BAHAN BELAJAR KOMBINATORIK DAN PELUANG

43

BAHAN BELAJAR

44 BAGIAN I PENDAHULUAN

A. PENGANTAR ISI

Bahan bacaan ini diperuntukkan bagi guru matematika sekolah menengah meliputi guru SMP, SMA, dan SMK. Materi kombinatorik dan peluang yang diberikan pada bahan bacaan ini terdiri dari 2(dua) macam. Bahan bacaan I dengan topik “Kombinatorik dan peluang pada pengundian, dan bahan bacaan II dengan topik “Kombinatorik dan peluang pada pengambilan sampel”. Bahan bacaan I lebih banyak terkait dengan materi peluang di SMP dan bahan bacaan II lebih banyak terkait dengan materi peluang di SMA dan SMK. Peluang adalah ukuran ketidakpastian munculnya suatu peristiwa dalam suatu ruang sampel hasil dari sebuah eksperimen. Eksperimen yang dimaksud dalam ilmu peluang adalah “percobaan acak” dimana si pelaku eksperimen dijamin tidak dapat mengatur hasil eksperimennya. Sehingga jika tidak ada jaminan bahwa “si pelaku eksperimen tidak dapat mengatur hasil eksperimennya” maka dikatakan bahwa eksperimen yang dilakukannya “tidak fair” atau “tidak adil”.

Ukuran ketidakpastian yang dimaksud merupakan nilai frekuensi relatif munculnya peristiwa itu jika eksperimen yang dilakukannya berulang sampai dengan tak hingga kali. Namun karena ketidakmungkinan seseorang melakukan eksperimen sampai dengan tak hingga kali, maka biasanya orang (si pelaku eksperimen) hanya akan melakukannya sampai dengan ribuan kali tertentu saja. Sebagai contoh misalnya untuk mengetahui berapa peluang munculnya masing-masing sisi mata uang logam jika diadakan eksperimen melalui “tossing” dengan cara melambungkannya ke udara dan membiarkannya jatuh ke sebuah lantai bersemen.

Untuk mengetahui nilai peluangnya penulis mengutip dari buku rujukan “Applied Finite Mathematics” karangan Prof. Howard Anton untuk eksperimen tehadap sekeping mata uang logam. Terinspirasi dengan eksperimen tersebut penulis di tahun 2001 mencoba untuk melakukannya secara pribadi atas sebuah paku payung warna putih gilap yang biasa digunakan untuk menata taplak-taplak meja pada kegiatan hajatan. Paku payung semacam ini selanjutnya kita sebut/definisikan sebagai “paku payung standar”.

45

20.000 kali akan tampak bahwa nilai frekuensi relatifnya memiliki nilai kecenderungan ke bilangan 0,5 untuk munculnya muka angka (A) pada mata uang logam dan memiliki nilai kecenderungan ke bilangan 0,31 untuk munculnya hasil miring pada paku payung standar. Selanjutnya dengan pembulatan yang sudah dianggap cukup baik hingga 1 tempat desimal akan diperolah nilai kecenderungan frekuensi relatif munculnya masing-masing hasil adalah 0,5 untuk munculnya muka angka pada mata uang logam dan 0,3 untuk munculnya hasil miring pada paku payung standar. Dalam bentuk pecahan biasa peluang masing-masing adalah

2 1

dan . 10

3

Kedua obyek eksperimen ini (mata uang logam dan paku payung) sengaja diangkat sebagai contoh obyek eksperimen agar kesalahan persepsi selama ini bahwa berbicara masalah peluang selalu dianggap bahwa peluang munculnya peristiwa A dalam ruang sampel S yakni AS adalah

P(A) = ) (

) (

S n

A n

selalu benar padahal tidak selalu benar.

Rumus nilai peluang tersebut benar jika obyek eksperimennya berdistribusi (tersebar secara) seragam dan tidak benar jika obyek eksperimennya tidak berdistribusi seragam.

Berdistribusi seragam artinya masing-masing hasil yang mungkin muncul pada setiap sisi

obyek eksperimennya berpeluang sama untuk muncul. Contohnya misal masing-masing sisi

pada obyek eksperimen yang berupa mata uang logam, dadu, dan kartu gambar (sisi sebaliknya kosong/tak bergambar) berpeluang sama untuk muncul.

Perhitungan nilai peluang untuk setiap peristiwa AS selalu benar jika kita gunakan prinsip penjumlahan, yakni peluang munculnya peristiwa AS sama dengan jumlah peluang munculnya masing-masing titik sampel yang terdapat pada peristiwa A.

Sebagai contoh selidiki bahwa pada contoh ini peluang munculnya ruang sampel S adalah P(S) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + P({s4})

= ₁₀₀9 + ₁₀₀21 + ₁₀₀21 + ₁₀₀49 S

A

100 21

s2

s3

100 21 100

9 _s1

100 49 _s4

B

46

= ₁₀₀100= 1.

Dengan cara yang sama akan diperoleh

P(A) = ₁₀₀58

,

P(B) = ₁₀₀91

,

dan P(AB) = ₁₀₀

.

49

Lebih lanjut amati bahwa ruang sampel S pada contoh di atas adalah ruang sampel

yang tidak berdistribusi seragam. Mengapa? Sebab seperti yang dapat kita lihat ternyata

tidak semua titik sampel dalam ruang sampel S berpeluang sama untuk muncul. Kini sebagai pembanding coba amati contoh kedua berikut ini.

Selidiki bahwa pada contoh yang kedua ini peluang munculnya ruang sampel S adalah

P(S) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + P({s4}) = ₄1 + ₄1 + 1₄ + ₄1 = 4

4 = 1.

Dengan cara yang sama maka untuk setiap peristiwa A, BS akan diperoleh

P(A) = ₄2

,

P(B) = ₄3

,

dan P(AB) = ₄1

.

Amati bahwa ruang sampel S pada contoh yang kedua di atas adalah ruang sampel S

yang berdistribusi seragam. Mengapa? Sebab seperti yang dapat kita lihat ternyata semua titik sampel dalam ruang sampel S berpeluang sama untuk muncul. Peluang munculnya masing-masing titik sampel dalam ruang sampel S adalah P({si }) = 4

1

untuk setiap si S. Selidiki pula bahwa untuk perhitungan nilai peluang munculnya peristiwa A dalam uang sampel S yakni AS pada contoh yang kedua ini juga akan berlaku rumus P(A) = ( )

.

) (

S n

A n

Sementara rumus tersebut tidak berlaku untuk contoh yang pertama.

Kini amati bahwa untuk ruang sampel S pada contoh yang kedua ini jika kita gunakan rumus peluang munculnya peristiwa AS berupa P(A) = n_n(_(SA)₎ untuk setiap peristiwa AS maka nilai peluang munculnya peristiwa A, B S masing-masing adalah:

Gambar 1b

S

A B

s1 4

1 4 s2

1

47 P(A) = ( )

) (

S n

A n

= 4 2

= 2

,

1

P(B) = ( ) ) (

S n

B n

= 4

.

3

Selidiki bahwa hasil-hasil tersebut ternyata sama nilai peluangnya dengan jika kita gunakan perhitungan menggunakan prinsip penjumlahan. Pembahasan selengkapnya dapat dipelajari pada bagian III. S

B. TARGET KOMPETENSI

Target kompetensi yang hendak dicapai dari bahan diklat ini adalah “Peserta diklat pasca Uji Kompetensi Guru (UKG)” dapat menentukan (1) ruang sampel, titik sampel, peristiwa, banyak anggota, dan (2) nilai peluang munculnya peristiwa yang mungkin pada setiap eksperimen (percobaan acak) yang diketahui.

Himpunan semua hasil (eksperimen) yang mungkin dari suatu eksperimen yang diberikan (diketahui) didefinisikan sebagai “Ruang Sampel” dan umumnya dilambangkan

dengan huruf kapital “S”. Sedangkan masing-masing hasil yang mungkin terjadi itu yang merupakan elemen-elemen dari S disebut sebagai titik sampel. Sementara himpunan bagian dari S yang mungkin terjadi sepoerti AS disebut sebagai peristiwa atau kejadian dalam ruang sampel S.

Kini jika jika dalam ruang sampel S peristiwa A memuat lebih dari 1 (satu) titik sampel

maka A disebut sebagai peristiwa majemuk dan jika A memuat tepat 1(satu) titik sampel

maka A disebut sebagai peristiwa sederhana atau peristiwa elementer (elementary event). Selain itu peserta diklat dapat menentukan banyak angota (banyak titik sampel yang terdapat pada setiap peristiwa yang didefinisikan dalam ruang sampel S) seperti peristiwa A,

BS dalam bentuk kata-kata/kalimat, menentukan nilai peluangnya, serta

mengidentifikasi relasi antar peristiwa dalam ruang sampel S tersebut untuk eksperimen yang berupa:

1. Pengundian (tidak melibatkan perhitungan permutasi dan kombinasi)

2. Pengambilan Sampel (melibatkan perhitungan permutasi dan kombinasi)

Pengundian yang dimaksud adalah eksperimen (percobaan acak) yang melibatkan

48

yakni kartu-kartu yang salah (kartu yang satu sisinya bergambar dan sisi lainnya kosong/tidak bergambar), dan lain-lain. Sementara pengambilan sampel yang dimaksud adalah

pengambilan acak dari sebagian obyek (sampel) dari sejumlah obyek yang jumlahnya lebih banyak (populasi). Bedakan antara “konsep sampel” dengan “konsep ruang sampel”. Sampel adalah sebagian dari keseluruhan (populasi), sedangkan ruang sampel adalah

himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu eksperimen (percobaan

acak/tindakan acak).

C. STRATEGI PEMBELAJARAN

49 BAGIAN II AKTIFITAS 1

1. Memahami Makna Kombinatorik

Untuk materi peluang ini aktifitas para peserta diklat dibagi dalam 3(tiga) tahap, yakni: tahap Inservice I, tahap Onservice, dan tahap Inservice II. Untuk memudahkan dalam mengingat-ingat selanjutnya dipersingkat menjadi kegiatan ” In - On - In”. Aktifitas pada tahap Inservice I (In I) adalah tatap muka antara peserta diklat dengan fasilitator. Peserta mendapatkan materi pembelajaran yang diperlukan untuk kelancaran memandu kegiatan onservicenya di tempat kerja (sekolah) serta tugas menyelesaikan masalah sesuai dengan hasil undian. Tugas kelompok menyelesaikan masalah merupakan tugas proyek yang hasilnya dikumpulkan pada fasilitator diklat untuk dipresentasikan pada kegiatan tatap muka In II bersamaan dengan presentasi penyelesaian tugas yang dibebankan secara kelompok dalam bentuk LK (Lembar Kerja).

Aktifitas pada tahap Onservice (praktek di sekolah atau diskusi di MGMP) selama kurun waktu sekitar 2 bulan ditambah dengan tugas kelompok penyelesaian masalah dalam bentuk LK (Lembar Kerja) yang nantinya akan dipresentasikan pada kegiatan In II, diharapkan dapat meningkatkan kompetensi pengetahuan dan ketrampilan peserta dalam melaksanakan tugas mengajarnya di sekolah masing-masing. Selanjutnya dalam rangka mencapai efektifitas dan efisiensi tujuan pembelajaran, tugas-tugas penyelesaian masalah berikut ini meskipun fokus utamanya permasalahannya terletak pada masalah (sesuai hasil undian) namun akan lebih baik jika tiap kelompok mengusahakan untuk dapat mengerjakan semuanya. Tujuannya agar tiap peserta diklat ” In - On - In” lebih dapat menghayati tingkat kesulitan masalah yang diberikan sebelum dan sesudah presentasi serta klarifikasi hasil kerja kelompok saat kegiatan In II.

Dengan alur kegiatan In - On - In seperti di atas diharapkan peserta diklat pasca UKG akan meningkat kompetensi profesionalnya secara signifikan di bidang pembelajaran matematika khususnya materi kombinatorik dan peluang yang selama ini dirasakan belum mantap dan belum meyakinkan. Selamat bekerja!

50

Kerjakan (berkelompok) masing-masing nomor soal dari 8 masalah yang diberikan dalam bentuk format Lembar Kerja (LK) seperti berikut.

LK-1 Pengerjaan

1. Masalah 1

……….. ……….. ………..

Uraian Jawaban

……….. ……….. ………..

Kelompok: ….

Anggota: 1. ………. 2. ………. dst.

LK-2 Pengerjaan

2. Masalah 2

……….. ……….. ………..

Uraian Jawaban

……….. ……….. ………..

Kelompok: ….

51

LK-3, LK-4, . . . dan seterusnya hingga LK-8 memiliki bentuk dan pola serupa/sejenis. Masalah 1 (Pengundian)

Tiga keping mata uang logam diundi sekaligus. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon. Dari gambar diagram pohon yang Bapak/Ibu ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. Pertanyaannya adalah:

a. Misalkan S adalah ruang sampel yang dihasilkan pada eksperimen ini, A adalah peristiwa munculnya muka angka minimal 1 kali dan B adalah peristiwa munculnya muka gambar minimal 1 kali. Tuliskan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. b. Tuliskan nilai-nilai peluang di masing-masing cabang yang ada kemudian tentukan

P(S), P(A), P(B), dan P(AB) yakni nilai peluang munculnya masing-masing dari ruang sampel S, peristiwa A, peristiwa B, dan peristiwa AB.

c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Selidiki relasi antara peristiwa A dan peristiwa B (pilih salah satu: lepas, komplemen,

bebas, atau tak bebas) berikan alasannya. Masalah 2 (Pengundian)

Tiga buah paku payung diundi sekaligus. Gambarkan semua hasil yang mungkin dalam bentuk diagram pohon. Dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin terjadi dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. Pertanyaannya adalah:

a. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen ini, A adalah peristiwa munculnya hasil maksimal 2 paku payung diantaranya miring, dan B adalah peristiwa munculnya hasil minimal 1 paku payung diantaranya terlentang. Tuliskan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan dari titik-titik sampel s1, s2, s3, ... dan seterusnya.

diundi sekaligus Obyek Ekp.

Cara Ekp.

52

b. Tuliskan nilai-nilai peluang di masing-masing cabang yang ada kemudian tentukan P(S), P(A), P(B), dan P(AB) yakni nilai peluang munculnya masing-masing dari ruang sampel S, peristiwa A, peristiwa B, dan peristiwa AB.

c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn berikut nilai-nilai peluangnya.

d. Selidiki relasi antara peristiwa A dan peristiwa B (pilih salah satu: lepas, komplemen, bebas, atau tak bebas) berikan alasannya.

Masalah 3 (Pengambilan Sampel)

Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin (sama bentuk dan sama ukuran) bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 2(dua) bola sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya kedua bola bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

Perintahnya adalah:

a. Gambarkan semua hasil yang mungkin dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir.. b. Nyatakan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan

elemen-elemen s1, s2, s3, ... dan seterusnya.

c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Tentukan peluang terjadinya ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B yakni nilai

masing-masing dari P(S), P(A), dan P(B).

e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan peristiwa B. Masalah 4 (Pengambilan Sampel)

Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin (sama bentuk dan sama ukuran) bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 3(dua) bola sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya 2(dua) bola diantranya bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

53

a. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir..

b. Nyatakan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan elemen-elemen s1, s2, s3, ... dan seterusnya.

c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Tentukan peluang terjadinya ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B yakni nilai

masing-masing dari P(S), P(A), dan P(B).

e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan peristiwa B. Masalah 5 (Pengambilan Sampel)

Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 2(dua) bola satu demi satu tanpa pengembalian. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya kedua bola bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

Perintahnya adalah:

a. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir..

b. Nyatakan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan elemen-elemen s1, s2, s3, ... dan seterusnya.

c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Tentukan peluang terjadinya ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B yakni nilai

masing-masing dari P(S), P(A), dan P(B).

e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan peristiwa B. Masalah 6 (Pengambilan Sampel)

54

3(dua) bola satu demi satu tanpa pengembalian. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya 2(dua) bola diantranya bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

Perintahnya adalah:

a. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir.

b. Nyatakan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan elemen-elemen s1, s2, s3, ... dan seterusnya.

c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Tentukan peluang terjadinya ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B yakni nilai

masing-masing dari P(S), P(A), dan P(B).

e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan peristiwa B. Masalah 7 (Pengambilan Acak)

Gambarkan bentuk diagram pohon dari ruang sampel S dan diagram pohon dari peristiwa A

S yakni = peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih dari eksperimen berupa pengambilan acak 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian dari obyek eksperimen 5 bola (terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih) seperti yang digambarkan berikut ini.

Gambar 3

S = Ruang sampel terambilnya 3 bola dari 5 bola.

A = peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih = {(1m dan 2p)}

P(A) = 60 36

55

Untuk diketahui bahwa A (peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih) adalah salah satu peristiwa partisi dari S. Peristiwa partisi adalah peristiwa saling lepas tetapi gabungannya sama dengan S. Peristiwa partisi selengkapnya adalah A, B dan C seperti yang digambarkan dalam bentuk diagram pohon berikut ini.

Keterangan Gambar 4

1. A, B, dan C adalah peristiwa-peristiwa partisi dalam ruang sampel S. Yakni peristiwa saling lepas yang gabungannya = S.

2. B1, B2, dan B3 adalah peristiwa-peristiwa subpartisi dari peristiwa partisi B.

3. Selidiki bahwa salah satu peristiwa subpartisi yakni B1 = {(m, m, p)} sebenarnya adalah B1 = {(m1, m2, p2), (m1, m2, p3), (m2,

pe-56

Sementara ruang sampel S adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu eksperimen berupa pengambilan acak 3 bola dari 5 bola (terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih) satu demi satu tanpa pengembalian. Gambarannya seperti berikut.

Tugas saudara sebagai peserta diklat adalah menggambar peristiwa AS yakni peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih dalam bentuk diagram pohon (boleh menggunakan diagram pohon tak lengkap seperti gambar 4 di atas) namun tetap dapat memperlihatkan bahwa n(A) = 36 seperti halnya gambar ruang sampel S yang tetap dapat memperlihatkan bahwa n(S) = 60 meski diagram pohonnya digambar dalam bentuk tak lengkap.

Masalah 8 (Prinsip Perkalian)

Misalkan dalam suatu ulangan harian disediakan 10 soal seperti yang digambarkan berikut ini.

Hasil-hasil yang Mungkin III

I

57

Dari kesepuluh nomor soal tersebut siswa diminta memilih secara bebas sebanyak 6 nomor soal dengan ketentuan sebagai berikut. Sebanyak 2 nomor soal diantaranya diminta untuk memilih dari soal nomor 1 s.d 3, sebanyak 3 nomor soal diantaranya diminta untuk memilih dari soal nomor 4 s.d 7, dan sebanyak 1 nomor soal diantaranya diminta memilih dari nomor-nomor soal sisanya. Ada berapa cara (banyaknya semua pilihan soal yang mungkin) rangkaian nomor-nomor soal yang mungkin yakni n(S) untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa pada ulangan itu?

Perintahnya adalah:

a. Gambarkan kerangka berpikir penyelesaiannya dalam bentuk diagram pohon

b. Tentukan banyak anggota ruang sampel S yakni banyaknya semua pilihan rangkaian nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa pada ulangan itu. c. Misalkan n(S) = banyaknya cara pemilihan nomor-nomor soal yang mungkin untuk dikerjakan oleh seorang siswa. Nyatakan n(S) yakni banyaknya semua rangkaian pilihan nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa itu dalam bentuk permutasi atau kombinasi.

Catatan:

1. Gambarkan ruang sampel S berikut elemen-elemen anggotanya yakni s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel s yang terakhir. Jadi nyatakan S = {s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel s yang terakhir yakni sn} pada nomor soal ini dalam bentuk diagram pohon tak lengkap seperti gambar 5. Tujuannya agar teman-teman guru yang tergabung di MGMP Matematika betul-betul menguasai secara mendalam (tercapai kompetensinya sebagai bekal fasilitasi kepada para siswa dalam mengajar) untuk materi kombinatorik dan peluang yang selama ini masih dianggap sebagai masalah karena mungkin pendekatan pembelajarannya tidak diawali dengan sajian dalam bentuk gambar.

lintingan-58

lintingan kertas seukuran. Dengan begitu maka dijamin pemilihannya bersifat acak. 3. Untuk dapat mengerjakannya dengan baik silahkan Bapak/Ibu pelajari terlebih dahulu

59 BAGIAN III BAHAN BACAAN BAHAN BACAAN I

KOMBINATORIK DAN PELUANG PADA PENGUNDIAN

A. Konsep Peluang dan Frekuensi Harapan

Masalah 1 (Konsep Peluang)

Apa yang akan terjadi bila kita undi sekeping mata uang logam sebanyak 20.000 kali dan apa yang akan terjadi jika kita undi sebuah paku payung standar (warna putih gilap) sebanyak 20.000 kali?

Catatan

60

Penyelesaian

Untuk diketahui bahwa hasil eksperimen yang pernah dilakukan oleh seseorang (Anton, 1982:79) dan eksperimen pribadi oleh penulis di tahun 2001 diperoleh hasil-hasil seperti berikut.

Hasil-hasil yang Mungkin

Cara Eksp

Hasil-hasil yang Mungkin

61

Dari kedua obyek eksperimen (percobaan acak) seperti yang diperlihatkan pada tabel di atas tampak bahwa semakin banyak eksperimen dilakukan maka frekuensi relatif munculnya muka angka (A) pada mata uang logam nilai frekuensi relatifnya akan semakin mendekati nilai 0,5000 sementara untuk eksperimen yang sama terhadap paku payung (fines) diperoleh hasil bahwa nilai frekuensi relatifnya akan semakin mendekati nilai 0,3100.

Perhatikan bahwa dalam 1 (satu) tempat desimal maka nilai frekuensi relatif munculnya muka angka (A) pada sekeping mata uang logam dan munculnya hasil miring (m) pada paku payung (paku pines) jika eksperimen dilakukan sampai dengan tak hingga kali masing-masing adalah seperti berikut.

fr (A) =

Peluang munculnya suatu hasil eksperimen yang selanjutnya disebut peluang secara teoritis didefinisikan sebagai nilai frekuensi relatif munculnya hasil itu jika eksperimen yang dilakukannya diulang-ulang sampai dengan tak hingga kali. Sementara peluang empiris

didefinisikan sebagai frekuensi relatif munculnya hasil itu jika eksperimen yang dilakukannya

diulang-ulang hingga banyak kali namun tidak tak hingga kali. Oleh sebab itu maka untuk selanjutnya dikatakan bahwa:

Peluang munculnya muka angka A Peluang munculnya hasil miring m pada mata uang logam adalah: pada paku payung adalah:

(Sumber: Anton :1982,79. Applied Finite Mathematics). Banyaknya

62 terlentang t maka

Catatan

1. Obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang sama jika diundi disebut obyek-obyek eksperimen yang seimbang (homogin) sementara obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang tidak sama jika diundi disebut obyek-obyek eksperimen yang tak seimbang (non-homogin). Pada contoh di atas mata uang logam termasuk obyek eksperimen yang seimbang sementara paku payung termasuk obyek eksperimen yang tak seimbang.

2. Untuk selanjutnya peluang yang akan kita gunakan adalah peluang teoritik.

3. Untuk kasus-kasus lain seperti misalnya ”Diketahui peluang penduduk/warga suatu pulau berkata bohong 0,6. Jika kita ambil acak 2 orang penduduk. Tentukan peluang kedua orang yang terambil itu berkata bohong. Maka P(bohong) = 0,6 diasumsikan

sebagai peluang teoritis. Artinya setelah melakukan pengamatan berulang hingga banyak kali maka frekuensi relatif bohong yakni fr(bohong) cenderung menuju ke nilai 0,6. Maka P(bohong) = 0,6. Sehingga jika diambil acak sebanyak 2(dua) orang, maka P(kedua orang berkata bohong) adalah:

P(orang I bohong dan orang II bohong) = P(I bohongII bohong) = 0,60,6 = 0,36.

Untuk Sekeping Mata Uang Logam Untuk Sebuah Paku Payung

63

Tugas

Untuk meyakinkan kebenaran bahwa P(I bohongII bohong) = 0,36. Selidiki menggunakan diagram pohon bahwa jumlah peluang munculnya ruang sampel S yakni

P(S) = P(I jujurII jujur) + P(I jujurII bohong) + P(I bohong II jujur) + P(I bohong II bohong) = 1.

Kini misalkan ada pertanyaan berapakah peluang munculnya hasil berdiri {b} jika sebuah paku payung standar diundi dengan cara melambungkannya ke udara dan membiarkannya jatuh di lantai bersemen?

Jika pada suatu eksperimen (percobaan acak) suatu peristiwa A pasti terjadi maka peristiwa itu disebut sebagai suatu kepastian. Sementara itu jika pada suatu eksperimen suatu peristiwa A tak mungkin terjadi

maka peristiwa itu disebut sebagai suatu kemustahilan.

Sekarang kita sudah dapat mengidentifikasi manakah diantara obyek-obyek eksperimen mana diantara obyek-obyek eksperimen berikut ini yang merupakan obyek eksperimen setimbang dan tak setimbang. Setimbang berarti jika obyek eksperimen itu diundi masing-masing hasil yang mungkin berpeluang sama untuk muncul.

Masalah 2 (Konsep Frekuensi Harapan)

Dari nilai-nilai peluang munculnya hasil-hasil yang mungkin pada sekeping mata uang logam dan sebuah paku payung (pines) jika diadakan pengundian kepada masing-masing obyek

Gambar 9 Hasil Berdiri

Mungkinkah? {b}

Gambar 10

(a) (b) (c)

terlentang (t) miring (m)

Obyek Tak Setimbang

muka A

(angka)

muka G

(gambar)

64

eksperimen itu bagaimana frekuensi harapan munculnya hasil yang mungkin jika pengundian dilakukan hingga 20.000 kali?

Penyelesaian

Jika pengundian dilakukan hingga 100.000 kali maka frekuensi harapan (fh) munculnya:

Muka Angka Muka Gambar fh (A) = 100.000P(A) fh (A) = 100.000P(G)

= 100.000 2 1

= 100.000 2 1

= 50.000 kali. = 50.000 kali. Hasil Miring Hasil Terlentang

fr (A) = 100.000P({m}) fr (A) = 100.000P({t}) =100.000 

10 3

= 100.000  10

7

= 30.000 kali. = 70.000 kali.

Jadi jika pengundian atas sekeping mata uang logam dilakukan sebanyak 100.000 kali maka harapan munculnya muka angka adalah sebanyak50.000 kali dan munculnya muka gambar juga sebanyak50.000 kali. Sementara untuk sebuah paku payung jika pengundian dilakukan sebanyak 100.000 kali maka harapan munculnya hasil miring 30.000 kali dan hasil terlentang 70.000 kali.

Catatan

Frekuensi harapan (fh) munculnya banyak kali hasil A yang diharapkan jika

eksperimen (percobaan acak) dilakukan sebanyak n kali didefinisikan sebagai fh (A) = n P(A).

Yakni dengan menganggap bahwa P(A) adalah peluang munculnya peristiwa A dan n adalah banyaknya kali dilakukannya eksperimen berulang.

65

B. Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa, dan Relasi Antar Peristiwa

Masalah 1 (Konsep Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Peristiwa)

Misalkan 2 (dua) keping mata uang logam diundi sekaligus. Masalah yang ditanyakan adalah: (a) Hasil-hasil apa saja yang mungkin terjadi pada eksperimen tersebut? (b) Tentukan ruang sampel, titik-titik sampel, dan peristiwa A yang didefinisikan sebagai peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 1 kali, serta peristiwa B yang didefinisikan sebagai peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 2 kali.

Gambarkan kesemuanya itu dalam bentuk diagram pohon dan kemudian dalam bentuk diagram Venn.

Penyelesaian

a. Penyelidikan Dalam Bentuk Diagram Pohon

Dalam bentuk diagram pohon gambaran selengkapnya dari eksperimen (percobaan acak) tersebut adalah seperti berikut.

Gambar 12a diundi

sekaligus Obyek Ekp.

Cara Ekp.

Hasil-hasil Yang Mungkin

A

G

A G A G

(A,A) = s1

B A S (A,G) = s2

(G,A) = s3 (G,G) = s4 Kemungkinan

I II

I II Gambar 11

diundi sekaligus ? Obyek Ekp.

I II

66 Berdasarkan peragaan gambar 11b di atas maka:

Ruang sampelnya adalah S = {s1, s2, s3, s4} = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)} Hasil-hasil yang mungkin seperti s1, s2, s3, s4 masing-masing disebut titik sampel, A = peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 1 kali = {s2, s3}, dan

B = peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 2 kali = {s4} masing-masing disebut peristiwa/kejadian dalam ruang sampel S. Peristiwa B dalam S yang tepat memiliki 1 titik sampel disebut sebagai peristiwa elementer atau peristiwa sederhana. Sementara peristiwa A yang memiliki lebih dari 1 titik sampel disebut sebagai peristiwa majemuk.

b. Penyelidikan Dalam Bentuk Diagram Venn

S = Ruang sampel hasil eksperimen.

s1, s2, s3, dan s4 adalah titik-titik sampel dalam ruang sampel S.

A, B  S masing-masing disebut peristiwa dalam ruang sampel S.

Peristiwa A yang memiliki lebih dari 1 titik sampel

disebut peristiwa majemuk dan peristiwa B yang memiliki tepat 1 titik sampel disebut peristiwa sederhana (peristiwa elementer/ elementary event). C. Prinsip Perkalian

Masalah

Misalkan kita adakan eksperimen (percobaan acak) berupa pengundian sekaligus sebuah paku payung standar (warna putih gilap) dan sebuah dadu. Pertanyaannya adalah ada berapa macam (ada berapa cara) hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen tersebut?

Penyelesaian

Amati bahwa dari masalah yang dikemukakan di atas, obyek eksperimen, cara eksperimen, dan hasil-hasil yang mungkin masing-masing adalah seperti yang digambarkan berikut.

s1

s2 s3 s4 A

B S

67

Berdasarkan kerangka penyelesaian yang digambarkan di atas dapat kita lihat bahwa obyek eksperimen I adalah sebuah paku paying sementara obyek eksperimen II adalah sebuah dadu. Cara eksperimennya adalah diundi sekaligus. Sedangkan hasil-hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan (m, 1), (m, 2), (m, 3), … dan seterusnya hingga (t, 6). Atau jika ditulis dalam bentuk lambang titik-titik sampel semuanya ada 12. Keduabelas titik sampel yang dimaksud adalah s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga s12. Sehingga ruang sampel S dari eksperimen di atas adalah:

S = {(m, 1), (m, 2), (m, 3), … , (t, 6)} atau S = { s1, s2, s3, …. , s12}. Maka n(S) = 12. Kini pertanyaan selanjutnya adalah apa kira-kira hubungan antara n(S) = 12 dengan banyaknya hasil yang mungkin untuk obyek eksperimen I yakni n(I) = 2 dan banyaknya hasil yang mungkin untuk obyek eksperimen II yakni n(II) = 6?

Amati bahwa setelah dicermati secara seksama ternyata n(S) = 12 = 2  6 = n(I)  n(II).

Yakni n(S) merupakan hasil perkalian antara banyaknya cara munculnya hasil yang mungkin pada obyek eksperimen I dengan banyaknya cara munculnya hasil yang mungkin pada obyek eksperimen II. Yakni

Gambar 13 diundi

sekaligus Obyek Ekp.

Cara Ekp.

I II

m

t

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5

6 ( t, 6) = s12 ( t, 5) = s11 ( t, 4) = s10 ( t, 3) = s9 ( t, 2) = s8 ( t, 1) = s7 ( m, 6)= s6 (m, 5) = s5 (m, 4) = s4 (m, 3) = s3 (m, 2) = s2 (m, 1) = s1

6 cara 2

cara I

II

S

n(S) = 12 Hasil-hasil

yang mungkin

Keterangan

Hasil miring m = Hasil terlentangt =

68 n(S) = 2  6 = n1  n2.

Kini bagaimana jika obyek eksperimennya sebanyak k. Yakni obyek eksperimen I, II, III, … dan seterusnya hingga K. Misalkan masing-masing obyek dapat terjadi dalam n1 cara, n2 cara, n3 cara, dan seterusnya hingga nk cara. Berapakah banyak anggota ruang sampel S jika kesemua obyek eksperimen itu diundi sekaligus? Apakah saudara sepakat jika kesemua obyek eksperimen itu diundi sekaligus maka ruang sampel S akan memuat titik sampel sebanyak

n(S) = n1  n2  n3  …  nk ?

Jika kita sepakat dengan dugaan di atas dari mana kita dapat menyimpulkannya? Apakah kita menyimpulkannya berdasarkan pola atau dari kerangka berpikir lain yang mungkin dalam bentuk gambar atau bentuk apa yang mungkin.

Perlu diingat jika kita dapat menyampaikannya dalam bentuk gambar, menurut Bruner (Jerome Bruner, 1896 – 1980) peserta didik akan dapat menangkapnya secara jelas dan akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melebihi dari apa yang pernah mereka terima dari gurunya.

Banyak anggota S seperti yang ditunjukkan pada petak di atas selanjutnya dikenal sebagai “prinsip perkalian”. Gambaran selengkapnya seperti berikut.

Gambar 14 OI OII OIII … Ok

Diundi sekaligus n1

cara n2 cara

n3 cara

nk cara Obyek Eksperimen

Cara Eksp

Ruang sampel S dengan banyak titik sampel:

n(S) = n1  n2  n3  …  nk .

O2

nk cara

…

…

…

…

…

… _…

s1 s2

s3

sn = s_{n1 x n2 x … x nk} S

n1

cara _n2 cara

Ok

O1

69

Dari kerangka berpikir yang digambarkan di atas kemungkinan terjadinya obyek eksp O1, O2, O3, ... dan seterusnya hingga obyek eksperimen Ok masing-masing dapat terjadi dalam n1 cara, n2 cara, ... , dan seterusnya hingga nk cara. Maka secara nalar hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi adalah sebanyak n1  n2  n3  …  nk cara. Yakni

n(S) = n1  n2  n3  …  nk .

D. Peluang Pada Pengundian

Masalah

Dua buah paku payung standar (warna putih gilap) diundi sekaligus. Jika A adalah peristiwa munculnya hasil kembar dan B adalah peristiwa munculnya hasil terlentang minimal sebanyak 1 kali. Pertanyaannya adalah:

a. Gambarkan hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon (termasuk ruang sampel S dan peristiwa A dalam S yakni AS)

b. Gambarkan hasil-hasil eksperimenya dalam bentuk diagram Venn.

c. Tentukan P(A) yakni peluang munculnya peristiwa A. d. Tentukan P(B) yakni peluang munculnya peristiwa B. e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan B.

Penyelesaian

a. Dengan Penalaran Lengkap

Pertama kita gambar kerangka pemikiran berkenaan dengan hasil-hasil yang mungkin: ruang sampel S, peristiwa A dan B, serta teknik perhitungan nilai-nilai peluangnya. Gambaran selengkapnya seperti berikut.

70

Dari peragaan gambar di atas akan tampak dengan jelas ruang sampel S pada eksperimen itu, peristiwa A, peristiwa B, dan perhitungan nilai peluang masing-masing. Jika A adalah peristiwa munculnya hasil kembar maka

A = {(m, m), (t, t)} = {s1, s4} sehingga

P(A) = ({s1, s4}) = P({s1}) + P({s4}) = ₁₀₀9 + ₁₀₀49 = ₁₀₀58 = 0,58.

Jika ruang sampel dan peristiwa A, BS di atas kita gambarkan dalam bentuk diagram Venn maka gambaran kerangka pemikiran selengkapnya adalah seperti berikut.

P(A) = P({s1}) + P({s4})

= ₁₀₀9 + ₁₀₀49 = ₁₀₀58 = 0,58. P(B) = P({s4}) + P({s2}) + P({s3})

= ₁₀₀49 + ₁₀₀21 + ₁₀₀21 = ₁₀₀91 = 0,91.

Jadi peluang munculnya peristiwa/kejadian A dan B dalam ruang sampel S yakni A, BS masing-masing adalah P(A) = 0,58 dan P(B) = 0,91.

b. Dengan Cara Singkat

Jika A adalah peristiwa/kejadian munculnya hasil kembar pada kedua paku payung, maka A = {(m, m), (t, t)}. Sehingga P(A) = P({(m, m)}) + P({(t, t)})

= P({(m)})P({(m)}) + P({(m)})P({(m)}) = ₁₀3



₁₀3 + ₁₀7



₁₀7

= ₁₀₀9 + ₁₀₀49 = ₁₀₀58 = 0,58. Jika B adalah peristiwa/kejadian munculnya hasil terlentang minimal 1 kali maka berarti peristiwa B = {muncul t satu kali atau muncul t dua kali} = {(m, t), (t, m), (t, t)} = {s2, s3, s4}. Maka

P(B) = P({(m, t)}) + P({(t, m)}) + P({(t, t)}) = P({m})P({t}) + P({t})P({m)) + P({t})P({t}) = 10

7 10

3



+ 10 3 10

7



+ 10 7 10

7



S

A

100 21

s2

s3

100 21 100

9 _s1

100 49 _s4

B

71

= ₁₀₀21 + ₁₀₀21 + ₁₀₀49 = ₁₀₀91 = 0,91. Jadi peluang munculnya peristiwa BS adalah P(B) = ₁₀₀91 = 0,91.

Selidiki bahwa P(A) = ₁₀₀58 , P(B) =₁₀₀91 , dan P(AB)= ₁₀₀49

.

Karena P(AB)=₁₀₀49  ₁₀₀58  100

.

91

Maka berartiP(AB)  P(A)  P(B). Sehingga peristiwa A dan B adalah dua peristiwa tak bebas. Untuk lebih jelasnya lihat relasi antar peristiwa yang digambarkan dalam bentuk diagram Venn berikut ini.

E. Relasi Antar Peristiwa

Misalkan ruang sampel S berdistribusi seragam (S homogin) yakni masing-masing titik sampelnya berpeluang sama untuk muncul. A, BS. Relasi antara peristiwa A dan B dalam ruang ruang sampel S digambarkan seperti berikut.

a. Dalam ruang sampel S (S homogin)

A dan B adalah dua peristiwa lepas.

b. A dan B adalah dua peristiwa komplemen.

A = bukan B atau B = bukan A, ditulis B = Ac P(Ac) = 1 – P(A) atau

) ' (A

P = 1 – P(A) untuk A'= Ac.

c. P(A) =

10 7

, P(B) = 10

5

, P(A B) = 10

2 . Ternyata P(A B)  P(A)  P(B), maka A dan B adalah dua peristiwa tak bebas.

d. P(A) =

10 4

, P(B) = 10

5

, P(A B) = 10

2 . Ternyata P(A B) = P(A)  P(B), maka A dan B adalah dua peristiwa bebas.

A B

S

Gambar 17.a

S

A B

Gambar 17.b

S A

B

Gambar 17.d Gambar 17.c

S

72 Latihan 1

1. Sekeping mata uang logam dan 2(dua) buah paku payung diundi sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel pada eksperimen itu.

Pertanyaannya adalah:

(a) Gambarkan diagram pohon ruang sampel S, titik sampel s1, s2, s3, ... dan seterusnya dalam S, serta peristiwa-peristiwa A, B dan AB dalam S jika A adalah peristiwa munculnya muka gambar G pada mata uang logam dan munculnya hasil kembar pada paku payung. Sementara B adalah peristiwa munculnya hasil miring m pada paku payung sebanyak 2 kali. Tentukan peristiwa A, B, dan AB dalam bentuk himpunan. (b) Gambarkan ruang sampel S, titik-titik sampel s1, s2, s3, ... dan seterusnya, serta

peristiwa-pristiwa A dan B dalam sebuah diagram Venn.

(c) Apakah A dan B merupakan 2 peristiwa lepas, bebas, tak bebas, atau komplemen? 2. Ada berapa cara hasil yang mungkin terjadi jika 4 keping mata uang logam, 1 buah dadu,

dan 2 buah paku payung diundi sekaligus. Kemukakan alasan dan penalarannya

3. Tiga buah dadu diundi sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel pada eksperimen itu. Gambar 18

S? diundi

sekaligus II

I III

Obyek Eksp

Cara Eksp

Gambar 19

? diundi sekaligus II

I III

Obyek Eksp

73 Pertanyaannya adalah:

(a) Tentukan n(S) yakni banyak anggota ruang sampel S. Jelaskan.

(b) Apakah ruang sampel S berdistribusi seragam? Yakni masing-masing titik sampelnya berpeluang sama untuk muncul. Kemukakan alasannya.

(c) Jika A, B, C, dan D masing-masing adalah peristiwa munculnya muka 1 sebanyak 0 kali, 1 kali, 2 kali, dan 3 kali, tentukan n(A), n(B), n(C), dan n(D) yakni banyak anggota titik sampel dari masing-masing peristiwa itu.

(d) Kemukakan relasi diantara peristiwa A, B, C, dan D apakah saling lepas atau saling partisi dalam ruang sampel S. Kemukakan alasannya.

4. Tiga keping mata uang logam (I, II, dan III) diundi sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel pada eksperimen itu. A, B, dan C adalah peristiwa-peristiwa dalam S dengan:

A = peristiwa munculnya muka gambar G pada mata uang ke II atau ke III B = peristiwa munculnya muka angka A pada mata uang ke I atau ke II Tentukan relasi antara peristiwa A dan B.

5. Sekeping mata uang logam diundi sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya:

a. Muka angka dalam pengundian itu. b. Muka gambar dalam pengundian itu.

6. Sebuah paku payung diundi sebanyak 1000 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya: a. Hasil miring dalam pengundian itu.

b. Hasil terlentang dalam pengundian itu.

7. Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 1200 kali. Tentukam frekuensi harapan munculnya: a. Mata dadu genap dalam pengundian itu.

b. Mata dadu prima dalam pengundian itu.

c. Mata dadu genap dan mata dadu prima dalam pengundian itu.

8. Tiga lembar kartu bergambar diundi sekaligus dengan cara melemparkannya ke udara dan membiarkannya jatuh di tanah. Pertanyaannya adalah:

74

b. Jika AS adalah peristiwa munculnya muka gambar sebanyak 2 kali, tentukan peluang munculnya peristiwa A.

c. Jika BS adalah peristiwa munculnya muka gambar sebanyak 1 kali, tentukan peluang munculnya peristiwa B.

d. Jika CS adalah peristiwa tak satupun kartu gambar muncul dalam eksperimen itu, tentukan peluang munculnya peristiwa B.

75

BAHAN BACAAN II

KOMBINATORIK DAN PELUANG PADA PENGAMBILAN SAMPEL

A. Notasi Faktorial

Masalah

Misalkan pada sebuah lomba tebak tepat yang diikuti oleh 3 regu yakni regu A, regu B, dan regu C. Misalkan pada lomba ini disediakan 3 hadiah (hadiah I, II, dan III). Pertanyaannya adalah ada berapa cara hadiah-hadiah itu dapat diberikan pada para pemenang?

Penyelesaian

Misalkan obyek eksperimen O = {A, B, C} adalah himpunan regu peserta tebak tepat. Karena pada eksperimen ini pada umumnya diberikan hadiah I, II, dan III yang tidak sama nilai rupiahnya maka berarti urutan pemenang memiliki makna yakni hadiah I lebih besar dari hadiah II, hadiah II lebih besar dari hadiah III, dan seterusnya (bila regu dan hadiahnya lebih banyak). Sehingga gambaran penyelesaiannya adalah seperti berikut.

Perhatikan bahwa berdasarkan peragaan gambar di atas maka hasil-hasil yang mungkin adalah (A,B,C), (A,C,B), (B, A,C), … , (C,B, A) atau s1, s2, s3, s4, s5, dan s6. Maka ruang sampelnya adalah S dengan banyak anggotanya n(S) = 6. Perhatikan pula bahwa n(S) = 6 berasal dari

Gambar 20 Maka

Ruang sampelnya S = {s1, s2, …, s6}. Banyaknya cara n(S) = 6.

n(S) = 6 = 321 = 3!

Urutan

S

I _C … (A,B,C) = s1

A

B

C B

C B

A

C A

B C

A

B A

II III

… (A,C,B) = s2

… (B,A,C) = s3

… (B,C,A) = s4

… (C,A,B) = s5

… (C,B,A) = s6 3

cara 2

cara _cara 1

Hasil-hasil yang mungkin

O = {A, B, C}

Bertanding untuk memperebutkan

hadiah I, II, dan III

Obyek Eksp

76

hasil kali 321. Bentuk perkalian 321 itu selanjutnya didefinisikan sebagai 3! (baca”3 faktorial). Yakni:

3! = 321.

Dengan melihat penalaran seperti yang dikemukakan di atas maka untuk setiap bilangan cacah n maka

n! = n(n – 1)(n – 1)(n –1) … 21. Lebih lanjut didefinisikan (disepakati) bahwa

0! = 1. B. Permutasi

Masalah

Misalkan pada suatu lomba tebak tepat yang diikuti oleh 3 regu (regu A, regu B, dan regu C) hanya menyediakan 2 macam hadiah saja yakni hadiah I dan hadiah II. Pertanyaannya adalah ada berapa cara hadiah-hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?

Penyelesaian

Misalkan obyek eksperimen O = {A, B, C} adalah himpunan regu peserta tebak tepat. Karena pada eksperimen ini hanya menyediakan 2 hadiah maka gambaran penyelesaiannya adalah seperti berikut.

Gambar 21 Maka

Ruang sampelnya S = {s1, s2, …, s6}. Banyaknya cara n(S) = 6 = 32.

O = {A, B, C}

Bertanding untuk memperebutkan

hadiah I dan II

Obyek Eksp

Cara

Eksp _I

A

B

C

B

A

C

C

A

B

II

S

….. (A,B) = s1

….. (A,C) = s2

….. (B,A) = s3

….. (B,C) = s4

….. (C,A) = s5

….. (C,B) = s6

2 cara 3

cara

Hasil-hasil yang mungkin

77

Dari gambaran kerangka berpikir di atas maka ada 6 cara hadiah I dan II dapat diberikan kepada para pemenang. Sehingga banyak anggota ruang sampelnya adalah n(S) = 6. Ruang sampel S yang dimaksud adalah

S = {(A, B), (A,C), (B, A), (B,C), (C, A), (C, B) } = { s1, s2, s3, …, s6}. Perhatikan bahwa n(S) = 6 tidak lain berasal dari 3 cara dan 2 cara. Yakni:

n(S) = 6 susunan urutan mempunyai makna.

Jika susunan urutan eleman-elemennya mempunyai makna maka susunan eleman-elemen itu selanjutnya disebut sebagai eleman-elemen permutasi. Sehingga n(S) = 6 artinya banyaknya permutasi 2 hadiah dari 3 peserta (regu) adalah S dengan

n(S) = P2da r i_{ha dia h}3pea er ta =

Selidiki jika banyaknya peserta n dan banyaknya hadiah yang disediakan r (tentu r  n) maka akan selalu benar bahwa banyak anggota ruang sampel S adalah n(S) dengan n(S) = P_rn.

P artinya banyaknya permutasi (susunan urutan punya makna/diperhatikan) dari pasangan berurutan r obyek yang berasal dari obyek eksperimen sebanyak n adalah

)!

78

Penyelesaian

Dari masalah yang dikemukakan di atas maka obyek eksperimennya adalah O = {A, B, C, D} sedangkan eksperimennya adalah mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 2 orang wakilnya. Bagaimana bila eksperimennya diganti dengan mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 3 orang wakilnya. Ruang sampel dari masing-masing eksperimen itu adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen itu. Penalaran selengkapnya adalah seperti berikut.

Tabel 3

No. Obyek Eksperimen Cara Eksperimen Hasil-hasil yang Mungkin (Hadir)

1.

2.

O = {A, B, C, D}

O = {A, B, C, D}

Mengundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga

Mengundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga

(A,B) = s1 .... baca A dan B = s1. (A,C) = s2

(A,D) = s3 (B,C) = s4 (B,D) = s5 (C,D) = s6 (A,B,C) = s1 (A,B,D) = s2 (A,C,D) = s3 (B,C,D) = s4

Perhatikan bahwa rangkaian hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi seperti di atas selanjutnya disebut elemen-elemen kombinasi sebab elemen hasil seperti (A,B) dan (B,A) hanya diwakili oleh (A,B) saja? Mengapa? Sebab (A,B) artinya yang hadir adalah A dan B. Sedangkan (B,A) artinya yang hadir adalah B dan A. Karena yang hadir adalah A dan B sama dengan yang hadir adalah B dan A. Maka susunan hasil eksperimen seperti (A,B) = (B,A).

Karena susunan hasil seperti (A,B) = (B,A) maka secara lebih tepat dapat diganti dengan {A,B} sebab jelas bahwa penulisan himpunan tidak memungkinkan adanya pengulangan elemen dan susunan elemen-elemennya tidak diperhatikan. Yakni {A,B} = {B,A}. Hal yang sama {A,B,C} = {B,C,A} = {C,A,B} dan lain-lain sebab sama-sama berarti bahwa yang hadir

n(S) = 6

79

adalah si A, si B, dan si C. Oleh sebab itu penulisan elemen-elemen kombinasi akan lebih tepat jika ditulis dalam bentuk himpunan bukan dalam bentuk pasangan berurutan.

Dalam bentuk himpunan, banyaknya hasil yang mungkin jika 4 bersaudara {A, B, C, D} diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga maka Kini dalam bantuk himpunan bagian banyaknya hasil yang mungkin adalah sama dengan banyaknya kombinasi 2 elemen dari 4 elemen yang tersedia dilambangkan dengan

4

Jika Elemen-elemen Kombinasi itu

dipermutasikan Banyaknya _Permutasi s1 = {A,B}

Jika Elemen-elemen Kombinasi itu Dipermutasikan _Banyaknya Permutasi

Perhatikan bahwa pola yang dapat diamati adalah:

Tabel 4

80

Dengan penalaran yang sama maka secara umum akan berlaku bahwa:

! adalah P₃20= 20 turun satu-satu sebanyak 3 faktor dibagi 3 faktorial. Yakni:

Suatu hal penting yang harus/perlu diketahui dan harus selau diingat adalah banyaknya kombinasi bersesuaian dengan bilangan-bilangan pada segitiga Pascal. Yakni:

1

Segitiga Pascal Kombinasi

Gambar 22

(a) (b)

3 faktor 20 turun 1 – 1 se

81

Dengan hafal 5 hingga 6 baris segitiga Pascal di atas maka kita akan dapat menuliskan nilai-nilai banyaknya kombinasi secara lebih cepat.

D. Terapan Dalam Pemecahan Masalah Pengambilan Sampel

Masalah

Misalkan suatu eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 2 bola akan kita lakukan atas sebuah kotak yang berisi 3 buah bola seukuran bernomor 1, 2, 3. Pertanyaannya adalah ada berapa cara (macam hasil yang mungkin terjadi) jika eksperimen yang kita lakukan (berupa pengambilan 2 bola secara acak) itu adalah pengambilannya:

(1) sekaligus,

(2) satu demi satu tanpa pengembalian, (3) satu demi satu dengan pengembalian.

Penyelesaian

Untuk memperjelas permasalahan, masing-masing ruang sampel yang dihasilkan pada ekspermen itu akan diberikan dalam bentuk gambar diagram pohon seperti berikut.

1. Pengambilan Sampel Sekaligus (Eksp 1)

Dari gambar peragaan tersebut maka:

S = { s1, s2, s3 } disebut ruang sampel, yakni himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu.

Elemen-elemen dalam ruang sampel S yakni s1, s2, dan s3 masing-masing disebut titik-titik sampel, yakni hasil-hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen itu.

Peristiwa A = {s1, s3 }yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S, disebut peristiwa/ kejadian dalam ruang sampel S tepatnya adalah peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil.

1 2 3

Eksp1:ambil acak 2 bola sekaligus

1 2

1 3

2 3

… s1

… s2

… s3 S

A Hasil-hasil

yang mungkin

Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil yang

mungkin?

A S s2

s1 s3

(a) _(b)

82

Pada ruang sampel S tersebut s1 = (1,2), s2 = (1,3), dan s3 = (2,3) masing-masing disebut

elemen-elemen kombinasi sebab susunan (1,2) = (2,1) sehingga hanya dihitung sebagai 1 titik sampel saja. Mengapa?, sebab terambilnya bola bernomor 1 dengan bola bernomor 2 sama artinya dengan terambilnya bola bernomor 2 dengan bola bernomor 1.

Banyaknya kombinasi = da r i obyek obyek

C₂ 3 = C₂da r i3 = C₂3 = 3. Maka n(S) = 3 =C₂3.

2. Pengambilan Sampel Satu Demi Satu Tanpa Pengembalian (Eksp 2)

Diagram Venn yang bersesuaian dengan diagram pohon di atas adalah seperti berikut. Dengan cara pemikiran yang sama dengan no.a, maka: Ruang sampel S = {s1, s2, s3, . . . , s6}, maka n(S) = 6. Peristiwa A = {s1, s3, s4, s6}, maka n(A) = 4.

Perhatikan bahwa dari kedua diagram di atas:

S = {s1, s2, … , s6} disebut ruang sampel dari eksperimen itu. Selidiki bahwa s1, s2, …. , s6 masing-masing merupakan elemen-elemen permutasi. Mengapa?, sebab tidak ada pengulangan obyek eksperimen pada setiap susunan elemennya dan urutan susunan elemen-elemennya diperhatikan (memiliki makna), yakni susunan elemen (1,2) (2,1). Sebab (1,2) berarti yang terambil pertama adalah bola bernomor 1 dan yang terambil kedua adalah bola bernomor 2, sehingga susunan elemen (1,2) (2,1).

Selidiki bahwa banyaknya anggota ruang sampel S adalah n(S) = 6 =P₂3. Gambar 24

1 2 3

Eksp2: ambil acak 2 bola 1-1 tanpa pengemb.

Hasil-hasil yang mungkin Ambil acak 2 bola 1 - 1 tanpa

pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin?

S

I II

1

2

3

2

3

1

3

1

2

1 2 … s1

…

1 3 … s2

…

2 1 … s3

…

2 3 … s4

…

3 1 … s5

…

3 2 … s6

…

A

3 cara

2 cara

S A s₅

s₁ s₄

s₂

s₃

s₆

83

3. Pengambilan Satu Demi Satu Dengan Pengembalian (Eksp 3)

Dengan cara pemikiran yang sama dengan no.a, maka secara diagram Venn

Ruang sampel S = {s1, s2, s3, . . . , s9}, maka n(S) = 9 Peristiwa A = {s2, s4, s6, s8}, maka n(A) = 4.

Catatan Penting

Eksp 1: S memuat 3 titik sampel. S merupakan himpunan kombinasi sebab masing-masing titik sampel anggotanya berupa elemen-elemen kombinasi yakni pengulangan nomor bola tidak dimungkinkan dan urutan nomor bolanya tidak diperhatikan

Eksp 2: S memuat 6 titik sampel. S merupakan himpunan permutasi sebab masing-masing titik sampel anggotanya berupa elemen-elemen permutasi, yakni pengulangan nomor bola tidak dimungkinkan dan urutan nomor bolanya diperhatikan (punya makna)

Eksp 3: S memuat 9 titik sampel. S bukan himpunan permutasi maupun kombinasi sebab ada titik sampel yang susunan elemen-elemen nomor bolanya diulang.

S

A s7

s2 s6

s3

s4

s8 s1

s5

s9

Gambar 25.a

Gambar 25

1 2 3

Eksp 3:ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian

Ambil acak 2 bola 1– 1 dengan pengemb. Hasil-hasil yang mungkin?

I

1

2

3

Hasil-hasil yang mungkin

S

II _A

1 … 1 1 … s1

2 … 1 2 … s2

3 … 1 3 … s3

1 … 3 1 … s7

2 … 3 2 … s8

3 … 3 3 … s9

A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil A = {s2, s4, s6, s8}. 3

cara

84

E. Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama (Penggunaan Aturan Kombinasi)

Perlu diketahui bahwa konteks permutasi dengan beberapa unsur sama dalam hal ini berbeda dengan permutasi yang telah dikemukakan sebelumnya. Letak perbedaannya ialah pada susunan elemen-elemennya. Permutasi (tanpa istilah tambahan) bermakna sebagai susunan elemen-elemen dari suatu hasil eksperimen yang tidak membolehkan adanya pengulangan elemen, sementara permutasi dengan beberapa unsur sama membolehkan adanya pengulangan elemen.

Masalah

Ada berapa cara kita dapat menuliskan susunan huruf yang berasal dari kata "MAMA".

Penyelesaian

Perhatikan bahwa huruf-huruf penyusun kata "MAMA" diambilkan dari himpunan {M, A} yaitu himpunan huruf-huruf abjad terdiri atas huruf M dan A. Unsur M dan A masing-masing diulang 2 kali pada kata MAMA. Berikut susunan huruf-huruf yang mungkin.

1. MMAA dari kata "MAMA".

Sekarang dari diagram itu perhatikan bahwa

cabang

Ada berapa cara kita dapat menyusun secara berjajar 4 bendera merah, 2 bendera kuning dan 1 bendera biru.

Ada 6 cara

85

Penyelesaian

Misalkan MMMMKKB adalah yang dimaksud sebagai 4 bendera merah, 2 bendera kuning dan 1 bendera biru.

Perhatikan susunan warna dari bendera-benderanya. MMMMKKB  ada 7 bendera terdiri dari

bendera merah : M = 4 buah bendera kuning : K = 2 buah bendera biru : B = 1 buah Sehingga :

Susunan bendera yang dapat dibuat dari bendera-bendera MMMMKKB adalah:

Dengan rumus/aturan kombinasi, pemikiran yang kita lakukan adalah seperti berikut. Banyaknya cara mengambil 4 bendera M dari 7 bendera yang ditempati adalah

7 4

C ; sehingga sisanya tinggal (7  4) = 3 bendera/obyek.

Banyaknya cara memperoleh 2 bendera K dari (7  4) = 3 bendera sisanya adalah

4

Banyaknya cara memilih 1 bendera B dari 1 bendera sisa terakhirnya adalah .

1 1

C

Sehingga banyaknya cara membentuk susunan bendera berlainan dari bendera-bendera MMMMKKB yakni P(74,2,1)menurut aturan kombinasi adalah seperti berikut.

Secara umum banyaknya cara membentuk susunan n obyek terdiri dari n1 obyek sama, n2 obyek sama, … dan seterusnya hingga nk obyek sama menurut aturan kombinasi adalah:

86

Rumus tersebut lebih dikenal sebagai rumus permutasi dengan beberapa unsur sama.

Pembuktiannya dilakukan dengan menggunakan prinsip kombinasi. F. Aturan/Prinsip Kombinasi

Masalah

Misalkan pada suatu ulangan matematika disediakan 6 nomor soal. Siswa diminta bebas memilih 4 nomor soal diantara ke 6 nomor soal dengan syarat:

1 nomor soal  dari soal nomor 1 dan 2, dan 3 nomor soal  dari soal nomor 3, 4, 5, dan 6. Perintahnya adalah

(a) Gambarkan hasil-hasil yang mungkin (nomor-nomor soal yang mungkin dipilih untuk dikerjakan) dalam bentuk diagram pohon,

(b) Ada berapa cara nomor-nomor soal yang mungkin dipilih untuk dikerjakan, (c) Cermati dan nyatakan n(S) dalam bentuk perkalian faktor-faktornya.

Penyelesaian

Untuk memperjelas pemahaman, pertama kita gambarkan penyelesaiannya dalam bentuk diagram pohon, kedua memahami penalarannya. Cermati gambar peragaannya.

1 2

87 Perhatikan bahwa nomor-nomor soal pada:

kelompok I dapat dipilih dalam 2 cara, kelompok II dapat dipilih dalam 3 cara.

Ternyata banyaknya cara yakni n(S) = 6 terkait dengan n1 = 2 cara dan n2 = 3 cara. Yakni n(S) = 6 = 23.

Pertanyaannya adalah termasuk jenis apakah (permutasi atau kombinasi atau bukan keduanya) masing- masing titik sampel s1, s2, s3, ... , s6 di atas?

Amati bahwa susunan elemen pada masing-masing titik sampel s1, s2, s3, ... , s6 di atas ternyata tidak memuat pengulangan elemen-elemen dari obyek eksperimen

O = {soal kel I dengan soal kel II) = {{1,2}{3,4,5,6}}.

Karena nomor- nomor soal yang mungkin dipilih untuk dikerjakan (sesuai syarat-syarat yang ditentukan) ternyata tidak memungkinkan adanya pengulangan elemen-elemen obyek eksperimen O dan urutan nomor-nomor soal yang harus dikerjakan boleh tidak urut maka berarti urutan nomor-nomor soalnya tidak diperhatikan.

Karena urutan nomor-nomor soalnya tidak diperhatikan maka berarti s1, s2, s3, ... , s6 masing-masing merupakan elemen-elemen kombinasi. Selanjutnya berdasarkan kerangka pemikiran yang ditunjukkan pada gambar 27 di atas ternyata banyak anggota ruang sampel S,

n(S) = 6 = 23.

Karena susunan hasil-hasil yang mungkin tidak memungkinkan adanya pengulangan unsur obyek eksperimen dan urutan unsur-unsur pada setiap hasil tidak diperhatikan maka:

2 = Cda r inomornomorsoa l soa lya ngdisedia ka n

C . Sehingga gambaran pemikiran selanjutnya menjadi:

Gambar 29

88

Kini dengan melihat pola yang digambarkan dia atas dapat disimpulkan bahwa:

Kini secara umum akan diperoleh suatu kaidah yang dikenal sebagai ”Prinsip Kombinasi”. Gambaran umumnya seperti di bawah ini. Coba pikirkan dengan cermat apa saja isian bilangan di masing-masing petak kosong pada prinsip kombinasi berikut ini.

Gambaran Umum Prinsip Kombinasi

Gambar 30 nomor soal dengan syarat:

89

Prinsip Kombinasi

Jika terdapat sekumpulan obyek eksperimen sebanyak n terdiri dari n1, n2, n3, ..., nk obyek dengan n1 + n2 + n3 + ... + nk = n dilakukan pengambilan secara acak sebanyak r obyek terdiri dari r1, r2, r3, ..., rk obyek dengan r1 + r2 + r3 + ... + rk = r, dengan pengambilan r1 obyek dari n1, dilanjutkan lagi dengan pengambilan r2 obyek dari n2, ... dan seterusnya ... hingga pengambilan terakhir rk obyek dari sisanya yakni nk, maka banyaknya hasil yang mungkin adalah sama dengan

n(S) = 1 1 n r

C  2

2 n r

C  3

3 n r

C . . . nk k r

C .

G. Identifikasi Masalah Pada Pada Pengambilan Sampel

Masalah

Sebuah kotak berisi 5 bola seukuran terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih. Dari dalam kotak diambil secara acak 3 buah bola. Jika A adalah peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih, tentukan peluang munculnya peristiwa A jika pengambilannya

1. Sekaligus

2. Satu demi satu tanpa pengembalian 3. Satu demi satu dengan pengembalian.

Penyelesaian

Untuk memudahkan pemahaman diberikan kerangka berpikir menggunakan diagram pohon seperti berikut ini. Perhatikan kerangka pemikirannya.

1. Pengambilan Sekaligus

5 bola 1 2 1

3 2

2m dan 3p

Ambil acak 3 bola sekaligus

(m1, m2, p1) = s1 (m1, m2, p2) = s2 (m1, m2, p3) = s3 (m1, p1, p2) = s4 (m1, p1, p3) = s5 (m1, p2, p3) = s6 (m2, p1, p2) = s7 (m2, p1, p3) = s8 (m2, p2, p3) = s9 (p1, p2, p3) = s10

S

A Obyek Eksp

Cara Eksp

Hasil-hasil yang mungkin

90 Tampak bahwa:

Jika 5 bola seukuran (terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih diundi sekaligus, dan A = peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih maka

Ruang sampelnya S = {s1, s2, ... , s10} n(S) = 10 Peristiwanya A = {s4, s5, ... , s9}  n(A) = 6.

Ruang sampel S berdistribusi seragam. Mengapa? Sehingga P(A) = Dengan Cara Singkat

Pengambilan sekaligus bersesuaian dengan kombinasi. Mengapa? Sehingga sekaligus adalah

P(A) = ₅3.

2. Pengambilan Satu Demi Satu Tanpa Pengembalian

Untuk cara eksperimen yang kedua ini gambaran kerangka pemikirannya adalah sebagai berikut.

Jadi peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih pada pengambilan 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian adalah:

P({(1m,2p)}) = Perhatikan bahwa arti dari:

91 Dengan cara singkat

Pengambilan satu demi satu tanpa pengembalian, banyaknya cabang bersesuaian dengan perhitungan permutasi dengan beberapa unsur sama (aturan kombinasi) Mengapa?

Sehingga P({(1m,2p)}) = Banyaknya cabangNilai peluang cabang I. Mengapa? =P₍₁3_mbola_,2p)Nilai peluang cabang I.

1. Perhatikan/selidiki bahwa hasil akhir perhitungan nilai peluang P({(1m,2p)}) ternyata sama antara pengambilan sekaligus dengan pengambilan satu demi satu tanpa pengembalian. Yakni masing-masing bernilai akhir =

5 3

2. Selidiki bahwa nilai pembilang dari pecahan 60

36 _{yakni bilangan 36 adalah} bilangan yang menyatakan banyak cara terjadinya peristiwa A yaitu peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih. Yakni

n(A) = n({1m dan 2p}) = m p P₁da r i_m 2m P₂da r i_p 3p Sedangkan penyebut 60 adalah nilai permutasi

bola Sehingga peluang terjadinya peristiwa A adalah

92

3. Pengambilan Satu Demi Satu Dengan Pengembalian

Jadi peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih pada pengambilan 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian adalah:

P({(1m,2p)}) = 125

54 . Dengan Cara Singkat

Pada pengambilan satu demi satu dengan pengembalian, banyaknya cabang bersesuaian dengan perhitungan permutasi dengan beberapa unsur sama (prinsip kombinasi) Mengapa?. Selanjutnya karena pengambilannya dengan pengembalian maka setiap terambil 1 bola merah, nilai peluangnya ₅2 _{dan setiap terambil 1 bola putih, nilai peluangnya}

5 eksperimen itu. Gambarkan kerangka berpikir penyelesaian untuk ruang sampel S dalam bentuk diagram pohon jika pengambilannya:

a. sekaligus

b. satu demi satu tanpa pengembalian c. satu demi satu dengan pengembalian. Catatan Urutan Pengambilan dan Peluang Yang bersangkutan