STATISTIKA UNIPA SURABAYA

MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Materi :

• Distribusi variabel random

• Teori Himpunan • Fungsi Himpunan

• Fungsi Himpunan Peluang • Variabel Random

• Fungsi Kepadatan Peluang • Fungsi Distribusi

• Model Probabilitas • Ekspektasi Matematik

• Peluang bersyarat dan kebebasan stokastikSTATISTIKA

UNIPA

Materi :

• Beberapa distribusi khusus

• Distribusi binomial • Distribusi poisson

• Distribusi Gamma dan Chi-square • Distribusi normal

• Distribusi Sampling dari fungsi variabel

• Teori pengambilan sampel

• Teknik fungsi pembangkit momen • Distribusi order statistik

• Transformasi variabel randomSTATISTIKA

UNIPA

Referensi :

• Introduction to Mathematical Statistics: Hogg and Craig. (Recommended)

• Mood, A.M., Graybill,F.A. dan Boes, D.C. (1974). Introduction of the Theory of Statistics. 4th ed. Mc-Graw Hill. Tokyo.

• Rice, J.A. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis. Second Ed. Duxbury Press. Belmont, California. (Recommended)

• Rohatgi, V.K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley & Sons. New York.

• Bartoszynski, R dan Bugaj, M.N., (2008)., Probability and statistical inference. Second Ed. A John Wiley & Sons, Inc., Publication. New Jersey. (Recommended)

STATISTIKA

UNIPA

Evaluasi • Nilai Tugas (30%) • Nilai UTS (20%) • Nilai UAS (50%) STATISTIKA UNIPA SURABAYA

PENDAHULUAN Matematika Statistik

Dalam alam semesta pada dasarnya terdapat 2 aktivitas (percobaan).

a. Percobaan deterministik : percobaan yang sudah pasti terjadi. contoh : ………

b. Percobaan Stokastik / Acak / Random / Statistik / Probabilistik : percobaan yang mempunyai sifat :

 Semua hasil yang terjadi dapat diketahui

 Hasil yang terjadi tidak dapat diketahui sebelum percobaan tersebut dilakukan.

STATISTIKA

UNIPA

Berikut adalah contoh-contoh dari percobaan random

Contoh 1 : Percobaan yang dilakukan dengan melemparkan sebuah mata uang, terdapat 2 macam hasil A (angka) dan G (gambar). Jika diasumsikan bahwa mata uang tersebut dapat dilempar secara berulang-ulang maka pelemparan mata uang diatas adalah contoh dari percobaan random dengan ruang

sampel { A, G}.

Contoh 2 : Pelemparan dua buah dadu yang bewarna merah dan putih, Jika diasumsikan bahwa pelemparan tersebut dilakukan secara berulang-ulang. Ruang sampel terdiri dari....

 Contoh 3 : Pada suatu proses produksi, pengamatan dilakukan terhadap proses produksinya. X_i menyatakan hasil produksi ke – i, i = 1,2,3,...

Contoh 4 : memilih bilangan secara random pada selang 0 < X < 1 STATISTIKA

UNIPA

Akibat percobaan random : 1. Terdapat ruang sampel

2. Terdapat event (kejadian / peristiwa)

- akibat dari (1) dan (2) muncul probabilitas suatu event / kejadian event A :

* probabilitas aksiomatis

/ S

, ,

A B C  

  n A_{ }  disebut sebagai *"probabilitas klasik" P A n   STATISTIKA UNIPA SURABAYA

3. Terdapat variabel random

- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real.

* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat

* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real

Contoh :

misalkan X = banyaknya pasien yang sembuh, tentukan bahwa X adalah variabel random diskrit?

Dokter mengobati 3 pasien : = TTT TTS SST SSS TST STS STT TSS      _{ }     STATISTIKA UNIPA SURABAYA

4. Terdapat Fungsi distribusi probabilitas

: suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari suatu variabel random

a) fungsi distribusi probabilitas diskrit b) fungsi distribusi probabilitas kontinu  Definisi :

a) F disebut fungsi distribusi probabilitas diskrit untuk variabel random x jika :

b) F disebut fungsi distribusi probabilitas kontinu untuk variabel random x jika :     0 1 x f x f x          0 1 f x f x        STATISTIKA UNIPA SURABAYA

5. Terdapat Ekspektasi dan Variansi

6. Terdapat fungsi pembankit moment (MGF)

   

   

    

1

2

. variabel random diskrit

variabel random kontinu b. x a E x x f x E x x f x dx V ar x E x E x                    1

-variabel random diskrit

= variabel random kontinu tx x tx x tx M t E e e f x e f x           STATISTIKA UNIPA SURABAYA

TERIMA KASIH

STATISTIKA

UNIPA

DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM

GANGGA ANURAGA

STATISTIKA

UNIPA

TEORI HIMPUNAN (SET THEORY)

Jika A adalah sebuah himpunan, dan a berada didalam A,

maka dikatakan a sebagai anggota dari himpunan dan biasanya ditulis . Sebagai contoh, A adalah himpunan bilangan riil dimana 0 1 atau dit

a A x        ulis 1 1

; 0 1 , maka adalah anggota dari A ( A), tetapi

2 2

1 1

1 bukan anggota dari A 1 A .

2 2 x  x   _      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 BEBERAPA DEFINISI PENTING PADA TEORI HIMPUNAN

Definisi I :

Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti S, , dll.

Definisi II : Jika

 

c

S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S

maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota dari S tetapi tidak termuat dalam A.

contoh :

S = x ; x = 0, 1, 2,   

 

c

3, 4 dan A = x ; x = 0, 1 maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4

STATISTIKA

UNIPA

  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Definisi III :

A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika

dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota dari A ditulis : A A x A x A contoh : A = x                2 1 2 ; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A Gambarkan diagram Venn-nya ?

Definisi IV :

Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong A =

contoh :

A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,

      maka A =  STATISTIKA UNIPA SURABAYA

    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Definisi V :

Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu

suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A , ditulis A A = x | x A atau x A .

Gabungan dari himpunan-himpunan

          1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 A , A , A ,...adalah A A A ... contoh : A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10 Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

      1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Definisi VI :

Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A Irisan dar                                           1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2

i beberapa himpunan A , A , A ...adalah A A A ... Contoh : A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1 A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1 maka A A x, y ; x, y = 1,1 Contoh :

A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1

        1 2 x+y maka A A ....    STATISTIKA UNIPA SURABAYA

      1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Definisi VII :

Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A

tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A

Contoh : A = x         2 1 2 2 1 | x bilangan asli A = x | x bilangan bulat A -A =

A -A = x | x bilangan bulat tidak positif

    STATISTIKA UNIPA SURABAYA

  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Definisi VIII :

Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau

anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .

A + A = x | x A              2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 atau x A dan x A A .

Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A .

Contoh :

A = x | x bilangan cacah

A = x | x bilangan bulat negatif

maka A + A = x | x bilangan bulat

        STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 BEBERAPA HAL PENTING DALAM TEORI HIMPUNAN

STATISTIKA

UNIPA

CONTOH :         1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 4 5 3 3 4 5 8 c c c 1 2 3 1 2 1 3 2 3

Suatu ruang sampel S = s , s , s , s , s , s , s , s dan himpunan

A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s , s , s ,

A s , s , s , s , A s , s , s , s . Tentukan A , A , A , A A , A A , A A ,          1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 c 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1 A A A , A A , A A , A A A , A - A , A - A , A - A , A - A , A - A , A c .       STATISTIKA UNIPA SURABAYA

            1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 c

1. Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A dimana A dan A adalah :

a A ; 0,1, 2 , A ; 2, 3, 4 b A ; 0 2 , A ;1 3

2. Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel

x x x x x x x x                 c c   c c 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 k k+1 S sebagai berikut : 5 S ; 0 1 , A = ; 1 8

3. Buktikan bahwa A A A A dan A A A A

4. Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A , k = 1, 2, 3,..., c c x x x x     _   _            k k 1 2 3 k k k

dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan A A A . Carilah lim A jika :

A x;1/k x 3 1/ k ,k 1, 2, 3...;          SOAL LATIHAN : STATISTIKA UNIPA SURABAYA

FUNGSI HIMPUNAN (SET FUNCTION)

       

   

     1 3 2

Fungsi-fungsi di dalam kalkulus misalnya :

1 5 ,

2 , , 0 , 0

Akan mempunyai nilai untuk x yang tertentu : 1 1, maka 1 5

2 1 dan y 3, maka 1, 3 Fungsi diatas dis

x y f x x x g x y e x y x f x g e e                           

ebut fungsi dari sebuah titik, karena

dihasilkan pada sebuah titik. Fungsi yang dihasilkan oleh

semua titik pada sebuah himpunan disebut "FUNGSI HIMPUNAN".STATISTIKA

UNIPA

     

 

1

Contoh :

Untuk setiap himpunan A yang berdimensi satu, didefinisikan

2 1 Q A dimana , 0,1, 2,... 3 3 0 , lainnya Jika A ; 0,1, 2, 3 , maka Q x A f x f x x x x      _{  }          A ...?1 STATISTIKA UNIPA SURABAYA

            1 2 1 2 Contoh :

Untuk setiap himpunan A berdimensi satu, Q A

dimana 6 1 , 0 1 0 , lainnya 1 3 1 jika A ; , A ; 4 4 2 Tentukan Q A dan Q A ...? A f x dx f x x x x x x x x            _   _  _  _      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

TERIMA KASIH

STATISTIKA

UNIPA

VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI KEPADATAN PELUANG GANGGA ANURAGA STATISTIKA UNIPA SURABAYA

VARIABEL RANDOM

- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real.

* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat

* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real

Catatan : didalam statistik kita selalu lebih tertarik pada fungsi himpunan

peluang dari variabel random X dari ruang sampel STATISTIKA

UNIPA

   

Bahwa x yang bertipe kontinu maupun diskrit dengan

peluang ( ) ditentukan sepenuhnya oleh fungsi .

Dalam hal ini disebut sebagai "fungsi kepadatan peluang" (f.d.p

P X A f x

f x



FUNGSI KEPADATAN PELUANG (f.d.p)

/ probability density function) dari variabel random x.

STATISTIKA

UNIPA

   

 

Variabel Random Diskrit 0 1 ( ) x A x A f x f x P x A f x            

DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM

STATISTIKA

UNIPA

   

4

Variabel Random Diskrit Soal

X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 . ( ) dimana 4! 1 ( ) !(4 )! 2 A P A f x f x x x      _{ }  _{ } 

DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM

  , S. Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A) ? x  STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   

 

 

1

1

X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan 1

ruang sampel ; 1, 2, 3, ... dan ; 2

Jika ; 1, 3, 5, 7,... merupakan himpunan bagian dari ruang sampel maka tentukan .

Dike x x x f x x x x P A       _{ }           1

tahui suatu variabel random X dengan fungsi kepadatan peluang 9

(f.d.p) : , 1, 2,... dan 0 untuk x lainnya. 10

Tentukan nilai konstanta c.

x f x c x     _{ }    STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   

                     

         

 

Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y 1 , dimana ( , ) , 52 , , ; , 0,1 , 0, 2 ,..., 0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,..., 3,13 Hitunglah , a). A = x,y ; , 0, 4 , 1, 3 , 2, 2 A P A f x y f x y x y S x y x y P A P X Y A x y         _  _        b). A = x,y ;x y 4, x,y S STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 

A

Variabel random kontinu

Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan sebagai : P(A) = P(X A) = f x    STATISTIKA UNIPA SURABAYA

     





          2 1 2 1 2 1 2 1 2 Soal :

Fungsi himpunan peluang P(A) dari variabel random X adalah : 3 P(A) = , dimana 8 ; 0 2 1 ; 0 , ; 1 2 2

adalah himpunan bagian dari , maka tentukan

, , dan . A x f x dx f x X x x A x x A x x P A P A P A A P A A                 STATISTIKA UNIPA SURABAYA

     





   





  1 1 2 2

, ; 0 1 adalah ruang sampel dari dua variabel random x dan y. Fungsi himpunan peluang adalah

2 1 Jika , ; 1 2 maka tentukan . 1 Jika , ; 1, 0 2 maka tentukan . A x y x y P A dx dy A x y x y P A A x y x y x P A                 STATISTIKA UNIPA SURABAYA

      1 A 1

Variabel random kontinu Soal:

Dua variabel random X dan Y dengan ruang sampel

= , ; 0 1 . Dan fungsi himpunan peluang

1

P(A) = 2 . Tentukan A , ; 1 2

dimana A himpunan bagian dari

A x y x y dx dy x y x y        _    _    A.   Soal :

Variabel random X mempunyai f.d.p : 2 ; 0 1

0 ; untuk x yang lain

1 3 1 1 Tentukan P( ) dan P(- ) 2 4 2 2 x x f x x x           STATISTIKA UNIPA SURABAYA

TERIMA KASIH

STATISTIKA

UNIPA

FUNGSI DISTRIBUSI (CUMULATIVE DISTRIBUTION FUNCTION) GANGGA ANURAGA STATISTIKA UNIPA SURABAYA

FUNGSI DISTRIBUSI (CDF)

• Suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari suatu variabel random

• Fungsi distribusi probabilitas diskrit • Fungsi distribusi probabilitas kontinu

STATISTIKA

UNIPA

 

 

-Jika variabel random x dengan f.d.p f(x), x A Definisi :

F(x) = Pr(X x)

1) Variabel Random X diskrit F(x) =

t x

2) Variabel Random X Kontinu F(x) = F(x) x f t f t dt        

disebut fungsi distribusi

STATISTIKA

UNIPA

 

Soal :

x

, 1, 2, 3

1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 6

0, untuk x lainnya

Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?

1, 0

2. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)

0, untuk x la x A x  _{ }     innya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?

1/3, 1, 0,1

3. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)

0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Graf

x         iknya? x/15, 1, 2, 3, 4.5

4. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)

0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?

x     STATISTIKA UNIPA SURABAYA

3

Soal:

k , 1 1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) x

0, untuk x lainnya Carilah k agar memenuhi sifat f.d.p ?

Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya ?

2. Variabel Random X dengan

x  _{  }     2 3 1-x , 0 1 f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya Tunjukkan bahwa f(x) memenuhi sifat f.d.p ?

Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya ?

x  _{ }    STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 





   





  Soal: 0, 0 1

3. Variabel Random X dengan F(x) , 0 1 2 1 , 1 1 Hitung Pr -3 < x dan Pr x 0 ? 2 0 , 1 2

4. Variabel Random X dengan F(x) , 1 1 4 1 ,1 1 1 Hitung Pr < x , Pr x 0 , Pr x 2 2 x x x x x x x x      _{ }             _{  }         1 , Pr 2 < x    3 ? STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   

   

   

sifat-sifat fungsi distribusi

1. F lim F x 1

F lim F x 0

2. 0 F x 1

3. suatu fungsi yang tak monoton turun 4. F x kontinyu ke kanan setiap x

x x           STATISTIKA UNIPA SURABAYA

• Distribusi binomial • Distribusi poisson

STATISTIKA

UNIPA

• Distribusi uniform • Distribusi normal

STATISTIKA

UNIPA

TERIMA KASIH

STATISTIKA

UNIPA

DISTRIBUSI GABUNGAN DAN MARGINAL GANGGA ANURAGA STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION

FUNCTION

Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang terjadinya X dan Y

secara serentak dinyatakan dengan fungsi (x, y). Fungsi (x, y) disebut dengan Distribusi

Bersama / Distribusi Pel

f f

uang Gabungan / X dan Y.

Joint Distribution Function

STATISTIKA

UNIPA

DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRET BERDIMENSI DUA

STATISTIKA

UNIPA

 

 

   

x y

Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit : 1. , 0 untuk semua x, y

2. , 1

3. , , . untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan himpunan bagian dari daerah a

A f x y f x y P X Y A f x y                2 2 sal X dan Y. Contoh 5.1:

Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y adalah :

1, 0,1, 3 , 1, 2, 3 ,

0,

a. Carilah nilai konstanta k ? b. Hitunglah P

k x y x y

f x y

untuk x dan y yang lain

 _{    }     X = 0, Y  2 ? STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINYU BERDIMENSI DUA

 Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu berdimensi dua jika nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang berupa interval.

STATISTIKA

UNIPA

     

   

Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu : 1. , 0, untuk semua x, y

2. , 1

3. , ,

untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan himpunan bagi A f x y f x y dx dy P x y A f x y dx dy                     

an dari daerah asal X dan Y. Contoh 5.2 :

Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah :

1 , 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ? f x y  x  y     STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT              

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .

g x ,

,

Berdasarkan contoh 5.1, tentukan distribusi peluang marginal X d y x f x y h y f x y    

an distribusi peluang marginal Y?

STATISTIKA

UNIPA

DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU              

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .

, ,

Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang margina

y x g x f x y dy h y f x y dx     l X dan distribusi peluang marginal Y?

STATISTIKA

UNIPA

EKSPEKTASI MATEMATIK

GANGGA ANURAGA

STATISTIKA

UNIPA

   

     

   

Definisi :

Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :

untuk variabel random kontinu E u

untuk variabel random diskrit

x u x f x dx x u x f x       _{ }         

Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u disebut ekspektasi dari u x .

x       STATISTIKA UNIPA SURABAYA

n

i i i i

i=1 1

Sifat - sifat dari ekspektasi matematik : 1. E (k) = k, k = konstanta

2. E [k u(x)] = k E[u(x)]

3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat linier

n i   _            2 2 2 2

Var u Var(x) = E(x - E(x))

(x - E(x)) untuk variabel random kontinu =

(x - E(x)) untuk variabel random diskrit

x x f x dx f x                STATISTIKA UNIPA SURABAYA

        2 3 Contoh 1. Misal X dengan f.d.p 2 1 , 0 1

0 , untuk x yang lainnya

maka E 6x + 3x ....?

Contoh 2.

Misal X dengan f.d.p

/ 6 , 1, 2, 3

0 , untuk x yang lainnya maka E (x ) ...? x x f x x x f x               STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 

2

Soal Latihan :

1. Variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang 2

f.d.p ( ) , 2 4 dan 0 untuk yang lain. 18

Tentukan ( ) dan ( 2) .

2. Variabel random memiliki fungsi kepadat

x x f x x x E x E x x                     2 2 an peluang 1

f.d.p ( ) , 1, 2, 3, 4, 5 dan 0 untuk yang lain. 5

Tentukan ( ), dan ( 2) .

3. Variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang 1 f.d.p ( , ) , , 0, 0 , 0,1 , 1,1 da 3 f x x x E x E x E x x f x y x y            n 0 untuk , yang lain.

1 2 Tentukan . 3 3 x y E __ x  _ y  __      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   

   

 

5. Variabel random dan memiliki fungsi kepadatan peluang f.d.p ( , ) 2, 0 , 0 1 dan 0 untuk ,

yang lain. Didapatkan bahwa , , , dan , . Tunjukkan bahwa , x y f x y x y y x y u x y x v x y y w x y xy E u x y             2 2 , ,

6. Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p f(x) = 3x , 0 < x < 1

maka tentukan E (x), E(x ), dan Var (x). Jika variabel random y dengan y = 3x - 2 tentukan E

E v x y E w x y

 

     

     

(y) dan Var (y) ?

STATISTIKA

UNIPA

Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function)

Gangga Anuraga

STATISTIKA

UNIPA

   

   

 

Diberikan variabel random X dengan fungsi distribusi probabilitas , MGF dari X didefinisikan sebagai

Kontinu Diskrit Fungsi pembangkit m x tx tx tx tx x f x M t E e e f x M t E e e f x             _{   }               _{ }        

omen secara lengkap menentukan distribusi sampling dari suatu variabel random.

Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen t cx ct x cx x cx x t cx d dt cx d x cx d M t M ct M t E e E e M ct M _ t e M ct M _ t E e          _{ }  _{ }      _{  }  E e e_ dt.  ct x_  e Mdt _x  ct STATISTIKA UNIPA SURABAYA

MGF dan Ekspetasi Matematik

                0 0 0 ₀ 0 0

merupakan turunan pertama dari MGF dan

, 2, 3,

merupakan turunan ke-n dari MGF Catatan : | x _t n n x n _t tx tx x _{t t} t tx t d E x M t dt d E x M t n dt d d d M t E e E e dt dt dt E xe E x    _             _{ }  _{ }       STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 

 

   2  

Soal Latihan

1. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan peluang , 0.

a) Carilah MGF

b) Tentukan , dan

c) Jika variabel random didefinisikan sebagai x x f x e x M t E x E x Var x y                2 3 . - Tentukan MGF dan

2. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan 1 peluang , 1, 2, 3... 2 a) Carilah MGF b) Tentukan dan y x x y x M t E y f x x M t E x Var x      _{ }    STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   

 

1

3. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi poisson dengan MGF .

Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random ? 4. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi BIN n,p

t e x M t e x        dengan MGF

Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random ?

n t x M t pe q x   STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI DAN EKSPEKTASI BERSYARAT GANGGA ANURAGA STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT    _{ }       _{ }   1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 DEFINISI : , | , 0 disebut f.d.p bersyarat ,

dari x bila diketahui X , sejalan | , 0

disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X .

f x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x x       STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM DISKRIT

  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Contoh :

Jika diketahui fungsi peluang gabungan

dari variabel random x dan x dengan f.d.p sebagai berikut :

, , 1, 2, 3 ; 1, 2

21

0 , untuk , yang lain cari terlebih dahulu f.d.p margin

x x f x x x x x x        1 2   2 11 2 al untuk dan

kemudian tentukan | dan |

x x f x x f x x

 STATISTIKA

UNIPA

DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM KONTINU

      1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 Contoh :

Misalkan x dan x mempunyai f.d.p :

f x , x 2 , 0 x x 1

0 , untuk yang lain

cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya

kemudian tentukan f x x| dan f x | x

       STATISTIKA UNIPA SURABAYA

          2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 |

Ekspektasi Fungsi U(x)

1. U(x ) = X , maka mean dari variabel random X | X :

| kontinu E | | diskrit 2. Var u | = E x - E( | ) (x - E( | )) = x x x x f x x dx x x x f x x x x x x x x f x                    1 2 2 2 2 1 2 1 | kontinu ( - E( | )) | diskrit x x dx x x x f x x          STATISTIKA UNIPA SURABAYA

FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN DAN MARGINAL GANGGA ANURAGA STATISTIKA UNIPA SURABAYA

FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT

DISTRIBUTION FUNCTION

Jika terdapat dua variabel random X dan Y,

maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi kepadatan peluang / f.d.p (x, y). Fungsi (x, y) disebut dengan Distribusi

f

F Bersama

/Distribusi Peluang Gabungan/ X dan Y

/ .

Joint Distribution Function Joint d.f

STATISTIKA

UNIPA

FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRIT

 

 

   

x y

Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit : 1. , 0 untuk semua x, y

2. , 1

3. , , . untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan himpunan bagian dari daerah a

A f x y f x y P X Y A f x y             sal X dan Y. STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Latihan Soal

Untuk setiap variabel random x dan y dengan nilai 0, 1, 2 dan 3.

Dan peluang bersama / joint probability dari f.d.p antara variabel x dan y disajikan sebagai berikut :

 

 

a. Tentukan nilai peluang 2, 1 ?

b. Tentukan nilai peluang 2 3, 0 2 ?

P x y P x y       STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 

Diberikan tabel probabilitas dari f.d.p , adalah

sebagai berikut :

f x y

     

Tentukan Fungsi Distribusi gabungan / 1, 2 , 1.5, 2 dan 5, 7 . Joint d.f F F F  STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   

 

2 2

Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y adalah :

1, 0,1, 3 , 1, 2, 3 ,

0,

a. Carilah nilai konstanta k ? b. Hitunglah P X = 0, Y 2 ?

k x y x y

f x y

untuk x dan y yang lain

 _{    }      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT              

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .

g x , , y x f x y h y f x y     STATISTIKA UNIPA SURABAYA

FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINU

   

 

   

Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinu : 1. , 0, untuk semua x, y 2. , 1 3. , , A f x y f x y dx dy P x y A f x y dx dy                STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   

 

Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah :

1 , 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ? f x y  x  y     STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU              

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .

, , y x g x f x y dy h y f x y dx     STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI FUNGSI VARIABEL RANDOM DENGAN METODE MGF GANGGA ANURAGA STATISTIKA UNIPA SURABAYA

MOMENT GENERATING FUNCTIONS (MGF)

• Merupakan salah satu metode yang digunakan untuk membangun inferensi tentang parameter populasi dan mendapatkan distribusi sampling dari estimator yang distribusi populasinya diketahui.

STATISTIKA

UNIPA

SIFAT-SIFAT DARI MGF :             1 1 2 n 1 1 2 n a. jika a R maka

b. jika variabel random X , X ,..., X saling independen maka,

c. jika a, b R maka :

d. jika variabel random X , X ,..., X independe

n i i i ax x n x i X tb ax b x M t M at M t M t M t e M at               1 n identik maka : n i i n x X M t M t   _ _  STATISTIKA UNIPA SURABAYA

  1 2 2

2 ₂

Latihan Soal :

Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean

dan varians , maka MGF dari X addalah .

Tentukan :

a. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y = X - . b. MGF dan t t x M t e        X fungsi probabilitas variabel random W =

X -c. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Z =

   STATISTIKA UNIPA SURABAYA

            2 1 2

1. MGF dari distribusi Chi - Square 1 2 rata - rata

Variance 2

2. MGF dari distribusi Eksponensial 1 rata - rata

Variance

1

3. MGF dari distribusi Gamma 1 1 v x x x M t t v M t t M t t t                     _{ }      2 rata - rata Variance      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

    1

Latihan Soal :

Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean dan MGF dari X addalah 1 .

2X Tentukan : MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y = .

x M t t       STATISTIKA UNIPA SURABAYA

MGF UNTUK VARIABEL RANDOM

DENGAN LEBIH DARI SATU VARIABEL

GANGGA ANURAGA

STATISTIKA

UNIPA

 

 

1 2 n

1 2 n

1

Ingat kembali sifat - sifat MGF

Misalkan X , X ,..., X variabel random independen

dengan MGF , t R selanjutnya diberikan variabel random : Y = X + X + ... + X ,

a. Buktikan MGF dari Y adalah i i X n Y X i M t M M t                 i 1 2 n i i X

b. Jika X , X ,..., X independen dan identik maka :

...

c. Jika X , , i = 1, 2...., k dan X independen identik dengan MGF M , dengan q = 1- p. Maka dapatkan i Y X X n X i n t M M t M t M t B n p t pe q   _ _    1 2 n distribusi probabilitas Y = X + X + ... + X . STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   1 i 1 2 n i X n i i=1

Misalkan X , X ,..., X variabel random independen

berdistribusi poisson dengan parameter , MGF M .

Diberikan pula suatu transformasi variabel random Y = X a. Dapatkan MGF dari Y b. Tentuka t i e t e     n distribusi dari Y STATISTIKA UNIPA SURABAYA

   i i i2 2 1 2 n 2 i i 1 n _{t μ + σ t} 2 i i X i = 1 M i s a l k a n X , X , . . . , X v a r i a b e l r a n d o m i n d e p e n d e n m a s i n g - m a s i n g b e r d i s t r i b u s i N ︵μ , σ ︶ d a n Y = X . M G F d a r i X a d a l a h M t = e T e n t u k a n d i s t r i b u s i d a r i Y . STATISTIKA UNIPA SURABAYA

           2 2 i i n 2 2 i i i = 1 * * 2 K a s u s - k a s u s k h u s u s : i j i k a μ = μ d a n σ = σ y a i t u X : N μ , σ m a k a Y = X : N n μ , n σ i i j i k a d i b e r i k a n v a r i a b e l r a n d o m Y = X m a k a Y b e r d i s t r i b u s i : N μ , σ / n STATISTIKA UNIPA SURABAYA

GANGGA ANURAGA

2

DISTRIBUSI SAMPLING DAN DISTRIBUSI X dan S

STATISTIKA

UNIPA

PENGANTAR

• Inferensi statistika pada dasarnya adalah proses menduga

(mengestimasi) suatu parameter populasi yang tidak diketahui dengan menggunakan sampel yang diambil dari populasi tersebut.

• Hasil estimasi dinamakan estimator dari parameter tersebut.

• Inferensi dari estimator, memerlukan distribusi dari estimator.

• Estimator didapat dari proses pengambilan sampel, maka distribusi yang diperoleh dinamakan sebagai distribusi sampling suatu

parameter.

• Distribusi sampling suatu estimator merupakan fungsi dari suatu sampel X₁ , X₂ , ..., X_p

STATISTIKA

UNIPA

PENGANTAR

   

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1

Jika diberikan suatu parameter populasi θ Ω,

maka estimator dari ditulis , dapat dinyatakan sebagai fungsi dari , , , , yaitu :

, , , , , , , ,

dengan menyatakan fungsi dari ,

n n n X X X X X X X X X X X X X X          ₂, ₃, , .

Oleh karena itu, distribusi dari estimator sangat tergantung dari distribusi populasinya. n X X STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL

    1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1

Misalkan , , , , sampel random yang diambil dari

populasi berdistribusi , maka dapat diharapkan estimator

diperoleh dari kombinasi linier sampel random , , , , :

, , , , n n n X X X X F x X X X X X X X X a X a        _{2 2 3 3} dengan , 1, 2, , . n n i i X a X a X a R i n      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL

    1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Beberapa kejadian khusus yang penting dari kombinasi linier diatas adalah :

1

i Jika a ,

(rata - rata sampel)

ii Jika a 1, (kombinasi li n n n n i a a a maka n X X X X n X a a a maka X X X X X                         1

nier dengan koefisien - koefisien satu)

n i  STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 

1 2 3

2

1 2 3

1 1 2 2

Misalkan , , , , sampel random independen yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan

dan , 1, 2, , .

Berdasarkan suatu metode didapat estimator : , , , , n i n X X X X mean i n X X X X a X a X a          _{3 3} * 1 2 3 * ,

Tentukan distribusi sampling dari estimator dan .

n n i n X a X a R dan X X X X            STATISTIKA UNIPA SURABAYA

1 2 3 2 2 i 1 1 2 1 2 2

Misalkan , , , , sampel random independen yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan

dan , 1, 2, , .

Dapatkan distribusi dari variabel random

a. 2 b. n i X X X X mean i n W W X X X X W             3 1 2 3 2 c. n X X n X X W n        STATISTIKA UNIPA SURABAYA

1 2 3

1

Misalkan , , , , sampel random yang diambil dari populasi berdistribusi normal standar

a. Tentukan MGF dari ,

kemudian dapatkan mean dan variansinya. b. Tentukan syarat untuk aga

n n i i i i X X X X U a X a   

r berdistribusi normal standarU

STATISTIKA

UNIPA

DISTRIBUSI SAMPLING POPULASI GAMA DAN CHI-KUADRAT

GANGGA ANURAGA

STATISTIKA

UNIPA

• Dalam beberapa kasus mungkin tidak ditemui bahwa asumsi populasi berdistribusi normal.

• Mungkin saja populasi yang diselidiki berdistribusi agak

menceng, misal Gama dan Chi-Kuadrat.

          2 1 MGF :

Distibusi Chi - Kuadrat

1 2 Distribusi Gama 1 1 Distribusi Eksponensial 1 v x x x M t t M t t M t t              _       STATISTIKA UNIPA SURABAYA

1 2 i

SOAL :

Dapatkan distribusi probabilitas dari kombinasi linier

Jika X masing - masing berdistribusi Gama, Eksponensial, dan Chi - Kuadrat.

n

Y  X  X   X

STATISTIKA

UNIPA

          2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 jika X~N(0,1) maka X ~ 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 , , 1 2 1 2 maka X ~ x tx tx tx x x t M t E e e f x dx e e dx t e dx t t t t t          _                    _    STATISTIKA UNIPA SURABAYA

  1 2 2 1 2 2 SOAL

a. Jika ~ , 1, 2, , independen, buktikan

V = ~

b. Jika diketahui variabel - variabel random saling independen

~ dan ~ , m > n Tentukan distribusi Z = X + Y c. i n i i i v n i v i m n Y i n Y X Y           _{ }      2 2

Misalkan diberikan variabel random ~

dan ~ .

Tentukan distribusi dari variabel random W = V - U ? m m n U V U Z   _   STATISTIKA UNIPA SURABAYA

          2 1 2 2 n i 2 2 i=1 2 2 1 2

Misalkan , ,..., ~ , . Buktikan bahwa

X (i) ~ n X (i) ~ n n X X X N            STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI t, F

GANGGA ANURAGA

STATISTIKA

UNIPA

PENGANTAR

 Distribusi sampling yang sangat penting peranannya dalam

inferensi statistika, khususnya distribusi sampling yang diperoleh dari populasi berdistribusi normal, yaitu

distribusi t (Student t), dan F (Snedecor’s F).

 Distribusi t diperoleh dari ratio antara dua variabel

random independen yang berdistribusi normal standar dan chi-kuadrat.

 Distribusi F diperoleh dari ratio dua variabel random

independen yang masing-masing berdistribusi chi-kuadrat.

STATISTIKA

UNIPA

Distribusi Student t           _{ }   2 2 2 1 1 2

Beberapa pengertian berikut, yang berkaitan dengan distribusi t : i jika variabel random ~ , maka variabel random

~ 0,1

ii jika ~ 0,1 maka W = ~

iii jika , ,..., _n variabel random in

X N X Z N Z N Z Z Z Z            2 1 * 2 1

depeden identik berdistribusi maka variabel random :

~

Tiga pernyataan diatas menjadi landasan dasar dari pembentukan distribusi sampling t dan F. n i n i W Z      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 

 

2 k

Teorema :

Jika X variabel random yang berdistribusi N(0,1) dan

Y variabel random berdistribusi , X dan Y saling independen

maka variabel random : T X ~ t _k Y k   STATISTIKA UNIPA SURABAYA

    1 2 2 1 2 2

Misalkan , , , variabel random independen berdistribusi , dan , , , variabel random independen berdistribusi , .

a. Tentukan distribusi probabilitas dari

b. Tentukan distribus n n X X X N Y Y Y N X Z         i probabilitas dari / c. Tentukan distribusi probabilitas dari

Y W n Z U W      STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Distribusi F

 2  2

Berikut diberikan komponen - komponen variabel random yang berkaitan dengan pembentukan distribusi F. Jika variabel random

~ dan ~ . X dan Y independen maka variabel random : / ~ / n m X Y X n F F n Y m     , m STATISTIKA UNIPA SURABAYA

      2 2 2 1 2 2 1 Teorema : n -1

jika X X, , , X_n berdistribusi N  , maka S ~  _n

                      _{ }       2 2 1 2 2 _{2 2} 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 1 ~ Bukti : 1 1 1 1 1 , dengan 1 Misalkan : 1 ~ , , ~ n n n _i n i i i i i n i i n i i n i n i n S X X X X X n X X n X n X X n n X n S S X X n V V V n X X n V V S V                                                                   21

Untuk selanjutnya gunakan MGF

 STATISTIKA

UNIPA

      1 2 1 2 2 2 2 2 2 Contoh :

Misalkan , , , dan , , , variabel random independen

berdistribusi , , X dan Y saling independen.

a. Tentukan distribusi dari :

n -1 n -1

dan

b. Tentukan distribusi dari

n n X Y X X X Y Y Y N S S         2 ₂ 2 2 1 2 2 1 1 F = dengan 1 1 dan 1 n X X i i Y n Y i i S S X X S n S Y Y n           STATISTIKA UNIPA SURABAYA

 





_

_

1 2 2 2 2 2 2 2 1

Diberikan sampel random , , , berdistribusi , . Dapatkan :

a. Distribusi dari X

b. Distribusi dari : dan

/ /

1 c. Distribusi dari : , dengan

1 n n i i X X X N X X n n n X F S X X S n                       STATISTIKA UNIPA SURABAYA