STATISTIKA DASAR
STATISTIKA DASAR
DISTRIBUSI PELUANG
DISTRIBUSI PELUANG
Dosen Pembimbing: Dosen Pembimbing: Ika Krisdiana. S. Si Ika Krisdiana. S. Si Disusun Oleh: Disusun Oleh: Heri Cahyono (08411.145) Heri Cahyono (08411.145)PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA
DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
IKIP PGRI MADIUN
2009
2009
BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN
Distribusi peluang dibedakan atas variabel acaknya. Diketahui variabel Distribusi peluang dibedakan atas variabel acaknya. Diketahui variabel acak (random variables) terdiri dari variabel acak diskrit dan variabel acak acak (random variables) terdiri dari variabel acak diskrit dan variabel acak kontinyu. Untuk data variabel acak diskrit dikenal distribusi peluang yang terdiri kontinyu. Untuk data variabel acak diskrit dikenal distribusi peluang yang terdiri dari : 1. Distribusi binomial 2. Distribusi Multinomial 3. Distribusi dari : 1. Distribusi binomial 2. Distribusi Multinomial 3. Distribusi Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson. Keempat distribusi peluang tersebut biasa Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson. Keempat distribusi peluang tersebut biasa digunakan untuk mengetahui peluang dari data atau variabel acak diskrit. Sesuai digunakan untuk mengetahui peluang dari data atau variabel acak diskrit. Sesuai dengan tujuan perkuliahan, distribusi peluang diskrit ini tidak akan banyak dengan tujuan perkuliahan, distribusi peluang diskrit ini tidak akan banyak dijelaskan kecuali yang berhubungan dengan penggunaannya dalam kasus dengan dijelaskan kecuali yang berhubungan dengan penggunaannya dalam kasus dengan data variansi acak diskrit.
data variansi acak diskrit.
Variabel kontinyu adalah variabel random yang mempunyai nilai dalam Variabel kontinyu adalah variabel random yang mempunyai nilai dalam suatu interval tertentu. Contoh, kecepatan kendaraan per jam, tinggi badan suatu interval tertentu. Contoh, kecepatan kendaraan per jam, tinggi badan mahasiswa, besarnya pendapatan pekerja dll.
mahasiswa, besarnya pendapatan pekerja dll.
Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk setiap unsur dalam ruang sampel disebut
setiap unsur dalam ruang sampel disebut variabel acak variabel acak . Jika variabel x dan t. Jika variabel x dan t menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai
menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai
,,
,...,,...,
dengan peluangdengan peluang masing-masingmasing-masing
,,
,...,,...,
, dimana, dimana
++
+...++...+
=1 dikatakan suatu=1 dikatakan suatu distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi. Fungsi p(x) yang distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi. Fungsi p(x) yang mempunyai nilai masing-masingmempunyai nilai masing-masing
,,
,...,,...,
untuk x =untuk x =
,,
,...,,...,
disebutdisebut fungsifungsi peluang peluang untuk variabel acak x, harga X = x. X yang memiliki peluanguntuk variabel acak x, harga X = x. X yang memiliki peluang bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebut
bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebut variabel acak diskrit variabel acak diskrit .. Contoh
Contoh Misalkan Misalkan
sepasang dadu dilantunkan dan misalkan X menyatakan jumlah titik yang sepasang dadu dilantunkan dan misalkan X menyatakan jumlah titik yang diperoleh. Maka distribusi peluang diberikan sebagai berikut :
diperoleh. Maka distribusi peluang diberikan sebagai berikut :
X X 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 1212 P(x) P(x)
Misalnya, peluang memperoleh jumlah 5 adalah Misalnya, peluang memperoleh jumlah 5 adalah
Jadi dalam 900Jadi dalam 900pelantunan dadu kita meng
pelantunan dadu kita mengharapkan 100 pelantun memberikan jumlah 5harapkan 100 pelantun memberikan jumlah 5.. Variabel acak yang tidak diskrit disebut
Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinuevariabel acak kontinue..
Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f(
Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f( x) dapatx) dapat menghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku :
menghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku :
Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah : Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah :
P (a < x < b) =
P (a < x < b) =
∫∫
Contoh 1Contoh 1
Sebuah variabel acak kontinu x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4, Sebuah variabel acak kontinu x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4, mempunyai
mempunyai fungsi fungsi densitas densitas f(x) =f(x) =
a. Tunjukkan P (2 < X < 4) = 1 a. Tunjukkan P (2 < X < 4) = 1 b. Hitung P (2 < X < 3 b. Hitung P (2 < X < 3) !) ! Penyelesa Penyelesaian ian ::Grafik untuk fungsi, f(x) = Grafik untuk fungsi, f(x) =
Pada Gambar berupa trapesium maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisi Pada Gambar berupa trapesium maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisi yang sejajar dikalikan alasnya kemudian dibagi dua.
yang sejajar dikalikan alasnya kemudian dibagi dua. Luas = Luas =
0 0,,22 0 0,,33 0 0,,44 0 0,,55 0 0,,66 1 1 22 33 44=
=
((
))
Karena f(2) = Karena f(2) =
f(4)=f(4)=
Maka p (2 < x < 4) = Maka p (2 < x < 4) =
=1=1 Te Terbrbuukkttiib. Bahwa jika P (2 < X < 3) =
b. Bahwa jika P (2 < X < 3) =
((
))
==
=
=
atau dengan cara
atau dengan cara
∫∫
∫∫
1.1. DISTRIBUSI BINOMIALDISTRIBUSI BINOMIAL
Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau gagal dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan Binomial atau gagal dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan Binomial atau experiment Bernoulli, sehingga ciri-ciri percobaan Binomial adalah :
experiment Bernoulli, sehingga ciri-ciri percobaan Binomial adalah : 1. Percobaan terdiri atas n peristiwa
1. Percobaan terdiri atas n peristiwa
2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau 2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau
gagal gagal
3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p 3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p
4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain 4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain Karakteristik dari binomial distribution :
Karakteristik dari binomial distribution : 1.
1. Grafiknya discontinuous (terputus-putus)Grafiknya discontinuous (terputus-putus) 2.
2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan nBentuknya ditentukan oleh nilai p dan n 3.
Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu percobaan binom dan distribusinya p
percobaan binom dan distribusinya peluangnya disebuteluangnya disebut Distribusi Binomial Distribusi Binomial dandan nilai-nilainya dilambangkan dengan b (x; n, p).
nilai-nilainya dilambangkan dengan b (x; n, p).
Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 –
Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 – p, makap, maka distribusi peluang untuk variabel acak binomial x yaitu banyaknya distribusi peluang untuk variabel acak binomial x yaitu banyaknya keberhasilan dalam n peristiwa yang bebas adalah :
keberhasilan dalam n peristiwa yang bebas adalah : b (x; n, p) = b (x; n, p) =
b (x; n, p) = b (x; n, p) =
==
Keterangan : Keterangan : b = distribusi binomial b = distribusi binomial x = banyaknya sukses x = banyaknya suksesn = banyaknya ulangan bebas n = banyaknya ulangan bebas
p = peluang memperoleh sukses pada p
p = peluang memperoleh sukses pada percobaan (ulangan) tunggalercobaan (ulangan) tunggal Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit b(x; n,p) = p (x) = P(X = x)
b(x; n,p) = p (x) = P(X = x)
Parameter distribusi binomial adalah
Parameter distribusi binomial adalahdandan, dimana, dimana = np dan= np dan ==
√ √
==√ √
.. Contoh 1 Contoh 1Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang
peluang bahwa bahwa tepat tepat 2 2 diantara diantara 4 4 kasus kasus pencurian pencurian berikutnya dilberikutnya dilatarbelakangiatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja ?
oleh keperluan uang untuk membeli ganja ? Penyelesaian : Penyelesaian : Diketahui p = 75 % = 0,75 Diketahui p = 75 % = 0,75 q = 1q = 1 – – p = 0,25p = 0,25 P (X = 2) = b (2; 4; 0,75) = P (X = 2) = b (2; 4; 0,75) =
(0,75)² (0,25)² = 0,211(0,75)² (0,25)² = 0,211 Jadi peluang yang ditanya adalah 0,211Contoh 2 Contoh 2
Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya bahwa dalam Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya bahwa dalam 5 kali pelambungan tersebut muncul mata dadu 2 sebanyak 3 buah ?
5 kali pelambungan tersebut muncul mata dadu 2 sebanyak 3 buah ? Penyelesaian :
Penyelesaian :
p = peluang muncul mata dadu
p = peluang muncul mata dadu 2 pada satu pelambungan =2 pada satu pelambungan =
n = 5 (banyaknya pelambungan, banyaknya ulangan) n = 5 (banyaknya pelambungan, banyaknya ulangan) x = 3 (banyaknya muncul mata
x = 3 (banyaknya muncul mata dadu 2 yang diharapkan)dadu 2 yang diharapkan) P (X = 3) = b (3; 5, P (X = 3) = b (3; 5,
)) = =
= (10) = (10)
= =
= 0,032= 0,032 Contoh 3 Contoh 310% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. sebuah sampel 10% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. sebuah sampel berukuran
berukuran 30 30 telah telah diambil diambil secara secara acak. acak. Berapa Berapa peluang peluang sampel sampel itu itu akanakan berisikan benda kategori A:
berisikan benda kategori A: a.
a. semuanyasemuanya b.
b. sebuahsebuah c.
c. dua buahdua buah d.
d. paling sedikit sebuah paling sedikit sebuah e.
e. paling banyak dua buah paling banyak dua buah f.
f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori Atentukan rata-rata terdapatnya kategori A Penyelesaian :
Penyelesaian : a.
a. Kita artikan X = banyak benda kategori A. MakaKita artikan X = banyak benda kategori A. Maka
= peluang benda= peluang benda termasuk kategori A = 0,10 termasuk kategori A = 0,10 P (X = 30) = P (X = 30) =
==
Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol. Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.
b.
b. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1 P (X = 1) =
P (X = 1) =
= 0,1409= 0,1409Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409 Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409 c.
c. Di sini X = 2, sehingga :Di sini X = 2, sehingga : P (X = 2) =
P (X = 2) =
= 0,2270= 0,2270 d.d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3,… , X = 1, 2, 3,… , 30.30. Jadi, perlu P (X = 1) +
Jadi, perlu P (X = 1) + P (X = 2) + …. P (X = 2) + …. + P (X = 30). Tetapi P (+ P (X = 30). Tetapi P (X = 0) + P (XX = 0) + P (X =1) + … + P (X = 30) =
=1) + … + P (X = 30) = 1, sehingga yang dicari1, sehingga yang dicari adalah 1adalah 1 – – P 9X = 0)P 9X = 0) Sekarang P (X = 0) =
Sekarang P (X = 0) =
= 0,0423= 0,0423Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A adalah 1
adalah 1 – – 0,0423 = 0,95770,0423 = 0,9577 e.
e. Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X = 0, 1, 2. Perlu dicariTerdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X = 0, 1, 2. Perlu dicari P (X = 0) + P (X = 1)
P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2). Di atas, s+ P (X = 2). Di atas, semuanya ini telah dihitung.emuanya ini telah dihitung. Hasilnya = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102
Hasilnya = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102 f.
f. Didapat p = 30 (0,1) = 3Didapat p = 30 (0,1) = 3
Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.
setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.
2.1.2
2.1.2 DISTRIBUSI MULTINOMIALDISTRIBUSI MULTINOMIAL
Jika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali, peristiwa E
Jika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali, peristiwa E11, x, x22 peristiwa peristiwa E
E22, ... x, ... xk k peristiwa E peristiwa Ek k diantara n, ditentukan olehdiantara n, ditentukan oleh distribusi multinomial distribusi multinomial .. Jika pada satu percobaan tunggal dapat menghasilkan k kejadian Jika pada satu percobaan tunggal dapat menghasilkan k kejadian
,,
,,
, , …,…,
dengan peluang berturut-turutdengan peluang berturut-turut
,,
,,
, , …,…,
, maka, maka peluang untuk mendapatkanpeluang untuk mendapatkan
kejadiankejadian
,,
kejadiankejadian
,,
kejadiankejadian
,, …,…,
kejadiankejadian
, ditentukan oleh :, ditentukan oleh : P P((
))
==
,,
,,
Notasi lain P Notasi lain P((
) = f(
) = f(
;;
,,
,n)
,n)
DenganDengan
= n dan= n dan
++
= 1= 1Sedangkan 0 <
Ada operator factorial pada definisi tersebut,
Ada operator factorial pada definisi tersebut, yang dirumuskan oleh :yang dirumuskan oleh :
11 Contoh 1Contoh 1
Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang didapat Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang didapat mata 1,
mata 1, mata 2, … , mata 6 masingmata 2, … , mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah ?-masing tepat dua kali adalah ? Penyelesaian : Penyelesaian :
= 0,0034 = 0,0034 Contoh 2 Contoh 2Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru,6 dan 5 bola putih. Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru,6 dan 5 bola putih. Sebuah bola diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian Sebuah bola diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Diambil sebuah kotak lagi, dilihat dikembalikan lagi ke dalam kotak. Diambil sebuah kotak lagi, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Hal demikian warnanya, kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Hal demikian dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan tersebut, berapa dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan tersebut, berapa peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bo
peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih ?la biru, dan 3 bola putih ? Penyelesaian : Penyelesaian :
= 1;= 1;
= 2;= 2;
= 3; n = 6;= 3; n = 6;
==
;;
==
;;
==
hh
hh
= =
= 0,121= 0,121Jadi, peluang terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih adalah Jadi, peluang terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih adalah 0,121
0,121
2.1.3
2.1.3 DISTRIBUSI DISTRIBUSI HIPERGEOMETRHIPERGEOMETRIK IK
Misalnya kita berkeinginan untuk mencari peluang untuk Misalnya kita berkeinginan untuk mencari peluang untuk mendapatkan 3 buah kartu berwarna merah dalam
mendapatkan 3 buah kartu berwarna merah dalam pengambilan 5 buah kartupengambilan 5 buah kartu bridge.
bridge. Diketahui Diketahui ada ada 26 26 buah buah kartu kartu berwarna berwarna merah merah dari dari 52 52 buah buah kartukartu bridge.
bridge. Pengambilan Pengambilan 5 5 buah buah tersebut tersebut dilakukan dilakukan sekaligus sekaligus (yang (yang ini ini disebutdisebut sampling tanpa pengembalian). Eksperiment seperti ini disebut eksperiment sampling tanpa pengembalian). Eksperiment seperti ini disebut eksperiment
hipergeometrik. Variabel random yang diperoleh disebut variabel random hipergeometrik. Variabel random yang diperoleh disebut variabel random hipergeometrik.
hipergeometrik.
Dua sifat percobaan hipergeometrik adalah : Dua sifat percobaan hipergeometrik adalah :
Suatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran NSuatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan Nk dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – – k bendak benda diklasifikasikan sebagai gagal
diklasifikasikan sebagai gagal
Suatu variabel random X disebut mempunyai distribusi hipergeometrik Suatu variabel random X disebut mempunyai distribusi hipergeometrik dengan parameter N, n, dan k jika fungsi peluangnya dapat dinyatakan dengan parameter N, n, dan k jika fungsi peluangnya dapat dinyatakan dalam bentuk :
dalam bentuk : h (x; N, n, k) =
h (x; N, n, k) =
, untuk k = 0, 1, 2, ..., n, untuk k = 0, 1, 2, ..., nJika variabel random deskrit X mepunyai distribusi hipergeometrik dengan Jika variabel random deskrit X mepunyai distribusi hipergeometrik dengan parameter N, n, dan k, maka rataan dan variansinya adalah :
parameter N, n, dan k, maka rataan dan variansinya adalah : a. a.
==
b. b.
==
nn
Contoh 1 Contoh 1Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati ?
peluang diperoleh 3 kartu hati ? Penyelesaian :
Penyelesaian :
Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x = 3 Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x = 3 maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah
maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah H (3; 52, 5, 13) =
H (3; 52, 5, 13) =
= 0,0815= 0,0815Contoh 2 Contoh 2
Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluangnya di antara tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluangnya di antara 5 orang tadi :
5 orang tadi : a.
a. Tidak terdapat yang lahir tanggal 1 JanuariTidak terdapat yang lahir tanggal 1 Januari b.
b. Terdapat tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 JanuariTerdapat tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari Penyelesaian :
a.
a. Ambil x = bamyak orang di antara n =5 yang lahir pada tanggal 1Ambil x = bamyak orang di antara n =5 yang lahir pada tanggal 1 Januari.maka dengan N = 50, k = 3
Januari.maka dengan N = 50, k = 3
p (0) =
p (0) =
= 0,724= 0,724Peluangnya adalah 0,724 bahwa kelima orang itu tidal lahir pada tanggal 1 Peluangnya adalah 0,724 bahwa kelima orang itu tidal lahir pada tanggal 1 Januari
Januari b.
b. Tidak lebih dari seorang yang lahir pada 1 Januari, berarti x = 0 dan x = 1Tidak lebih dari seorang yang lahir pada 1 Januari, berarti x = 0 dan x = 1 p (0) suadah dihitung di atas
p (0) suadah dihitung di atas
p (1) =
p (1) =
= 0,253= 0,253Sehingga, peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu yang lahir Sehingga, peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu yang lahir pada 1 Januari adalah 0,724 + 0,25
pada 1 Januari adalah 0,724 + 0,253 = 0,9773 = 0,977 Contoh 3
Contoh 3
Dalam pengambilan 5 buah kartu dari seperangkat kartu bridge (yang Dalam pengambilan 5 buah kartu dari seperangkat kartu bridge (yang terdiri dari 52 kartu). Berapa peluang bahwa di antara 5 buah kartu yang terdiri dari 52 kartu). Berapa peluang bahwa di antara 5 buah kartu yang diambil tadi terdapat 3 buah kartu berwarna merah ?
diambil tadi terdapat 3 buah kartu berwarna merah ? Penyelesaian :
Penyelesaian :
N = 52 (banyaknya kartu bridg N = 52 (banyaknya kartu bridge)e)
k = 26 (banyaknya kartu yang berwarna merah) k = 26 (banyaknya kartu yang berwarna merah) n = 5 (banyaknya kartu
n = 5 (banyaknya kartu yang diambil)yang diambil)
x = 3 (banyaknya kartu merah yang diharapkan terambil) x = 3 (banyaknya kartu merah yang diharapkan terambil)
h (3; 52, 5, 26) = h (3; 52, 5, 26) =
==
= 0,3251= 0,3251Jadi, peluang bahwa di antara 5 kartu tadi terdapat 3 buah kartu berwarna Jadi, peluang bahwa di antara 5 kartu tadi terdapat 3 buah kartu berwarna merah adalah 0,3251
merah adalah 0,3251 Contoh 4
Contoh 4
Dari suatu percobaan hipergeometrik dengan a = 3, b = 37 dan n = 5, Dari suatu percobaan hipergeometrik dengan a = 3, b = 37 dan n = 5, tentukan nilai harapan (harapan matematis) dan variansnya ?
b = 37 b = 37 p = p =
==
q = 1 q = 1––
pp = 1 = 1––
==
2.2 SOAL
2.2 SOAL
1.1. Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitasSebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas munculnya sisi muka sebanyak 5 kali.
munculnya sisi muka sebanyak 5 kali. 2.
2. Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau.Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau. Diambil secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya Diambil secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya bahwa :
bahwa : a.
a. yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijauyang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau b.
b. yang terambil 1 kaleng berisi cat hijauyang terambil 1 kaleng berisi cat hijau c.
c. yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijauyang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau d.
d. yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijauyang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau 3.
3. Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak 40 secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang 40 secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang terambil tidak bocor, dan berapakah variansnya ?
terambil tidak bocor, dan berapakah variansnya ? 4.
4. Apabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatuApabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatu mail mail questionnaire
questionnaire adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1,adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1, E (X) = n . p E (X) = n . p = 5 . = 5 .
= =
= 0,375 = 0,375 Var (X) = npq Var (X) = npq
= 5 . = 5 .
..
..
= 0,3113 = 0,31132, 3, 4, dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan 2, 3, 4, dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan kepada 5 responden ?
kepada 5 responden ? 5.
5. Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak.Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak. Diambil secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk Diambil secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk diselidiki. Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan diselidiki. Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat :
terdapat : a.
a. Tidak ada yang rusak Tidak ada yang rusak b.
b. Satu rusak Satu rusak c.
c. Paling sedikit satu rusak Paling sedikit satu rusak d.
d. Paling banyak dua rusak Paling banyak dua rusak 6.
6. Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlahBila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar
bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 7 atau 11 sebanyak 2 kali, sebanyak 2 kali, bilangan yangbilangan yang sama pada kedua dadu se
sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinankali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “lainnya 3 kali “ 7.
7. Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir padaSekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya bahwa diantara 5 orang tadi,
bahwa diantara 5 orang tadi, a.
a. tidak terdapat orang yang lahir pada tanggal 1 Januaritidak terdapat orang yang lahir pada tanggal 1 Januari b.
b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januaritidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari 8.
8. Lima buah kartu diambil dari 52 kartu bridge lengkap. BerapaLima buah kartu diambil dari 52 kartu bridge lengkap. Berapa probabilitasnya bahwa kartu yang
probabilitasnya bahwa kartu yang terambil :terambil : a.
a. sebuah sebuah kartu kartu AsAs b.
b. paling sedikit 1 kartu Aspaling sedikit 1 kartu As 9.
9. Suatu perkumpuSuatu perkumpulan beranggotakan lan beranggotakan 12 orang 12 orang pria dan pria dan 8 orang wanita.8 orang wanita. Jika dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, Jika dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, berapakah kemungkinan ko
berapakah kemungkinan komisi tersebut terdiri dari :misi tersebut terdiri dari : a.
a. 3 orang 3 orang pria dan 2 pria dan 2 orang wanitaorang wanita b.
b. paling sedikit terdiri dari 3 orang priapaling sedikit terdiri dari 3 orang pria c.
c. berjenis berjenis kelamin kelamin samasama
10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 orang ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas orang ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas banyaknya ahli kimia dalam komite itu ?
BAB III BAB III PENUTUP PENUTUP
Setelah
Setelah permasalahan-permasalahan permasalahan-permasalahan yang yang berhubungan berhubungan dengandengan Distribusi Peluang ini diuraikan, maka dalam bab terakhir ini kita berusaha Distribusi Peluang ini diuraikan, maka dalam bab terakhir ini kita berusaha menarik kesimpulan dari uraian-uraian yang terdapat pada bab I dan bab II, menarik kesimpulan dari uraian-uraian yang terdapat pada bab I dan bab II, juga disampaikan saran-saran yang mungkin bermanfaat bagi calon pendidik juga disampaikan saran-saran yang mungkin bermanfaat bagi calon pendidik
di Jurusan Pendidikan Matematika khususnya di
di Jurusan Pendidikan Matematika khususnya di IKIP PGRI Madiun.IKIP PGRI Madiun. 3.1
3.1 KESIMPULANKESIMPULAN
Berdasarkan hasil deskripsi bab I dan bab II maka dapat Berdasarkan hasil deskripsi bab I dan bab II maka dapat disimpulkan sebagai berikut:
disimpulkan sebagai berikut: A.
A. Distribusi BinomialDistribusi Binomial
Jika variable random diskrit X berdistribusi Binomial, maka : Jika variable random diskrit X berdistribusi Binomial, maka :
1.
1. Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan :Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan : b (x; n, p) =
b (x; n, p) =
..
2.2. Harapan matematis = E (X) = npHarapan matematis = E (X) = np Varians = Var (X) = npq
Varians = Var (X) = npq
Dengan n = banyaknya eksperiment Dengan n = banyaknya eksperiment p = p (sukses) p = p (sukses) q = 1 q = 1 – – p = P (gagal)p = P (gagal) B. Distribusi Multinomial B. Distribusi Multinomial
Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Multinomial,
Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Multinomial, maka :maka : 1.
1. Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan :Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan : P
P
((
))
==f(
f(
;;
,,
,n)=
,n)=
,,
,,
C. DistribusiC. Distribusi HipergeomeHipergeometrik trik
Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Hipergeometrik, Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Hipergeometrik, maka :
maka : 1.
1. Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan :Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan : h (x; n, a, b) =
h (x; n, a, b) =
dengan a = banyaknya unsur sukses dengan a = banyaknya unsur sukses
b = banyaknya unsur g b = banyaknya unsur gagalagal
n = banyaknya percobaan n = banyaknya percobaan 2.
2. Harapan matematisnya = E (X) = npHarapan matematisnya = E (X) = np Variansnya = Var (X) = npq Variansnya = Var (X) = npq
dengan P dengan P
,,
yaitu probabilitas terjadinya unsur suksesyaitu probabilitas terjadinya unsur sukses 3.2. SARAN3.2. SARAN
Sebagai calon pendidik di Jurusan Pendidikan Matematika ada Sebagai calon pendidik di Jurusan Pendidikan Matematika ada beberapa
calon-calon pendidik ketika dihadapkan dengan seorang anak didik, yaitu sebagai calon pendidik ketika dihadapkan dengan seorang anak didik, yaitu sebagai berikut:
berikut:
1. Pendidik harus mampu berbicara menggunakan bahasa Indonesia yang baik 1. Pendidik harus mampu berbicara menggunakan bahasa Indonesia yang baik dan benar ketika menyampaikan pengajaran kepada anak didiknya, agar dan benar ketika menyampaikan pengajaran kepada anak didiknya, agar anak didiknya bisa menerima dan bisa mengikuti apa yang kita sampaikan. anak didiknya bisa menerima dan bisa mengikuti apa yang kita sampaikan. 2. Tidak sedikit seorang anak didik beranggapan bahwa pendidik matematika 2. Tidak sedikit seorang anak didik beranggapan bahwa pendidik matematika adalah suatu guru yang menakutkan, menyeramkan, dan menegangkan. adalah suatu guru yang menakutkan, menyeramkan, dan menegangkan. Maka untuk itu seorang pendidik matematika harus mampu membuat Maka untuk itu seorang pendidik matematika harus mampu membuat suasana tempat pengajarannya menjadi lebih hidup dan harus bisa suasana tempat pengajarannya menjadi lebih hidup dan harus bisa memastikan kalau anak didiknya senang, suka, dan nyaman diajar oleh memastikan kalau anak didiknya senang, suka, dan nyaman diajar oleh kita dan tidak menganggap kita sebagai guru yang menakutkan, juga kita dan tidak menganggap kita sebagai guru yang menakutkan, juga mereka bisa menerima materi dengan baik dan tidak merasa terpaksa. mereka bisa menerima materi dengan baik dan tidak merasa terpaksa. 3. Untuk calon pendidik matematika khususnya IKIP PGRI Madiun dua hal 3. Untuk calon pendidik matematika khususnya IKIP PGRI Madiun dua hal
yang akan kami sampaikan: yang akan kami sampaikan:
a. “Belajarlah terus agar menjadi
a. “Belajarlah terus agar menjadi Guru yang Profesional”.Guru yang Profesional”.
b. “Berbicaralah engkau maka akan segera diketahui siapa dirimu”. b. “Berbicaralah engkau maka akan segera diketahui siapa dirimu”.
DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA
Budiyono, 2004.
Budiyono, 2004. Statistika Untuk PenelitianStatistika Untuk Penelitian. Surakarta: Universitas Sebelas. Surakarta: Universitas Sebelas Maret Press.
Maret Press.
Kustini, Cahyowati Etty Tejo Dwi. 1994.
Kustini, Cahyowati Etty Tejo Dwi. 1994. Statistika Matematika I Statistika Matematika I . Jakarta:. Jakarta: Universitas Terbuka Depdikbud.
Universitas Terbuka Depdikbud. Subagyo, Pangestu, PS djarwanto. 2005
Subagyo, Pangestu, PS djarwanto. 2005 . Statistika Induktif Edisi 5.. Statistika Induktif Edisi 5. Yogyakarta:Yogyakarta: BPFE.
BPFE. Sudjana, 1975.
Sudjana, 1975. Metoda Statistika Edisi Metoda Statistika Edisi 55. Bandung: Tarsito.. Bandung: Tarsito.
http://www.wahana-statistika.com/index.php/Ilmu-Probabilita/distribusi- peluang.html
LAMPIRAN LAMPIRAN KUNCI SOAL
KUNCI SOAL 1.
1. Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas munculnyaSebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas munculnya sisi muka sebanyak 5 kali.
sisi muka sebanyak 5 kali. Penyelesaian :
Penyelesaian :
Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali (n=10). Misalkan peristiwa hasil Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali (n=10). Misalkan peristiwa hasil sukses adalah munculnya sisi muka (M). maka P (sukses) = P (M) =
sukses adalah munculnya sisi muka (M). maka P (sukses) = P (M) =
= = p,p,dan P
dan P (gagal) (gagal) = P = P (B) =(B) =
= q.-pl,= q.-pl,Tampak bahwa p + q = 1 atau p = 1
Tampak bahwa p + q = 1 atau p = 1 – – q atau q = 1q atau q = 1 – – p.p.
Peristiwa munculnya M dan B saling bebas dan merupakan partisi dari ruang Peristiwa munculnya M dan B saling bebas dan merupakan partisi dari ruang
Sehingga Sehingga
= 252 = 252
= =
= 0,246= 0,246 2.2. Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau. DiambilDiketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau. Diambil secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya bahwa :
secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya bahwa : a.
a. yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijauyang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau b.
b. yang terambil 1 kaleng berisi cat hijauyang terambil 1 kaleng berisi cat hijau c.
c. yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijauyang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau d.
d. yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijauyang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau Penyelesa
Penyelesaian ian :: a.
a. misal X = banyaknya kaleng yang berisi cat hijaumisal X = banyaknya kaleng yang berisi cat hijau Jadi X = 30
Jadi X = 30
p = probabilitas sebuah kaleng cat berisi cat hijau = 0,10 p = probabilitas sebuah kaleng cat berisi cat hijau = 0,10
q = 1
q = 1 – – 0,10 = 0,900,10 = 0,90
probabilitas yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau probabilitas yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau
= P (X = 30) = P (X = 30) = b (X;30,(0,10)) = b (X;30,(0,10)) = =
= =
b. b. untuk X = 1untuk X = 1 P (X = 1) = P (X = 1) =
= 0,1409= 0,1409Probabilitas yang terambil 1 kaleng cat berwarna hijau = 0,1409 Probabilitas yang terambil 1 kaleng cat berwarna hijau = 0,1409 c.
c. untuk Xuntuk X
1, berarti X = 1,2,3,…,301, berarti X = 1,2,3,…,30Probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau = P (X = Probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) +…+ P (X = 30)
1) + P (X = 2) + P (X = 3) +…+ P (X = 30) Karena :
Karena :
P (X = 0) + P (X = 2) +…+ P (X = 30) = 1, maka yang dicari adalah 1 – P (X = 0) + P (X = 2) +…+ P (X = 30) = 1, maka yang dicari adalah 1 – PP (X = 0)
(X = 0) P (X = 0) =
P (X = 0) =
= 0,0423= 0,0423Jadi probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau Jadi probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau
= 1
= 1 – – P (X = 0)P (X = 0) = 1
= 1 – – 0,00423 = 0,95770,00423 = 0,9577 d.
d. untuk untuk
2, berarti X = 0, 1, 22, berarti X = 0, 1, 2 Yang dicari adalah :Yang dicari adalah : P (X = 0) + P(X = 1) + P P (X = 0) + P(X = 1) + P (X = 2)(X = 2) P (X = 0) = 0,0423 P (X = 0) = 0,0423 P (X = 1) = 0,1409 P (X = 1) = 0,1409 P (X = 2) = P (X = 2) =
= 0,2277= 0,2277Jadi, probabilitas yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau = Jadi, probabilitas yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau = 0,2277
0,2277 3.
3. Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak 40Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak 40 secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang terambil secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang terambil tidak bocor, dan berapakah variansnya ?
tidak bocor, dan berapakah variansnya ? Penyelesa
Penyelesaian ian :: n = 40
n = 40
probabilitas tidak bocor = 1
probabilitas tidak bocor = 1 – – probabilitas bocor probabilitas bocor = 1 = 1 – – 0,2 = 0,80,2 = 0,8 Jadi p = 0,8 dan q = 1 Jadi p = 0,8 dan q = 1 – – 0,8 = 0,20,8 = 0,2 E (X) = np = 40 x (0,8) = 32 E (X) = np = 40 x (0,8) = 32 Var (X) = npq =40 x (0,8) x (0,2) = 6,4 Var (X) = npq =40 x (0,8) x (0,2) = 6,4
Harapan ember yang terambil tidak bocor = 32 Harapan ember yang terambil tidak bocor = 32 Variansnya = 6,4
Variansnya = 6,4
66 4.4. Apabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatuApabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatu mail mail questionnaire
questionnaire adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1, 2, 3, 4,adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan kepada 5 dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan kepada 5 responden ? responden ? Penyelesaian : Penyelesaian : Di sini n = 5 dan p = 0,2 Di sini n = 5 dan p = 0,2 X = 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 X = 0, 1, 2, 3, 4 dan 5
= 1 x= 1 x
xx
= 0,3277= 0,3277
= 10 x= 10 x
xx
= 0,2048= 0,2048
= 10 x= 10 x
xx
= 0,0512= 0,0512
= 5 x= 5 x
xx
= 0,0064= 0,0064
= 1 x= 1 x
xx
= 0,0003= 0,0003Adapun histogramnya seperti terlihat pada gambar berikut : Adapun histogramnya seperti terlihat pada gambar berikut :
5.
5. Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak. DiambilDari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak. Diambil secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk diselidiki. secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk diselidiki. Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat :
Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat : a.
a. Tidak ada yang rusak Tidak ada yang rusak b.
b. Satu rusak Satu rusak c.
c. Paling sedikit satu rusak Paling sedikit satu rusak d.
d. Paling banyak dua rusak Paling banyak dua rusak Penyelesaian : Penyelesaian : Di sini n = 10, p = 010 Di sini n = 10, p = 010 a. a.
==
xx
xx
b. b.
==
x 0,10x 0,10 xx
0,387420,38742
==
xx
xx
45 (0,00000001) (0,81) = 45 (0,00000001) (0,81) = 0.00000040.0000004 c.c. Paling sedikit rusak satu rusak, berarti Paling sedikit rusak satu rusak, berarti yang rusaknyayang rusaknya 1, 2, 3, …, 101, 2, 3, …, 10 0 0 11 22 33 44 55 Probabilitas Probabilitas 0,3277 0,3277 0,4096 0,4096 0,2048 0,2048 0,0512 0,0512 0,0064 0,0064 0,0003 0,0003 Respons Respons
Jadi, kita harus menghitung probabilitas untuk X = 1, 2, 3, …, 10, kemudian Jadi, kita harus menghitung probabilitas untuk X = 1, 2, 3, …, 10, kemudian dijumlahkan. dijumlahkan.
++
+ … ++ … +
= 1 -= 1 -
11 – – 0,348680,34868
0,651320,65132 d.d. Paling banyak dua rusak, ini berartisama dengan benda yang rusak boleh 0,Paling banyak dua rusak, ini berartisama dengan benda yang rusak boleh 0, 1 atau 2 buah. Jadi kita perlu menghitung :
1 atau 2 buah. Jadi kita perlu menghitung :
++
++
= 0,24868= 0,24868
= 0,38742= 0,38742
==
xx
xx
= 0,19371= 0,19371 0,92981 0,92981 Jadi, peluang munculnya mata dadu 2 sJadi, peluang munculnya mata dadu 2 sebanyak 3 buah adalah 0,032ebanyak 3 buah adalah 0,032 6.
6. Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilanganBila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “
kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “ Penyelesaian :
Penyelesaian : Misal :
Misal : E
E11: terjadi total 7 atau 11: terjadi total 7 atau 11 E
E22: muncul bilangan yang sama pada : muncul bilangan yang sama pada kedua dadukedua dadu E
E33: kemungkinan lainnya selain dua diatas: kemungkinan lainnya selain dua diatas
Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p11==
, p, p22==
dan pdan p33 ==
dengan distribusi multinom dan xdengan distribusi multinom dan x11 = 2, x= 2, x22 = 1, x= 1, x33 = 3 maka= 3 maka peluang yang ditanypeluang yang ditanyakan :akan : P (2, 1, 3) =
P (2, 1, 3) =
= 0,1127= 0,11277.
7. Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil
Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya bahwa diantara 55 orang. Berapa probabilitasnya bahwa diantara 5 orang tadi,
b.
b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januaritidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari Penyelesain :
Penyelesain : a.
a. misalkan X = banyaknya orang diantara yang lahir pada tanggal 1 Januarimisalkan X = banyaknya orang diantara yang lahir pada tanggal 1 Januari a + b = 50 a + b = 50 a = 3 a = 3 n = 5 n = 5 P (X = 0) = h (0; 5, 3, 47) = P (X = 0) = h (0; 5, 3, 47) =
= 0,724= 0,724Berarti bahwa probabilitas kelima orang itu tidak lahir pada tanggal 1 Berarti bahwa probabilitas kelima orang itu tidak lahir pada tanggal 1 Januari adalah 0,724
Januari adalah 0,724 b.
b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari, berarti X = 0 dantidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari, berarti X = 0 dan X = 1
X = 1
P (X = 0) sudah dihitung di atas P (X = 0) sudah dihitung di atas P (X = 1) = h (1; 5, 3, 47) =
P (X = 1) = h (1; 5, 3, 47) =
= 0,253= 0,253Sehingga peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu lahir pada Sehingga peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu lahir pada tanggal 1 Januari =
tanggal 1 Januari = 0,724 + 0,253 = 0,9770,724 + 0,253 = 0,977 8.
8. Lima buLima buah kartu ah kartu diambil dari 52 diambil dari 52 kartu bridgkartu bridge lengkap. e lengkap. Berapa probabilitasnyaBerapa probabilitasnya bahwa kartu yang terambil :
bahwa kartu yang terambil : a.
a. sebuah sebuah kartu kartu AsAs b.
b. paling sedikit 1 kartu Aspaling sedikit 1 kartu As Penyelesa Penyelesaian ian :: a. a. P (X = 1) = h (1; 5, 4, 48) =P (X = 1) = h (1; 5, 4, 48) =
= 0,30= 0,30 b.b. Kemungkinan paling sedikit 1 kartu As adalah :Kemungkinan paling sedikit 1 kartu As adalah : h (1; 5, 4, 48) + h (2; 5, 4, 48) + h (3; 5, 4, 48) + h
h (1; 5, 4, 48) + h (2; 5, 4, 48) + h (3; 5, 4, 48) + h (4; 5, 4, 48) = 0,34(4; 5, 4, 48) = 0,34 9.
9. Suatu perkumpuSuatu perkumpulan beranggotakan lan beranggotakan 12 orang p12 orang pria dan 8 ria dan 8 orang wanita. Jikaorang wanita. Jika dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, berapakah dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, berapakah kemungkinan komisi tersebut terdiri dari :
kemungkinan komisi tersebut terdiri dari : a.
a. 3 orang 3 orang pria dan 2 pria dan 2 orang wanitaorang wanita b.
Penyelesa Penyelesaian ian :: a.
a. Kemungkinan komisi terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita adalah :Kemungkinan komisi terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita adalah :
= 3= 3
= 2= 2
= =
= =
= =
= 0,3456 = 0,3456Jadi kemungkinannya adalah 0,3456 Jadi kemungkinannya adalah 0,3456 b.
b. Komisi paling sedikit mempunyai 3 orang pria adalahKomisi paling sedikit mempunyai 3 orang pria adalah Ada 3 kemungkinan : 1. Jika
Ada 3 kemungkinan : 1. Jika
= 3= 3
= 2= 2 2. 2. JikaJika
= 4= 4
=1=1 3. 3. JikaJika
= 5= 5
= 0= 0 1. 1.
0,3456 0,3456 2. 2.
0,2592 0,2592 3. 3.
0,07776 0,07776 Jadi kemungkinannyJadi kemungkinannya adalah 0,3456 + 0,2592 a adalah 0,3456 + 0,2592 + + 0,07776 = 0,680,07776 = 0,68256256 c.
c. Komisi terdiri dari jenis kelamin yang sama adalahKomisi terdiri dari jenis kelamin yang sama adalah Ada 2 kemungkinan : 1. Jika
Ada 2 kemungkinan : 1. Jika
= 5= 5
= 0= 0 2.Jika 2.Jika
= 0= 0
= 5= 5
11
0,07776 0,07776
11
0,01024 0,01024Jadi kemungkinannya adalah 0,07776 +
Jadi kemungkinannya adalah 0,07776 + 0,01024 = 0,0880,01024 = 0,088
10.
10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 orangSuatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 orang ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas banyaknya ahli ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas banyaknya ahli kimia dalam komite itu ?
kimia dalam komite itu ? Penyelesa
Penyelesaian ian ::
Andaikan X menyatakan banyaknya ahli kimia dalam
Andaikan X menyatakan banyaknya ahli kimia dalam komitekomite Maka
Maka
= {0, 1, 2, 3}= {0, 1, 2, 3}n = 5 (banyaknya orang dalam komite) n = 5 (banyaknya orang dalam komite) a = 3 ( ahli kimia)
a = 3 ( ahli kimia) b = 5 (ahli fisika) b = 5 (ahli fisika)
a.
P (X = 0) = h (0; 5, 3, 5) =
P (X = 0) = h (0; 5, 3, 5) =
=
=
b.
b. ada 1 ahli kimia pada (5 orang) komiteada 1 ahli kimia pada (5 orang) komite P (X = 1) = h (1; 5, 3, 5) =
P (X = 1) = h (1; 5, 3, 5) =
=
=
c.
c. ada 2 ahli kimia pada komiteada 2 ahli kimia pada komite P (X = 2) = h (2; 5, 3, 5) =
P (X = 2) = h (2; 5, 3, 5) =
=
=
d.
d. ada 3 ahli kimia pada komiteada 3 ahli kimia pada komite P (X = 3) = h (3; 5, 3, 5) =
P (X = 3) = h (3; 5, 3, 5) =
