i
DIKTAT MATEMATIKA DISKRIT
Hastri Rosiyanti
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA
SEPTEMBER 2020
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah segala kesempurnaan hanya milik ALLAH SWT, berkat RAHMAT dari ALLAH SWT, penulis dapat menyelesaikan diktat Matematika Diskrit ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan diktat ini dapat selesai.
Materi pada diktat ini disusun untuk membantu mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Jakarta mendalami persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika diskrit.
Semoga dengan adanya diktat ini dapat membantu belajar mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah ini khususnya, serta mata kuliah lain yang terkait. Penulis menyadari bahwa isi diktat ini masih jauh dari kesempurnaan oleh sebab itu kritik dan saran sangat diperlukan.
Jakarta, September 2020
Penulis
iii DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
BAB 1 ALJABAR BOOLEAN ... 4
BAB 2 KOMBINATORIK ... 13
BAB 3 PELUANG ... 24
BAB 5 TEORI GRAF ... 32
4 BAB 1
ALJABAR BOOLEAN
A. Definisi dan Terminologi
Himpunan dengan dua operasi biner “ ” (atau ) dan “ ” (atau ) serta satu operasi uner “ ’ “ (komplemen). Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda di . disebut Aljabar Boolean jika dan hanya jika untuk setiap memenuhi aksioma Huntington berikut :
(1) Tertutup (Closure)
(2) Komutatif (Commutative)
(3) Distributif (Distributive) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) Identitas (Existance of zero and unity)
Terdapat 0 dan 1 di sedemikian hingga berlaku
(5) Komplemen (Complement)
Untuk setiap terdapat sehingga
Contoh:
Misalkan * +. Operasi biner dan serta operasi uner didefinisikan sebagai berikut:
( ) ( )
Buktikan apakah himpunan merupakan aljabar Boolean.
5 Penyelesaian :
Untuk memudahkan pembuktian, berikut tabel hasil operasi dan di himpunan * +
1 2 5 7 10 14 35 70
1 1 2 5 7 10 14 35 70
2 2 2 10 14 10 14 70 70
5 5 10 5 35 10 70 35 70
7 7 14 35 7 70 14 35 70
10 10 10 10 70 10 70 70 70
14 14 14 70 14 70 14 70 70
35 35 70 35 35 70 70 35 70
70 70 70 70 70 70 70 70 70
1 2 5 7 10 14 35 70 a a’
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 70
2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 35
5 1 1 5 1 5 1 5 5 5 14
7 1 1 1 7 1 7 7 7 7 10
10 1 2 5 1 10 2 5 10 10 7
14 1 2 1 7 2 14 7 14 14 5
35 1 1 5 7 5 7 35 35 35 2
70 1 2 5 7 10 14 35 70 70 1
(i) Untuk setiap , dan (dapat dilihat pada tabel operasi dan hasilnya adalah )
Memenuhi sifat tertutup
(ii) Ambil sebarang , berlaku sifat komutatif
(iii) dan (dapat dilihat pada tabel operasi yang simetris antara segitiga atas dan bawah menunukkan berlaku sifat komutatif)
6
(iv) Ambil sebarang , berlaku sifat distributif ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( )
(v) Terdapat elemen identitas yaitu 1 dan 70. Sedemikian hingga ( )
( )
Sehingga dapat dikatakan memiliki identitas.
(vi) Untuk setiap terdapat sedemikian hingga dan
Karena semua aksioma Huntington terpenuhi, maka * + dengan operasi yang didefinisikan di atas adalah sebuah aljabar Boolean.
B. Prinsip Dualitas
Misal adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean dengan operator , , dan (komplemen). Jika diperoleh dari dengan cara mengubah :
dengan dengan 0 dengan 1 1 dengan 0
dan untuk operator komplemen ( ) dibiarkan tetap apa adanya, maka kesamaan juga bernilai benar. Selanjutnya disebut sebagai dual dari .
Contoh:
Tentukan dual dari : (1)
(2) ( ) ( ) (3) ( )
(4) ( ) ( ) (5) ( ) ( ) Penyelesaian :
(1)
(2) ( ) ( ) (3) ( ) (4) ( ) ( ) ( ) (5) ( ) ( )
7 C. Hukum-Hukum Aljabar Boolean
Hukum-hukum dalam aljabar Boolean meliputi :
[1] Hukum Identitas [7] Hukum Komutatif
(i) (i)
(ii) (ii)
[2] Hukum Idempoten [8] Hukum Asosiatif
(i) (i) ( ) ( )
(ii) (ii) ( ) ( )
[3] Hukum Komplemen [9] Hukum Distributif
(i) (i) ( ) ( ) ( ) (ii) (ii) ( )
[4] Hukum Dominansi [10] Hukum De Morgan
(i) (i) ( )
(ii) (ii) ( )
[5] Hukum Involusi [11] Hukum 0/1
( ) (i)
(ii) [6] Hukum Penyerapan
(i) (ii) ( )
D. Fungsi Boolean
Fungsi Boolean adalah fungsi yang dibentuk oleh beberapa variabel Boolean. Fungsi dengan variabel dapat dinyatakan dengan ( ). Misal suatu fungsi Boolean dengan tiga variabel , , dan adalah ( ) dengan , , dan bernilai 1 atau 0, maka ( ) . Fungsi Boolean memetakan pasangan terurut -variabel dalam fungsi tersebut ke himpunan * +.
Contoh:
Berikut beberapa contoh fungsi Boolean : 1. ( )
8 2. ( )
3. ( ) 4. ( )
5. ( )
Diketahui fungsi Boolean ( ) dan ( )
( )
( )
0 0 0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
Secara aljabar,dapat pula dibuktikan bahwa dua fungsi Boolean ( ) dan ( ) adalah sama.
( )
( ) distributif
( ) komplemen
identitas ■
Proses tersebut di atas dapat disebut juga sebagai proses penyederhanaan fungsi Boolean yang akan dibahas pada pembahasan selanjutnya.
E. Operasi Fungsi Boolean
Diketahui dan merupakan dua fungsi Boolean dengan peubah. Penjumlahan fungsi Boolean didefinisikan sebagai berikut :
( )( ) ( ) ( ) Sedangkan perkalian fungsi Boolean didefinisikan sebagai berikut :
( )( ) ( ) ( )
Contoh:
Misal ( ) dan ( ) merupakan fungsi Boolean ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
9
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
F. Komplemen Fungsi Boolean
Misal diketahui sebuah fungsi Boolean , maka komplemen dinotasikan dengan . Untuk menentukan , dapat digunakan dua cara yaitu dengan menggunakan Hukum De Morgan atau dengan menggunakan prinsip dualitas.
Cara Pertama : Menggunakan Hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua Peubah, ( ) merupakan fungsi Boolean (i) Misal ( ) ( ), maka ( ) ( ) (ii) Misal ( ) ( ), maka ( ) ( )
Hukum De Morgan untuk tiga Peubah, ( ) fungsi Boolean (i) Misal ( ) ( ), maka
( ) ( ) ( ) dimana
( ) (ii) Misal ( ) ( ), maka
( ) ( ) dimana ( )
Hukum De Morgan untuk Peubah. ( ) fungsi Boolean
(i) Misal ( ) ( ), maka ( ) ( )
10
(ii) Misal ( ) ( ), maka ( ) ( )
Contoh:
Diketahui ( ) ( ), maka fungsi komplemennya adalah ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )( )
G. Penyederhanaan Fungsi Boolean
Pada suatu fungsi Boolean seringkali mengandung operasi-operasi atau literal serta suku yang berlebihan. Oleh karena itu, kita dapat menyederhanakan fungsi Boolean tersebut yaitu dengan mencari bentuk lain yang ekivalen tetapi dengan operasi ataupun literal yang lebih sedikit. Penyederhanaan fungsi tersebut disebut meminimasi fungsi.
Contoh:
Sederhanakan fungsi-fungsi Boolean ( ) Penyelesaian:
( ) ( ) ( ) H. Peta Karnaugh
Metode Peta Karnaugh (atau K-map) merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengubah fungsi Boolean menjadi fungsi lain yang sama dengan fungsi tersebut.
Ditemukan pada tahun 1953 oleh Maurice Karnaugh. Peta Karnaugh adalah sebuah diagram/peta yang terbentuk dari beberapa persegi yang bersisian, dimana setiap kotak mempresentasikan minterm (hasil kali dari setiap suku). Terdapat beberapa cara dalam menyajikan Peta Karnaugh, namun dalam pembahasan dalam buku ini akan lebih sering menggunakan cara penyajian ke-2. Berikut beberapa cara penyajian Peta Karnaugh untuk fungsi dua peubah :
Cara 1 Cara 2 Cara 3
11
Untuk setiap dua kotak yang bersebelahan hanya berbeda satu literal (misal kotak dan hanya berbeda pada literal kedua dan . Atau jika dinyatakan dengan string biner, maka dua kotak yang bersebelahan hanya berbeda 1 bit (misal 00 dengan 01 berbeda 1 bit yaitu pada bit kedua, 01 dengan 11 berbeda 1 bit yaitu pada bit pertama).
Contoh:
Peta Karnaugh untuk fungsi Boolean ( ) Penyelesaian :
Peubah tanpa komplemen dinyatakan dengan 1 sedangkan peubah dengan komplemen dinyatakan dengan 0. Sehingga dinyatakan sebagai 11 dan dinyatakan sebagai 10.
Maka dalam peta Karnaugh, kotak-kotak yang merepresentasikan minterm 11 dan 10 diisi dengan 1, dan kotak lain yang tidak terpakai diisi dengan 0. Berikut hasil peta Karnaugh :
Contoh: ( )
00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 0 0 0 1
11 0 0 1 1
10 1 1 1 1
( )
I. Latihan
1. Diketahui * +. Definisikan operasi pada sehingga dengan operasi tersebut memenuhi aksioma Huntington.
2. Tunjukkan bahwa 3. Tentukan dual dari :
a.
b.
12 c.
d.
4. Buktikan bahwa dalam aljabar Boolean berlaku sifat berikut : ( ( )) ( ) ( ) 5. Tentukan komplemen dari fungsi Boolean berikut :
( )
6. Sederhanakan fungsi Boolean berikut :
( )
13 BAB 2 KOMBINATORIK
A. Pencacahan
1. Aturan Penjumlahan
Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam cara, kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam cara, maka banyaknya kejadian pertama atau kejadian kedua dapat terjadi dalam cara. Dengan kata lain, pada kejadian yang tidak saling berhubungan (saling lepas), untuk mendapatkan total kejadian yang mungkin terjadi adalah dengan menjumlahkan kejadian-kejadian tersebut.
Contoh: Jabatan ketua himpunan mahasiswa matematika (HIMATIKA) dapat diduduki oleh mahasiswa/i semester 5 atau semester 3. Jika terdapat 57 orang mahasiswa/i semester 5 dan 46 orang mahasiswa/i semester 3, berapa banyak cara memilih ketua tersebut?
Penyelesaian: Jabatan yang ditawarkan hanya ada 1 yaitu sebagai ketua dimana jabatan tersebut hanya dapat diduduki oleh salah seorang mahasiswa/i dari semester 3 atau semester 5. Ada 46 cara memilih satu orang mahasiswa/i dari semester 3 dan 57 cara memilih satu orang mahasiswa/i dari semester 5. Sehingga, dengan menggunakan aturan penjumlahan banyaknya cara memilih mahasiswa/i untuk menduduki jabatan ketua HIMATIKA adalah .
2. Aturan Perkalian
Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam cara, dan setiap kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang dapat terjadi dalam cara, maka kejadian pertama dan kejadian kedua tersebut secara bersama-sama dapat terjadi dalam cara.
Contoh: Sebuah rumah makan menyediakan lima menu makanan yaitu: nasi goring, mie goreng, soto ayam, rawon, dan bakso; serta tiga menu minuman yaitu: teh, jeruk, dan jus. Jika setiap pembeli hanya boleh memesan 1 makanan dan 1 minuman saja, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan?
Penyelesaian : Kita dapat menggunakan diagram pohon untuk menentukan jumlah pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan
14
Berdasarkan diagram pohon di atas, semua kemungkinan pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan yaitu :
Nasi Goreng dan Teh Mie Goreng dan Teh Soto Ayam dan Teh Nasi Goreng dan Jeruk Mie Goreng dan Jeruk Soto Ayam dan Jeruk Nasi Goreng dan Jus Mie Goreng dan Jus Soto Ayam dan Jus
Rawon dan Teh Bakso dan Teh
Rawon dan Jeruk Bakso dan Jeruk
Rawon dan Jus Bakso dan Jus
Total terdapat 15 pasangan makanan dan minuman Atau dapat dihitung dengan cara
3. Gabungan Aturan Penjumlahan dan Perkalian
Pada beberapa permasalahan kombinatorial yang lebih kompleks, tidak dapat diselesaikan hanya dengan menggunakan satu kaidah pencacahan saja, melainkan harus menggunakan dua kaidah sekaligus.
Contoh:
Dari kota A ke kota B ada 3 jenis angkutan yang bisa digunakan yaitu travel sebanyak 5 pilihan, kapal laut 4 pilihan dan pesawat 2 pilihan. Dari kota B ke kota C ada 2 jenis angkutan yang bisa digunakan yaitu travel sebanyak 3 pilihan dan kapal Menu
Nasi Goreng
Teh Jeruk
Jus Mie
Goreng
Teh Jeruk
Jus
Soto Ayam
Teh Jeruk
Jus
Rawon
Teh Jeruk
Jus
Bakso Teh
Jeruk Jus
15
laut sebanyak 1 pilihan. Berapa banyak cara berbeda untuk berangkat dari kota A ke C dengan melalui kota B?
Penyelesaian :
Dari ilustrasi di atas terlihat bahwa banyaknya cara berpergian dari kota A ke kota B adalah cara. Selanjutnya dari kota B ke kota C terdapat pilihan. Dengan demikian, total cara berbeda dari kota A ke kota C via B adalah sebanyak cara.
4. Pengisian Tempat
Metode pengisian tempat pada dasarnya merupakan gabungan antara aturan penjumlahan dan aturan perkalian seperti contoh sebelumnya, hanya saja pada metode ini, cara penyelesaian dengan menggunakan “tempat” / “kotak” kosong yang nantinya masing-masing kotak diisi dengan banyaknya kemungkinan kejadian.
Contoh: Dari angka 2, 3, 5, 7, dan 8 akan dibentuk suatu bilangan yang terdiri 4 digit angka. Ada berapa bilangan yang dapat dibentuk apabila :
a) Angka-angka tersebut tidak boleh berulang b) Angka-angka tersebut boleh digunakan berulang
Penyelesaian :
a) Andaikan posisi 4 digit angka sebagai 4 buah kotak. Kotak pertama dapat diisi dengan salah satu dari 5 angka yang diberikan (2, 3, 5, 7, atau 8) atau dengan kata lain ada 5 cara untuk mengisi kotak pertama. Selanjutnya, karena 1 angka telah diletakkan di kotak pertama, dan syarat pada soal adalah angka tidak boleh berulang, maka kotak kedua dapat diisi dengan 4 cara. Kotak ketiga dapat diisi dengan 3 cara, dan kotak keempat dapat diisi dengan 2 cara
Karena setiap kotak harus terisi dengan 1 angka, maka kita gunakan aturan perkalian. Jadi jumlah 4 digit angka yang dapat dibentuk adalah . ■
b) Andaikan posisi 4 digit angka sebagai 4 buah kotak. Kotak pertama dapat diisi dengan salah satu dari 5 angka yang diberikan (2, 3, 5, 7, atau 8) atau dengan kata lain ada 5 cara untuk mengisi kotak pertama. Selanjutnya, karena syarat pada soal adalah angka boleh berulang, maka kotak kedua dapat diisi dengan 5
5 cara 4 cara 3 cara 2 cara
16
cara juga. Kotak ketiga dapat diisi dengan 5 cara, dan kotak keempat dapat diisi dengan 5 cara
Karena setiap kotak harus terisi dengan 1 angka, maka kita gunakan aturan perkalian. Jadi jumlah 4 digit angka yang dapat dibentuk adalah .
B. Prinsip Okupasi Objek Ke Tempat
Teorema 2.1 : Jika objek (berbeda) didistribusikan secara acak dan bebas ke tempat (berbeda), maka banyaknya cara objek terdistribusi adalah
Berdasarkan teorema 2.1 di atas :
1. Jika 1 objek a ditempatkan secara acak ke dua tempat dan , maka cara a menempati tempat tersebut ada 2 cara
2. Jika 2 objek a, b ditempatkan secara acak ke dua tempat dan , maka cara a dan b menempati tempat tersebut ada 4 cara
3. Jika 3 objek a, b, c ditempatkan secara acak ke dua tempat dan , maka cara a; b;
c menempati tempat tersebut ada 8 cara
4. Jika 2 objek a dan b ditempatkan secara acak ke tiga tempat , , , maka cara a dan b menempati tempat tersebut ada 9 cara
5. Jika 3 objek a, b, c ditempatkan secara acak ke tiga tempat , , , maka cara a dan b menempati tempat tersebut ada 27 cara
C. Prinsip Sarang Burung Merpati
Teorema 2.2 : Prinsip Sarang Burung Merpati (Pigeonhole Principle). Jika atau lebih objek ditempatkan ke dalam kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua atau lebih objek tersebut.
Contoh:
1. Jika terdapat 11 pemain dalam sebuah tim sepakbola yang menang dengan skor 12-0, maka pastilah terdapat paling sedikit ada satu pemain dalam tim tersebut yang mencetak gol paling sedikit dua kali.
2. Diantara 8 orang, terdapat paling sedikit dua orang yang memiliki hari kelahiran yang sama. Begitu juga dari 15 orang yang berbeda, terdapat paling sedikit dua orang lahir pada bulan yang sama.
5 cara 5 cara 5 cara 5 cara
17
Generalisasi dari prinsip sarang burung merpati di atas adalah Jika objek ditempatkan ke dalam kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat sedikitnya ⌈ ⁄ ⌉ objek.
Contoh:
Dalam sebuah kelas dengan 60 mahasiswa, terdapat paling sedikit 12 mahasiswa akan mendapat nilai yang sama (A, B, C, D, atau E).
⌈ ⁄ ⌉ D. Permutasi
Permutasi adalah susunan yang mungkin dari objek-objek yang berbeda dengan memperhatikan urutan. Sebagai contoh, diberikan tiga objek berbeda (misal , , dan ).
Susunan seperti “ ” adalah sebuah permutasi-2 dari tiga objek tersebut. Begitu pula susunan seperti “ ” juga merupakan sebuah permutasi-2 dari tiga objek tersebut. Jika pengulangan tidak diperbolehkan, artinya objek-objek dalam tersebut susunan tidak boleh sama. Sehingga didapat 6 permutasi-2 yang mungkin yaitu : . Jika pengulangan diperbolehkan, maka maka susunan seperti “aa” juga merupakan permutasi- 2 dari tiga objek tersebut, begitu pula “ ” dan “ ”. Dengan demikian, jika pengulangan diperbolehkan, maka terdapat 9 permutasi-2 yang mungkin.
Banyaknya permutasi- dari -objek berbeda tanpa pengulangan disimbolkan dengan ( ). Sedangkan ( ) menyatakan banyaknya permutasi- dari -objek berbeda dengan pengulangan.
Teorema 2.3 : Jika sebanyak objek berbeda akan disusun seluruhnya, maka dapat diperoleh sebanyak
( )( )
susunan, yang dikenal sebagai permutasi unsur berbeda yang dinotaskan ( ). Jadi ( )
Apabila dari yang ada, hanya disusun sebagian ( ), maka akan diperoleh susunan sebanyak ( ), yang jumlah susunannya dapat dihitung dengan menempatkan atau memilih objek ke dalam -tempat
Teorema 2.4 : Susunan unsur dari unsur berbeda yang ada, menghasilkan susunan sebanyak
18 ( ) ( ) ( )
( ) Contoh:
Dari angka 2, 3, 4, dan 5 akan disusun bilangan puluhan dengan angka tak berulang.
Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun?
Penyelesaian :
• Cara 1 (dengan cara mendaftar seluruh kemungkinan)
23, 24, 25, 32, 34, 35, 42, 43, 45, 52, 53, 54. Terdapat 12 bilangan yang dapat terbentuk
• Cara 2 (dengan cara pengisian tempat) 4 x 3 = 12
• Cara 3 (dengan cara permutasi). Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk merupakan permutasi dari angka ke tempat (bilangan puluhan). Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah :
( ) ( )
1. Permutasi Siklik
Permutasi yang dibahas sebelumnya di atas merupakan permutasi linier yaitu dimana objek-objek disusun pada satu garis. Jika objek tersebut disusun melingkar dengan arah melingkarnya diperhatikan maka disebut permutasi siklik.
Misalkan tiga objek , dan disusun secara melingkar searah jarum jam maka akan diperoleh sebuah permutasi siklik. Selanjutnya permutasi siklik tersebut dituliskan dengan ( ). Dua permutasi siklik adalah sama / ekivalen jika permutasi yang satu dapat diperoleh dari permutasi lainnya dengan cara memutar permutasi tersebut. Sebagai contoh ( ) ( ) ( ). Sehingga dari 3 buah permutasi linier “ ”, “ ”, dan “ ” hanya dihitung 1 dalam permutasi siklik. Secara keseluruhan, permutasi siklik 3 objek tersebut ada sebanyak 2 yaitu ( ) dan ( ).
Sedangkan untuk 4 objek a, b, c, dan d didapat permutasi siklik sebanyak 6 yaitu : ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Banyak permutasi objek berlainan yang disusun melingkar dirumuskan sebagai berikut :
( ) ( ) Contoh:
Sebanyak 7 orang anggota koperasi mengadakan rapat. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar. Berapa banyak cara mereka dapat menempati kursi yang disusun melingkar tersebut?
19 Penyelesaian :
Diketahui 7 orang anggota maka, , maka dengan menggunakan rumus ( ) didapat
( ) ( )
Jadi ada 720 cara 7 anggota koperasi tersebut dapat duduk menghadap sebuah meja bundar.
2. Permutasi dengan unsur yang Sama
Permutasi semua unsur yang terdiri dari jenis sama yang masing-masing sebanyak , sama dengan
Contoh:
Dengan berapa cara huruf-huruf dari kata “M A T E M A T I K A” dapat disusun?
Penyelesaian :
Dalam kata MATEMATIKA ( ) terdapat beberapa huruf / unsur yang sama yaitu huruf “M” sebanyak 2, “A” sebanyak 3, “T” sebanyak 2. Sehingga didapat banyaknya susunan yang dapat dibentuk adalah
E. Kombinasi
Kombinasi adalah susunan yang mungkin dari objek-objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan. Dalam kombinasi, karena urutan tidak diperhatikan maka “AB”
dianggap sama denga “BA”.
Teorema 2.5: Susunan unsur dari unsur yang ada, yang tidak memperhatikan urutan, disebut kombinasi unsur dari unsur yang ada dan dinotasikan dengan ( )
( ) ( ) ( )
( )
Contoh:
Dari himpunan {2, 3, 4, 5} akan disusun himpunan bagian yang terdiri atas 2 unsur.
Berapa banyaknya himpunan bagian yang dapat disusun?
Penyelesaian :
20 ( ) ( )
( )
6 himpunan bagian yang mungkin tersebut adalah : {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}.
Contoh:
Sebuah kotak berisikan 7 bola putih dan 9 bola merah. 6 bola diambil secara acak pada kotak tersebut. Ada berapa cara mengambil 6 bola tersebut sedemikian hingga terdapat : a. Tepat 2 bola merah
b. Paling banyak 2 bola merah c. Bola berwarna merah Penyelesaian :
a. Dari 6 bola yang terambil terdapat tepat 2 bola merah sehingga sisanya yaitu 4 bola putih. Untuk mengambil 2 bola dari total 9 bola berwarna merah didapat
( )
Sedangkan banyak cara mengambil 4 bola dari 7 bola berwarna putih adalah ( )
Selanjutnya dengan menggunakan aturan perkalian, didapat banyaknya cara pengambilan 6 bola yang dimaksud adalah sebanyak
( ) ( )
■
b. Untuk memperoleh paling banyak 2 bola merah dalam pengambilan 6 bola tersebut maka terdapat 3 kemungkinan kejadian yaitu: (1) 2 bola merah dan 4 bola putih; (2)1 bola merah dan 5 bola putih; (3) 0 bola merah dan 6 bola putih. Pada kemungkinana kejadian pertama pengambilan 2 bola merah dan 4 bola putih seperti pada soal sblumnya (a) sehingga didapat 1260 cara. Selanjutnya pada kemungkinan kejadian kedua yaitu 1 bola merah dan 5 bola putih, banyaknya cara pengambilan yang mungkin adalah
( ) ( )
21
Pada kemungkinan kejadian yang ketiga yaitu 0 bola merah dan 6 bola putih atau dengan kata lain semua bola yang terambil berwarna putih, maka banyaknya cara pengambilan yang mungkin adalah
( )
Selanjutkan dari tiga kemungkinan kejadian tersebut, karena ketiganya tidak mungkin terjadi secara bersamaan, maka kita gunakan aturan penjumlahan. Jadi banyaknya cara pengambilan 6 bola yang dimaksud adalah sebanyak
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ))
■
c. Jika pada pengambilan 6 bola paling tidak diantaranya terdapat bola merah, maka banyaknya bola merah yang mungkin terambil bisa 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 bola. Berikut kemungkinan terambilnya :
1 bola merah & 5 bola putih : ( ) ( )
2 bola merah & 4 bola putih : ( ) ( )
3 bola merah & 3 bola putih : ( ) ( )
4 bola merah & 2 bola putih : ( ) ( )
5 bola merah & 1 bola putih : ( ) ( )
6 bola merah & 0 bola putih : ( )
Selanjutnya dengan menggunakan aturan penjumlahan dari semua hasil kemungkinan tersebut didapat banyaknya cara pengambilan 6 bola yang dimaksud adalah sebanyak .
1. Kombinasi dengan Pengulangan
Misalkan terdapat buah bola dengan warna yang sama dan buah kotak. Jika masing-masing kotak hanya bisa diisi paling banyak 1 buah bola, maka banyaknya cara memasukkan bola tersebut adalah sebanyak ( ). Tetapi jika masing-masing kotak boleh diisi lebih dari 1 buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola) maka banyaknya cara memasukkan bola tersebut adalah
( ) ( )
22
Contoh: Sebuah toko donat menyediakan berbagai varian rasa yaitu : coklat, keju, strawberi, greentea, tiramisu, kacang, dan moca. Tentukan banyaknya kemungkinan untuk membeli 1 lusin donat tersebut.
Penyelesaian :
Untuk memilih 1 lusin (12 buah) donat, tentunya terdapat beberapa donat dengan rasa yang sama; bisa juga terdapat varian rasa yang tidak dipilih sama sekali (dikarenakan pembeli tidak menyukai rasa tersebut).
(varian rasa) (1 lusin)
( ) ( )
( ) ( )
2. Koefisien Binomial
Segitiga Pascal dapat digunakan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan ( )
1 ( )
1 1 ( )
1 2 1 ( )
1 3 3 1 ( )
1 4 6 4 1 ( ) 1 5 10 10 5 1 ( )
Aturan dalam menjabarkan bentuk perpangkatan ( ) adalah : a. Suku pertama adalah dan suku terakhir adalah
b. Pada setiap suku selanjutnya pangkat variabel berkurang 1 sedangkan pangkat variabel bertambah 1 (pehatikan bahwa jumlah pangkat dan adalah sama dengan )
c. Koefisien yaitu suku ke-( ) adalah sama dengan ( ). Bilangan ( ) tersebut disebut koefisien binomial
Dari aturan di atas maka didapat formula sebagai berikut :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Secara singkat, formula di atas tertuang dalam teorema binomial berikut
23 Teorema 2.6 (Teorema Binomial)
Misalkan dan merupakan peubah dan adalah bilangan bulat non-negatif, maka ( ) ∑ ( )
Contoh: Tentukan suku ke-3 dari penjabaran ( )
Penyelesaian : , untuk menetukan suku ke-3 maka Sehingga, suku ke-3 dari penjabaran perpangkatan tersebut adalah ( ) ( ) ( )
F. Latihan
1. Sebuah toko baju menyediakan kaos dengan 4 ukuran yaitu S, M, L, dan XL serta 5 pilihan warna yang berbeda. Masing-masing kaos bisa lengan pendek atau lengan panjang. Berapa banyak jenis kaos yang ada pada took tersebut?
2. Ada berapa cara bila 5 orang mahasiswa menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
3. Sebuah plat nomer kendaraan terdiri dari dua huruf, diikuti empat angka, dan diakhiri dua huruf. Berapakah plat nomer yang dapat dibentuk jika tidak boleh ada huruf yang sama serta tidak boleh ada angka yang sama?
4. Sebuah kotak berisi kelereng merah dan putih masing-masing sebanyak 10 buah.
Seorang anak mengambil kelereng secara acak ke dalam kotak tersebut.
a) Berapa banyak kelereng yang harus diambil sehingga anak tersebut mendapatkan paling sedikit tiga kelereng berwarna sama
b) Berapa banyak kelereng yang harus diambil sehingga anak tersebut mendapatkan paling sedikit tiga kelereng berwarna merah
5. Pada penjabaran bentuk perpangkatan ( ) , tentukan : a) Suku ke-3
b) Suku ke-4 c) Suku ke-5
24 BAB 3 PELUANG
A. Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel ( ) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Banyaknya anggota ruang sampel dinotasikan dengan ( ). Titik Sampel didefinisikan sebagai elemen atau anggota dari ruang sampel. Contoh: Dalam suatu percobaan, dua buah uang logam dilempar ke atas. Misal menyatakan sisi angka menghadap ke atas dan menyatakan sisi gambar menghadap ke atas. Ruang Sampel * + ( ) , , , dan disebut titik sampel.
Kejadian ( ) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Banyaknya anggota kejadian dinotasikan dengan ( ). Dalam menentukan anggota suatu kejadian dapat dilakukan dengan cara mendaftar semua titik sampel, kemudian dipilih kejadian yang diharapkan muncul.
Contoh: Dalam suatu percobaan pelemparan dua dadu secara bersama-sama sebanyak satu kali. Tentukan kejadian muncul mata dadu pertama dan mata dadu kedua masing-masing adalah bilangan ganjil. Tentukan pula banyak anggota kejadian tersebut.
Penyelesaian :
Dadu Kedua
1 3 5
Dadu Pertama
1 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( )
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
( )
B. Peluang Suatu Kejadian
Menentukan peluang suatu kejadian sama halnya dengan menentukan seberapa besar kemungkinan munculnya kejadian tersebut. Secara matematis, besarnya peluang suatu kejadian dinotasikan dengan ( ) sama dengan banyaknya anggota kejadian ( ( )) dibanding dengan banyak anggota ruang sampel ( ( )).
25
( ) ( )
( )
Dalam suatu percobaan, peluang terjadinya suatu kejadian bernilai antara 0 sampai dengan 1. Jika ( ) bernilai 0 (nol), menunjukkan bahwa kejadian yang tidak mungkin terjadi. Jika ( ) bernilai 1 menunjukkan bahwa kejadian yang pasti terjadi.
Contoh: Dalam suatu percobaan dua buah uang logam dilempar ke atas, tentukan peluang muncul angka pada kedua mata uang.
Penyelesaian :
Dalam percobaan melempar 2 uang logam * + , ( ) . Kejadian muncul angka pada kedua mata uang, * + , ( ) . Peluang muncul angka pada kedua mata uang dalam percobaan melempar dua buah uang logam adalah ( )
( ) ( )
C. Peluang Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian dikatakan saling bebas (independen) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain. Sebagai contoh ketika melempar koin / uang logam sebanyak dua kali, hasil dari lemparan pertama tidak mempengaruhi hasil lemparan kedua. Formula untuk menentukan peluang kejadian yang saling bebas adalah sebagai berikut
( ) ( ) ( ) ( )
Contoh: Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan peluang muncul mata dadu angka prima pada dadu pertama dan angka genap pada dadu kedua.
Penyelesaian :
Pada percobaan pelemparan dua buah dadu, ruang sampel ( ) yang didapat sebagai berikut :
Dadu Kedua
1 2 3 4 5 6
Dadu Pertama 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
26
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
( )
Kejadian muncul angka prima pada mata dadu pertama seperti ditunjukkan pada kotak berwarna hijau berikut
Dadu Kedua
1 2 3 4 5 6
Dadu Pertama
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
( )
Peluang kejadian pertama yaitu muncul angka prima pada dadu pertama ( ) ( )
( )
Kejadian muncul angka genap pada mata dadu kedua seperti ditunjukkan pada kotak berwarna kuning berikut
Dadu Kedua
1 2 3 4 5 6
Dadu Pertama
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
27
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
( )
Peluang kejadian kedua yaitu muncul angka genap pada dadu kedua ( ) ( )
( )
Karena dua kejadian muncul angka prima pada dadu pertama dan angka genap pada dadu kedua merupakan kejadian yang saling bebas, maka peluang munculnya angka yang dimaksud adalah ( ) ( ) ( )
D. Peluang Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Pada pelemparan sekeping koin, kejadian “muncul angka” dan kejadian “muncul gambar” adalah dua kejadian yang saling lepas, sebab keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan.
( ) ( ) ( ) ( )
Untuk kejadian yang tidak saling lepas, peluang terjadinya salah satu atau keduanya adalah
( ) ( ) ( ) ( )
Contoh: Dalam satu set kartu permainan remi, akan diambil 1 kartu secara acak.
Tentukan peluang kartu yang diambil adalah kartu bergambar ( , , dan ) atau As.
Penyelesaian :
Jumlah 1 set kartu remi ada sebanyak 52 kartu ( )
Kejadian pertama yaitu kartu yang diambil adalah kartu bergambar ( , , dan ). Untuk masing-masing kartu bergambar, terdapat 4 kemungkinan yaitu simbol hati (), simbol diamond (), simbol keriting (), serta simbol waru / sekop (). ( ) . Peluang muncul kejadian pertama yaitu. ( ) ( )
( )
Kejadian kedua yaitu kartu yang diambil adalah As. Terdapat 4 kemungkinan kartu As yaitu kartu “As” simbol hati (), simbol diamond (), simbol keriting (), atau simbol
28
waru / sekop (). ( ) . Peluang muncul kejadian kedua yaitu ( ) ( )
( )
Dari kartu-kartu yang bergambar , , dan tidak terdapat kartu As, sehingga tidak ada irisan antara kejadian pertama dan kejadian kedua (dua kejadian tersebut saling lepas). Jadi peluang mengambil 1 kartu bergambar ( , , dan ) atau As pada satu set kartu remi adalah
( ) ( ) ( )
E. Peluang Kejadian Bersyarat
Dalam percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampel percobaan tersebut adalah * +. Misal terdapat dua kejadian A dan B dimana B adalah kejadian muncul angka kurang dari 6, dan A adalah kejadian munculnya sisi genap.
Maka, ( )
* + * +
Jika dua kejadian A dan B dilakukan secara berurutan, dimana B terjadi terlebih dahulu, kemudian menyusul A, maka * +. Peluang kejadian A setelah kejadian B (A given B), atau dituliskan sebagai ( ) .
Diketahui dua kejadian A dan B dalam ruang contoh S dengan ( ) . Peluang terjadinya A bila kejadian B sudah diketahui terjadi (disebut peluang A dengan syarat B) adalah
( ) ( ) ( )
Dari contoh di atas, dimana dalam percobaan melempar sebuah dadu terdapat dua kejadian A dan B dimana B adalah kejadian muncul angka kurang dari 6, dan A adalah kejadian munculnya sisi genap
* + ( )
* + ( )
29 ( ) ( )
( ) * + ( ) ( ) ( )
( )
* + ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Maka peluang kejadian A bila kejadian B sudah diketahui serta peluang kejadian B jka kejadian A sudah diketahui adalah
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Misal diketahui * +, maka peluang kejadian A bila kejadian C sudah diketahui serta peluang kejadian B jka kejadian C sudah diketahui adalah
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
F. Teorema Bayes
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Contoh: Terdapat 2 buah kantong. Kantong pertama berisi 1 kelereng hitam dan 1 kerlereng putih. Kantong kedua berisi 2 kelereng hitam dan 1 kelereng putih. Sebuah kantong dipilih secara acak, dan kemudian sebuah kelereng diambil secara acak pula dari kantong terpilih.
1. Berapa peluang terambilnya kelereng hitam?
30
2. Berapa peluang terpilih kantong 1 jika diketahui kelereng yang terambil berwarna putih?
Penyelesaian :
Misalkan menyatakan kejadian terpilih kantong pertama menyatakan kejadian terpilih kantong kedua
menyatakan kejadian terpilih kelereng berwarna hitam menyatakan kejadian terpilih kelereng berwarna putih
Untuk memudahkan penyelesaian kita ilustrasikan kejadian dalam diagram pohon berikut :
1. Kemungkinan terambilnya kelereng berwarna hitam bisa berasal dari kantong 1 atau kantong 2
( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
2. Sebelum menghutung peluang yang dimaksud, kita tentukan dulu peluang kemungkinan terambil kelereng perwarna putih, dimana kemungkinannya bisa berasal dari kantong 1 atau kantong 2
( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ) ( )
𝑲𝟏 1H 1P
𝑲𝟐 2H ,
1P 1/2
1/2
1/2
1/2
2/3
1/3
𝑃(𝐾 𝐻) 𝑃(𝐾 ) 𝑃(𝐻 𝐾 )
𝑃(𝐾 𝑃) 𝑃(𝐾 ) 𝑃(𝑃 𝐾 )
𝑃(𝐾 𝐻) 𝑃(𝐾 ) 𝑃(𝐻 𝐾 )
𝑃(𝐾 𝑃) 𝑃(𝐾 ) 𝑃(𝑃 𝐾 )
31
Peluang terpilih kantong 1 jika diketahui kelereng yang terambil berwarna putih ( )
( ) ( ) ( )
⁄
⁄
⁄ G. Latihan
1. Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang muncul sisi angka prima dan genap.
2. Sebuah dadu dan sebuah koin dilempar secara bersama-sama. Tentukan peluang muncul mata dadu genap dan gambar (pada koin).
3. Empat bola diambil dari kantong yang berisi 8 bola merah dan 6 bola putih Hitunglah peluang yang terambil adalah:
a) Keempatnya bola putih b) Keempatnya bukan bola putih c) Paling banyak tiga bola putih
d) Sekurang-kurangnya satu bola merah
4. Terdapat 10 pasang sepatu di dalam lemari. Jika 6 sepatu diambil secara acak, tentukan peluang tidak ada sepasang sepatu (yang besesuaian) yang terambil.
5. Misalkan bahwa setiap anak yang dilahirkan oleh pasangan suami-istri berpeluang sama lahir sebagai laki-laki atau perempuan, tidak bergantung pada jenis kelamin anak-anak lain dalam keluarga tersebut. Untuk suatu keluarga yang memiliki 3 orang anak, hitung peluang kejadian berikut:
a) Terdapat tepat 2 anak laki-laki b) 2 anak tertua adalah laki-laki c) Anak terakhir adalah perempuan d) Semua anak berjenis kelamin sama
32 BAB 5 TEORI GRAF
A. Definisi dan Terminologi
Sebuah graf berisikan dua himpunan yaitu himpunan hingga tak kosong ( ) yang elemennya disebut titik (vertex) dan himpunan (mungkin kosong) ( ) yang elemennya disebut sisi (edge), sedemikian hingga setiap elemen dalam ( ) merupakan pasangan tak berurutan dari titik-titik di ( ). Selanjutnya, ( ) disebut himpunan titik di dan ( ) disebut himpunan sisi di .
Misalkan dan merupakan titik di dan sisi * + ( atau ditulis ) merupakan sisi di . Maka dapat dikatakan bahwa :
- Sisi menghubungkan (joining) titik dan di - Titik dan berhubungan langsung (adjacent) di - dan adalah titik-titik akhir dari sisi
- Sisi terkait (incident) dengan titik atau
Sebuah graf dapat dipresentasikan dalam bentuk diagram atau gambar, dimana setiap titik di atau ( ) digambarkan dengan titik/dot/noktah dan setiap sisi di atau ( ) digambarkan dengan sebuah garis.
Contoh: Diketahui adalah sebuah graf dengan : ( ) * +
( ) * +,
dimana , , , , , , .
Graf dapat dipresentasikan dalam bentuk diagram seperti pada gambar di bawah ini :
33
Sebuah sisi di graf yang menghubungkan sebuah titik dengan dirinya sendiri disebut sebagai gelung (loop). Apabila terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik dan di graf , maka sisi tersebut disebut sebagai sisi rangkap (multiple edges).
B. Jenis – Jenis Graph
1. Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memiliki gelung (loop) dan tidak memiliki sisi rangkap. Contoh graf sederhana seperti yang ada pada Gambar 5.1 sebelumnya.
2. Graf Rangkap (Multi Graph)
Graf rangkap adalah sebuah graf yang memiliki sisi rangkap tetapi tidak memiliki gelung (loop).
Gambar 4.1 : Graf 𝐺 dengan 6 titik dan 7 sisi
Gambar 4.2 : Graf Rangkap
34
Gambar 4.4 : Graf Komplit 𝐾𝑛, untuk ≤ 𝑛 ≤
𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾
3. Graf Komplit
Sebuah graf komplit dengan titik, dilambangkan dengan , yaitu merupakan suatu graf sederhana dengan titik dimana setiap dua titik yang berlainan dihibungkan dengan sebuah sisi. Jika ( ) menyatakan banyaknya sisi pada graf komplit dengan titik, maka berdasarkan definisi dari graf komplit, diperoleh formula sebagai berikut :
( ) ( ) ( )
Berikut contoh graf komplit dengan 4 titik ( ) dan 5 titik ( ) :
Gambar 4.3 : Graf Komplit dengan 4 titik (𝐾 ) dan 5 titik (𝐾 )
35 4. Graf Kosong
Graf kosong adalah graf yang tidak memiliki sisi.
5. Graf Bipartisi
Sebuah graf disebut graf bipartisi jika ( ) dapat dipartisi menjadi 2 himpunan bagian yaitu dan dimana setiap sisi di menghubungkan sebuah titik di dan sebuah titik di . Selanjutnya ( ) disebut bipartisi dari .
6. Graf Bipartisi Komplit
Jika sederhana dan bipartisi dengan partisi ( ) sedemikian hingga setiap titik di berhubungan langsung dengan setiap titik di , maka disebut graf bipartisi komplit dan disimbolkan dengan dimana ( ) dan ( )
Gambar 4.5 : Graf Kosong dengan 5 titik
Gambar 4.6 : Graf Bipartisi
A
B
A
Gambar 4.7 : Bukan Graf Bipartisi
36
Jika | ( )| menyatakan banyaknya sisi dan | ( )| menyatakan banyaknya titik pada graf bipartisi komplit, maka dapat diperoleh formula sebagai berikut :
| ( )|
| ( )|
7. Graf Bagian (Sub Graph)
Sebuah graf disebut graf bagian (sub graph) dari graf (ditulis ) jika ( ) ( ) dan ( ) ( ).
Contoh: Misalkan diketahui sebuah graf dengan ( ) * + dan ( ) * +. Jika terdapat graf , , dengan ketentuan sebagai berikut :
( ) * + ( ) dan ( ) * + ( )
( ) * + ( ) dan ( ) * + ( )
( ) * + ( ) dan ( ) * + ( )
Maka graf , , merupakan graf bagian dari graf . Sebagai ilustrasi tampak pada gambar di bawah ini :
Gambar 4.8 : Graf Bipartisi Komplit 𝐾
37 8. Graf Bagian Rentang (Spanning Sub Graph)
Jika dan ( ) ( ) maka disebut graf bagian rentang (spanning sub graph) dari . Seperti pada graf di bawah ini, , , merupakan graf bagian rentang dari .
𝐻 𝐻
𝐻 𝐻
Gambar 4.9 : Graf Bagian
𝐻
Gambar 4.10 : Graf Bagian Rentang 𝐻
𝐻 𝐻
38 C. Jalan, Jeja, Lintasan, Sirkit, Sikel
Misalkan sebuah graf
• Sebuah jalan (walk) di adalah sebuah barisan
* + yang sukunya bergantian titik dan sisi sedemikian hingga dan adalah titik-titik akhir sisi . Himpunan tersebut dikatakan jalan dari ke .
• Titik dan merupakan titik awal dan titik akhir . Sedangkan titik lainnya disebut titik internal dari . k (banyak sisi pada ) disebut panjang dari W.
• Jika semua sisi pada jalan berbeda, maka disebut jejak (trail)
• Jika semua titik berbeda maka disebut lintasan (path)
• Jika titik awal dan titik akhir identic atau sama, maka disebut jalan tutup
• Jejak tutup disebut sirkit
• Sebuah sirkit di graf yg memuat semua sisi disebut Sirkit Euler. Graf yang memuat sirkit Euler disebut Graf Euler.
• Sirkit yg titik awal titik internalnya berbeda disebut sikel (cycle)
Sikel yg memuat semua titik graf disebut Sikel Hamilton. Graf yang memuat sikel Hamilton disebut Graf Hamilton
Contoh: Diketahui sebuah graf seperti pada gambar di bawah ini :
• * + merupakan sebuah jalan dari ke ( ) dengan panjang 3
• * + merupakan sebuah jalan dari ke ( ) dengan panjang 4
Gambar 4.11 : Graf 𝐺 dengan (𝐺) *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 + dan (𝐺) *𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 +
39
• di atas bukan merupakan jejak karena terdapat sisi yang sama yaitu
• di atas merupakan jejak (dengan panjang 4) karena semua sisinya berlainan
• dan di atas bukan merupakan lintasan karena terdapat titik yang dilewati lebih dari 1 kali (terdapat titik yang sama)
• * + adalah lintasan ( ) dengan panjang 3
• * + merupakan sirkit di tetapi bukan sirkit Euler karena tidak memuat semua sisi di
• * + merupakan sirkit Euler. Karena graf memuat sirkit Euler, maka graf disebut Graf Euler
• * + merupakan sikel di tetapi bukan sikel Hamilton karena tidak memuat semua titik di
• * + merupakan sikel Hamilton. Karena graf memuat sikel Hamilton, maka graf disebut Graf Hamilton
D. Graph Terhubung
Sebuah graf dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik yang berbeda terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jika tidak berlaku demikian, maka graf disebut graf tak terhubung.
Sebuah komponen graf adalah graf bagian yang terhubung maksimal (titik dan sisi). Sehingga setiap graf terhubung memiliki tepat satu komponen, sedangkan graf tidak terhubung terdiri dari paling sedikit dua komponen. Sebuah graf terhubung tanpa sikel disebut pohon (tree). Jika setiap komponen pada graf berupa pohon maka graf tersebut disebut hutan (forest).
Contoh: Diketahui Graf , , , dan seperti pada gambar di bawah. Berdasarkan definisi di atas, maka dapat dikatakan bahwa :
• Graf dan graf merupakan graf terhubung. Karena untuk setiap dua titik yang berbeda terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut (berlaku juga untuk graf )
• Graf dan graf merupakan graf tak terhubung yang masing-masing terdiri atas 2 komponen
• Graf merupakan graf pohon. Karena graf terhubung serta tidak memiliki sikel
• Graf merupakan graf hutan. Karena graf terdiri atas 2 komponen dimana masing- masing komponennya berupa pohon
40 E. Komplemen Graph
Misalkan sebuah graf sederhana. Komplemen (dilambangkan dengan ̅), adalah graf sederhana yang himpunan titiknya sama dengan himpunan titik dan dua titik dan di ̅ berhubungan langsung jika dan hanya jika titik dan tidak berhubungan langsung di . Jika graf sederhana dengan n titik maka :
̅ ( Graf 𝐺
)
( Graf 𝐻 )
( Graf 𝐼 )
( Graf 𝐽 )
Gambar 4.12 : Graf Terhubung, Komponen Graf, Graf Pohon, dan Graf Hutan
𝐺 𝐺̅
Gambar 4.13 : Graf 𝐺 dan 𝐺̅
41 F. Latihan
1. Berapa jumlah maksimum titik dalam sebuah graf sederhana yang memiliki 25 sisi?
2. Perhatikan gambar berikut ini
Tentukan sebuah jejak terbuka dengan panjang 10, jejak tertutup dengan panjang 10, dan lintasan dari A ke J.
𝐻 𝐻̅
Gambar 4.14 : Graf 𝐻 dan 𝐻̅
𝐺 𝐺̅ 𝐾
𝐻 𝐻̅ 𝐾
Gambar 4.15 : 𝐺 𝐺̅ 𝐾 dan 𝐻 𝐻̅ 𝐾
42
3. Gambarkan sebuah graf yang mempunyai 8 titik dan 3 komponen.
4. Gambarkan sebuah graf sederhana dengan 6 titik sedemikian hingga Jumlah sisi dan ̅ adalah sama
