persamaan Diferensial Linear: Metode transformasi Laplace sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear. Beberapa langkah yang umum digunakan adalah:
o Mengubah persamaan diferensial linear menjadi bentuk dalam domain frekuensi menggunakan transformasi Laplace.
o Menemukan solusi dalam bentuk fungsi (s).
o Menggunakan invers transformasi Laplace untuk mengembalikan solusi ke domain waktu.
3. Contoh Pemodelan Matematika: Transformasi Laplace juga digunakan dalam pemodelan matematika. Misalnya, ketika memodelkan sistem bejana, kita dapat menerapkan transformasi Laplace pada persamaan diferensial yang menggambarkan aliran cairan dalam bejana.
4. Kelebihan: Metode transformasi Laplace memungkinkan kita untuk mengatasi masalah persamaan diferensial dengan koefisien konstan secara lebih efisien. Selain itu, transformasi ini memudahkan analisis sistem linier.
Ingatlah bahwa transformasi Laplace adalah alat yang kuat dalam matematika dan teknik, dan digunakan secara luas dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan rekayasa.
3. Apa definisi dan sifat-sifat dari transformasi Z? Bagaimana kita dapat menerapkannya pada fungsi diskrit dan menganalisis respon sistem?
JAWABAN :
Transformasi Z adalah alat matematika yang digunakan dalam analisis sistem diskrit. Mari kita bahas definisi dan sifat-sifatnya:
1. Definisi Transformasi Z:
o Transformasi Z mengonversi sinyal diskrit dari domain waktu ke domain frekuensi.
o Diberikan sinyal diskrit (x[n]), transformasi Z didefinisikan sebagai: [ X(z) =
\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} ]
o Di sini, (X(z)) adalah transformasi Z dari (x[n]), dan (z) adalah variabel kompleks.
2. Sifat-Sifat Transformasi Z:
o Linearitas: Transformasi Z adalah linear, artinya jika (a) dan (b) adalah konstanta, maka: [ aX_1(z) + bX_2(z) = X(a x_1[n] + b x_2[n]) ]
o Sifat Pergeseran: Jika (x[n]) memiliki transformasi Z (X(z)), maka (x[n-k]) memiliki transformasi Z (z^kX(z)).
o Sifat Deret: Jika (x[n]) adalah deret tak hingga, maka transformasi Z hanya berlaku untuk nilai-nilai (z) yang konvergen (Region of Convergence, ROC).
o Sifat Konvolusi: Konvolusi dalam domain waktu menjadi perkalian dalam domain Z: [ y[n] = x[n] * h[n] \quad \Rightarrow \quad Y(z) = X(z)H(z) ] 3. Penerapan pada Fungsi Diskrit dan Analisis Respon Sistem:
o Respon Sistem: Misalkan kita memiliki sistem diskrit dengan fungsi transfer (H(z)). Respon sistem terhadap masukan (x[n]) dapat dianalisis dengan mengalikan transformasi Z dari (x[n]) dengan fungsi transfer (H(z)): [ Y(z) = X(z)H(z) ]
o Setelah mendapatkan (Y(z)), kita dapat menghitung respon sistem dalam domain waktu dengan mengambil transformasi balik (inverse transformasi Z).
4. Jelaskan konsep konvolusi dan bagaimana ia berhubungan dengan sistem linier.
JAWABAN :
Konsep konvolusi adalah metode matematika yang digunakan untuk menggabungkan dua fungsi menjadi satu. Dalam konteks sistem linier, konvolusi memainkan peran penting dalam menentukan respon sistem terhadap berbagai masukan.
Berikut adalah penjelasan lebih lanjut:
1. Sistem Linier:
o Sistem linier memiliki tiga sifat utama:
▪ Additif: Respon sistem terhadap penjumlahan dua masukan adalah penjumlahan dari respon masing-masing masukan secara terpisah.
▪ Homogen: Jika kita mengalikan masukan dengan konstanta, respon sistem juga akan dikalikan dengan konstanta yang sama.
▪ Time Invariant: Respon sistem tidak berubah seiring berjalannya waktu.
o Sistem linier dapat direpresentasikan dengan menggunakan respon impuls (atau fungsi delta Dirac).
2. Metode Konvolusi:
o Jika kita mengetahui respon sistem linier terhadap satu satuan impuls, kita dapat menentukan respon sistem untuk semua jenis masukan lain.
o Metode konvolusi melibatkan menjumlahkan respon impuls dari representasi setiap sinyal impuls masukan.
o Secara matematis, konvolusi antara dua fungsi (f(t)) dan (g(t)) dinyatakan sebagai: [ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau ] di mana (\tau) adalah variabel dummy integrasi.
3. Penerapan pada Sistem Linier:
o Dalam konteks sistem linier, konvolusi digunakan untuk menghitung respon sistem terhadap masukan apa pun.
o Misalnya, jika kita memiliki masukan (x(t)) dan respon impuls sistem (h(t)), maka respon sistem (y(t)) dapat ditemukan dengan konvolusi: [ y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau) d\tau ]
Jadi, konsep konvolusi membantu kita memahami bagaimana sistem linier merespons berbagai masukan dengan menggunakan respon impuls sebagai dasar perhitungannya.
5. Apa itu sampling dan bagaimana kita dapat merekonstruksi sinyal dari sampel-sampel tersebut?
JAWABAN :
Pencuplikan adalah proses mengambil sampel-sampel dari sinyal waktu kontinu untuk menghasilkan sinyal waktu diskrit. Mari kita bahas lebih lanjut:
1. Sampling (Pencuplikan):
o Sampling periodik: Deretan sinyal (x[n]) diperoleh dengan melakukan pencuplikan secara periodik terhadap sinyal kontinyu (x(t)). Pencuplikan ini dilakukan dengan interval (T), yang disebut periode sampling, dan frekuensi sampling (f = 1/T).
o Representasi domain frekuensi proses sampling: Proses sampling dapat direpresentasikan dalam dua tahap:
▪ Modulasi oleh impulse train modulator: Sinyal (s(t)) diperoleh dengan mengalikan sinyal kontinyu (x(t)) dengan impulse train modulator.
▪ Konversi impulse train ke deretan (sinyal waktu diskrit): Sinyal (x[n]) diperoleh dari impulse train (s(t)) dengan menggunakan proses
normalisasi.
2. Rekonstruksi:
o Setelah proses sampling, kita ingin merekonstruksi sinyal kontinyu dari sampel-sampel yang telah diambil.
o Rekonstruksi dilakukan dengan menggunakan interpolasi. Beberapa metode interpolasi yang umum digunakan antara lain:
▪ Zero-order hold (ZOH): Menggunakan nilai sampel terakhir untuk mengisi seluruh interval antara dua sampel.
▪ First-order hold (FOH): Menggunakan garis lurus antara dua sampel untuk mengisi interval.
▪ Cubic spline: Menggunakan fungsi polinomial kubik untuk menginterpolasi sampel-sampel.
Dengan demikian, proses sampling dan rekonstruksi memungkinkan kita untuk
merepresentasikan sinyal kontinyu dalam bentuk sinyal waktu diskrit dan sebaliknya. Namun, perlu diperhatikan bahwa rekonstruksi tidak selalu sempurna dan tergantung pada metode interpolasi yang digunakan.
