Pengantar Peluang
Pengantar Peluang
• Eksperimen dan Ruang Sampel
• Aturan Menghitung
•Permutasi
•Kombinasi
• Peluang
• Peluang Bersyarat
Eksperimen (Percobaan)
●Eksperimen ●Keluaran Eksperimen
●Melempar koin ●Kepala, Ekor
●Memilih item untuk inspeksi ●Cacat, sempurna
●Melakukan promosi ●Pembelian, tidak ada pembelian
●Melempar sebuah dadu ●1, 2, 3, 4, 5, 6
Peluang adalah pengukuran numerik kemungkinan suatu
kejadian terjadi
Peluang:
0 0.5 1.0
Terjadi atau tidak terjadi?
Ruang Sampel
Ruang Sampel untuk sebuah eksperimen
(percobaan) adalah himpunan semua keluaran yang mungkin terjadi dari percobaan
Untuk melempar koin: S={kepala, ekor}
Inspeksi sebuah item: S={rusak, tidak rusak}
Melempar sebuah dadu: S={1,2,3,4,5,6}
Kejadian (Event)
Kejadian adalah sebuah himpunan bagian dari Ruang Sampel
Dalam Himpunan beberapa istilah yang harus diingat selalu adalah:
- Komplemen dilambangkan dengan AC - Irisan dilambangkan dengan ∩ - Gabungan dilambangkan dengan U
Kejadian bisa merupakan komplemen, atau irisan, atau gabungan dari kejadian-kejadian lainnya
Contoh
Soal:
4 mahasiswa dipilih secara acak dari kelas Kimia dan diklasifikasikan sebagai laki-laki atau perempuan.
Berikan daftar anggota dari ruang sampelnya, S1, gunakan huruf L untuk laki-laki dan P untuk perempuan.
Jika sebuah ruang sampel baru S2 didefinisikan dimana anggota hmpunan adalah banyaknya perempuan yang terpilih.
S1 = {LLLL, LLLP, LLPP, LPPP, PPPP}
S2 = {0, 1, 2, 3, 4}
Menghitung Keluaran Percobaan
Untuk mendapatkan peluang, maka kita harus mengetahui berapa banyak keluaran yang mungkin dari sebuah
percobaan. Tiga cara yang biasa digunakan adalah:
1. Aturan Menghitung untuk percobaan multi langkah 2. Aturan Menghitung untuk Permutasi
3. Aturan Menghitung untuk Kombinasi
Aturan Menghitung untuk Percobaan Multi Langkah
Jika sebuah percobaan dapat dijabarkan sebagai barisan dari k-langkah dengan kemungkinan keluaran sebanyak n1untuk langkah pertama, n2untuk langkah kedua, ….., dan nkuntuk langkah ke k, maka banyaknya keluaran percobaan adalah:
( n
1)( n
2). ..( n
k)
Contoh
Problem:
Samsul akan merakit sebuah komputer. Terdapat 2 pilihan merek chip komputer, 4 pilihan harddrive, 3 pilihan memory, dan 5 pilihan asesoris. Ada berapa cara Samsul bisa merakit komputer terseut?
Penyelesaian : Diketahui n1 = 2, n2 = 4, n3 = 3, dan n4 = 5, maka akan terdapat n1 ×n2 ×n3 ×n4 = 2×4 ×3
×5 = 120 cara yang berbeda untuk merakit komputer tersebut.
Aturan Menghitung untuk Permutasi
Terkadang, urutan dari pemilihan merupakan hal yang harus diperhatikan. Permutasi adalah cara menghitung banyaknya keluaran
yang mungkin jika n obyek diatur dari N obyek dengan urutan tertentu
PnN=n!
(
Nn)
=(NN!−n)!Permutasi merupakan aturan perkalian, rumus diatas hanya sebagai informasi saja
Contoh
Banyak cara untuk mengatur huruf a, b, c, d adalah 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Banyak cara untuk mengatur 2 huruf dari huruf- huruf a, b, c, d adalah 4 x 3 = 12
Banyak cara untuk memilih ketua kelas, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara dari satu kelas yang berisi 35 anak adalah 35 x 34 x 33 x 32 = 1.256.640
Aturan Menghitung Untuk Kombinasi
N!=N(N−1)(N−2)...(2)(1) n!=n(n−1)(n−2)...(2)(1)
Aturan untuk menghitung keluaran percobaan disaat n obyek diambil dari sebuah himpunan yg
beranggota N (N≥n) Rumus Kombinasi
dimana
CnN=
(
Nn)
=n!(N N!−n)!Kombinasi merupakan Permutasi yang dibagi dengan banyak cara mengatur jumlah obyek yang dipilih
Contoh
Banyak cara untuk memilih 4 siswa dari 35 siswa untuk menjadi perwakilan kelas ditingkat sekolah adalah (35 x 34 x 33 x 32)/(4 x 3 x 2 x 1) = 1.256.640/24 = 52.360
PELUANG Peluang Bersyarat/
Conditional Probability
contoh:
Lembar sebuah dadu dan catat keluarannya.
Diberikan kejadian Eadl angka 1 yang muncul.
Diberikan Fadl kejadian bahwa angka yang muncul adalah bilangan ganjil.
–Berapa P(E)?
–Berapa Peluang kejadian Ejika kita telah diberi tahu bahwa yang muncul adl bil ganjil (kita tahu bahwa kejadian F terjadi?)
Peluang Bersyarat
Ide Kunci: Ruang sampel awal tidak berlaku lagi.
Ruang sampel yang terambil adalah S={1, 3, 5}
Perhatikan bahwa ruang sampel yang baru hanya terdiri dari keluaran F.
P(Eterjadi diberikan bahwa F terjadi) = 1/3 Ditulis: P(E|F) = 1/3
Peluang Bersyarat
Definisi:
Peluang Bersyarat dari kejadian E diberikan F adalah peluang bahwa kejadian E akan terjadi jika diketahui F telah terjadi
P(E∣F)=P(E∩F)
P(F) if P(F) ≠0
Peluang Bersyarat
A B
( )
( )
( ) P A B P A B
P B
Jika keluaran dari sebuah percobaan
mempunyai peluang yang sama, maka
P(E ∣F)=banyaknyakeluaranpadakejadianEF banyaknyakeluaranpadakejadianF
Contoh:
Penerima gelar akademik di US pada tahun terakhir
B M P D Total
Female 616 194 30 16 856 Male 529 171 44 26 770 Total 1145 365 74 42 1626
0.4620 1145
529
= B)
| P(Male
0.4735 1626
770
= P(Male)
P( E
∩F ) =P ( E
∣F )
∗P ( F ) P ( E
∣F )= P ( E
∩F )
P( F )
Peluang Bersyarat bisa dituliskan sbg
P( E
∩F)=0 . 8
∗0 . 4=0 . 32
contoh:
E: penurunan nilai rupiah thd dollar F: permintaan dollar
P(E)=0.40 P(F ∣E)=0.8
P(E∩F) dapatkan
Kejadian Saling Bebas Independent Events
Jika peluang terjadinya kejadian A adl sama tanpa memperhatikan apakah kejadian B terjadi atau tidak, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas (independent) satu sama lain.
maka A dan B adalah kejadian yang saling bebas.
P( A
∣B )=P( A )
Kejadian Saling Bebas Independent Events
maka hubungan berikut juga bisa disebut sebagai kejadian saling bebas:
jika dan hanya jika
Adan Badalah saling bebas.
P ( A
∩B )=P ( A
∣B ) P ( B )
P ( A
∩B )=P ( A ) P( B)
Contoh
Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar.
Dapatkan peluang mendapatkan kepala pada koin dan angka 3 pada dadu.
Peluang:
P(head) = 1/2 P(3) = 1/6
P(head dan 3) = 1/2 * 1/6 = 1/12
Aturan Kebebasan –3 kejadian Contoh:
Jika E, F, dan Gadalah saling bebas, maka
P( E
∩F
∩G ) =P ( E )
∗P ( F )
∗P( G )
Aturan kebebasan juga berlaku pada peluang bersyarat
Jika E, F, dan Gadalah saling bebas diberikan bahwa kejadian H terjadi, maka
P(E ∩F ∩G ∣H)=P(E ∣H) ∗P(F ∣H) ∗P(G ∣H)
Penting
Kejadian Saling Bebas vs. Kejadian Saling Asing (Disjoint Events)
Jika dua kejadian saling bebas,
Jika dua kejadian saling asing, tidak terjadi irisan keluaran antara kedua kejadian
P( A
∩B )=P ( A ) P( B) P( A
∣B )=P ( A )
Teorema Perkalian pada Peluang Bersyarat
Aturan tersebut bisa diperluas menjadi:
P ( A
∩B )=P ( A ) P( B
∣A )
P(A1∩A2∩A3. .. ∩An)
..=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1∩A2). ..P(An∣A1∩A2∩A3∩.. . ∩An −1)
Diagram Pohon
Diagram pohon yang menunjukkan peluang hari ini clear (cerah) atau berawan (cloudy) dan peluang hari ini hujan diketahui cerah atau berawan.
a.Dapatkan peluang bahwa hari ini adalah cerah dan kemudian terjadi hujan
Pilih dahan yang menunjukkan cerah kemudian terjadi hujan.
P(cerah dan hujan) = P(hujan | cerah) • P(cerah)
= 0.04 • 0.28
= 0.011
Diagram Pohon
b.Dapatkan peluang hari tidak hujan
Dahan yang memuat tidak hujan ada pada hari cerah dan hari berawan.
Dapatkan peluang pada kedua dahan dan tambahkan.
P(cerah dan tdk hujan) + P(berawan dan tdk hujan) =
P(cerah) • P(tdk hujan | cerah) + P(berawan) • P(tdk hujan | berawan)
= 0.28(.96) + .72(.69)
= 0.7656
Maka, peluang hari tidak hujan adl sekitar 77%.
