BAB III ANALISIS LOOKBACK OPTIONS

(1)

BAB III : ANALISIS LOOKBACK OPTIONS 20

BAB III

ANALISIS LOOKBACK OPTIONS

Pada Bab III ini akan dibahas mengenai lookback options dan analisisnya. Asumsi yang kita pakai adalah saham yang digunakan (underlying asset) tidak memberikan dividen. Tipe lookback options yang akan dibahas pada bab ini hanyalah tipe European lookback options karena adanya fasilitas early exercise pada tipe American membuatnya sulit untuk dianalisis namun masih terbuka kemungkinan untuk dilakukan pendekatan secara numerik. Oleh karena itu, Bab III hanya membahas tipe European lookback options sedangkan Bab IV akan membahas kedua tipe tersebut.

Lookback options adalah salah satu path dependent options yang nilai payoff-nya bergantung kepada nilai maksimum atau minimum harga saham semasa suatu periode tertentu (disebut lookback period). Misal T adalah expiration date dan

[

adalah lookback period-nya. Notasikan nilai minimum dan maksimum semasa lookback period-nya dengan

]

0, T T 0 0 min , , T To T T T To T T m S M maks S ξ ξ ξ ξ ≤ ≤ ≤ ≤ = = dengan T₀ ≤ ≤t T.

Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)

(2)

BAB III : ANALISIS LOOKBACK OPTIONS

Lookback options dapat diklasifikasikan menjadi dua tipe, yakni: floating strike dan fixed strike. Floating strike lookback call (put) adalah opsi call (put) yang memberikan hak kepada holder untuk membeli (menjual) saham dengan harga terendah (tertinggi) semasa lookback period-nya. Fixed strike lookback call (put) adalah opsi call (put) yang memberikan hak kepada holder untuk membeli (menjual) saham dengan harga tertentu (strike price) namun payoff-nya bergantung kepada harga tertinggi (terendah) semasa lookback period-nya.

Dari definisi di atas maka payoff untuk masing-masing tipe lookback options adalah Payoff dari floating strike lookback call adalah : ;

0

( T)

T T

S −m Payoff dari floating strike lookback put adalah :

0

( T )

T T

M −S ; Payoff dari fixed strike lookback call adalah : ;

0

( T ,

T

maks M −X 0) 0) Payoff dari fixed strike lookback call adalah : ;

0

( T,

T

maks X −m dengan X adalah strike price.

Pertama-tama, asumsikan harga saham bersifat kontinu dan dimonitor setiap saat. Definisikan peubah stokastik

lnS

S

ξ ξ =

U

maka kita dapat menarik kesimpulan bahwa proses stokastik untuk peubah stokastik tersebut merupakan gerak Brown Geometrik dengan parameter drift

2

r σ

μ = − dan parameter variansi _{σ dengan r adalah riskless interest rate dan S adalah harga}2

saham saat t.

Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik

(3)

BAB III : ANALISIS LOOKBACK OPTIONS Definisikan pula

[ ]

{

}

[ ]

{

}

ln min , , , ln , , , T t T T t T m y U t S M Y maks U t S ξ ξ ξ ξ = = ∈ = = ∈ T T dan tulis τ = − . T t

Selanjutnya, dari analisis Barrier Options kita peroleh transition density function atas harga saham pada saat expiration time T dengan diberikan harga saham saat t adalah S dan harga saham selalu di atas barrier

T

S

( )

B τ , untuk 0< < − .. Bentuk τ T t dari transition density function tersebut adalah (Kwok,1998)

(

)

( )

2 2 2 2 2 1 2 ln 2 1 ; exp 2 2 ln 2ln 2 1 exp . 2 2 T T T T T S r S S S S B S r S S S B S δ σ τ ψ σ τ σ πτ τ _{σ τ} τ σ πτ σ + ⎛ _⎡ _⎛ _⎞ _⎤ ⎞ ⎜ _⎢ −_⎜ − _⎟ _⎥ ⎟ ⎜ _⎣ _⎝ _⎠ _⎦ ⎟ = _⎜− _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ τ ⎧ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎫ ⎪ ⎪ ⎜ _⎨ ₋_⎢ ₊_⎜ ₋ _⎟ _⎥_⎬ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡ ⎤ _⎪_⎩ _⎣ _⎝ _⎠ _⎦_⎪_⎭ −⎢ ⎥ ⎜− ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Karena kita menggunakan peubah stokastik maka perlu diubah beberapa variabel pada persamaan transition density function di atas menjadi peubah stokastik yang kita gunakan. Dengan mensubstitusikan beberapa variabel baru, yakni

(

)

2 2 , , 2 2 , T t r r τ σ μ α δ σ = − = − − =

( )

ln , ln , T S S B y S ξ τ = = min min , , t u T t u T u u maks maks

S

≤ ≤ ≤ ≤

=

(4)

BAB III : ANALISIS LOOKBACK OPTIONS kita akan memperoleh

(

)

[

]

2

{

}

2 ₂ 2 2 2 2 1 1 ; exp exp 2 2 2 2 y y S e μ σ ξ μτ ξ μτ ψ ξ σ τ σ τ σ πτ σ πτ ⎛ ₋ ⎞ ⎛ ₋ ⎜ ⎟ ⎜ = − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ − ⎟ ⎟ ⎠ .

Dari hasil yang diperoleh, maka dapat kita turunkan fungsi distribusi untuk suatu nilai konstanta x dan y adalah sebagai berikut

(

)

[

]

{

}

2 2 2 2 2 2 2 2 exp 2 1 Pr , 2 ₂ exp 2 2 , , T y x y x y y d y e x x y N e N μ σ μ σ ξ μτ σ τ y x ξ ξ σ πτ _ξ _μτ σ τ μτ μτ σ τ σ τ ∞ ⎡ ⎛ ₋ ⎞ ⎤ ⎢ ⎜− ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ _⎝ _⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ≥ ≥ = ⎛ ⎞ ⎢ ₋ ₋ ⎥ ⎜ ⎟ − − ⎢ _⎜ _⎟ ⎥ ⎢ _⎝ _⎠ ⎥ ⎣ ⎦ − + − + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟− _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

≤ (3.1)

(

)

[

]

{

}

2 2 2 2 2 2 2 2 exp 2 1 Pr , 2 ₂ exp 2 2 , . x T y y x Y y d y e x x y N e N y x μ σ μ σ ξ μτ σ τ ξ ξ σ πτ _ξ _μτ σ τ μτ μτ σ τ σ τ −∞ ⎡ ⎛ ₋ ⎞ ⎤ ⎢ ⎜− ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ _⎝ _⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ≤ ≤ = ⎛ ⎞ ⎢ ₋ ₋ ⎥ ⎜ − − ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ _⎝ _⎠ ⎥ ⎣ ⎦ − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟− _⎜ _⎟ ≥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

(3.2)

Agar kita dapat mengetahui fungsi distribusi dari y_T dan Y_T maka kita pilih x= y dan substitusikan ke dalam persamaan (3.1) dan (3.2) sehingga kita peroleh

(

)

2 2 Pr , 0, y T y y y y N e N y μ σ μτ μ σ τ σ τ − + + ⎛ ⎞ ⎛ ≥ = _⎜ _⎟− _⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ≤ τ ⎞ ⎟ ⎠ (3.3)

(

)

2 2 Pr , 0. y T y y Y y N e N y μ σ μτ μ σ τ σ τ − − ⎛ ⎞ ⎛ ≤ = _⎜ _⎟− _⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ≥ τ − ⎞ ⎟ ⎠ (3.4)

(5)

Setelah diperoleh fungsi distribusinya maka dapat kita turunkan dengan mudah fungsi padat peluang bagi y_T dan Y_T, yaitu

( )

(

)

2 2 2 2 2 Pr 1 2 1 , T y y f y y y y y y n e N e n μ μ σ σ y μτ μ μτ μτ σ σ τ σ τ σ τ σ τ σ τ ∂ = < ∂ − + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟+ _⎜ _⎟+ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.5)

( )

(

)

2 2 2 2 2 Pr 1 2 1 . T y y g y Y y y y y n e N e n μ μ σ σ y μτ μ μτ μτ σ σ τ σ τ σ τ σ τ σ τ ∂ = ≤ ∂ − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = _⎜ _⎟− _⎜ _⎟+ _⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎞ ⎟ ⎠ (3.6)

Kedua fungsi distribusi dan kedua fungsi padat peluang di atas akan sangat berguna dalam menurunkan formula harga lookback options.

3.1 European Floating Strike Lookback Options

Nilai dari sebuah floating strike lookback option merupakan fungsi dari S, , dan τ. Misalkan t adalah waktu saat ini dan

0

t T

m T t

τ = − adalah time to expiry. Waktu saat ini t berada dalam lookback period

[

T T , yakni ₀,

]

t∈

[

T T₀,

]

. Misalkan S adalah harga asset saat ini dan adalah harga minimum selama periode hingga saat ini t.

0 t T m 0 T

Dengan menggunakan pendekatan risk neutral discounted, nilai dari sebuah European floating strike lookback call diberikan oleh

(

, 0,

)

min

(

0,

)

t r t T T T T c S m τ =e−τE S⎡_⎣ − m m_t ⎤_⎦. Perhatikan bahwa

(

)

0 min 0, T t T T

m = m m_tT dan e−rτE S

( )

_T = . Pada saat ini, S nilainya diketahui sedangkan distribusi dari berhubungan dengan fungsi distribusi (3.3). 0 t T m T t m

(6)

BAB III : ANALISIS LOOKBACK OPTIONS Perhatikan:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 min , Pr . t T t t T T t T T t T T t t T t t t T T t T T T t t T t E m m E m m m E m m m m m m E m m m = ≤ + ≥ = ≤ + > (3.7)

Untuk mengevaluasi suku pertama pada persamaan (3.7), substitusikan

0 ln t T m y S

= ke dalam persamaan (3.3) sehingga diperoleh

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 ₂ 0 0 0 2 1 Pr Pr ln ln ln ln . t t T T T t t t T T T t t _T T t t T t t r T T t T t T E m m m m m m m _m m S S m m S S S m N N m σ μτ μ σ τ σ τ − ≤ = ≤ ⎛ ⎞ = ⎜_⎜ ≤ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ − + + ⎜ ⎟ _⎛ _⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ = − ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎜ ⎟ _⎝ _⎠ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ τ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (3.8)

Suku kedua pada persamaan (3.7) dapat dituliskan menjadi

(

)

0

( )

0 0 0 2 0 2 ln ln 2 ln 2 2 ln 1 2 1 t T t T t T t T m T T t S y t t T m y S m y y S m y y S E m m m S e f y dy y S e n dy y S e e N dy y S e e n dy μ σ μ σ μτ σ τ σ τ μ μτ σ σ τ μτ σ τ σ τ −∞ −∞ −∞ −∞ < = − + ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

(3.9)

(7)

Pengintegralan suku pertama pada persamaan (3.9) memberikan perolehan

( ) ( ) 0 2 0 2 2 0 0 ln ln 2 2 1 2 ln 2 1 2 1 1 2 1 ln 2 _, t T t T t T m y S y m y S y m r S t T r y Se n dy S e dy Se e dy m r S Se N μτ σ τ μ σ τ σ τ τ τ μτ σ τ σ τ σ πτ π σ τ σ τ σ τ −∞ − + − −∞ ⎛ ₋ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ −∞ − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ⎛ _⎛ _⎞ ⎞ − + ⎜ _⎜ _⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

sedangkan pengintegralan suku kedua pada persamaan (3.9) memberikan perolehan 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t T t T t T m y y S m _y S m _y S y y Se e N dy y S e N dy d y S e N dy dy y S e N μ σ μ σ σ μ σ σ μ σ σ μ μτ σ σ τ μ μτ σ σ τ μ σ μτ σ μ σ σ τ μ μτ μ σ σ τ −∞ ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −∞ ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −∞ ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ _⎛ ₊ _⎞ ⎢ ⎥ = _⎜ _⎟ ⎢ ⎥ + _⎝ _⎠ ⎣ ⎦ ⎡ _⎛ ₊ _⎞⎤ ⎢ ⎥ = _⎜ _⎟ ⎢ ⎥ + _⎝ _⎠ ⎣ ⎦

∫

0 2 0 ₂ 2 2 0 2 0 0 2 2 ln 2 ln 1 2 2 ₂ 2 ln _ln 1 ln ₁ 1 2 2 t T t T t _t T _T m S _m y S t y T m _m y S _S y e n dy m e S S e N e dy r μ σ σ μτ μ σ μ σ _{σ τ} σ σ μτ σ τ σ τ μτ σ σ τ σ τ π ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −∞ ∞ + ⎛ ⎞ − ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −∞ + ⎛ ⎞ − _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ + ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ _⎜ _⎟ ⎪ = −_⎜ _⎟ _⎨ − _⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ _⎜ _⎟ ⎪ ⎪ _⎝ _⎠ ⎪ ⎩ ⎭

∫

(8)

BAB III : ANALISIS LOOKBACK OPTIONS 2 2 0 2 0 ₂ 0 2 0 ₂ 0 2 2 1 2 _ln 2 2 ₁ 2 2 ln ₁ 1 2 2 ln ₁ 1 2 2 t T t r T y m t _y T _S t r T t T m m S S N e dy r S m S S S N e e r m μ σ μτ σ σ τ σ σ σ μ τ μτ σ σ τ σ πτ μτ σ σ τ π ⎛ + ⎞ ₋ ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _⎝ _⎠ ⎝ ⎠ −∞ − ⎛ ⎞ ₋ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ + ⎪ ⎜ _⎟⎛ _⎞ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ _⎜ _⎟ ⎪ = −⎜ ⎟ ⎨ _⎜ _⎟⎜_⎜ ⎟_⎟ − ⎬ ⎝ ⎠ ⎪ _⎜ _⎟⎝ ⎠ ⎪ ⎪ _⎝ _⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ⎛ ⎞ + ⎜ _⎟⎛ _⎞ ⎛ ⎞ _⎜ _⎟ = −_⎜ _⎟ ⎜_⎜ ⎟_⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ _⎝ _⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

( )

(

)

2 2 0 0 0 2 0 2 ln 2 ₂ 2 1 ln ln 1 , 2 t T y m S t t r _T _T r t T dy m m S _S _S S N e N r m μ σ τ σ τ σ τ σ τ μτ μ σ τ σ σ τ σ τ ⎛ − + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −∞ − − ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫ + − + ⎪_⎛ _⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎛ ⎞ ⎪ _⎜ _⎟ _⎜ _⎟⎪ = −⎜ ⎟ ⎨⎜_⎜ ⎟_⎟ _⎜ _⎟− _⎜ _⎟⎬ ⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠ _⎜ _⎟ _⎜ _⎟⎪ ⎪ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠⎪ ⎩ ⎭

∫

dan pengintegralan suku ketiga pada persamaan (3.9) memberikan perolehan

( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 0 ₂ ₂ 2 2 2 0 2 2 2 0 2 ln 2 ln ₂ 1 1 2 ln ₂ 1 1 2 ln 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 t T t T t T t T m y y S y m _y S y m S y m S y Se e n dy S e dy S e e dy Se e dy μ σ μτ μ σ σ σ τ μ σ τ μ σ τ σ τ μ σ τ μ σ τ σ τ μτ σ τ σ τ σ τ π σ πτ π σ −∞ ⎛ + ⎞ ₋ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −∞ ⎛ _{− +} ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ₊ ⎞ _⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −∞ ⎛ _{− +} ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ₊ ⎞ _⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −∞ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = =

∫

_τ

(

)

0 0 2 2 1 2 _. t T r t T r m S Se N m r S Se N τ τ μ σ τ σ τ σ τ σ τ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ _⎛ _⎞ ⎞ − + ⎜ _⎜ _⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(9)

Dengan menggabungkan ketiga perolehan pengintegralan yang kita dapatkan dengan perolehan ekspektasi pertama maka formula harga dari European floating strike lookback call adalah (Kwok,1998)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 2 0 2 2 , , 2 , 2 t r t T m T m r r r m m t T c S m SN d e m N d S r e S N d e N d r m τ σ τ τ τ σ τ σ _τ σ − − − ⎡ ⎤ =_⎣ − − − _⎦+ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ _⎛ _⎞ ⎢_⎜ _⎟ ₋ ₊ ₋ ₋ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢_⎜ _⎟ _⎝ _⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.10) dengan 0 2 1 ln 2 . t T m S r m d σ τ σ τ ⎛ ⎞ +_⎜ + _⎟ ⎝ = ⎠ (3.11)

(10)

Dengan mengikuti pendekatan yang serupa maka formula dari harga European floating strike lookback put juga dapat diturunkan. Nilai dari floating lookback put dinyatakan oleh

(

)

(

)

(

) (

)

0 0 0 0 0 , , , . t r t T T T t T r t t T T t T T T t t T t p S M e E maks M M S e E M M M E M M M S τ τ τ − − = − ⎡ ⎤ = _⎣ ≥ + < _{⎦ −} (3.12)

Ekspektasi pertama dari persamaan (3.12) dapat diubah menjadi

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 ₂ 0 0 0 2 1 Pr Pr ln ln ln ln , t t T T T t t T t T t T t T T t t T t t r T T t T t T E M M M M M M M M M S S M M S S S M N N M σ μτ μ σ τ σ τ − ≥ = ≤ ⎛ ⎞ = ⎜_⎜ ≤ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ − − ⎜ ⎟ _⎛ _⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ = − ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎜ ⎟ _⎝ _⎠ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ τ ⎞ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (3.13)

Ekspektasi kedua dapat dituliskan menjadi

(

0

)

0

( )

0 2 0 2 0 ln ln 2 2 ln 2 ln 1 2 1 t T t T t T t T T T t y M t t T S y M S y y M S y y M S E M M M S e g y dy y S e n dy y S e e N dy y S e e n dy μ σ μ σ μτ σ τ σ τ μ μτ σ σ τ μτ σ τ σ τ ∞ ∞ ∞ ∞ > = − ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ − ⎝ ⎠ − − ⎛ ⎞ ₊ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

(3.14)

(11)

Dengan cara yang serupa dengan floating call, ketiga buah pengintegralan pada persamaan (3.14) dapat dicari dan memberikan perolehan sebagai berikut:

1.

(

)

0 0 2 ln ln 1 , t T t T y r M S M y _S S e n dy S e Nτ μ σ τ μτ σ τ σ τ σ τ ∞ ⎛ ⎞ − + + ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ₌ _⎜ _⎟ ⎜ ⎟ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

2.

₍

₎

2 0 0 0 2 0 2 2 ln 2 ₂ 2 2 ln ln 1 , 2 t T y y M S t t r T T r t T y S e e N dy M M S S S S N e N r M μ σ σ τ μ μτ σ σ τ μτ μ σ τ σ σ τ σ τ ∞ − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎫ − − − + + ⎪ ⎜ ⎟_⎛ _⎞ ⎜ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ _⎜ _⎟ _⎜ ⎪ =⎜ − ⎟ ⎨− ⎜_⎜ ⎟_⎟ + ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎪ _⎜ _⎟⎝ ⎠ _⎜ ⎪ ⎪ _⎝ _⎠ _⎝ ⎪ ⎩ ⎭

∫

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 3.

(

)

0 2 0 2 2 ln ln 1 . t T t T y y r M S M y _S S e e n dy S e N μ τ σ μτ μ σ τ σ τ σ τ σ τ ∞ ⎛ ⎞ − + + ⎜ ⎟ − − ⎛ ⎞ ₌ _⎜ _⎟ ⎜ ⎟ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

Selanjutnya, substitusikan hasil yang diperoleh dari persamaan (3.13) dan (3.14) ke dalam persamaan (3.12) sehingga diperoleh formula harga untuk European floating strike lookback put option adalah (Kwok,1998)

(

)

(

)

(

)

( )

0 0 2 0 2 2 , , 2 , 2 t r t T M T M r r r M M t T p S M SN d e M N d S r e S N d e N d r M τ σ τ τ τ σ τ σ _τ σ − − − = − − + − + + ⎡ _⎛ _⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢₋_⎜ _⎟ ₋ ₊ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ _⎜ _⎟ _⎝ _⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.15) dengan 0 2 ln 2 . t T M S r M d σ τ σ τ ⎛ ⎞ +_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ = (3.16)

(12)

3.2 European Fixed Strike Lookback Options

Nilai dari European fixed strike lookback call option merupakan fungsi dari S,

0

t T

M , dan τ. Pada saat expiry date, nilai payoff-nya adalah . Nilai dari fixed lookback call option ini pada saat t adalah

(

0 ,0

)

T T maks M −X

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 , , , ,0 [ ,0 ,0 ]. t r t T T T t r t t T T T t T t t T c S M e E maks maks M M X e E maks M X M M E maks M X M M τ τ τ − − = − = − ≥ + − < T t (3.17)

Persamaan (3.17) terdiri atas dua buah ekspektasi dengan ekspektasi pertama memberikan perolehan

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 ,0 Pr , untuk 0 , untuk , untuk 2 0 , untuk . t t T T T t t T t t T t T T t T M r t t T T M t T t T E maks M X M M M X M M M X M X N d M X M S r N d M X M X σ σ τ τ σ − − ≥ ⎧ ₋ _≤ _> ⎪ = ⎨ ≤ ⎪⎩ ⎧ ⎡ ₋ ₊ ⎤ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ₋ ⎢ ⎥ _> ⎪ _⎢ _⎛ _⎞ _⎛ _⎞_⎥ = ⎨ _⎢₋_⎜ _⎟ _⎜ ₋ _⎟_⎥ ⎜ ⎟ ⎪ _⎢ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠_⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ≤ ⎩ (3.18)

Ekspektasi kedua dari persamaan (3.17) dapat dituliskan menjadi

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

0 0 0 0 ln ln ,0 , untuk X , untuk X t T T t T t T t y t M _T S y t X T S E maks M X M M S e X g y dy M S e X g y dy M ∞ ∞ − < ⎧ ₋ _> ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − ≤ ⎪⎩

∫

(13)

( )

(

)

( )

(

)

( )

2 0 0 0 2 0 2 2 2 2 2 r 2 1 1 2 2 , X 2 e , 2 r r M t M t t T T T M r r t T S r S S e N d N d S X r M r M M X X N d S r S N d X N d S e N d N d M r X σ τ σ τ τ σ _τ σ σ σ τ σ σ τ τ σ − − ⎧ _⎡ _⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ +_⎜ _⎟ +⎜ ⎟ _⎜ − _⎟⎢ _⎜ − _⎟− ⎜ ⎟⎥ ⎪ _⎜ _⎟ _⎝ _{⎠ ⎢} _⎜ _⎟_⎥ _> ⎝ ⎠ _⎝ _⎠ _⎣ ⎝ ⎠ _⎝ _⎠_⎦ ⎪ ⎪− + − + = ⎨ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ _⎛ _⎞ _⎛ _⎞ ⎜ ⎟ ⎪ ₋ ₋ ₊ ₋_⎜ _⎟ _⎜ ₋ _⎟ _≤ ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠_⎠ ⎩ X. (3.19)

Dengan mensubstitusikan (3.18) dan (3.19) ke dalam persamaan (3.17) maka kita peroleh formula harga untuk European fixed strike lookback call adalah (Kwok,1998): (i) 0 t T M > X

(

)

(

)

( )

(

)

( )

0 0 2 0 2 2 , , 2 , 2 t r T r t T t M T M r r r M t M T c S M e M X SN d e M N d S e S e N d N d r M τ τ σ τ τ τ σ σ _τ σ − − − − = − + − − r τ ⎡ _⎛ _⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ + _⎢ −⎜_⎜ ⎟_⎟ _⎜ − _⎟_⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.20) dengan 0 2 ln 2 . t T M S r M d σ τ σ τ ⎛ ⎞ +_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ = (3.21) (ii) t₀ T M ≤ X

(

)

( )

(

)

( )

0 2 2 2 , , 2 , 2 t r T r r r c S M SN d e XN d S r e S e N d N d r X τ σ τ τ τ σ τ σ _τ σ − − − = − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ + −_⎜ _⎟ _⎜ − _⎟ ⎢ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠⎥ ⎣ ⎦ (3.22) dengan 2 ln 2 . S r X d σ τ σ τ ⎛ ⎞ +_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ = (3.23)

(14)

Formula harga untuk European fixed strike lookback put option dapat diturunkan dengan cara yang serupa dengan fixed call. Nilai dari European fixed strike lookback put option merupakan fungsi dari S, , dan τ. Pada saat expiry date, nilai payoff-nya adalah . Nilai dari fixed lookback put option ini pada saat t adalah

0 t T m 0 ( T T maks X−m ,0)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 , , min , ,0 [ ,0 ,0 ]. t r t T T T r t t T T t T t T t T t p S m e E maks X m m e E maks X m m m E maks X m m m τ τ τ − − = − = − ≤ + − > t T _(3.24)

Pada persamaan (3.24) terdapat dua buah ekspektasi dengan ekspektasi pertama memberikan perolehan

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 ,0 , 0 , Pr , 0 , 2 , 0 , t t T T T t t t T t T T t T t T t T t t T t T T t T r t t T m t m T T t T E maks X m m m E X m m m m X m X X m m m m X m X S r . X m N d N d m X m m X σ σ τ τ σ − − ≤ ⎧ ₋ _≤ _< ⎪ = ⎨ ≥ ⎪⎩ ⎧ ₋ _≥ _< ⎪ = ⎨ ≥ ⎪⎩ ⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ₋ ⎢ ₋ ₋_⎜ _⎟ ⎛₋ ₊ ⎞⎥ ⎪ ⎢ _⎜ _⎟ ⎜ ⎟⎥ =⎨ _⎢ _⎝ _⎠ ⎝ ⎠_⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ _≥ ⎩ < (3.25)

Ekspektasi kedua pada persamaan (3.24) dapat dituliskan menjadi

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

0 0 0 0 ln ln ,0 , , t T T t T t T t m y t S T X y t S T E maks X m m m X S e f y dy m X X S e f y dy m X −∞ −∞ − > ⎧ ⎪ − < ⎪ = ⎨ ⎪ ₋ _≥ ⎪⎩

∫

(15)

(

)

(

)

(

)

( )

2 0 0 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 , , 2 2 _, _, 2 r r m t t m t T T T m r r t T r r S X N d S N d S e m m r r m X X X N d S r X N d S N d e S N d r X _m _X S e N d X r σ τ σ _τ τ σ σ τ σ σ τ σ σ τ τ σ σ − − ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _⎛ _⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ₋ ₊ _⎜ _⎟ _⎜ _{− +} _⎟₋ ₋ ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ _⎜ _⎟ _⎜ _⎟ _⎝ _⎠ _< ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪+ − − ⎪ = ⎨ ⎪ _⎛ _⎞ _⎛ _⎞ − − + − + − − ⎪ _⎜ _⎟ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ≥ ⎪ ⎪ − − + ⎩ (3.26) Selanjutnya, dengan mensubstitusikan kedua perolehan yang kita miliki, yaitu persamaan (3.25) dan persamaan (3.26) ke dalam persamaan (3.24) maka kita akan peroleh formula harga untuk European lookback fixed strike put option adalah (Kwok,1998): (i) t₀ T m < X

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 2 0 2 2 , , 2 , 2 t r t r t T T m T m r r r m m t T p S m e X m S N d e m N d S r e S N d e N d r m τ τ σ τ τ τ σ σ _τ σ − − − − = − − − + − + τ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ _⎛ _⎞ ⎢ ⎥ + _⎢⎜_⎜ ⎟_⎟ _⎜− + _⎟− − _⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.27) dengan 0 2 1 ln 2 . t T m S r m d σ τ σ τ ⎛ ⎞ +_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ = (3.28) (ii) 0 t T m ≥ X

(

)

( )

(

)

( )

0 2 2 2 , , 2 2 t r T r r r p S m S N d e X N d S r e S N d e N d r X τ σ τ τ τ σ τ σ _τ σ − − − = − − + − + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ + _⎜ _⎟ _⎜− + _⎟− − ⎢_⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎥ ⎣ ⎦ (3.29)

dengan d sama seperti pada persamaan (3.23).

(16)

3.3 Persamaan Differensial untuk Lookback Options

Pada subbab ini akan dicari bagaimana bentuk PDP Black-Scholes untuk lookback options. Adapun jenis lookback options yang akan diteliti adalah European floating strike lookback put option. Pertama-tama, definisikan:

( )

0 1/ 0 , n n t n _T , M =⎡_⎢ S_ξ dξ⎤_⎥ t>T ⎣

∫

⎦ (3.30)

dengan turunannya adalah

( )

1 1 . n n n n S dM dt n M − = (3.31)

Selanjutnya, ambil limit n sehingga diperoleh (Wheeden and Zygmund,

1997) → ∞ 0 lim _n max n T t M M S_ξ ξ →∞ ≤ ≤ = = (3.32)

yang merupakan nilai maksimum dari harga-harga saham S semasa lookback period

[ ]

T t . Buat suatu portofolio yang terdiri atas satu unit opsi put (payoff ₀, dari opsi put tersebut bergantung kepada M_n) dan −Δ unit saham. Misalkan

(

, _n,

)

p S M t adalah nilai dari floating put option dan Π adalah nilai dari portofolio, maka

(

, _n,

)

. p S M t S

Π = − Δ (3.33)

Dengan menggunakan Lemma Itô maka perubahan nilai dari portofolio tersebut adalah

( )

2 2 2 1 2 1 . 2 n n n n p S p p p d dt dt dS S dt dS t n _M M S S σ − ∂ ∂ ∂ ∂ Π = + + + − Δ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.34)

(17)

BAB III : ANALISIS LOOKBACK OPTIONS Pilih p

S ∂ Δ =

∂ agar faktor stokastiknya menjadi hilang. Argumen no-arbitrage menyatakan bahwa

,

dΠ = Πr dt (3.35)

dengan r adalah riskless interest rate. Samakan persamaan (3.34) dan (3.35) sehingga diperoleh

( )

2 2 2 1 2 1 0. 2 n n n n p S p p p S rS rp t n M M S S σ − ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₋ ∂ ∂ ∂ ∂ = (3.36)

Jelas S≤M dan hitung limit n→ ∞, yakni: (i) Untuk S <M

( )

1 1 lim 0, n n n n S n M − →∞ = (ii) Untuk S =M 0. p M ∂ ₌ ∂

Dengan memanfaatkan kedua poin di atas, dapat kita simpulkan bahwa persamaan differensial untuk floating strike lookback put adalah (Kwok,1998)

2 2 2 0 2 0, 0 , , 2 p p p S r S r p S M t t S S σ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₋ ₌ _{< <} ∂ ∂ ∂ >T (3.37)

yang identik dengan persamaan Black-Scholes untuk European options.