BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam matematika Cayley Graph juga dikenal dengan nama Cayley Colour Graph. Konsep ini diperkenalkan oleh Arthur Cayley. Digraph Cayley pada kelompok G dengan generator setS, di notasikan−−→Cay(G, S) adalah digraph dengan himpunan titik G dan busur dari g untuk gs dan s ǫ S. Sejumlah peneliti telah menyelidiki keberadaan dan penghitungan path Hamilton di digraph Cayley.
Cayley (1878) menyatakan digraph Cayley menyediakan metode grup visua-lisasi dan properti. Sifat seperti komutatif, dan tabel perkalian grup dapat diper-oleh kembali dari digraph Cayley. Sebuah graph berarah atau digraph adalah himpunan titik berhingga yang disebut verteks dan himpunan busur yang disebut menghubungkan beberapa verteks ke verteks yang lain.
Menemukan cycle Hamilton dalam graph adalah masalah yang menarik dalam kombinatorik, ilmu komputer dan pengapliksiannya. Itu adalah salah satu masalah NP-lengkap klasik, dan dengan demikian tidak diharapkan memiliki so-lusi sederhana. Sejak 1969 perhatian besar diterima oleh dugaan Lovasz yang menyatakan bahwa setiap graph yang bersifat transitive memiliki lintasan Hamil-ton.
Untuk menentukan bahwa sebuah graph adalah cycle Hamilton atau tidak, pastinya lebih sulit dari pada menentukan itu Eulerian. Cycle dalam graph akan terbagi menjadi dua yaitu Euler dan Hamilton. Eulerian adalah sebuah cycle dalam graph yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua edges yang ada dalam graph tersebut. Sebuah verteks dilewati sebanyak apapun tidak men-jadi masalah dalam pengerjaannya. Tetapi pada Hamilton sebuah cycle dalam graph yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua verteks dalam graph tersebut tepat satu kali, kecuali verteks awal didatangi dua kali. Jika sebuah verteks itu telah dilewati dua atau lebih dalam suatu cycle maka siklus tersebut tidak dapat dikatakan sebagai cycle Hamilton.
1
2
1.2 Perumusan Masalah
Andai diberikan suatu permasalahan mengenai digraph Cayley. Setiap digraph Cayley yang terhubung dari beberapa grup komutatif mempunyai path Hamilton. Sehingga masalah dalam penelitian ini akan dicari suatu digraph Cayley yang tidak mempunyai path Hamilton.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan kondisi dimana digraph Cayley yang tidak mempunyai path Hamilton dan yang mempunyai path Hamilton.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil yang diperoleh pada penelitian ini sangat penting dalam penentuan digraph Cayley yang mempunyai dan yang tidak mempunyai path Hamilton dan nantinya diharapkan akan berguna untuk pengaplikasiannya terhadap penyelesaian masa-lah yang ada.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian yang penulis lakukan merupakan studi literatur untuk mengidentifikasi permasalahan digraph Cayley yang mempunyai dan yang tidak mempunyai path Hamilton. Untuk menghadapi persoalan yang ada di tesis ini, maka penulis mempunyai beberapa langkah untuk menyelesaikannya. Adapun langkah-langkah dalam menyelesaikan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai digraph Cayley;
2. Mempelajari teori-teori yang berkaitan dengan digraph Cayley dan path Hamilton. Dalam hal ini dimulai dengan teori graph kemudian mempelajari tentang digraph dan graph Hamilton;
3. Mengkaji digraph Cayley yang mempunyai path Hamilton kemudian dicari yang tidak mempunyai path hamiltonnya dan menunjukkan hasil dari pene-litian yang diharapkan akan didapat. Berdasarkan pembahasan mengenai
3
ada atau tidak adanya lintasan Hamilton pada digraph Cayley dapat di-ambil kesimpulan Cay(G, S) mempunyai sebuah lintasan Hamilton, jika G adalah suatu grup komutatif berhingga, makaS adalah himpunan sebarang (tidak kosong) dari generator untukG.
