MATEMATIKA DISKRIT MINGGU 1 DOSEN : YUNIARTA BASANI

(1)

MATEMATIKA DISKRIT

MINGGU 1

DOSEN : YUNIARTA BASANI

(2)

Pra-syarat dan Co-requisites

• Pra-syarat: Tidak ada mata kuliah yang

menjadi pra-syarat, diharapkan peserta sudah cukup memahami topik-topik aljabar SMA.

• Co-requisite: -

• Other Related courses: -

(3)

Deskripsi Mata Kuliah

• Mata kuliah ini merupakan pengenalan matematika diskrit yang terkait erat dengan Ilmu komputer.

Secara garis besar kuliah ini terbagi menjadi dua bagian, yaitu:

1. Konsep dasar matematika: definisi, pengenalan metode pembuktian, himpunan, fungsi, logika, relasi, dan aljabar Boolean.

2. Struktur diskrit: graph, state machines, pengenalan grammar, counting.

3

(4)

Tujuan

• Tujuan mata kuliah ini adalah memberikan kepada mahasiswa, pengetahuan dasar (fundamental) dari matematika diskrit dan logika yang sangat penting dalam ilmu komputer.

• Setelah mengikuti mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat menjelaskan dan menerapkan metode-metode dasar dari

matematika diskrit pada ilmu komputer.

• Mahasiswa dapat menggunakan pengetahuan dan metode-metode tersebut pada mata kuliah yang akan diambil berikutnya, seperti dalam desain dan analisis algoritma, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, dan sistem komputer

(5)

Learning outcomes

• Menggunakan notasi logika untuk mendefinisikan dan menjelaskan konsep-konsep dasar matematikan seperti himpunan, relasi, dan fungsi.

• Melakukan evaluasi terhadap argument atau pernyataan dasar matematika, dan melakukan identifikasi terhadap fallacious reasoning dan bukan hanya terhadap pengambilan kesimpulan yang salah.

• Menerapkan teori graf untuk memodelkan struktur data dan state machines, untuk meyelesaikan persoalan keterhubungan dan persoalan dengan beberapa konstrain, misalnya pada penjadwalan.

• Menghitung banyaknya cara pada proses kombinatorial seperti perhitungan permutasi dan kombinasi.

• Mencari dan menghitung fungsi Boolean (expression) dari sebuah output yang diinginkan kemudian melakukan minimalisasi dengan menggunakan metode peta Karnaugh

5

(6)

Komponen dan Grade Nilai

Komponen Bobot

Quiz 15%

Mid Semester 30%

Final Semester 35%

Assignments 20%

Grade Range Nilai Akhir Skala A 79,5 ≤ NA < 100 4 AB 72 ≤ NA < 79,5 3,5

B 64,5 ≤ NA < 72 3 BC 57 ≤ NA < 64,5 2,5

C 49,5 ≤ NA < 57 2

(7)

Course Content

1. Fundamentals (Set Theory, function and Matrices) 2. Logic

3. Counting 4. Relations 5. Graph 6. Trees

7. Boolean algebra

8. Modeling Computation

7

(8)

Reference and Text Book

1. Course Notes, which will be posted on the website each week.

2. Rosen, Kenneth H.1999. Discrete Mathematics and its Applications, Seventh Edition. McGraw-Hill, Inc. New York.There is a website for this book with additional problems and information.

3. Lipschutz ,Seymour. Schaum's outline of theory and problems discrete mathematics. Mc Graw Hill.

4. Munir, Rinaldi. 2012.Matematika Diskrit Edisi 5.Informatika

(9)

Aturan Perkuliahan

1. Pelajari materi sebelum perkuliahan dimulai siap-siap kalo ada quiz

2. Usahakan datang tepat waktu 3. Tugas dikumpulkan tepat waktu

4. Kalo ga ngerti nanya, kalo ga dosen yang bakalan nanya 5. Dosen tidak selalu benar, jadi koreksi dosen kalo salah 6. Aturan lain akan ditetapkan kemudian

9

(10)

Matematika Diskrit?!?

• Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

• Benda disebut diskrit jika:

– terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda – elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected).

– Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)

• Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous).

– Contoh: himpunan bilangan riil (real)

(11)

Diskrit versus kontinu

Kurva mulus: himpunan menerus

Titik-titik tebal di kurva: himpunan diskrit

(12)

Matematika Diskrit?!?

• Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit.

• Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit.

• Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer.

• Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di informatika.

 algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik

kompilasi, dsb.

• Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika  Matematika Informatika.

(13)

Contoh-contoh persoalan di dalam Matematika Diskrit:

• Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8 karakter?

• Berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil?

• Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b?

• Buktikan bahwa perangko senilai n (n  8) rupiah dapat menggunakan hanya perangko 3 rupiah dan 5 rupiah saja

• Diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaian sebuah persoalan, algoritma mana yang terbaik?

• Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula?

13

(14)

Teori Himpunan

(15)

Definisi

 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

 Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota

 Cara Penyajian  enumerasi

 Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

 Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

 C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

 R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

 C = {a, {a}, {{a}} }

 K = { {} }

 Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }

 Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

15

(16)

Simbol-simbol Baku

 P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

 N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

 Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

 Q = himpunan bilangan rasional

 R = himpunan bilangan riil

 C = himpunan bilangan kompleks

 Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

 Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

(17)

Notasi Pembentuk Himpunan

• Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }

• Contoh:

– A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, ditulis

• A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau

• A = { x | x ϵ P, x < 5 }

• yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

– M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit}

17

(18)

Diagram Venn

• Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

• Diagram Venn:

U

1 2

3 5 6

8

4 A B 7

(19)

Keanggotaan

• x  A : x merupakan anggota himpunan A;

• x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A

• Contoh

19

(20)

Kardinalitas

• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

• Notasi: n(A) atau A 

• Contoh

– B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

maka B = 8

– T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5

– A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

(21)

Himpunan Kosong

• Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

• Notasi :  atau {}

• Contoh

– E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

– P = { y | y adalah orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai { }

• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {  , {  }}

• {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

21

(22)

Himpunan Bagian (Subset)

• Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

– Notasi: A  B

• Contoh

– { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}

– {1, 2, 3}  {1, 2, 3}

• Diagram Venn

U

(23)

Himpunan Bagian (Subset)

23

(24)

Himpunan yang Sama

• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B.

• Notasi : A = B  A  B dan B  A

• Contoh

– Jika A = { 3, 5, 8, 7 } dan B = {7, 5, 3, 8 }, maka A = B

– Jika A = { 3, 5, 8, 7 } dan B = {3, 8}, maka A  B

(25)

Himpunan yang Sama

25

(26)

Himpunan yang Ekivalen

• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan

tersebut sama.

• Notasi : A ~ B  A = B

• Contoh:

– Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = {a, b, c, d}, maka A ~ B

sebab A = B = 4

(27)

Himpunan yang Saling Lepas

• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas

(disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

• Notasi : A // B

• Diagram Venn:

27

U

A B

(28)

Himpunan Kuasa

• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

• Notasi : P(A)

• Jika A = m, maka P(A) = 2

^m

.

• Contoh

– Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

– Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah

P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {}

adalah P({}) = {, {}}.

(29)

Operasi terhadap Himpunan

• Irisan

• Gabungan

• Komplemen

• Set Difference

• Symmetric Difference

• Cartesian Product

29

(30)

OPERASI TERHADAP HIMPUNAN

(31)

31

1. Irisan (intersection)

 Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }

Contoh

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A  B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A  B = . Artinya: A // B

(32)

2. Gabungan (union)

 Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }

Contoh

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A  B =

(33)

33

3. Komplemen (complement)

 Notasi :

A

= { x  x  U, x  A }

Contoh

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka

A

= {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2  P, x < 9 }, maka

A

= { 1, 3, 5, 7, 9 }

(34)

4. Selisih (difference)

 Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B }

Contoh 18.

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B

= { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = 

(35)

35

5. (Symmetric Difference)

 Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)

Contoh

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A  B = { 3, 4, 5, 6 }

(36)

Contoh Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : (ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” :

(iii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” :

(37)

Perkalian Kartesian (Cartesian Product)

• Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B }

• Contoh

– Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

– Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus } dan

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

• A  B = AB = 4  3 = 12 kombinasi makanan dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

37

(38)

Perampatan Operasi Himpunan



ⁿ

i

n A

A A

A

1 2

1 ...







ⁿ

i

n A

A A

A

1 2

1 ...





i n

n i A

A A

A1 2 ... 1







i n

n i A

A A

A1 2 ... 1







(39)

39

Contoh

(i) A (B

₁

B

₂

 ... B

_n

) = (A B

₁

)  (A  B

₂

)  ...  (A  B

_n

)



ⁿ

i

i n

i

A B

B A

1 1

) (



 



(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka

A  B  C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ),

(2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }

(40)

Hukum-Hukum Himpunan

(41)

Pembuktian Pernyataan Himpunan

• Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

• Pernyataan dapat berupa:

– Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A  (B  C) = (A  B)  (A  C)”

– Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A  B =  dan A  (B  C) maka selalu berlaku bahwa A  C”.

41

(42)

Pembuktian dengan Diagram Venn

• Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.

Buktikan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) dengan diagram Venn.

• Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A  (B

 C) = (A  B)  (A  C).

• Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

• Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal

(43)

Pembuktikan dengan Tabel Keanggotaan

• Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.

Buktikan bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Karena kolom A  (B  C) dan kolom (A  B)  (A  C) sama, maka A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

43

(44)

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

A  B = A + B – A  B

A  B = A +B – 2A  B

(45)

45

Contoh Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

Yang ditanyakan adalah A  B.

A = 100/3 = 33,

B = 100/5 = 20,

A  B = 100/15 = 6

A  B = A + B – A  B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

(46)