Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 1
MATRIKS
A. Definisi Matriks
1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks
Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan
dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun atas m baris dan n kolom,
maka matriks berukuran (berordo) m x n. Ordo Matriks adalah banyaknya baris dan
banyaknya kolom suatu matriks yang merupakan ukuran dari matriks.
Bentuk umum dari Amxn:
aij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
2. Jenis – Jenis Matriks
Berdasarkan ordonya, matriks dapat dibedakan menjadi:
a) Matriks bujursangkar / matriks persegi
Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom atau matriks
berordo n x n.
Contoh: A2x2 = 5 8
7 9 dengan elemen diagonal �11 = 5 dan �22 = 9
b) Matriks baris
Matriks yang hanya memiliki 1 baris.
Contoh: B1x3 = 6 8 1
c) Matriks kolom
Matriks yang hanya memiliki 1 kolom.
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 2 e) Matriks datar
Matriks berordo m x n dengan m < n
Contoh: E2x3 = 64 96 25
Berdasarkan elemen – elemen penyusunnya, matriks dapat dibedakan menjadi:
a) Matriks nol
Matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan dengan O.
Contoh: O = 0 0
0 0 , O = 0 0 0
b) Matriks diagonal
Matriks persegi yang semua elemen di atas dan di bawah diagonalnya adalah nol.
Contoh: D =
3 0 0
0 2 0
0 0 4
c) Matriks skalar
Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama.
Contoh: A =
3 0 0
0 3 0
0 0 3
d) Matriks simetri
Matriks persegi, yang setiap elemennya, selain elemen diagonal adalah simetri
terhadap diagonal utama.
Contoh: C = 5 9
9 7
e) Matriks simetri miring
Matriks simetri yang elemen – elemennya, selain elemen diagonal, saling
f) Matriks identitas / satuan
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 3 g) Matriks segitiga atas
Matriks persegi yang elemen – elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.
Contoh: A =
7 3 −2
0 5 8
0 0 −4
h) Matriks segitiga bawah
Matriks persegi yang elemen – elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.
Contoh: B =
elemen – elemen kolom atau sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan dengan
AT.
B. Operasi Matriks dan Sifat – Sifatnya
1. Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks
Jika A + B = C, maka elemen – elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen – elemen
A dan B yang seletak, yaitu aij + bij = cij untuk elemen C pada baris ke-i dan kolom
ke-j. Akibatnya, matriks A dan B dapat dijumlahkan jika memiliki ordo yang sama.
a b
Sifat – sifat penjumlahan matriks:
a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)
b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan)
c) A + O = O + A = A
d) (A + B)T = AT+ BT
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 4 Jika A – B = C, maka elemen – elemen C diperoleh dari pengurangan elemen – elemen
A dan B yang seletak, yaitu aij −bij = cij atau pengurangan dua matriks ini dipandang
sebagai penjumlahan A + (-B)
a b
2. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar (Real)
Matriks A dikalikan dengan suatu bilangan skalar k, maka kA diperoleh dari hasil kali
setiap elemen A dengan k.
Contoh:
Sifat – sifat perkalian matriks dengan skalar:
a) a(B + C) = aB + aC
3. Perkalian Dua Matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika dan hanya jika banyaknya kolom
matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.
Amxn Bnxp = Cmxp
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 5 Contoh:
a) Perkalian matriks 1 x p dengan matriks p x 1
A = 2 5 1 dan F = 5 4 2
Maka, AF = [(2x5)+(5x4)+(1x2)] = [32]
b) Perkalian matriks p x 1 dengan matriks 1 x p
F =
c) Perkalian matriks 2 x p dengan matriks p x 2
B = 1 3 1
d) Perkalian matriks p x 2 dengan matriks 2 x p
E =
a) Pada umumnya AB ≠ BA (tidak berlaku hokum komutatif)
b) Apabila A matriks persegi, maka A2 = AA; A3 = A2A dan seterusnya
c) Apabila AB = BC, maka tidak dapat disimpulkan A = C (tidak berlaku sifat
penghapusan)
d) Apabila AB = O, maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = O atau B = O
Sifat – sifat perkalian matriks dengan matriks:
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 6 C. Kesamaan Matriks
Dua buah matriks disebut sama jika:
Memiliki ordo yang sama
Memiliki elemen – elemen yang bersesuaian (seletak) sama
Contoh:
Matriks bujur sangkar selalu mempunyai suatu besaran skalar yang disebut determinan.
Sebaliknya, matriks yang tidak bujur sangkar tidak mempunyai determinan.
Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen – elemennya
menurut rumus tertentu, dilambangkan dengan det (A) atau |A|.
1. Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Jika matriks A = a b
2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 7
b. Minor dan Kofaktor
Minor suatu matriks adalah matriks bagian yang diperoleh dengan cara
menghilangkan elemen –elemennya pada baris ke-i dan elemen – elemen pada
kolom ke-j. Minor suatu matriks dilambangkan dengan Mij.
Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks dilambangkan
dengan
Kij = −1 i+j Mij = −1 i+jdet(Mij)
Untuk menghitung determinan cukup mengambil satu ekspansi saja, misal
ekspansi baris ke-1.
Adjoint matriks adalah transpose dari kofaktor – kofaktor matriks tersebut,
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 8 Misal A adalah sebuah matriks bujur sangkar. Jika ada matriks B sedemikian sehingga
AB = I, maka B disebut dengan invers A, dinotasikan dengan A-1. Dan jika AB = I,
maka BA = I. Jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A
disebut matriks nonsingular. Jika sebaliknya maka A disebut matriks singular.
Teorema:
Jika sebuah matriks mempunyai invers, maka invers tersebut tunggal.
Teorema:
Jika A mempunyai invers, maka A-1 mempunyai invers dan (A-1)-1 = A.
Teorema:
Jika A dan B matriks nonsingular, maka AB mempunyai invers dan (AB)-1 = B-1 A-1.
Hal ini berlaku umum untuk berhingga perkalian matriks.
1. Invers Matriks Ordo 2 x 2
Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung invers matriks ordo 2 x 2
adalah:
a. Cara perkalian
Jika A adalah matriks ordo 2x2, maka AA-1=I
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 9
Tentukan invers dari matriks R.
