Probabilitas Beberapa
Peristiwa (2)
Kelompok 2
1. Faridah Humane Saraswati H0819050 2. Fatimah Az Zahra H0819051
3. Fauzan Hadyan Aryaputra H0819052 4. Febri Nur Yasin H0819054
5. Febriani Puspitaningrum H0819055 6. Febrypanka Tristan Leatemia H0819056 7. Fitria Nur Hidayah H0819057
8. Galuh Wahyu Pratiwi H0819058 9. Gilang Aji Saloka H0819059
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
Banyak kejadian yang sulit diketahui dengan pasti.
Namun kita dapat mengetahui kejadian tersebut “akan terjadi” dengan melihat fakta-fakta yang ada.
Dalam statistika fakta-fakta tersebut digunakan untuk
mengukur derajat kepastian atau keyakinan yang disebut
dengan Probabilitas/Peluang (P)
PERUMUSAN PROBABILITAS
Bila kejadian E terjadi sebanyak m kejadian dari keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi (n). Dan masing-masing dari n kejadian tersebut mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul,
maka probabilitas kejadian E adalah :
n E m
P
CONTOH :
Hitung probabilitas terambilnya sebuah kartu hati dari seperangkat kartu bridge lengkap yang diambil secara acak!
Jawab:
Jumlah kartu bridge lengkap (n) = 52 Jumlah kartu hati (m) = 13
Misal E adalah kejadian munculnya kartu hati, maka :
52 13 n
E m
P
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
• Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan statistik.
• Ruang sampel merupakan himpunan semesta (S)
• Anggotanya disebut titik sampel.
• Kejadian adalah himpunan dari semua hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.
• Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel
• Kejadian dilambangkan dengan huruf capital misam A,B,C dst
• Anggotanya disebut juga titik sampel.
RUANG SAMPEL
DAN KEJADIAN (LANJUTAN)
Ruang sampel S Himpunan semesta S Kejadian A Himpunan bagian A Titik sampel Anggota himpunan
S A
RUANG SAMPEL
DAN KEJADIAN (LANJUTAN)
Bila kejadian A terjadi sebanyak m cara pada ruang sampel S yang terjadi sebanyak n cara, maka probabilitas kejadian A adalah :
dimana :
n(A) = banyak anggota A n(S) = banyak anggota S
S m n
n A A n
P
CONTOH :
Contoh :
Pada pelemparan 2 buah uang logam :
a. Tentukan ruang sampel!
b. tentukan probabilitas kejadian A! (A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari 2 uang logam tersebut)
Jawab :
c. Ruang sampelnya :
d. A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga probabilitas kejadian A adalah :
Uang logam 2
g a
Uang Logam 1
g (g,g) (g,a) a (a,g) (a,a)
S 42 12n A A n
P
SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN A
Bila 0<P(A)<1 atau berupa pecahan, maka n(A)<n(S)
Bila A = 0 (himpunan kosong) maka A tidak terjadi pada S dan n(A)=0 sehingga P(A) = 0
Bila A = S, maka n(A)=n(S)=n sehingga P(A) = 1
PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK
Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan B
,
banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :
maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:
B A
S S
A B
A B n(A) n(B) - n A B
n
A B P(A) P(B) - P A B
P
PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK (LANJUTAN)
Untuk 3 kejadian maka :
Maka Probabilitas majemuknya adalah :
B A
S
C
A B C
P A P B P C -P A B
-P A C
-P B C
P A B C
P
PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK (LANJUTAN)
Contoh 1 :
Diambil sebuah kartu secara acak dari satu set kartu bridge lengkap.
Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka hitunglah
Jawab :
Jumlah kartu As (A) = 4
Jumlah kartu wajik (B) = 13 Jumlah kartu As Wajik = 1
A B
P
13 4 52
16 52
1 52
13 52
4
B A
P B
P A
P B
A P Maka
wajik) As
(kartu 52
B 1 A
P , 52 B 13
P , 52 A 4
P
PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK (LANJUTAN)
Contoh 2 :
Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus (P(A)) adalah 2/3 dan peluang ia lulus Statistika (P(B)) adalah 4/9.
Peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas (kalkulus atau Statistika) adalah 4/5,
Berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut (kalkulus dan statistika)?
Jawab :
DUA KEJADIAN SALING LEPAS
A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas apabila
A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku
Artinya dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.
Dengan demikian probabilitas adalah :
B A
S
0 B
A
B A
A B P A P B
P
CONTOH :
Contoh :
Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas munculnya dua sisi dadu dengan jumlah 7 atau 11!
Jawab :
Misal A = kejadian munculnya jumlah 7 B = kejadian munculnya jumlah 11
Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan diperoleh : A = {(6,1),(5,2),(4,3),(2,5),(1,6),(3,4)}
B = {(6,5),(5,6)}
Berarti A dan B saling lepas (tidak ada anggota A di B) sehingga
P(A) = 6/36 P(B)=2/36
A B
0 P DUA KEJADIAN
SALING KOMPLEMENTER
Bila A adalah anggota S ( ) maka A
catau A’ adalah himpunan anggota S yang bukan anggota A.
Dengan demikian dan
Rumus probabilitasnya :
S A’ A
S A
0 A'
A A A' S
DUA KEJADIAN SALING KOMPLEMENTER
Contoh :
Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukan probabilitas terpilihnya bukan bola merah !
Jawab :
Jumlah seluruh bola (n(S)) =20 Jumah bola merah (n(A))= 8
Probabilitas terambilnya bola merah = P(A) = 8/20
Probabilitas terambilnya bola bukan merah = P(A’) = 1-P(A) = 1- 8/20 =12/20
DUA KEJADIAN SALING BEBAS
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B juga tidak mempengaruhi kejadian A.
Rumus :
A B P A . P B
P
Contoh :
Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X 3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y 5 dadu II saling bebas?
Jawab :
A= kejadian munculnya muka X 3 dadu I B= kejadian munculnya muka Y ≧ 5 dadu II Dari ruang sampel diperoleh :
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}
B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6), (4,6),(5,6),(6,6)}
A B = {(1,5), (2,5),(3,5),(1,6),(2,6),(3,6)}
Maka diperoleh P (A B ) =
=
P (A) =
=
P (B) =
=
•
P (A B ) = P (A) . P (B)
=
.
=
Maka A dan B saling bebas
PROBABILITAS BERSYARAT
Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat B dan ditulis A/B.
Probabilitas terjadinya A bila kejadian B telah terjadi disebut probabilitas bersyarat P(A/B).
Rumusnya :
, P B 0
B P
B A
A/B P
P
Contoh :
Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :
a. Laki-laki
b. Wanita
Tabel status alumni Perguruan Tinggi tahun 2019 menurut jenis kelamin dan status bekerja.
1. Berapakah peluang terpilih alumni yang bekerja dengan syarat dia adalah-laki-laki 2. Berapakah peluang terpilih alumni perempuan dengan syarat dia belum bekerja
Jawab :
Contoh Cara mengisi tabel : 1). Cara memperoleh 0,6 1200/2000 = 0,6
2). Cara memperoleh 0,45 900/2000 = 0,45
3). Cara memperoleh 0,4
800/1200 × 0,6 = 0,4 atau 800/900 × 0,45 = 0,4
Jawaban
1. peluang terpilih alumni yang bekerja dengan syarat dia adalah-laki-laki
2. peluang terpilih alumni perempuan dengan syarat dia belum bekerja
PROBABILITAS BERSYARAT
UNTUK KEJADIAN SALING BEBAS
Bila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S yang saling bebas dengan P(A)=0 dan P(B)=0 maka berlaku :
Bila
Untuk kejadian A,B, dan C maka :
A/B P A dan P B/A P B
P
A B P A/B . P B P
maka ,
B P
B A
A/B P P
P A B C P C/A B .P B/A .P A
Contoh :
Misal kita mengambil 3 kartu (diambil 3 kali) pada kartu bridge yang lengkap. Setiap mengambil kartu, kartu yang terpilih tidak dikembalikan pada kelompok kartu tersebut. Hal ini dikatakan pengambilan kartu tanpa pengembalian. Tentukanlah probabilitas untuk memperoleh 3 kartu As!
Jawab :
S = kumpulan kartu dimana n(S) = 52 Jumlah kartu As dalam satu bridge = 4
(Dalam soal tertulis bahwa pengambilan tanpa pengembalian, maka)
Misal A terpilih kartu As pada pengambilan pertama, n(A)=4 dan n(S)=52
P (A) =
Misal B terpilih kartu As pada pengambilan kedua , n(B/A)=3 dan n(S)=51
P () =
Misal C terpilih kartu As pada pengambilan ketiga, n(C/ A B )
=2 dan n(S)=50
P () = Maka,
•
P ( A∩B∩C ) = P ( C/A ∩B ) .P ( B/A ) .P ( A )
RUMUS/ TEOREMA BAYES
Probabilitas kejadian bersyarat :
Secara umum bila A1,A2,…,An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas
kejadian bersyarat Ai/B adalah :
B/Ai
.P Ai PA3 P
. B/A3 P
B P
A3 B
A3/B P P
Ai P . B/Ai P
A2 P
. B/A2 P
B P
A2 B
A2/B P P
Ai P . B/Ai P
A1 P . B/A1 P
B P
A1 B
A1/B P P
n1 i
Ai P
. B/Ai P
Ai P
. B/Ai P
B P
Ai B
Ai/B P
P
Contoh :
Ada 3 kotak yang masing-masing berisi 2 bola. Kotak I berisi 2 bola
merah, kotak II berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak III berisi 2 bola putih.
Dengan mata tertutup anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil tersebut. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak I, II, dan III?
Jawab :
A1 = kejadian terambilnya kotak I A2 = kejadian terambilnya kotak II A3 = kejadian terambilnya kotak III
B = kejadian terambilnya bola merah Ditanya : P(A1/B), P(A2/B), dan P(A3/B) Karena diambil secara acak maka :
P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak I adalah P(B/A1)=1.
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak II adalah P(B/A2)=1/2.
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak III adalah P(B/A3)=0.
P(B) = P(B/A1).P(A1)+P(B/A2).P(A2)+P(B/A3).P(A3) = 1. + . + 0.
P(B) =
•
Jadi,
0 2
1 3 0 1 B
P
A3 P
. B/A3 P
B P
A3 B
A3/B P P
3 1 2
1 3 1 2
1 B
P
A2 P
. B/A2 P
B P
A2 B
A2/B P P
3 2 2
1 3 1 1 B
P
A1 P
. B/A1 P
B P
A1 B
A1/B P P
