REDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT

(1)

Contents

JJ II

J I

Page1of33

Go Back

Full Screen

REDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA

DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT

SUZYANNA

NRP.1208 201 002

(2)

JJ II

J I

Page2of33

Go Back

bagai perumuman dari basis ortonormal dalam ruang Hilbert dengan

{f

_k

}

^∞_k=1 disebut frame jika terdapat

0 < A

₆

B < ∞

sedemikian sehingga

Akf k

² ₆

∞

P

k=1

|hf, f

_k

i|

² ₆

Bkf k

² untuk setiap

f ∈ H

dengan

A

dan

B

adalah batasan frame.Jika

A = B

maka

{f

_k

}

^∞_k=1 disebut frame ketat. Materi tesis ini membahas pengertian redundan atau overcomplete pada suatu frame ketat. Disajikan pula cara perhitungan suatu redundansi dalam contoh-contoh sederhana baik di dimensi hingga maupun tak hingga.

(3)

Contents

JJ II

J I

Page3of33

Go Back

Full Screen

LATAR BELAKANG

Frame pertama kali diperkenalkan oleh Duffin dan Schaeffer(1952), menggunakan frame untuk mempelajari Deret Fourier yang nonharmonik yakni ekspansi fungsi di

(L

²

[0, 1])

. Christensen(2006),Balan dkk (2005),dan Casazza (2010) sesuai definisi frame dimana frame adalah basis yang overcomplete dan perumuman dari basis ortonormal.

A

dan

B

masing-masing adalah batas atas dan bawah frame.

Jika

A = B

maka frame disebut sebagai frame ketat. Setiap basis ortonormal adalah Riesz basis dan setiap Reisz basis adalah frame.

(4)

JJ II

J I

Page4of33

Go Back

Casazza dkk (2009), menenuhi definisi frame, jika

A = B = 1

, maka disebut sebagai frame Parseval. Frame mempunyai redundant ^N_n. Jika

kϕ

_i

k = c

untuk semua

i = 1, ..., N

disebut equal norm frame. Jika

φ

adalah equal norm Parseval frame maka redundansi

R

_φ⁻

= R

_φ⁺

=

^N_n dimana

R

_φ⁻ adalah batas bawah redundansi sedang

R

⁺_φ adalah batas atas redundansi.

(5)

Contents

JJ II

J I

Page5of33

Go Back

Full Screen

Casazza(1998), setiap frame dalam ruang Hilbert

H

dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari tiga basis ortonormal di

H

, dan dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua basis ortonormal jika dan hanya jika frame adalah Riesz Basis.

Setiap frame dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari dua buah frame ketat dengan batasan frame adalah

1

atau jumlah dari suatu basis ortonormal dan Riesz basis di

H

, dan juga dapat ditulis sebagai rata-rata dua basis ortonormal di ruang Hilbert.

(6)

JJ II

J I

Page6of33

Go Back

Mallat(1999), memenuhi definisi frame, frame adalah lengkap, stabil dan punya redundan.Jika vektor-vektor pada frame di nor- malkan, atau

kf

_k

k = 1

, maka redundansi dapat dinyatakan sebagai batasan-batasan frame

A

dan

B

.

Daubechies (1992), memenuhi definisi frame, redundant ^A+B₂ dengan frame adalah ketat.

(7)

Contents

JJ II

J I

Page7of33

Go Back

Full Screen

PERMASALAHAN

Dalam tesis ini akan difokuskan pembahasan permasalahan sebagai berikut:

•

Bagaimana bentuk redundansi frame pada dekomposisi suatu fungsi di ruang Hilbert.

•

Bagaimana pengaruh redundansi frame pada dekomposisi suatu fungsi di ruang Hilbert.

(8)

JJ II

J I

Page8of33

Go Back

BATASAN MASALAH

Redundansi frame dalam tesis ini dapat dikontrol (secara relatif) oleh

kf k

yaitu dengan ketentuan

0

₆

R

₆

Kkf k

² dengan

K

adalah konstanta positif yang bergantung pada penyajian atas frame yang diberikan selain itu redundansi bisa dikontrol juga oleh

kf k

² sesuai sifat frame

Akf k

² ₆ ^P

k=1

|hf, f

_k

i|

² ₆

Bkf k

² untuk suatu frame

{f

_k

}

_k.

(9)

Contents

JJ II

J I

Page9of33

Go Back

Full Screen

TUJUAN PENELITIAN

a. Menentukan batas atas dan batas bawah frame

b. Mengkaji pengaruh redundansi frame pada dekomposisi fungsi

f

di ruang Hilbert di

L

²

(R)

.

(10)

JJ II

J I

Page10of33

Go Back

MANFAAT PENELITIAN

Dengan adanya penelitian ini diharapkan hasilnya dapat digu- nakan sebagai rujukan untuk penelitian lanjutan yang berkai- tan dengan dekomposisi frame, khususnya dalam menyelesaikan masalah aplikasi.

(11)

Contents

JJ II

J I

Page11of33

Go Back

Full Screen

KAJIAN PUSTAKA dan DASAR TEORI

Sifat-sifat hasil-kali-dalam adalah sebagai berikut :

• hx + y, zi = hx, zi + hy, zi

• hαx, yi = α hx, yi

• hx, yi = hy, xi

• hx, xi

_>

0 dan hx, xi = 0 ⇔ x = 0

Ruang vektor

V

dengan hasil kali dalam

h., .i

disebut ruang hasil-kali-dalam.

(12)

JJ II

J I

Page12of33

Go Back

Definisi Ortogonal

Jika

x, y ∈ X

, dengan

x 6= y

dalam suatu ruang hasil-kali- dalam, dan

hx, yi = x · y = 0

, maka

x

dan

y

dikatakan saling ortogonal. Apabila

kxk = 1

untuk

x ∈ X

, maka

X

dikatakan

himpunan ortonormal

(13)

Contents

JJ II

J I

Page13of33

Go Back

Full Screen

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Suatu hasil kali dalam dan norma memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz dinyatakan sebagai berikut:

|hx, yi| = |hy, xi|

₆

kxk kyk

(14)

JJ II

J I

Page14of33

Go Back

Basis Ortonormal

Suatu basis

{e

_k

}

^∞_k=1 adalah basis ortonormal, yaitu bila

he

_k

, e

_j

i = δ

_k,j

=

1 jika k = j

0 jika k 6= j

(15)

Contents

JJ II

J I

Page15of33

Go Back

Full Screen

Definisi Frame

Suatu barisan

{f

_k

}

^∞_k=1 dengan anggota anggotanya diruang Hilbert

H

disebut Frame untuk

H

bila terdapat

A, B > 0

(

A, B

adalah konstan) sedemikian hingga

Akf k

² ₆

∞

X

k=1

|hf, f

_k

i|

² ₆

Bkf k

²

, ∀f ∈ H

(16)

JJ II

J I

Page16of33

Go Back

Definisi Frame Ketat

•

Jika

A = B

maka frame disebut frame ketat (tight frame).

•

Suatu frame dikatakan bukan frame bila ada salah satu anggotanya dihilangkan, dan disebut frame eksak.

(17)

Contents

JJ II

J I

Page17of33

Go Back

Full Screen

Contoh 1

Ambil

H =

_C²,

e

₁

= (0, 1)

,

e

₂

=

√ 3

2

,

¹₂, dan

e

₃

=

√3

2

,

⁻¹₂ , untuk setiap

υ = (υ

₁

, υ

₂

)

di

H

maka,

3

X

j=1

|hv, e

_j

i|

²

= |v

₂

|

²

+

√3

2

v

₁

+

¹₂

v

₂²

+

√3

2

v

₁

−

¹₂

v

₂²

=

³₂

kvk

²

Dengan demikian

{ e

₁

, e

₂

, e

₃

}

adalah frame dengan batas-batas

A = B =

³₂, yang menyatakan redundan adalah ³₂

(18)

JJ II

J I

Page18of33

Go Back

Unconditionality atau Tak bersyarat

Andaikan

{f

_n

: n ∈

_Z

}

adalah frame di ruang Hilbert

H

, maka setiap pengurutan kembali dari barisan

{f

_n

}

juga merupakan frame.

(19)

Contents

JJ II

J I

Page19of33

Go Back

Full Screen

Contoh 2

Misalkan:

A

₂

:= { e

₁

, e

₂

}

dengan

e

₁

= (1, 0)

dan

e

₁

= (1, 0) x, y ∈

_R²

2

X

k=1

h(x, y) , e

_k

i

²

= h(x, y) , (1, 0)i

²

+ h(x, y) , (0, 1)i

²

= x

²

+ y

²

= k f k

²

Dalam contoh ini

A = B = 1

yang berarti

1

adalah redundansi dari sistem dua vektor di R². Karena

A = B

maka frame disebut frame ketat.

(20)

JJ II

J I

Page20of33

Go Back

•

Tahap 1: Mengkaji sifat-sifat frame sebagai perluasan kon- sep basis di ruang hasil kali-dalam Pada tahapan ini akan dikaji sifat-sifat frame yaitu bahwa frame yang dibicarakan mula-mula dalam ruang vektor dimensi hingga dengan hasil kali dalam, dan merupakan perluasan dari basis ortonormal, memberikan contoh frame.

•

Tahap 2 : Mengkaji dekomposisi fungsi-fungsi menggunakan frame Pada tahapan ini akan dibahas tentang operator

(21)

Contents

JJ II

J I

Page21of33

Go Back

Full Screen

•

Tahap 3 : Mengkaji frame di dimensi tak hingga Pada tahapan ini setelah membahas pendahuluan tentang frame dalam ruang di dimensi hingga, maka berikut akan dibicarakan ekspansi dalam ruang vektor dimensi tak hingga, membahas barisan konvergen absolut, konvergen tak bersyarat, operator linear terbatas, operator adjoin, barisan Bessel, dan dekomposisi

f

diruang dimensi tak hingga.

•

Tahap 4: Mengkaji redudansi suatu dekomposisi fungsi frame. Pada tahap ini memberi contoh menentukan redudansi suatu dekomposisi fungsi frame yang berasal dari basis ortonormal, memberi contoh tentang penggunaan fungsi dekomposisi frame.

(22)

JJ II

J I

Page22of33

Go Back

F = {f

_k

}

^∞_k=1

=

e

₁

, 1

√ 2 e

₂

, 1

√ 2 e

₂

, 1

√ 3 e

₃

, 1

√ 3 e

₃

, 1

√ 3 e

₃

, ...

Maka untuk setiap

f ∈ H

,

∞

X

|hf, f

_k

i|

²

=

∞

X

k

f, 1

√ k e

_k

2

= kf k

²

(23)

Contents

JJ II

J I

Page23of33

Go Back

Full Screen

Close

Suatu ruang vektor

V

yang dilengkapi frame

{f

_k

}

^m_k=1 dan didefinisikan suatu pemetaan linear:

T :

_C^m

→ V, T {c

_k

}

^m_k=1

=

m

X

k=1

c

_k

f

_k (1)

dengan

T

disebut sebagai operator pre-frame atau disebut juga dengan operator sintesis, sedangkan operator adjoin diberikan sebagai berikut :

T

^∗

: V →

_C^m

, T

^∗

f = {hf, f

_k

i}

^m_k=1 (2) dan disebut sebagai operator analisis. Dengan komposisi

T

dan

T

^∗ diperoleh operator frame sebagai berikut :

(24)

JJ II

J I

Page24of33

Go Back

hSf, f i =

k=1

hf, f

_k

i hf

_k

, f i =

k=1

hf, f

_k

i h f, f

_k

i =

k=1

|hf, f

_k

i| , f ∈ V

(4)

Batas bawah frame dapat dipandang sebagai “ batas bawah ” suatu operator frame. Jika dapat dipilih batas

A = B

dari definisi maka frame

{f

_k

}

^m_k=1 disebut frame ketat sehingga diperoleh :

m

X

k=1

|hf, f

_k

i|

²

= Akf k

²

, ∀f ∈ V

(5)

(25)

Contents

JJ II

J I

Page25of33

Go Back

Full Screen

Misalkan

{f

_k

}

_k=1 adalah suatu frame untuk

V

dengan operator frame

S

maka belaku sifat-sifat berikut:

• S

punya invers dan self-adjoint.

•

Untuk setiap

f ∈ V

dapat disajikan bentuk

f =

m

X

k=1

f, S

⁻¹

f

_k

f

_k

=

m

X

k=1

hf, f

_k

iS

⁻¹

f

_k (6)

•

Jika

f ∈ V

mempunyai penyajian

f =

m

P

k=1

c

_k

f

_k untuk be- berapa koefisien skalar

{c

_k

}

^m_k=1, maka berlaku

m m m

(26)

JJ II

J I

Page26of33

Go Back

ini dapat diselesaikan jika

A

menyampaikan atau mengirimkan koefisien frame

{hf, S

⁻¹

f

_k

i}

^m_k=1, dimana receiver (penerima)

R

dapat membangun kembali sinyal

f

menggunakan dekomposisi frame. Sekarang diasumsikan bahwa penerima

R

menerima gangguan sinyal(noise) , yaitu menerima koefisien frame

{hf, S

⁻¹

f

_k

i + c

_k

}

^m_k=1. Berdasarkan koefisien penerima,

R

akan menyatakan bahwa sinyal yang dikirim adalah sebagai berikut :

m

X

f, S

⁻¹

f

+ c

f =

m

X

f, S

⁻¹

f

f +

m

X

c f

(27)

Title Page

Contents

JJ II

J I

Page27of33

Go Back

Full Screen

Close

Frame mempunyai penyajian overcomplete artinya fungsi (data,sinyal) yang disajikan dalam bentuk frame tidak tunggal sehingga dikatakan bahwa frame tidak ortogonal. Oleh karena itu dekomposisi fungsi yang disajikan dalam bentuk basis ortonormal tidak stabil karena koefisien

c

_k dari

f =

∞

P

k=1

c

_k

f

_k adalah tunggal yaitu dengan mengubah koefisien frame

c

_k,misalkan

(c

_k

+ ε

_k

)

akan mengubah dekomposisi fungsi

f

,sehingga tidak akan menjadi

f

lagi. Secara matematis dapat ditulis:

f =

∞

X

k=1

c

_k

f

_k

+

∞

X

k=1

ε

_k

f

_k

oleh karena

∞

X

k=1

c

_k

f

_k

=

∞

X

k=1

ε

_k

f

_k

(28)

JJ II

J I

Page28of33

Go Back

k=1 k=1

yang dicari tidak dapat ditangkap (capture) dengan optimal, akibatnya dekomposisi fungsi dengan basis ortonormal selalu didapat “redundansi” nol.

Sedang pada frame dikatakan stabil, artinya dengan mengubah koefisien frame

c

_k menjadi

(c

_k

+ ε

_k

)

dari

f =

∞

P

k=1

c

_k

f

_k tidak mengubah fungsi dekomposisi

f =

∞

P

k=1

c

_k

f

_k, sehingga dikatakan bahwa frame adalah stabil.

(29)

Contents

JJ II

J I

Page29of33

Go Back

Full Screen

Close

f =

e

∞

X

k=1

(c

_k

+ ε

_k

)f

_k

=

∞

X

k=1

c

_k

f

_k

+

∞

X

k=1

ε

_k

f

_k

Jika bentuk tersebut disederhanakan akan menjadi:

f ≈ f +

e

∞

X

k=1

ε

_k

f

_k

dimana

∞

P

k=1

ε

_k

f

_k

6= 0

.

Karena dekomposisi menggunakan frame, maka

∞

P

k=1

ε

_k

f

_k selalu

(30)

JJ II

J I

Page30of33

Go Back

Redundansi suatu frame dapat dikontrol (secara relatif) oleh

kf k

yaitu dengan ketentuan

0

₆

R

₆

Kkf k

² dengan

R

adalah redundansi dan

K

adalah konstanta positif yang bergantung pada penyajian atas frame yang diberikan, selain itu redundansi secara mutlak bisa dikontrol oleh

kf k

² sesuai sifat frame

Akf k

² ₆

P

k=1

|hf, f

_k

i|

² ₆

Bkf k

² untuk suatu frame

{f

_k

}

_k.

Pada waktu mengalami gangguan (noise), koefisien frame

{c

_k

}

akan berubah menjadi

{c

_k

+ ε

_k

}

dengan

{ε

_k

}

adalah noise, se-

(31)

Contents

JJ II

J I

Page31of33

Go Back

Full Screen

Dengan demikian

k=1

ε

_k

f

_k

6= 0

. Karena dekomposisi menggunakan frame, maka

∞

P

k=1

ε

_k

f

_k atau redundannya selalu ada, selain itu karena frame bersifat stabil maka dengan penambahan

∞

P

k=1

ε

_k

f

_k tidak mengubah fungsi asal. Oleh karena itu redundansi memberikan pengaruh terhadap dekomposisi fungsi bergantung pada koefisien frame

{c

_k

}

2. Saran

Untuk penelitian lebih lanjut perlu dikaji masalah aplikasi redundansi frame.

(32)

JJ II

J I

Page32of33

Go Back

Representation”, Submitted to the Department of Electrical Engineering and Computer Science in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science in Elec- trical Engineering and Computer Science

Balan.R,Casazza.P.G,Edidin.G,Kutinyok.G, (2005), “ Decompo- sitions of Frames and a New Frame Identity”, Proceeding of SPIE

Bodman,B.G, Casazza,P.G,Kutyniok,.G, (2010), “ Upper and Lower Redundancy of Finite Frames”, Annual Conference

(33)

Contents

JJ II

J I

Page33of33

Go Back

Full Screen

for Signal Processing and Communications”, In Proc.SPIE Conf on Wavelet Appl.in Signal and Image Proc

Casazza, P.,Bodmann, B., dan Kutyniok, G. (2009),“

A Quantitative Notion of Redundancy for Finite Frames”,Illinois/Missori Applied Harmonic Analysis Seminar

Casazza,P.G,Leon,.M, (2010), “ Existense and Construction of Finite Frames with a Given Frame Operator”, Int. J of Pure and Appl Math

Christensen, O., (2003), An Introduction To Frames and Riesz Bases, Birkhauser, Boston.