LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I

(1)

Mata Pelajaran : Matematika

Materi Pokok : Persamaan Garis Singgung Kurva

Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah

Kelas / Semester : XI IPA / II

Petunjuk:

1. Bacalah LKS ini dengan teliti dan seksama!

2. Lengkapilah ringkasan materi yang disediakan sesuai dengan yang telah dipelajari.

3. Kerjakan latihan di kertas yang telah disediakan.

LAMPIRAN V

LKS 1

Gradien garis singgung kurva y = f (x) di titik x = a, adalah m = f’(x).

Dari gambar dibawah, garis singgung kurva adalah ………

Titik singgung antara garis singgung dan kurva y = f(x) adalah………

Persamaan garis singgung kurva di titik A (a,b) adalah

Y = f(x) Y2 𝑩 (𝒙𝟐, 𝒚_𝟐)

S Y1 𝑨(𝒙𝟏, 𝒙_𝟐) x1 x2

Nama : Kelas :

RINGKASAN MATERI

LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

Pertemuan I

(2)

Tugas Mandiri

Seorang penjelajah angkasa bergerak dari kiri ke kanan sepanjang kurva 𝑦 = 𝑥

²

− 4𝑥 − 5. Jika ia mematikan mesinnya, ia akan bergerak sepanjang garis singgung pada titik di mana ia saat itu berada. Carilah persamaan garis singgung kurva tersebut jika ia berhenti di titik ( 3,-8)!

Jawab : Diketahui :

………

……….………

………..………

………

Ditanya :

………

…….………

……….

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x

²

+ 3x – 2 di x = 1 Jawab :

 menentukan titik singgung kurva untuk x = 1 y = 2.1

²

+ 3.1 – 2 = 3

 menentukan gradien garis singgung kurva di x = 1 f(x) = y = 2x

²

+ 3x – 2

f ‘(x) = 4x + 3

untuk x = 1 maka f ‘(1) = 4.1 + 3 = 7 Persamaan garis singgung kurva di (1,3) y – b = m (x – a)

y – 3 = 7 (x – 1) y – 3 = 7x – 7

y = 7x – 4

(3)

Langkah-langkah penyelesaian:

Gradient garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥

²

− 4𝑥 − 5 adalah

………

Saat penjelajah itu berhenti di titik (3,-8) gradiennya adalah

………

Persamaan garis singgung di titik (…,…) adalah 𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)

………

SELAMAT BEKERJA

(4)

Materi Pokok : Fungsi Naik, Fungsi Turun

Petunjuk:

LKS 2

Pernahkan kamu melemparkan bola ke atas, baik itu bola kasti atau bola voli?

Jika pernah bagaimanakah bentuk lintasan yang dibentuk oleh bola tersebut?

Tentunya saat bola dilemparkan bola itu naik dan turun saat kecepatannya 0 seperti gambar dibawah ini.

RINGKASAN MATERI

Nama : Kelas :

LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

Pertemuan II

(5)

Misalkan lintasan atau kurva yang dibentuk kurva tersebut adalah f(x).

Fungsi f(x), dengan f(x)= 9 − 𝑥

²

adalah fungsi yang kontinu dan Terdeferensialkan pada interval 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 seperti di bawah 1. Jika f’(x) = 0 interval a < x < b, maka f konstan.

2. Jika f’(x) > 0 interval a < x < b, maka f naik.

3. Jika f’(x) < 0 interval a < x < b, maka f turun 4. Jika f’(x)  0 interval a < x < b, maka f tidak turun.

5. Jika f’(x)  0 interval a < x < b, maka f tidak naik

Contoh Soal:

Fungsi f ditentukan oleh f (x) = x

³

– 6x

²

– 15x + 2.

Carilah interval dimana fungsi naik.

Jawab :

f (x) = x

³

- 6x

²

– 15x + 2 f’(x) = 3x

²

- 12x – 15

Syarat agar fungsi naik adalah f’(x) > 0.

3x

²

– 12x – 15 > 0 3(x

²

– 4x – 5) > 0 (x + 1) (x – 5) > 0

+ + + + - - - + + + + -1 5

Jadi, f naik pada interval x < -1 atau x > 5

(6)

Dari interval dan turunan dari persamaan diatas, diperoleh nilai a dan b yaitu:

Untuk t = -1 maka: ...

...

Untuk t = 5 maka:...

...

Jadi 𝑎 + 𝑏 adalah ...

...

Tugas Mandiri

1. Konsentrasi 𝐾(𝑡), suatu obat dalam darah pasien memenuhi persamaan 𝐾 𝑡 = 𝑡³+ 𝑎𝑡²+ 𝑏𝑡 + 𝑐 dengan t menunjukkan waktu ( dalam jam) setelah pemberian obat . Konsentrasi obat hanya turun pada interval −1 < 𝑡 < 5, tentukan nilai 𝑎 + 𝑏!

Jawab:

Diketahui: ………

Ditanya : ………

Langkah-langkah:

𝐾 𝑡 = 𝑡³+ 𝑎𝑡²+ 𝑏𝑡 + 𝑐

𝐾^′ 𝑡 = ………

Kurva turun ketika 𝐾^′ 𝑡 ………

………

𝐾 𝑡 turun pada interval −1 < 𝑡 < 5

………

Selesaikanlah masalah di bawah ini!!!!!!

SELAMAT BEKERJA

(7)

Kapan sebuah fungsi mempunyai nilai stasioner?????

Materi Pokok : Nilai Stasioner Dan Jenis-Jenisnya

RINGKASAN MATERI Petunjuk:

2. Lengkapilah ringkasan materi yang disediakan sesuai dengan yang telah dipelajari.

LKS 3

Syarat fungsi stationer apabila y’ = f’(x) = 0, dan pada fungsi stationer diperoleh titik stationer.

Ada 3 jenis titik stationer, yaitu :

1. Titik stationer nilai maksimum atau titik balik maksimum.

f ’(a) = 0 dan f ”(a) < 0

y p titik balik maksimum

a x

Nama : Kelas :

LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

Pertemuan III

(8)

Contoh:

Diketahui f (x) = x (x – 2)² Tentukan nilai stationer serta jenisnya

Jawab :

f (x) = x (x – 2)² = x (x² – 4x + 4) = x³ – 4x² + 4x f (x) = x³ – 4x² + 4x

f ’(x) = 3x² – 8x + 4 f ‘’(x) = 6x -8

Nilai stationer dicapai apabila f ’(x) = 0 3x² – 8x + 4 = 0

(3x – 2) (x – 2) = 0

3x – 2 = 0 atau x – 2 = 0

x = 2/3 atau x = 2

2. Titik stationer nilai minimum atau titik balik minimum.

f ’(a) = 0 dan f ”(a) > 0

y

a x

q titik balik minimum 3. Titik stationer sebagai titik belok (sadle point)

f ’(a) tidak harus sama dengan nol.

f ”(a) = 0 atau ditulis :

y ’ = 0 dan y ” = 0 atau y ’  0 dan y ” = 0 Contoh titik belok :

y y titik belok turun titik belok naik

a x a x

(9)

Tugas Mandiri 1

Rata-rata pertumbuhan suatu baktri setelah t menit diberikan oleh persamaan 𝑁 𝑡 = 6𝑡³+ 2𝑏𝑡²+ 8𝑡 + 2 . Jika pertumbuhan bakteri tersebut tidak naik dan tidak turun pada waktu 𝑡 = 2 berapakah nilai b?

Jawab:

Diketahui :

………

Ditanya:

………

Langkah-langkah:

Nilai stasioner diperoleh ketika ………

………

𝑁 𝑡 = 6𝑡³+ 2𝑏𝑡²+ 8𝑡 + 2 Nilai stationer adalah f (a)

 Untuk x = ₃²  f (x) = x (x – 2 )²

  

₃²

^

₃² ₃²

^ ² 

²

^

₂₇³²

^ ¹

₂₇⁵

f

jenis stasioner diperoleh dengan menggunakan uji turunan kedua f ”(x) = 6x – 8

f ”( ₃² ) = 6 . ₃² - 8 = - 4

f ”( ₃² ) < 0 maka A (₃² , 1₂₇⁵ ) titik balik maksimum nilai balik maksimum.

 Untuk x = 2  f (x) = x (x – 2)² f (2) = 2 (2 – 2)² = 0

jenis stasioner diperoleh dengan menggunakan uji turunan kedua f ”(x) = 6x – 8

f”(2) = 6 . 2 – 8 = 4

f”(2) > 0 maka B (2,0) titik balik minimum nilai balik minimum.

(10)

Tugas Mandiri 2

Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus 𝑓 𝑡 = 15𝑡²− 𝑡³. Reaksi maksimum tercapai setelah?

Jawab:

...

Kemudian substiktusikan

………

Kesimpulan

Jadi nilai b adalah……….

SELAMAT BEKERJA

(11)

Materi Pokok : Nilai Maksimum dan Minimum dalam Interval Tertutup Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam

pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPA / II

Petunjuk:

2. Lengkapilah ringkasan materi yang disediakan sesuai dengan yang Kerjakan latihan di kertas yang telah disediakan.

LKS 4

Perhatikan gambar berikut ini : E

B Y

A C

D

x

₁

x

₂

RINGKASAN MATERI Nama :

Kelas :

LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

Pertemuan IV

(12)

Pada gambar di atas terlihat, pada selang

x

₁

 x  x

₂ kurva mencapai nilai maksimum pada titik E dan mencapai nilai minimum pada titik D. Jadi dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai stasioner pada selang tertutup belum tentu nilai ekstrimnya (maksimum/minimum).

Cara menentukan nilai maksimum dan minimum pada selang tertutup

a  x  b

pada kurva y = f(x) adalah sebagai berikut :

1. Tentukan nilai-nilai ujung interval 2. Tentukan nilai-nilai stasionernya

3. Bandingkan masing-masing nilai untuk menentukan nilai maksimum dan minimum

Tugas Mandiri 1

Kecepatan suatu reaksi kimia yang bergantung pada jumlahnya memenuhi persamaan 𝑣 𝑥 = 𝑥³+ 𝑝𝑥²+ 15𝑥 − 2 dengan p adalah konstanta. Jumlah zat maksimum dicapai pada 𝑥 = −5. Tentukan nilai x yang membuat jumlah zat minimum!

Jawab : Diketahui :

………

Ditanya :

………

Langkah-langkah

Pertama tentukan turunan dari persamaan:

𝑣 𝑥 = 𝑥³+ 𝑝𝑥²+ 15𝑥 − 2

𝑣′ 𝑥 =………

Fungsi maksimum ketika :

………

……….

(13)

Tugas Mandiri 2

Setelah satu jam x milligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperature (dinyatakan dalam fahreinheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan 𝑇 𝑥 =¹₃𝑥³+¹₂𝑥²− 6𝑥 − 7 pada selang −4 < 𝑥 < 3 . Rata-rata perubahan 𝑇(𝑥) bersesuaian dengan ukuran dosis x. 𝑇(𝑥) disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat, jika nilai maksimum sensitivitas tubuh adalah 𝑎 dan nilai minimum sensitivitas tubuh adalah 𝑏. Tentukan nilai 𝑎. 𝑏!

Jawab:

...

Penyelesaian

Untuk 𝑝 = ⋯ substitusikan ke ………

Fungsi akan minimum ketika:

………

Kesimpulan

Jadi, nilai minimum fungsi dicapai ketika………

(14)

………...

...

………...

...

...………...

...

SELAMAT BEKERJA

(15)

Materi Pokok : Nilai Maksimum dan Minimum dalam Interval Tertutup Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam

pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPA / II

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan nilai optimum (maksimum/minimum) untuk mencapai hasil optimal yang diinginkan.

Jika suatu persoalan dapat dinyatakan dalam suatu persamaan matematika berderajat lebih dari 1, maka tentu ada nilai ekstrim/stasioner dari kurva yang terbentuknya.

Dengan menggunakan y’ = 0 maka persoalan di atas dapat diselesaikan.

Petunjuk:

LKS 5

Apa saja ya penggunaan maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari-hari?

Nama : Kelas :

LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

Pertemuan V

(16)

Tugas Mandiri 1

Carilah luas persegi panjang yang terbesar yang dapat dibuat dengan titik sudutnya berada di sumbu x dan menyinggung bagian dalam dari parabola 𝑦 = 12 − 𝑥²!

Contoh Soal:

Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari untuk peternakan ayam. Jika pagar kawat yang tersedia penjangnya 500 m dan peternakan itu dibuat berbentuk persegi panjang, tentukan ukurannya agar terdapat daerah peternakan yang seluas-luasnya !

Jawab :

Misalkan lebar kandang = x meter maka panjangnya = (500-2x) meter Jika x



0 dan (500 – 2x)



0 maka 0

 x  250

Luas kandang = L (x) = x(500 -2x) = 500x - 2x² L ‘ (x) = 500 – 4 x = 4 (125 – x) Nilai ekstrem diperoleh jika L ‘ (x) = 0

4 (125 – x) = 0 x = 125

500 -2x

x L x

Jadi, untuk x = 125 terdapat nilai ekstrem maksimum L(125) = 125 (500-250)

= 31.250

Jadi, untuk membuat kandang dengan lebar = 125 m dan panjang = 250 m, akan terdapat luas kandang yang sebesar-besarnya, yaitu 31.250 m².

(17)

y

12

2 3 𝑂 𝑥 2 3

Jawab:

Misalkan alasnya………….., tingginya ………..

Maka luasnya adalah 𝐿 = ……….

𝐿 =………..

Syarat mencapai maksimum 𝑓^′ 𝑥 ………

𝐿^′ 𝑥 =………

………

Jadi, Luas maksimum persegi panjang adalah ………

𝑦

(18)

Tugas Mandiri 2

Ani akan membuat sebuah persegi panjang dari sebuah karton yang kelilingnya adalah 40 . Berapakah luas persegi panjang yang terbesar yang dapat dibuat oleh Ani?

Jawab:

...

SELAMAT BEKERJA

(19)

Materi Pokok : Kecepatan dan Percepatan

Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam

pemecahan masalah

Kecepatan

Kecepatan yaitu kecepatan sebagai perubahan jarak yang ditempuh benda terhadap waktu. Apabila jarak yang ditempuh suatu benda dalam t detik dinyatakan dengan s(t), maka:

Kecepatan sesaat benda tersebut pada detik ke – t adalah:

kecepatan rata-rata benda dalam interval waktu ∆𝑡:

𝑣 𝑡 = 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑠′𝑡

𝑣 =∆𝑠

∆𝑡= 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑠(𝑡)

∆𝑡 Petunjuk:

LKS 6

Cara menghitung kecepatan dan percepatan adalah…

Nama : Kelas :

LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

Pertemuan VI

(20)

Tugas Mandiri

Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dan tempat peluncuran 5 km dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam!

Jawab:...

...

𝑎 = perubahan kecepatan

𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑙𝑢𝑘𝑎𝑛 = ∆𝑣

∆𝑡

𝑎 𝑡 = 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡 𝑑𝑠(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝑑

²

𝑠(𝑡)

𝑑𝑡

²

= 𝑠

^′′

(𝑡)

Percepatan

Apabila kecepatan benda juga merupakan fungsi dari waktu (v(t)) maka perubahan kecepatan terhadap waktu ini dinamakan percepatan rata-rata 𝑎 dalam interval waktu ∆𝑡:

Percepatan sesaat benda pada detik ke-t: