BAB III METODE PENELITIAN

(1)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

19

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka dari buku referensi dan karya ilmiah. Karya ilmiah yang digunakan adalah hasil penelitian serta jurnal yang berkaitan dengan stochastic frontier dan metode Bayesian. Adapun langkah-langkah penelitian, yaitu

1. Menganalisis stochastic frontier

2. mengkaji ulang model stochastic frontier distribusi normal-gamma, yaitu

a) menunjukkan distribusi bersama dari distribusi normal dan distribusi gamma serta menentukan mean dan variansi dari masing- masing distribusi,

b) menentukan distribusi bersama dari kombinasi linear , c) menunjukkan distribusi marginal dari fungsi distribusi eror, , dan

menentukan mean dan variansinya,

d) menentukan harga harapan dari fungsi densitas probabilitas Z bersyarat .

3. Mengestimasi parameter model stochastic frontier distribusi normal- gamma dengan metode Bayesian, yaitu

a) menentukan fungsi likelihood, b) menentukan distribusi prior,

c) menentukan distribusi posterior dan memaksimumkan distribusi posterior yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan turunan parsial pertamanya terhadap parameter yang disamakan dengan nol.

d) menentukan nilai estimasi parameter untuk .

(2)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Bab ini dibahas kajian ulang model stochastic frontier distribusi normal- gamma dan estimasi parameternya dengan metode Bayesian yang mengacu pada Steel dan Koop [13].

4.1 Stochastic Frontier

Stochastic frontier merupakan pendekatan parametrik dengan model stochastic frontier memiliki dua error term yang tidak saling berkorelasi. Analisis ini dikembangkan oleh Aigner et al. [1] berdasarkan persamaan (2.1) pada data panel

Jika dan , diperoleh

dengan merupakan fungsi terhadap dan merupakan kombinasi error. Data panel merupakan bentuk khusus dari pooled data atau penggabungan data antara data cross-section dan data time series, dengan

merupakan unit dari data cross-section dan merupakan data time series. Berdasarkan persamaan (2.1) ke persamaan (2.2) dengan

merupakan variabel output, merupakan variabel input dan merupakan error dengan dua komponen yang tidak saling berkorelasi.

Komponen pertama merupakan faktor error term yang bersifat random dan merepresentasikan statistic noise. Statistic noise merupakan gangguan simetris yang berasal dari sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan kedalam model, yang biasa dikenal dengan sesatan. Komponen kedua merupakan faktor error term yang merepresentasikan inefisiensi. Inefisiensi merupakan ketidakberaturan atau ketidakseimbangan antara input dan output, kemampuan menghasilkan ouput yang maksimal dan optimal dengan input yang ada merupakan ukuran yang diharapkan. Persamaan (2.1) dan (2.2) merupakan

(3)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id21

interpretasi data pengamatan yang diharapkan untuk menghasilkan ouput yang maksimal dan optimal dengan input yang ada, dengan dua komponen error tersebut diasumsikan berdistribusi normal dan gamma. Variabel random berdistribusi normal standar,

dan variabel random berdistribusi gamma,

Secara umum, variabel random dan berdistribusi secara identik dan independen.

4.2 Distribusi Normal-Gamma

Variabel random yang berdistribusi normal dengan parameter dan yang dinotasikan mempunyai fungsi densitas probabilitas

dengan . Jika maka dan serta

berdasarkan definisi 2.1.4 berlaku,

(4)

dan

dari persamaan (4.4), (4.5) dan definisi 2.1.5 berlaku,

Jadi, nilai mean dan variansi dari distribusi normal, adalah

(5)

dan

Persamaan (4.1) dikatakan variabel random yang berdistribusi normal, berdasarkan persamaan (4.3), (4.4), dan (4.6) mempunyai fungsi densitas probabilitas

dengan nilai mean dan variansinya adalah

dan

Variabel random berdistribusi gamma dengan parameter dan yang dinotasikan mempunyai fungsi densitas probabilitas

Berdasarkan definisi 2.1.8 diperoleh

dan

(6)

Berdasarkan persamaan (4.9), (4.10) dan definisi 2.1.9 diperoleh

Jadi, nilai mean dan variansi dari distribusi Gamma, adalah

dan

Selanjutnya, ditunjukan fungsi densitas probabilitas bersama dari variabel random dan . Berdasarkan persamaan (4.7), (4.8) dan definisi 2.1.10, diperoleh

Jika dan diambil sembarang dengan merupakan

konstanta bernilai dan , maka dapat dinyatakan sebagai

(7)

dan

Dengan melakukan transformasi,

dan

dengan jacobian dari transformasi tersebut diperoleh

berdasarkan persamaan (4.11) diperoleh fungsi densitas probabilitas untuk dan adalah

(8)

dengan , dan

Selanjutnya, ditunjukan fungsi densitas probabilitas marginal untuk . Berdasarkan definisi 2.1.11 dan persamaan (4.13) diperoleh fungsi densitas probabilitas marginal untuk ,

(9)

(10)

dengan merupakan fungsi kumulatif distribusi normal standar dan

merupakan mean dari nonnegatif

distribusi truncated normal pada variabel random , yang diperoleh berdasarkan mempunyai fungsi densitas probabilitas untuk ,

sedemikian hingga,

Berdasarkan dan

persamaan (4.14) diperoleh

(11)

(12)

dengan , dan berdasarkan persamaan (4.12) diperoleh nilai mean adalah

(13)

dan variansi adalah

Berdasarkan persamaan (4.15) dan definisi 2.1.15 diperoleh fungsi likelihood dari distribusi normal-gamma adalah

Selanjutnya, menentukan mean dari distribusi bersyarat . Berdasarkan (4.13), (4.14) dan definisi 2.1.14 diperoleh

(14)

dengan nilai mean adalah

Persamaan (4.19) merupakan nilai yang diharapkan dari data pengamatan. Dasar dari penelitian ini adalah mengkaji ulang model stochastic frontier dan mengestimasi parameter model stochastic frontier berdistribusi normal-gamma dengan metode Bayesian. Berikut ini uraian dari estimasi parameter model stochastic frontier distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian.

(15)

4.3 Estimasi Parameter

Estimasi parameter model stochastic frontier distribusi normal-gamma diperoleh dengan menggunakan metode Bayesian. Dalam metode Bayesian, estimasi parameter diperoleh dengan memaksimumkan distribusi posterior.

Berdasarkan teorema bayes, distribusi posterior berasal dari fungsi likelihood dan distribusi prior. Pada subbab ini, pertama ditentukan fungsi likelihood dari distribusi normal-gamma. Kedua, menentukan distribusi prior. Ketiga, menentukan distribusi posterior dan memaksimumkannya.

4.3.1 Fungsi Likelihood

Fungsi likelihood dari distribusi normal-gamma berdasarkan persamaan (4.18) dapat dinyatakan sebagai

dengan , , , dan

4.3.2 Distribusi Prior

Distribusi prior merupakan distribusi awal suatu variabel random sebelum dilakukan pengambilan sampel. Distribusi prior terbagi menjadi dua, yaitu distribusi prior conjugate dan distribusi prior noninformatif. Distribusi prior conjugate merupakan pemberian bentuk distribusi prior yang sekawan berdasarkan pola data, sedangkan distribusi prior noninformatif merupakan pemberian bentuk distribusi prior yang tidak sekawan dengan bentuk hasil identifikasi dari data. Pada estimasi parameter dengan metode Bayesian, distribusi posterior lebih mudah diperoleh menggunakan distribusi prior conjugate, yaitu himpunan distribusi yang setiap anggotanya dapat dikombinasikan dengan fungsi likelihoodnya tanpa menimbulkan kesulitan dalam perhitungan. Namun, dalam

(16)

pembahasan ini tidak dapat digunakan distribusi prior conjugate dikarenakan fungsi likelihood distribusi normal-gamma belum mempunyai distribusi prior yang conjugate. Menurut Steel and Koop [13], distribusi posterior diperoleh dari fungsi likelihood dan kombinasi distribusi prior noninformatif.

Distribusi prior untuk distribusi normal-gamma berdasarkan persamaan (4.20) dan merupakan distribusi prior normal-gamma untuk dengan dinotasikan sebagai . Menurut Steel dan Koop [13], masing-masing distribusi prior diasumsikan,

dengan merupakan fungsi indikator untuk economic regularity condition, yaitu

Sebagai alternatif, prior untuk yang proper dan sesuai, biasanya diasumsikan berdistribusi normal-truncated normal. Distribusi prior untuk adalah

dengan merupakan distribusi prior dari distribusi gamma noninformatif yang dinyatakan dalam persamaan

dengan melakukan tranformasi maka ,

(17)

diperoleh,

untuk dan maka

Persamaan (4.22) dapat dinyatakan sebagai distribusi prior invers gamma dengan parameter dan . Jika dan , maka distribusi prior invers gamma dinyatakan sebagai

Distribusi prior untuk adalah

dengan merupakan distribusi prior gamma noninformatif dengan parameter dan yang dinyatakan dalam persamaan

dengan . Berdasarkan persamaan (4.21), (4.23) dan (4.24) diperoleh distribusi prior untuk masing-masing parameter, maka dapat ditentukan distribusi posteriornya.

(18)

4.3.3 Distribusi Posterior

Distribusi posterior berdasarkan definisi 2.1.17 untuk kontinu adalah

atau

dengan

dan , dan . Berdasarkan persamaan (4.20), (4.21), (4.23) dan persamaan (4.24) dapat ditentukan distribusi posterior untuk masing-masing parameter. Berikut adalah uraian masing-masing distribusi posterior :

1. Distribusi posterior untuk adalah

dengan merupakan fungsi indikator. Berdasarkan kriteria teorema Bayes, persamaan (4.20) dan (4.21) diperoleh

dan

(19)

Karena distribusi posterior untuk adalah 1, tidak dapat dilakukan estimasi terhadap parameternya. Berdasarkan persamaan (2.1) diperoleh

dengan asumsi kenormalan pada model regresi linier diperoleh estimasi parameter untuk adalah

sehingga,

Berdasarkan kriteria teorema Bayes, persamaan (4.20) dan (4.23) diperoleh

Persamaan (4.27) tidak dapat diselesaikan secara analitis. Oleh karena itu, dilakukan penyelesaian dengan pendekatan lain, yaitu berdasarkan asumsi bahwa persamaan (4.1) diperoleh fungsi likelihood adalah

(20)

Persamaan (4.28) merupakan distribusi dari sampel normal. Berdasarkan kriteria teorema Bayes, persamaan (4.28) dan (4.23) diperoleh

dan integralnya adalah

misal,

(21)

diperoleh

(22)

sehingga,

Jadi, distribusi posterior untuk merupakan distribusi invers gamma dengan

parameter dan ,

berdasarkan persamaan (2.1) diperoleh

dan

Berdasarkan persamaan (4.2), diberikan sampel berdistribusi gamma dengan parameter dan maka

diperoleh fungsi likelihood

(23)

Berdasarkan persamaan (4.30) dan (4.24) diperoleh

dan integralnya adalah

diperoleh

(24)

sehingga,

sedemikian hingga, distribusi posterior untuk adalah distribusi invers gamma dengan parameter dan

dinyatakan sebagai

Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.25), (4.26) dan (4.29) diperoleh distribusi posterior untuk masing-masing parameter, maka dapat ditentukan estimasi parameter dengan memaksimumkan persamaan (4.25), (4.26) dan (4.29).

4.3.4 Maksimum Distribusi Posterior

Distribusi posterior diperoleh dari fungsi likelihood dan distribusi prior dari distribusi normal-gamma berdasarkan Teorema Bayes pada persamaan (2.3). Distribusi posterior untuk adalah

(25)

Selanjutnya, estimasi parameter distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian dilakukan dengan memaksimumkan distribusi posterior. Karena fungsi merupakan bentuk eksponensial, penentuan nilai maksimumnya diperoleh berdasarkan fungsi yang diubah ke dalam bentuk logaritma natural dengan fungsi diselesaikan berdasarkan turunan parsial pertama terhadap parameternya, kemudian mengambil ruas kanan yang disamakan dengan nol. Berikut uraian dari masing-masing distribusi posterior yang dimaksimumkan :

1. Nilai maksimum untuk adalah dan

. Berdasarkan asumsi dan persamaan (2.1) diperoleh

dengan adalah vektor, adalah matriks dan adalah vektor parameter yang tidak diketahui dengan . Persamaan (4.31) dapat dinyatakan dalam matriks

Estimasi parameter diperoleh dengan metode kuadrat terkecil, yaitu dengan meminimumkan bentuk kuadrat error. Jumlah kuadrat error diperoleh

(26)

Persamaan (4.32) diturunkan secara parsial terhadap dan disamakan dengan nol sehingga diperoleh

2. Turunan parsial pertama untuk ln adalah

dan menyamadengankan nol,

dan

Jadi, nilai maksimum distribusi posterior untuk adalah

(27)

dengan adalah fungsi digamma.

3. Turunan parsial pertama untuk ln adalah

dan menyamadengankan nol,

dan

Jadi, nilai maksimum distribusi posterior untuk adalah

(28)

dengan adalah fungsi digamma.

Berdasarkan turunan parsial pertama terhadap masing-masing parameter distribusi posterior, diperoleh nilai maksimum dari distribusi posterior dan diperoleh pula nilai estimasi parameternya. Dengan distribusi posterior yang merepresentasikan inefisiensi teknis diberikan

dengan merupakan distribusi bersyarat dan

merupakan distribusi posterior untuk . Pada proses ditentukan distribusi posterior untuk terdapat , dengan

merupakan distribusi yang merepresentasikan inefisiensi teknis, sehingga

dengan dan . Pada dasarnya, merupakan

fungsi densitas probabilitas bersyarat , dengan diasumsikan sebagai fungsi yang merepresentasikan inefisiensi.

merupakan fungsi densitas probabilitas bersyarat , dengan

diasumsikan sebagai fungsi yang merepresentasikan pengukuran efisiensi teknis.

Dengan persamaan (4.33) dan (4.34) diperoleh nilai efisiensi dari setiap data pengamatan. Berdasarkan persamaan (4.25), (4.26) dan (4.29) yang diturunkan secara parsial terhadap parameter, diperoleh estimasi parameter yang merepresentasikan technical efficiency pada distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian.

4.3.5 Contoh Kasus

(29)

Untuk contoh ini diambil data sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha dari tahun 2003-2009 (Buletin Ekonomi Moneter Dan Perbankan Vol. 14.

No. 3 Januari 2012).

Tabel 1. Sebaran Tenaga Kerja Berdasarkan Lapangan Usaha Pada Tahun 2003-2009 (dalam persen)

Sektor 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Pertanian 46,38 43,33 43,97 42,05 41,24 40,30 39,68 Industri 12,39 11,81 12,72 12,46 12,38 12,24 12,24 Perdagangan, Hotel

dan Restauran

18,59 20,40 19,06 20,13 20,57 20,69 20,93

Jasa 10,60 11,22 10,99 11,90 12,03 12,77 13,35

Sumber : Buletin Ekonomi Moneter Dan Perbankan Vol. 14. No. 3 Januari 2012

Hasil dan Pembahasan :

Tabel 2. Hasil Efisiensi

Sektor 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Pertanian 2% 2% 2% 2% 2% 2% 3%

Industri 8% 8% 8% 8% 8% 8% 8%

Perdagangan, Hotel dan Restauran

5% 5% 5% 5% 5% 5% 5%

Jasa 9% 9% 9% 8% 8% 8% 7%

Efisiensi 79% 81% 72% 93% 73% 61% 65%

Data diolah dari sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha pada tahun 2003-2009. Tabel 2 menunjukkan hasil analisis faktor input dan output, serta diberikan presentase tingkat efisiensi dari yang paling besar ke paling kecil dengan masing-masing nilainya sebesar 93% dan 61%, yang diperoleh berdasarkan model

dengan nilai estimasi untuk

Berdasarkan persamaan (4.35) berarti, jika , maka dan untuk setiap kenaikan satu satuan sektor pertanian , sektor industri , sektor perdagangan , sektor jasa maka masing-masing sektor akan mengakibatkan kenaikan terhadap sebaran

(30)

tenaga kerja sebesar 186; 81,4; 125; dan 58,7. Pada sektor pertanian, industri, perdagangan dan jasa memberikan tingkat efisiensi yang signifikan setiap tahunnya. Dengan sektor jasa memberikan tingkat efisiensi sebesar 9% pada tahun 2003-2005, sedangkan tahun 2006-2009 mengalami penurunan secara signifikan.

Sektoral yang lain memberikan tingkat efisiensi yang dengan rata-rata yang sama.

Sektor industri sebesar 8%, sektor perdagangan sebesar 5% dan sektor petanian memiliki tingkat efisiensi dengan rata-rata presentase terkecil.

Grafik 1. Rata-Rata Sebaran Tenaga Kerja Berdasarkan Lapangan Usaha

Sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha di sisi sektoral diberikan dari empat sektor, yaitu pertanian, industri, perdagangan dan jasa. Berdasarkan Grafik 1 tampak terlihat bahwa sektor pertanian dengan rata-rata presentase sebesar 42,42% memiliki peran yang signifikan terhadap pergerakan sebaran tenaga kerja dan diikuti oleh perdagangan, industri, dan jasa dengan rata-rata presentase masing-masing sektor sebesar 20,05%; 12,32%; dan 11,84%.

Grafik 2. Peranan Sektor Terhadap Sebaran Tenaga Kerja Tahun 2003-2009

(31)

Berdasarkan Grafik 2 tampak terlihat bahwa pada tahun 2003 peran sektoral pertanian, industri, perdagangan dan jasa memberikan peran yang paling besar dengan rata-rata 21,99%, sedangkan pada tahun 2008 mempunyai peran yang paling kecil dengan rata-rata 21,5%.

Grafik 3. Plot Distribusi Normal-Gamma

Grafik 3 menunjukkan bahwa probabilitas distribusi normal-gamma

dengan dan menggambarkan bahwa dua

komponen distribusi error pada stochastic frontier terhadap sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha pada tahun 2003-2009 yang simetris dan asimetris

terhadap nilai meannya.

(32)