Pengantar Proses Stokastik

(1)

Pengantar Proses Stokastik

Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

(2)

Ruang Sampel dan Kejadian

Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.

(3)

Gabungan Kejadian

A ∪ B = {a ∈ S : a ∈ A atau a ∈ B}

Irisan Kejadian

(4)

Kejadian A dan B bersifat ’mutually exclusive (saling asing)’ jika A ∩ B = φ.

Komplemen

(5)

Partisi Ruang Sampel

Sebuah himpunan kejadian {A1, A2, . . .} merupakan partisi

dari ruang sampel S jika

1 _{Kejadian-kejadian tersebut bersifat ’mutually exclusive’,}

Ai∩ Aj = φ jika i 6= j . 2 _∪_i_A_i _{= S}

(6)

Peluang

Peluang kejadian A adalah

P(A) = lim

n→∞

n(A) n n(A) : banyaknya keluaran A

n : banyaknya percobaan atau

P(A) = n(A)

n(S ) n(A) : banyaknya keluaran A

(7)

Sifat-sifat peluang

1 _{0 ≤ P(A) ≤ 1} 2 _{P(S ) = 1 P(φ) = 0}

3 _{Untuk himpunan kejadian A}₁_{, A}₂_{, . . . yang ’mutually exclusive’,}

P ∞ [ n=1 An ! = ∞ X n=1 P(An)

4 _{P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)} 5 _P(Ac_{) = 1 − P(A)}

(8)

(9)

Jawab:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.6 P(A ∪ Bc) = P(A) + P(Bc) − P(A ∩ Bc) = 0.6 Jumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh

2P(A) + P(B) + P(Bc) − (P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc)) = 1.2

2P(A) + 1 − P(A) = 1.2 P(A) = 0.2 Note:

(10)

Peubah Acak

Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. Contoh:

Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan2 dengan peluang munculnya

P(X = 0) = P(BB) = 1 4 P(X = 1) = P(MB, BM) = 1 2 P(X = 2) = P(MM) = 1 4

(11)

Peubah Acak Diskrit

Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {xi, i = 1, 2, . . .} sedemikian hingga

P [ i {X = x_i} ! =X i P(X = xi) = 1

(12)

Fungsi peluang p(x ) = P(X = x ) = ( pi, jika x = xi 0, lainnya . Fungsi distribusi FX(x ) = X i p(xi)

(13)

Distribusi Binomial

Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya

p(0) = P(X = 0) = 1 − p p(1) = P(X = 1) = p

di mana p merupakan peluang sukses dan 0 ≤ p ≤ 1. Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.

(14)

Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya

p(x ) =n

x

(15)

Misalkan sebuah mesin pesawat akan rusak dalam penerbangannya dengan peluang 1 − p, saling bebas antara mesin satu dengan lainnya. Misalkan pesawat akan terbang dengan sukses jika setidaknya 50% mesinnya dapat bekerja dengan baik. Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin?

(16)

Peluang bahwa pesawat dengan 4 mesin akan terbang dengan sukses adalah P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) =4 2 p2(1 − p)2+4 3 p3(1 − p) +4 4 p4(1 − p)0 = 6p2(1 − p)2+ 4p3(1 − p) + p4

Peluang bahwa pesawat dengan 2 mesin akan terbang dengan sukses adalah P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) =2 1 p(1 − p) +2 2 p2(1 − p)0 = 2p(1 − p) + p2

(17)

Maka, peluang pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin adalah

6p2(1 − p)2+ 4p3(1 − p) + p4 ≥ 2p(1 − p) + p2 6p(1 − p)2+ 4p2(1 − p) + p3 ≥ 2 − p 3p3− 8p2+ 7p − 2 ≥ 0 (p − 1)2(3p − 2) ≥ 0 p ≥ 2 3

(18)

Distribusi Geometrik

Misalkan percobaan-percobaan yang saling bebas, masing-masing memiliki peluang sukses p, dilakukan hingga diperoleh sukses pertama. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mencapai sukses pertama, maka X dikatakan sebagai peubah acak Geometrik dengan parameter p dan fungsi peluangnya

(19)

Sebuah koin dilemparkan dengan peluang muncul sisi muka sebesar p, sampai muka pertama muncul. Misalkan N menyatakan

banyaknya pelemparan yang dibutuhkan, asumsikan bahwa masing-masing pelemparan yang sukses saling bebas. Tentukan P(N)!

(20)

N merupakan p.a yang menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan sehingga muncul sisi muka yang pertama. Maka

P(N = 1) = P(M) = p, P(N = 2) = P(B, M) = (1 − p)p, P(N = 3) = P(B, B, M) = (1 − p)2p, .. . P(N = n) = P(B, B, . . . , B, M) = (1 − p)n−1p, n ≥ 1 Note: muncul B sebanyak n − 1 kali

(21)

Distribusi Poisson

Sebuah peubah acak X yang bernilai 0, 1, 2, . . . dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter λ, jika untuk λ > 0,

P(X = x ) = e−λλ

x

x !, x = 0, 1, 2, . . .

Distribusi Poisson menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu selang waktu atau area tertentu.

(22)

Misalkan banyaknya kesalahan penulisan dalam sebuah halaman dari suatu buku berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 1. Hitung peluang bahwa terdapat setidaknya satu kesalahan pada halaman 5!

(23)

(24)

Peubah Acak Kontinu

X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f (x ), terdefinisi untuk semua bilangan real x ∈ (−∞, ∞) sehingga

FX(x ) = x Z −∞ fX(t)dt atau fX(x ) = d dxFX(x )

(25)

Distribusi Uniform

Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Uniform sepanjang interval (a, b) jika fungsi peluangnya diberikan

fX(x ) =

( ₁

b−a, a < x < b

(26)

(27)

fX(x ) = 1 1 − (−1) = 1 2, −1 < x < 1 Maka P |X | > 1 2 = P X < −1 2 + P X > 1 2 = −1/2 Z −1 1 2dx + 1 Z 1/2 1 2dx = 1 2x −1/2 −1 + 1 2x 1 1/2 1 1 1 1 1

(28)

Distribusi Eksponensial

Sebuah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi peluang sebagai berikut, untuk suatu λ > 0,

fX(x ) =

(

λe−λx, jika x ≥ 0

0, jika x < 0 .

(29)

Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bank

berdistribusi Eksponensial dengan mean 10. Berapa peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani?

(30)

P(X > 15) = 1 − P(X ≤ 15) = 1 − (1 − e−15λ) = e−15(101) = e−

3 2

(31)

Distribusi Gamma

Sebuah peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang fX(x ) =

1 Γ(α)βαx

α−1_e−x

β_{, x ≥ 0}

untuk suatu β > 0, α > 0 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter (α, β)

(32)

Definisi fungsi Gamma: Γ(α) = ∞ Z 0 e−xxα−1dx Note: Γ(n) = (n − 1)! Γ(n + 1) = nΓ(n), n > 0

(33)

(34)

Misalkan X ∼ Gamma(α = 1, β) maka f (x ) = 1 Γ(1) β1x 1−1_e−x β = 1 βe −x β Maka X ∼ Eksp λ = _β1

(35)

Distribusi Normal

X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ2

jika fungsi peluang X diberikan fX(x ) = 1 σ√2πe −1 2( x −µ σ ) 2 , ∞ < x < ∞

(36)

Jumlah (dalam ons) sereal MILO berdistribusi Normal dengan mean 16.5 dan standar deviasi σ. Jika si pengemas MILO

disyaratkan harus mengisi minimal 90 % kotak sereal MILO dengan 16 ons atau lebih, berapa nilai maksimal dari σ?

(37)

X ∼ N(16.5, σ2) P(X ≥ 16.5) = 0.9 P Z ≥ 16 − 16.5 σ = 1 − P Z ≤ 16 − 16.5 σ = 0.9 P Z ≤ −0.5 σ = 0.1 Z ≤ −0.5 σ = −1.28 σ = 0.390625

(38)

Ekspektasi

Distribusi Kontinu E (X ) = ∞ Z −∞ x fX(x )dx Distribusi Diskrit E (X ) =X i xipi

(39)

Karakteristik ekspektasi: E (g (X )) =

∞

R

−∞

g (x )f (x ) (untuk distribusi kontinu) E (cX ) = cE (X ), c konstan

E (aX + b) = aE (X ) + b

E (X1+ X2+ . . . + Xn) = E (X1) + E (X2) + . . . + E (Xn)

(40)

Misalkan X menyatakan lama (jam) mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik dan fungsi peluang X adalah sebagai berikut:

f (x ) = (

x − 2, 2 ≤ x < 3

1

4, 4 < x < 6

Berapa rata-rata lama waktu mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik?

(41)

E (X ) = ∞ Z −∞ x f (x ) dx = 2 Z −∞ x (0)dx + 3 Z 2 x (x − 2) dx + 4 Z 3 x (0)dx + 6 Z 4 x 1 4 dx = 1 3x 3_{− x}2 3 2 + 1 8x 2 6 4 = 25 6

(42)

Variansi

Variansi:

Var (X ) = E [(X − ¯X )2] = E (X2) − [E (X )]2 Karakteristik variansi:

Var (cX ) = c2Var (X ), c konstan Var (X1+ X2+ . . . + Xn) =

n

P

i ,j =1

Cov [Xi, Xj]

Var (X1+ X2+ . . . + Xn) = Var (X1) + Var (X2) + . . . + Var (Xn),

(43)

Kovariansi

Kovariansi:

Cov (X , Y ) = E [(X − ¯X )(Y − ¯Y )] = E (XY ) − E (X )E (Y ) Karakteristik kovariansi:

Cov (X , X ) = Var (X )

Cov (X , Y ) = 0, jika X dan Y saling bebas Cov (X , Y ) = Cov (Y , X )

(44)

Diskusi

1. Diketahui f (x ) =      2x , 0 ≤ x ≤ 1₂ 3 4, 2 < x < 3 0, x yang lain . Tentukan: a. P X > 1₄ b. Tentukan F (x )

2. Diketahui fungsi peluang:

f (x ) = c(4x − 2x2), 0 < x < 2 Hitung E (X ) pada P 1₂ < X < 3₂.

(45)

3. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?

(46)

4. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X /th memiliki fungsi peluang:

fX(x ) =

x (4 − x )

9 , 0 < x < 3

Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y ! Tentukan ekspektasi dari Y !

(47)

Pustaka

Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press.

Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press.