METODE LEAST MEDIAN OF SQUARES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI DENGAN PENCILAN
AMIR A DALIMUNTHE
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2010
RINGKASAN
AMIR A DALIMUNTHE. Metode Least Median Squares (LMS) pada Analisis Regresi dengan Pencilan. Dibimbing oleh ITASIA DINA SULVIANTI dan YENNI ANGRAINI.
Metode yang umum digunakan untuk menduga parameter dalam analisis regresi adalah Ordinary Least Squares (OLS) karena memiliki perhitungan yang sederhana. Namun, ketika data memiliki pencilan, metode ini menghasilkan dugaan parameter yang berbias. Karena itu disusunlah metode regresi kekar untuk mengatasi pencilan. Salah satu metode dalam regresi kekar adalah Least Median of Squares (LMS). Metode ini mampu mengatasi pencilan sehingga dihasilkan dugaan yang tak bias.
Pada penelitian ini ingin diketahui persentase banyaknya pencilan yang mampu diatasi oleh LMS. Model yang digunakan dalam penelitian ini adalah model regresi linier sederhana. Data yang digunakan merupakan data hasil simulasi, dengan β0 dan β1 sebesar 5 dan 10. Nilai X berkisar antara 1-30. Untuk setiap nilai X akan diberikan satu nilai Y. Sisaan yang digunakan berasal dari sebaran Normal dengan µ= 0 dan σ2=3 yang nilai mutlak dari sisaan bakunya tidak lebih dari 2. Ukuran data yang digunakan adalah 30 amatan, 60 amatan, 90 amatan, 120 amatan, dan 150 amatan. Setiap ukuran data diberikan pencilan sebesar 0% (tanpa pencilan) , 5%, 10%, 15%, dan 20% pada peubah tak bebas Y dan diulang sebanyak 30 kali sehingga diperoleh 750 gugus data yang terbagi menjadi 25 subkelompok gugus data. Parameter regresi diduga dengan metode OLS dan LMS. Hasil dugaan parameter masing – masing metode pada setiap subkelompok gugus data diuji dengan metode Pitman’s Measure of Closeness untuk mengetahui metode mana yang lebih baik.
Metode LMS lebih baik daripada metode OLS dalam menduga parameter regresi pada data yang memiliki pencilan hingga persentase pencilan 20% untuk pencilan sebesar 4 × σ2. Metode LMS lebih kekar dalam menduga parameter β1 daripada parameter β0. Semakin besar ukuran data, kekekaran LMS semakin menurun terutama dalam pendugaan β0.
Kata Kunci : Robust Regression, Least Median of Squares, pencilan
METODE LEAST MEDIAN OF SQUARES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI DENGAN PENCILAN
AMIR A DALIMUNTHE G14061754
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2010
Judul : Metode Least Median of Squares (LMS) pada Analisis Regresi dengan Pencilan Nama : Amir A. Dalimunthe
NIM : G14061754
Menyetujui :
Pembimbing I,
Dra. Itasia Dina Sulvianti, M.Si NIP. 196005081988032002
Pembimbing II,
Yenni Angraini, M.Si NIP. 197805112007012001
Mengetahui :
Plh. Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB
Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si NIP : 196807021994021001
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 16 Januari 1988 dari pasangan Imamat Dalimunthe dan Sandra Fiqarun Nisa. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.
Penulis mengawali pendidikan di Sekolah Dasar Yasprobi III pada tahun 1994 dan diselesaikan pada tahun 2000. Pendidikan lanjutan pertama dimulai pada tahun 2000 dan diselesaikan pada tahun 2003 di Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Islam Al Azhar 2 Pejaten. Penulis kemudian melanjutkan ke Sekolah Menengah Umum Negeri (SMUN) 8 Jakarta pada tahun 2003 dan lulus pada tahun 2006.
Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2006 melalui program Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Penulis aktif dalam himpunan keprofesian Departemen Statistika, Gamma Sigma Beta, sebagai Staf Human and Resource Development (2007 – 2008) dan Kepala Departemen Survey and Research (2008-2009). Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan seperti Statistika Ria 2008, Welcome Ceremony Statistics (WCS) 2009, serta Pesta Sains 2009. Pada Februari – April 2010, penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang di Pusat Penelitian Teh dan Kina (PPTK), Gambung, Kabupaten Bandung.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas petunjuk dan kekuatan yang diberikan-Nya, penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat dan salam semoga selalu tercurah kepada Rasulullah SAW beserta keluarga dan sahabatnya. Karya ilmiah ini berjudul
”Metode Least Median of Squares (LMS) pada Analisis Regresi dengan Pencilan”. Karya ilmiah ini penulis susun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Terimakasih penulis ucapkan kepada Dra. Itasia Dina Sulvianti, M.Si dan Yenni Angraini, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan masukan selama penulisan karya ilmiah ini. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada Esron Boy Frans Siahaan yang pertama kali mengenalkan penulis dengan Least Median of Squares. Ungkapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada kedua orang tua dan seluruh keluarga penulis yang telah memberikan doa, kasih sayang serta semangat untuk terus berkarya. Serta terimakasih untuk Rini Wijayanti yang telah banyak membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Demikian karya ilmiah ini penulis susun. Semoga karya ilmiah ini dapat memberikan manfaat bagi penulis dan bagi semua pihak.
Bogor, Oktober 2010
Penyusun
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
PENDAHULUAN ... 1
Latar Belakang... 1
Tujuan ... 1
TINJAUAN PUSTAKA ... 1
Regresi Linier Sederhana ... 1
Pencilan ... 1
Regresi Kekar ... 1
Least Median of Squares ... 1
Pitman’s Measure of Closeness ... 1
METODOLOGI ... 2
Data ... 2
Prosedur Least Median of Squares ... 2
Metode ... 2
HASIL DAN PEMBAHASAN ... 3
Pendugaan Parameter β0 ... 3
Pendugaan Parameter β1 ... 4
Pendugaan Parameter Regresi ... 5
KESIMPULAN DAN SARAN ... 5
Kesimpulan ... 5
Saran ... 5
DAFTAR PUSTAKA ... 6
LAMPIRAN ... 7
viii
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Hasil nilai PMC untuk dugaan parameter β0 ... 03
2 Hasil nilai PMC untuk dugaan parameter β1 ... 05
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Rataan dan simpangan baku bias dugaan parameter β0 ... 08
2 Rataan dan simpangan baku bias dugaan parameter β1 ... 09
3 Grafik perbandingan nilai PMC dugaan parameter β0 pada berbagai ukuran data ... 10
4 Grafik perbandingan rataan bias dugaan parameter β0 pada berbagai ukuran data... 11
5 Grafik perbandingan nilai PMC dugaan parameter β1 pada berbagai ukuran data ... 12
6 Grafik perbandingan rataan bias dugaan parameter β1 pada berbagai ukuran data ... 13
1
PENDAHULUAN Latar Belakang
Analisis regresi digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih peubah, yang salah satu peubahnya merupakan peubah tak bebas dan lainnya merupakan peubah bebas. Metode yang umum digunakan dalam menduga parameter regresi adalah Ordinary Least Squares (OLS). Dalam menduga parameter regresi dengan OLS asumsi – asumsi yang diperlukan adalah sebagai berikut:
1. Data merupakan contoh yang diambil secara acak dari suatu populasi dan sisaan yang dihasilkan bersifat saling bebas
2. Nilai harapan dari sisaan sama dengan nol
3. Tidak terdapat korelasi yang kuat antar peubah bebas
4. Sisaan memiliki ragam yang sama (homoskedastisitas)
Jika asumsi sisaan saling bebas tidak terpenuhi, maka dugaan parameter yang dihasilkan akan berbias. Jika asumsi nilai harapan tidak terpenuhi, maka dugaan yang dihasilkan juga akan berbias karena terdapat bias sistemik. Jika terdapat korelasi yang kuat antar peubah bebas atau multikolinieritas, maka dugaan parameter akan berbias karena dugaan parameter menjadi tidak tepat dan nilai-p dari peubah bebas mengalami peningkatan. Jika sisaan tidak memiliki ragam yang sama, maka dugaan parameter OLS dengan galat minimum tidak dapat dihasilkan.
Adanya pencilan pada Regresi Linier Sederhana yang menggunakan metode Ordinary Least [Sum] of Squares (OLS) atau Metode Kuadrat Terkecil merupakan masalah karena pencilan dapat menyebabkan pelanggaran dari asumsi-asumsi tersebut, terutama asumsi homoskedastisitas. Untuk mengatasi masalah tersebut, para statistikawan mencoba mencari alternatif pendugaan parameter lain yang lebih kekar dalam mengatasi pencilan. Salah satu metode yang disarankan dalam regresi kekar adalah Least Median of Squares (LMS). Jika “Sum” diganti dengan “Median”, maka diperoleh dugaan parameter regresi yang lebih kekar terhadap pencilan.
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui seberapa besar kekeran metode Least Median of Squares (LMS) dalam menduga parameter
regresi dari gugus data yang memiliki pencilan.
TINJAUAN PUSTAKA Regresi Linier Sederhana
Menurut Myers (1990), regresi linier sederhana adalah regresi yang hanya memiliki satu peubah regresor (peubah bebas), misalkan x. Model regresi yang digunakan adalah
Yi= β0+ β1Xi+ εi i=1,2,…,n) di mana Y adalah peubah respon yang diukur (peubah terikat), β0 dan β1 adalah intersep dan kemiringan, X adalah peubah bebas, dan ε adalah galat model.
Metode Kuadrat Terkecil dirancang untuk menghasilkan penduga b0 dan b1 untuk menduga β0 dan β1, dan nilai dugaan
yi= b0+ b1xi
yang meminimumkan jumlah kuadrat galat JKG= ∑ eni=1 i2= ∑ni=1 yi-yi 2.
Pencilan
Aunuddin (1989) mendefinisikan pencilan sebagai nilai ektstrim yang menyimpang agak jauh dari kumpulan pengamatan lainnya, yang secara kasar berada pada jarak sejauh tiga atau empat kali simpangan baku dari nilai tengahnya. Pencilan dapat terjadi pada peubah tak bebas maupun pada peubah bebas.
Regresi Kekar
Regresi kekar ditujukan untuk mengatasi penyimpangan - penyimpangan sebagai pengganti metode OLS. Kelebihan metode tersebut adalah kurang peka dibandingkan kuadrat terkecil terhadap penyimpangan- penyimpangan yang sering terjadi dari asumsi regresi linier. (Draper, 1992)
Metode Least Median of Squares
Menurut Rousseeuw (1984), dengan menggunakan median dari kuadrat sisaannya penduga yang dihasilkan akan lebih kekar dalam menghadapi pencilan. Sehingga untuk menghasilkan galat terkecil metode LMS memiliki fungsi
minimize
θ med
i ei2
Pitman’s Measure of Closeness (PMC) Menurut Wenzel (2002), definisi PMC adalah misalkan terdapat θ1 dan θ2 yang merupakan penduga bagi parameter θ. Maka θ1 dikatakan lebih dekat kepada θ jika dan hanya jika
P θ1 - θ < θ2- θ ≥0.5
2
METODOLOGI Bahan
Data yang akan digunakan adalah data hasil simulasi. Prosedur pembangkitan data simulasi adalah sebagai berikut :
1. Tentukan parameter bagi populasi yaitu β0 dan β1. Dalam kasus ini, β0 dan β1
yang digunakan adalah 5 dan 10.
2. Tentukan parameter ragam bagi sisaan (σ2). Dalam kasus ini ragam yang digunakan sebesar 3.
3. Tentukan nilai Xi dengan rumus Xi= i/j; dengan i = 1,2,…,r. Nilai r = 30
× j. Indeks i menandakan amatan ke-i dan indeks j menandakan kelompok ukuran data ke-j. Nilai awal j = 1.
4. Tentukan nilai Yi dengan rumus Yi= β0+ β1Xi; untuk i = 1,2,…,r.
5. Bangkitkan ei ~ N 0,σ2); untuk i = 1,2,…,r.
6. Tentukan banyaknya pencilan (P) untuk setiap subkelompok dengan rumus P= r)× 0.05)×(k-1) dengan k adalah indeks subkelompok persentase pencilan. Nilai awal k = 1.
7. Untuk setiap subkelompok seleksi ei
secara acak sebanyak P, dan ganti nilai ei tersebut dengan 4 ×σ2=12.
8. Tentukan nilai yi dengan rumus yi= b0+b1xi+ei.
9. Ulangi langkah 3 – 8 sebanyak 30 kali ulangan.
10. Ulangi langkah 3 – 9 untuk k = 2, 3, 4, dan 5. (untuk subkelompok persentase pencilan)
11. Ulangi langkah 3 – 10 untuk j = 2, 3, 4, dan 5. (untuk kelompok ukuran data) Hasil dari pembangkitan data adalah 750 gugus data yang terbagi menjadi 5 kelompok berdasarkan ukuran data. Ukuran data yang digunakan adalah 30 amatan, 60 amatan, 90 amatan, 120 amatan, dan 150 amatan. Setiap kelompok terdiri dari 150 gugus data dan terbagi menjadi 5 subkelompok berdasarkan persentase pencilan. Tingkatan persentase pencilan yang digunakan adalah 0%, 5%, 10%, 15%, dan 20%. Sehingga diperoleh total 25 subkelompok. Setiap subkelompok diulang sebanyak 30 kali.
Prosedur Least Median of Squares Misalkan diberikan sebuah gugus data contoh berukuran N, dan ingin diduga vektor θ berdimensi p yang berisi parameter dari gugus
data tersebut. Langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah :
1. Tentukan ukuran subset n, tentukan jumlah subset M, dan tentukan juga batas kesalahan yang diinginkan γ 2. Secara acak, ambil M buah subset
berukuran n dari contoh berukuran N.
Cari dugaan parameter θj untuk setiap subset. Cari median dari kuadrat galat e2ij dari setiap subset. Indeks i adalah indeks untuk contoh, i = 1, 2, 3, …, n dan indeks j adalah untuk subset, j = 1, 2, 3, …, M
3. Definisikan m= arg min
j med
i eij2
Sehingga subset θm merupakan subset dengan median kuadrat galat terkecil dan {eim} adalah vektor galat yang dihasilkan subset tersebut,
4. Hitung
S0= 1.4826 1+ 5
N - p medieim2 5. Hitung bobot wi, misalkan dengan
wi=1 , ei
S0 ≤ γ dan wi= s0
|ei|, lainnya 6. Berikan bobot wi kepada setiap contoh.
7. Lakukan pengepasan dengan menggunakan metode Weighted Least Squares menggunakan {wi} sebagai bobot untuk mendapatkan final.
(Yingying et al, 2009) Metode
Untuk proses LMS, N = i × 30, sedangkan untuk ukuran subset n = 1/3 × N. Proses LMS sendiri sebenarnya menghasilkan dua set dugaan parameter, yaitu dugaan parameter sementara hasil pemilihan subset dengan median kuadrat galat terkecil (ELMS) dan dugaan parameter hasil regresi setelah pemberian bobot (WLMS). Secara umum, yang dimaksud dengan LMS adalah WLMS.
Prosedur untuk menguji seberapa baik LMS dalam menghadapi pencilan adalah sebagai berikut :
1. Regresikan semua gugus data yang ada dengan metode OLS dan LMS
2. Kelompokkan hasil dugaan parameter β0 dan β1 ke dalam 25 subkelompok yang telah terbentuk sebelumnya.
3. Cari rataan dan simpangan baku untuk setiap subkelompok. Bandingkan hasilnya.
4. Gunakan PMC untuk mengetahui metode mana yang menghasilkan dugaan yang lebih baik.
3
5. Bandingkan hasil uji PMC untuk setiap persentase pencilan pada setiap ukuran data.
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendugaan Parameter β0
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 1, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β0 pada kelompok data 30 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20 %. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 1. Jika rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter semakin kecil, maka metode tersebut akan semakin baik dalam menduga parameter. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 30 amatan. Rataan bias ELMS lebih baik daripada WLMS, namun simpangan baku WLMS lebih baik dari ELMS.
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 1, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β0 pada kelompok data 60 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS pada persentase pencilan 5%, 10%, dan 15%. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 1. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 60 amatan. Rataan bias ELMS lebih baik daripada WLMS, namun simpangan baku WLMS lebih baik dari ELMS.
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 1, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β0 pada kelompok data 90 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode WLMS lebih baik daripada metode ELMS pada setiap persentase pencilan. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada
Lampiran 1. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 90 amatan. Rataan bias dan simpangan baku WLMS lebih baik daripada ELMS.
Tabel 1 Hasil nilai PMC untuk dugaan parameter β0
NO UKURAN DATA PERSENTASE PENCILAN WLMS VS OLS ELMS VS OLS WLMS VS ELMS
1 N30 0% 20% 30% 70%
2 N30 5% 67% 67% 43%
3 N30 10% 63% 60% 47%
4 N30 15% 83% 83% 17%
5 N30 20% 77% 97% 20%
6 N60 0% 0% 23% 77%
7 N60 5% 90% 90% 43%
8 N60 10% 100% 100% 30%
9 N60 15% 100% 100% 43%
10 N60 20% 97% 97% 67%
11 N90 0% 7% 37% 60%
12 N90 5% 100% 97% 53%
13 N90 10% 100% 100% 60%
14 N90 15% 100% 100% 60%
15 N90 20% 100% 100% 80%
16 N120 0% 7% 23% 77%
17 N120 5% 100% 100% 47%
18 N120 10% 100% 100% 37%
19 N120 15% 100% 100% 73%
20 N120 20% 97% 100% 93%
21 N150 0% 3% 10% 90%
22 N150 5% 100% 100% 47%
23 N150 10% 100% 100% 73%
24 N150 15% 100% 100% 83%
25 N150 20% 93% 100% 87%
TOTAL 76% 81% 59%
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 1, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β0 pada kelompok data 120 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS pada persentase
4
pencilan 5% dan 10%. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 1. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 120 amatan. Rataan bias dan simpangan baku WLMS lebih baik daripada ELMS.
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 1, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β0 pada kelompok data 150 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS pada persentase pencilan 5%. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 1. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 150 amatan. Rataan bias dan simpangan baku WLMS lebih baik daripada ELMS.
Pendugaan Parameter β1
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 2, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β1 pada kelompok data 30 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS pada persentase pencilan 5%, 15%, dan 20 %. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 2. Jika rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter semakin kecil, maka metode tersebut akan semakin baik dalam menduga parameter. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 30 amatan. Rataan bias ELMS lebih baik daripada WLMS, namun simpangan baku WLMS lebih baik dari ELMS.
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 2, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β1 pada kelompok data 60 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS pada persentase
pencilan 5%, 10%, dan 15%. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 2. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 60 amatan. Rataan bias ELMS lebih baik daripada WLMS, namun simpangan baku WLMS lebih baik dari ELMS.
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 2, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β1 pada kelompok data 90 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS pada persentase pencilan 5% dan 10%. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 2. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 90 amatan. Rataan bias dan simpangan baku WLMS lebih baik daripada ELMS.
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 2, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β1 pada kelompok data 120 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS hanya pada persentase pencilan 10%. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 2. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik dari OLS pada kelompok data 120 amatan. Rataan bias dan simpangan baku WLMS lebih baik daripada ELMS.
Berdasarkan pengujian dengan PMC pada Tabel 2, metode OLS lebih baik dalam pendugaan parameter β1 pada kelompok data 150 amatan tanpa pencilan. Namun, hasil pendugaan parameter dengan LMS(WLMS) lebih baik pada persentase pencilan 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode ELMS lebih baik daripada metode WLMS hanya pada persentase pencilan 5%. Rataan bias dan simpangan baku bias hasil pendugaan parameter dari metode OLS, ELMS, dan WLMS terdapat pada Lampiran 2. Secara umum, rataan bias dan simpangan baku bias hasil dugaan parameter dengan LMS(WLMS)
5
lebih baik dari OLS pada kelompok data 150 amatan. Rataan bias dan simpangan baku WLMS lebih baik daripada ELMS.
Tabel 2 Hasil nilai PMC untuk dugaan parameter β1
NO UKURAN DATA PERSENTASE PENCILAN WLMS VS OLS ELMS VS OLS WLMS VS ELMS
1 N30 0% 10% 20% 77%
2 N30 5% 67% 67% 40%
3 N30 10% 77% 60% 57%
4 N30 15% 60% 60% 30%
5 N30 20% 57% 73% 30%
6 N60 0% 7% 23% 77%
7 N60 5% 80% 87% 43%
8 N60 10% 100% 90% 33%
9 N60 15% 100% 100% 30%
10 N60 20% 97% 93% 50%
11 N90 0% 10% 33% 67%
12 N90 5% 100% 83% 50%
13 N90 10% 100% 100% 43%
14 N90 15% 100% 100% 63%
15 N90 20% 100% 100% 77%
16 N120 0% 0% 23% 77%
17 N120 5% 100% 100% 53%
18 N120 10% 100% 100% 37%
19 N120 15% 100% 100% 70%
20 N120 20% 97% 100% 93%
21 N150 0% 3% 27% 73%
22 N150 5% 100% 100% 40%
23 N150 10% 100% 100% 63%
24 N150 15% 100% 100% 83%
25 N150 20% 93% 100% 87%
TOTAL 74% 78% 58%
Pendugaan Parameter Regresi
Berdasarkan pengujian dengan PMC, metode LMS lebih baik dalam mengatasi pencilan dibandingkan dengan OLS hingga tingkat persentase pencilan 20%. Namun saat tanpa pencilan, dugaan parameter OLS lebih baik daripada dugaan parameter LMS. Dapat dilihat pada Lampiran 1 dan Lampiran 2, ketika ukuran data meningkat rataan bias dugaan parameter regresi OLS dan LMS mengalami peningkatan. Dugaan parameter
regresi OLS meski memiliki simpangan baku bias yang semakin kecil ketika ukuran data semakin besar, tetapi memiliki rataan bias yang relatif lebih besar daripada LMS.
Berdasarkan pengujian dengan PMC, metode WLMS lebih baik dalam mengatasi pencilan dibandingkan ELMS ketika ukuran data meningkat. Dapat dilihat pada Lampiran 1 dan Lampiran 2, meski pada ukuran data 30 amatan rataan bias ELMS lebih kecil daripada WLMS, tetapi untuk semua ukuran data simpangan baku bias dugaan parameter regresi WLMS lebih kecil dari ELMS. Untuk pendugaan parameter β0, ELMS memiliki simpangan baku bias yang lebih kecil pada ukuran data 120 amatan persentase pencilan 20% dan ukuran data 150 amatan persentase pencilan 20%. Namun karena rataan biasnya lebih besar, dugaan parameter WLMS tetap lebih baik dari dugaan parameter ELMS.
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Metode LMS lebih baik daripada metode OLS dalam menduga parameter regresi pada data yang memiliki pencilan hingga persentase pencilan 20% untuk pencilan sebesar 4 × σ2. Metode LMS lebih kekar dalam menduga parameter β1 daripada parameter β0. Semakin besar ukuran data, kekekaran LMS semakin menurun terutama dalam pendugaan β0.
Saran
Diperlukan penelitian lebih lanjut mengenai kinerja optimal LMS yang dapat diketahui dengan melakukan percobaan menggunakan berbagai ukuran dan jumlah anak gugus yang berbeda.
DAFTAR PUSTAKA
Aunuddin. 1989. Analisis Data. Bogor:
Depdikbud Dirjen Pendidikan Tinggi Pusat Antar Universitas Ilmu Hayat IPB.
Draper, N. & H. Smith. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed. Ke-2. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis.
Myers, R.H. 1990. Classical and Modern Regression with Applications. Boston:
PWS-KENT Publishing Company.
Rousseuw, P.J. 1984. Least Median of Squares Regression. Journal of the American Statistician Association Vol.76, No. 388 : 871-880.
Wenzel, T. 2002. Pitman-Closeness as a Measure to Evaluate the Quality of
6
Forecast. Communications in Statistics - Theory and Methods, Vol. 31, No. 4 : 535 – 550.
Yingying C. et al. 2009 . Securing Emerging Wireless Systems, Lower Layer Approaches. New York: Springer Science Bussiness Media.
LAMPIRAN
8
Lampiran 1Rataan dan Simpangan Baku Bias Dugaan Parameter β0
UKURAN DATA PERSENTASE PENCILAN
OLS ELMS WLMS
RATAAN BIAS β0 SIMPANGAN BAKU BIAS β0 RATAAN BIAS β0 SIMPANGAN BAKU BIAS β0 RATAAN BIAS β0 SIMPANGAN BAKU BIAS β0
N30 0% 0.38 0.22 0.78 0.58 0.38 0.25 N30 5% 1.40 0.87 0.86 0.52 0.89 0.50 N30 10% 1.50 1.22 0.88 0.91 0.77 0.43 N30 15% 2.38 1.34 0.77 0.61 1.22 0.31 N30 20% 2.49 1.34 0.65 0.55 1.24 0.47 N60 0% 0.16 0.15 0.45 0.41 0.20 0.16 N60 5% 1.60 0.38 0.58 0.47 0.58 0.30 N60 10% 3.05 0.51 0.77 0.70 0.92 0.26 N60 15% 4.54 0.49 1.01 0.78 1.05 0.31 N60 20% 6.16 0.55 2.04 1.71 1.23 1.03 N90 0% 0.24 0.16 0.36 0.24 0.25 0.15 N90 5% 2.00 0.19 0.93 0.63 0.62 0.17 N90 10% 3.63 0.26 1.11 0.59 0.95 0.23 N90 15% 5.68 0.36 1.61 0.92 1.13 0.38 N90 20% 7.26 0.30 2.68 1.40 1.08 0.74 N120 0% 0.17 0.12 0.39 0.32 0.20 0.16 N120 5% 1.99 0.19 0.76 0.59 0.57 0.18 N120 10% 3.86 0.17 0.83 0.56 1.04 0.13 N120 15% 5.82 0.17 1.85 0.80 1.13 0.31 N120 20% 7.84 0.17 3.38 1.07 1.11 1.63 N150 0% 0.13 0.09 0.32 0.17 0.13 0.09 N150 5% 2.14 0.19 0.72 0.52 0.64 0.15 N150 10% 4.08 0.14 1.31 0.42 0.98 0.14 N150 15% 6.30 0.14 2.20 0.84 1.02 0.38 N150 20% 8.19 0.13 4.37 1.37 1.79 2.25
9
Lampiran 2 Rataan dan Simpangan Baku Bias Dugaan Parameter β1
UKURAN DATA PERSENTASE PENCILAN
OLS ELMS WLMS
RATAAN BIAS β1 SIMPANGAN BAKU BIAS β1 RATAAN BIAS β1 SIMPANGAN BAKU BIAS β1 RATAAN BIAS β1 SIMPANGAN BAKU BIAS β1
N30 0% 0.02 0.01 0.05 0.04 0.02 0.01 N30 5% 0.07 0.04 0.04 0.03 0.04 0.02 N30 10% 0.08 0.05 0.05 0.04 0.04 0.02 N30 15% 0.08 0.06 0.04 0.04 0.06 0.02 N30 20% 0.07 0.05 0.04 0.04 0.06 0.03 N60 0% 0.01 0.01 0.03 0.02 0.01 0.01 N60 5% 0.06 0.02 0.03 0.02 0.03 0.02 N60 10% 0.12 0.03 0.04 0.03 0.04 0.01 N60 15% 0.18 0.03 0.04 0.03 0.05 0.02 N60 20% 0.24 0.04 0.08 0.09 0.06 0.04 N90 0% 0.01 0.01 0.02 0.02 0.01 0.01 N90 5% 0.09 0.01 0.04 0.03 0.03 0.01 N90 10% 0.16 0.02 0.05 0.03 0.04 0.01 N90 15% 0.25 0.02 0.07 0.04 0.06 0.02 N90 20% 0.32 0.02 0.12 0.06 0.05 0.03 N120 0% 0.01 0.01 0.03 0.02 0.01 0.01 N120 5% 0.09 0.01 0.04 0.03 0.03 0.01 N120 10% 0.18 0.01 0.04 0.03 0.05 0.01 N120 15% 0.27 0.01 0.09 0.04 0.05 0.02 N120 20% 0.36 0.01 0.15 0.05 0.05 0.08 N150 0% 0.01 0.01 0.02 0.01 0.01 0.01 N150 5% 0.10 0.01 0.04 0.03 0.03 0.01 N150 10% 0.19 0.01 0.06 0.03 0.05 0.01 N150 15% 0.30 0.01 0.10 0.04 0.05 0.02 N150 20% 0.38 0.01 0.20 0.06 0.09 0.11
10
Lampiran 3 Grafik perbandingan nilai PMC dugaan parameter β0 pada berbagai ukuran data
11
Lampiran 4 Grafik perbandingan rataan bias dugaan parameter β0 pada berbagai ukuran data
12
Lampiran 5 Grafik perbandingan nilai PMC dugaan parameter β1 pada berbagai ukuran data
13
Lampiran 6 Grafik perbandingan rataan bias dugaan parameter β1 pada berbagai ukuran data
