1 PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG
A. KAIDAH PENCACAHAN
Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung
berapa banyaknya cara yang mungkjin terjadi dalam suatu percobaan. Kaidah
pencacahan meliputi aturan pengisian tempat, permutasi dan kombinasi.
1. Aturan Pengisian Tempat
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua dapat
terjadi dalam n cara, pasangan kejadian dapat terjadi dalam mn cara.
Prinsip ini dapat digeneralisasikan untuk memasukan banyak kejadian
yang dapat terjadi dalam n1, n2, n3, . . . nk cara. Banyaknya k kejadian dapat
terjadi dalam n1 n2 n3 . … nk cara.
Contoh 1
Gunakan Asas Perkalian untuk menyelesaikan masalah ini.
Setiap Minggu sebuah surat kabar mempublikasikan daftar 15 buku fiksi
terbaik dan 10 buku non fiksi terbaik. Dalam berapa cara yang berbeda
dalam memilih satu buku fiksi dan non fiksi dari daftar?
Penyelesaian
Buku fiksi dapat dipilih dalam 5 cara dan buku non fiksi dalam 10 cara.
Buku fiksi dan non fiksi dapat dipilih dalam cara, atau 150 cara
2. Permutasi
Definisi: Permutasi
Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan
2 Definisi: Notasi Faktorial
Untuk masing-masing bilangan bulat positif n,
n! =
Demikian juga, 0! = 1.
Definisi: Notasi nPr
Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan , banyaknya
permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah
n
P
r=
Contoh 2
Berapa banyaknya permutasi dari pengambilan 5 kartu pada 52 kartu? Penyelesaian
Banyaknya permutasi dari 52 kartu yang diambil 5 pada suatu waktu
adalah 52P5, atau .
Jawaban
Ada 311.875.200 permutasi dari pemilihan 5 kartu dari 52 kartu.
Contoh 3
Dalam berapa caraseorang presiden, wakil presiden, sekretaris dan bendahara dapat dipilih dari sebuah klub yang beranggotakan 35?
3 Jika asumsikan bahwa tidak ada orang yang dapat menduduki fua jabatan,
dan semua anggota mampu menjadi pengurus, masalah ini menyertakan
banyaknya permutasi dari 30 orang yang diambil 4.
30P4 =
Jawaban
Ada 657.720 cara.
Permutasi dengan Pengulangan
Untuk semua bilangan positif n dan r dengan , banyaknya permutasi
yang berbeda dari n objek, r diantaranya sama, adalah
!
seterusnya, ada permutasi dari n objek yang berbeda.
Contoh 4
Berapa banyaknya permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI? Penyelesaian
permutasi yang berbeda.
Jawaban
Ada 34.650 permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI.
4 Definisi: Kombinasi
Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.
Definisi: Notasi nCr
Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan , banyaknya kombinasi
n objek yang diambil 4 objek pada suatu waktu adalah
!
Sederhanakan 8C5
Penyelesaian
Berapa banyaknya cara 5 kartu dapat dibentuk dari 52 kartu? Penyelesaian
Berapa banyaknya cara untuk memilih 3 siswa SMP dan 4 siswa SMA dari
sebuah sekolah kursus dengan 10 mahasiswa tingkat pertama, 15 mahasiswa
5 Penyelesaian
3 Siswa SMP dapat dipilih dalam 18C3 cara.
4 siswa SMA dapat dipilih dalam 20C4cara.
Siswa SMP dan SMA dapat dipilih dalam 18C3 20C4 cara.
3
18C 20C4
B. Peluang
1. Pengertian percobaan, ruang sampel dan kejadian a. Percobaan
Sifat dasar percobaan:
1. Setiap jenis percobaan mempunyai kemungkinan hasil atau
peristiwa (kejadian) yang akan terjadi.
2. Hasil dari setiap percobaan secara pasti sulit ditentukan
Ilustrasi:
Percobaan Kemungkinan Hasil
Melempar 1 keping mata uang
logam
Mucul gambar (G) atau angka (A)
Melempar 1 buah dadu Muncul mata 1, 2, 3, 4, 5 dan 6
b. Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada
suatu percobaan dilambangkan dengan S
Titik Sampel adalah elemen-elemen (anggota-anggota) dari ruang
sampel
c. Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari
6 2. Menentukan Peluang Kejadian
a. Definisi Peluang
Misalnya S adalah rung sampel dari suatu percobaan dengan setiap
anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama. Andaikan A
adalah suatu kejadian dengan , maka peluang kejadian A adalah
Dengan
n(A) : banyak anggota dalam kejadian A
n(S) : banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S
Sifat-Sifat Dasar Peluang
Untuk setiap kejadian E dari ruang sampel S:
I.
II. E = S, maka P(E) = 1
III. Jika
IV.
Peluang Bersama dari Kejadian yang Saling Asing Jika A dan B kejadian yang saling asing, maka
Definisi: Kejadian Independen
Dua kejadian A dan B independen jika dan hanya jika
Prinsip Penambahan Peluang secara Umum
7 Dalam kehidupan ini peristiwa yang akan atau belum terjadi masih merupakan
ketidakpastian. Ketidakpastian ini yang membawa kita kepada konsep peluang. Peluang
digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, resiko
dari suatu usaha, atau menyatakan tingkat kepercayaan. Dalam bab ini akan didefinisikan
peluang secara matematis. Konsep peluang dibangun menggunakan konsep himpunan.
Beberapa istilah yang berkaitan dengan definisi peluang diberikan pada daftar istilah
berikut.
Contoh 7.1
Misalkan pada percobaan memeriksa tiga barang (komponen elektronik tertentu) yang
dihasilkan oleh mesin tertentu di suatu pabrik. Tiap barang diperiksa dan digolongkan
sebagai baik (B) atau cacat (C).
Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {BBB, BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB}
Misalkan:
K adalah kejadian tidak terdapat barang yang cacat,
L adalah kejadian terdapat barang yang cacat,
M adalah kejadian terdapat satu barang yang cacat,
N adalah kejadian terdapat dua barang yang cacat,
O adalah kejadian banyaknya barang yang cacat satu atau dua buah,
maka
K = {BBB}
L = {BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB}
M = {CBB, BCB, BBC}
N = {BCC, CBC, CCB}
O = {CBB, BCB, BBC, BCC, CBC, CCB}
Perhatikan bahwa kejadian L = = Kc, kejadian O = MN
8 Definisi Peluang
Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan dan A, A1, A2, ... kejadian yang mungkin
pada ruang sampel ini. Suatu fungsi P(A) disebut peluang dari A, jika memenuihi sifat-sifat
berikut :
Definisi Klasik Tentang Peluang
Jika suatu eksperimen menghasilkan sejumlah hingga hasil yang mungkin, misalnya n, dan
setiap hasil tidak mungkin terjadi bersama-sama serta masing-masing mempunyai
kemungkinan yang sama untuk terjadi, maka
S
Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan acak, maka berlaku:
1. P(Ac) = 1 - P(A)
2. Untuk sebarang kejadian A dan B dengan AB = ,
P(AB) = P(A) + P(B)
3. Untuk sebarang kejadian A dan B,
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
Contoh 7.2
Pengambilan sebuah kartu dilakukan secara acak dari kotak dengan 52 kartu,
sehingga setiap kartu mempunyai peluang yang sama untuk terpilih yaitu dengan
peluang1/52.
Misalkan A adalah kejadian diperoleh “sebuah kartu as merah” dan B adalah
kejadian diperoleh “sebuah hati”, maka
9 P(AB) = 1/52.
P(AB) = 2/52 + 13/52 - 1/52 = 14/52 = 7/26
7.2 Peubah Acak Diskret
Misal S ruang sampel. Fungsi X yang memetakan setiap anggota ruang sampel S ke
suatu bilangan riil disebut peubah acak (variabel random). Peubah acak biasanya
dinotasikan dengan huruf besar, misal X, Y, Z, dan sebagainya, sedangkan nilai-nilai dari
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil misal x, y, z, dan sebagainya.
Contoh 7.3
Pada percobaan melambungkan satu mata uang logam setimbang satu kali, misalkan yang
diperhatikan adalah sisi mata uang yang muncul yaitu Angka (A) atau Gambar (G), maka
ruang sampel S = {A,G}.
Misal X adalah peubah acak yang menyatakan frekuensi munculnya gambar, maka
nilai-nilai X yang mungkin adalah 0 atau 1.
Himpunan semua nilai X yang mungkin dinotasikan dengan X(S), sehingga untuk contoh di
atas X(S) ={0,1}.
Contoh 7.4
Seorang petugas bagian penerima dan pemeriksa barang di suatu departemen bertugas
untuk mengamati barang-barang eletronik yang diterima oleh departemen tersebut apakah
baik (B) atau cacat (C). Karena adanya keterbatasan waktu, petugas tersebut tidak dapat
mengecek semua barang yang masuk melainkan hanya akan mengambil secara acak 3
barang saja.
Seluruh hasil yang mungkin dari pengamatan petugas tersebut adalah
S = {BBB,BBC,BCB,CBB,CCB,CBC,BCC,CCC}
Misal Y peubah acak yang menyatakan banyaknya peralatan yang cacat, maka nilai-nilai Y
yang mungkin adalah 0, 1, 2, atau 3. Jadi Y(S) = {0,1,2,3}
10 Jika dua dadu setimbang bermata enam dilambungkan sekali, maka ruang sampel dari
percobaan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut:
percobaan t ersebut dapat dinyat akan dalam t abel berikut :
Dadu II
Selain itu, definisikan contoh peubah acak yang lain dari percobaan melambungkan dua
dadu setimbang bermata enam di atas.
Jika himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan himpunan
terhitung yaitu {x1, x2, x3, …., xn} atau {x1, x2, x3, …. } maka peubah acak tersebut disebut
peubah acak diskret.
Pada contoh di atas X,Y,T merupakan peubah acak diskret.
7.3 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret
Fungsi peluang peubah acak X dinotasikan dengan f(x) didefinisikan sebagai f(x) =
P(X = x). ( f(x) didefinisikan sebagai peluang X=x )
Untuk Contoh 7.3 di atas, nilai-nilai f(x) adalah:
1
Untuk Contoh 7.4, nilai-nilai f(y)dapat dinyatakan dalam tabel berikut:
11 Tabel di atas merupakan tabel sebaran peluang peubah diskret Y.
Contoh soal:
1. Sebuah kotak berisi 20 kelereng, 5 berwarna merah dan 12 berwarna kuning
serta sisanya berwarna hijau.
Peluang terambil 1 kelereng berwarna merah adalah
Peluang terambil 1 kelereng berwarna kuning adalah
Peluang terambil 1 kelereng berwarna hijau adalah
2. Sebuah dadu dilempar satu kali. Kejadian A adalah munculnya angka genap
dan kejadian B adalah munculnya angka yang habis dibagi tiga. Tentukan
peluang muncul angka genap atau angka yang habis dibagi tiga. Solusi:
S: {1,2,3,4,5,6}, n(S) = 6
A : {2,4,6}, n(A) = 3
B: {3, 6}, n(B) =2
{6}, n( ) = 1
Peluang A atau B:
=
3. Dalam kotak terdapat 7 bola yang terdiri dari 5 bola berwarna putih dan 2 bola
berwarna biru. Akan diambil 2 bola secara acak. Tentukan peluang yang
terambil 1 putih dan 1 biru , jika pengambilannya sekaligus!
Solusi:
12
4. Seperti soal no 3, tetapi penambilan satu demi satu tanpa pengembalian
Solusi:
P(1p,1b) = P(pb) + P(bp)
(pada pengambilan kedua bola sudah berkurang jadi penyebutnya adalah 6)
5. Seperti soal no 3, tetapi penambilan satu demi satu dengan pengembalian
P(1p,1b) = P(pb) + P(bp)
(karena dikembalikan jadi pada pengambilan kedua banyaknya bola tetap, jadi
penyebutnya adalah 7)
Latihan soal:
1. Doni melempar 3 keping uang logam sekali secara bersama, bila A merupakan kejadian muncul angka paling sedikit satu kali, maka P(A) adalah ….
2. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 3 bola kuning, diambil 2 bola sekaligus. Peluang terambil bola merah dan putih adalah…
3. Dari tumpukan kartu “bridge” diambil 2 lembar kartu. Hitung peluang terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kedua jika
