Ringkasan Materi IPA

DASAR

MATEMATIKA

FUNGSI

Bentuk linear:

a b x x f b

ax x

f( )= + ⇒ ′( )= −

Bentuk pecahan:

d cx

b ax x f

++ =

) (

a cx

b dx x

f

−+ − =

−1_{( )}

Bentuk eksponen:

p a px

a x

x x

f a

x F

x x

f a

x f

1 1

1

log ) ( )

(

log ) ( )

(

= ⇒

=

= ⇒

= ′

− −

Bentuk logaritma: f(x)= alogx ⇒ f−1(x)=ax

Bentuk akar pangkat:

a b x x f b

ax x f

n

n + ⇒ = −

= −_{( )}

)

( 1

Bentuk fungsi kuadrat:

a

b

a

D

x

a

x

f

c

bx

ax

x

f

2

4

1

)

(

)

(

2 1

⎟

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

±

=

⇒

+

+

=

−

(

)

( )

( )

g

x

h

x

maka

f

x

h

(

g

( )

x

)

f

r

qx

px

b

ax

f

x

f

maka

r

qx

px

b

ax

f

a

b

r

qx

px

x

g

Maka

r

qx

px

x

fog

b

ax

x

f

Jika

a

b

q

px

x

g

Maka

q

px

x

fog

b

ax

x

f

Jika

fungsi

Komposisi

1 2

2 2

2

)

(

:

)

(

)

(

:

,

)

(

)

(

:

)

(

)

(

)

(

:

)

(

)

(

:

−

=

=

+

+

=

+

=

+

+

=

+

−

+

+

=

+

+

=

⇒

+

=

−

+

=

+

=

⇒

+

(

)

(

)

n menguraika dengan

selesaikan atau

atau misalkan

tentu tak

dicari yang

jawaban merupakan

b atau a

atau b

a misalkan tertentu

ya hasi jika

fungsi ke

a kan substitusi x

g x f

c b q p

q p a cx

q bx p

ax

maka q

p jika

m n maka q

p jika

maka q

p jika x

m x

m

x n x n

r c r qx

px

c bx

ax

TERTENTU BILANGAN

MENDEKATI LIMIT

x x

q p

p p

x

m m

n n

x

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ ⇒

+ +

− +

= − − +

< =

= >

⇒ +

++ +

= + +

+ + +

+

→ →

+ +

→

− −

→

~ 0 ~

~ 0

0

0 0

: ln ) (

) ( . 3

~ 0 ...

... ... ... .

2

... ...

... ... .

1

lim

lim

lim

lim

0 0

1 1 1

1 2

1 1 2 0

LOGARITMA

(

)

(

0

)

, 0 : , 1 0 , 1 , 0 : , log ≥ ∉ ≠ ≠ ≥ ∉ ≠ ≠ x negatif bilangan x x maka a dan a negatif Bilangan a a a maka syarat x a

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

r s n m a b b a sehingga b a a F x a F x F m n a sehingga b m n b maka x x x f Jika b b b f a f b a f e e d c b b f a f b a f b n m b maka x x f Jika b b b n b c b f a b maka c b x f t dan t dan b a b x x maka c b c b x dan x akar akar mempunyai c b c b c x b x a b a c b s b m a n m r m b n a a n a a a a n a a d c b a a n m a g a a a n a g MAKS b a g g t t a a b a a a a a a c a r n r b n a a m m n ⋅ = ⋅ = ⇒ = − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⇒ = − = = + = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = + = ≠ ≥ = = − = − + = ⋅ = + + = ⇒ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − log log . 13 : . 12 1 ) ( log : log log . 11 : log 2 1 log ) ( . 17 log log . 10 log log log log log . 9 log log . 8 : , log ) ( . 16 log 2 1 log . 7 log log . 6 2 log log 1 log . 5 : log log ) ( . 15 1 0 log log log . 4 10 log log : log . 3 log log log . 2 0 log log . 14 log . 1 log log 2 2 1 2 1 2

LOGARITMA

FUNGSI

GRAFIK

y

( )

(

)

(

x n

)

y kiri ke n x y kanan ke a x y bawah ke x a y atas ke satuan n digeser x y grafik Jika a a n a n a a + = ⇒ − − = ⇒ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ − = ⇒ − = log log log log log 1 , log >

= x a

y a

( )

1,0

1 , log <

= x a

MAAN

PERTIDAKSA

Pertidaksa

maan

h

arg

a

mutlak

a x f a b x f x f a atau a x f a x f a x f a a x f b

a < ⇔ < <

< − < ⇔ > < < ⇔ < ) ( 1 ) ( log ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

(

) (

)

y x y x y z z x y x y x y x y x y x x x memenuhi yang x a h ada tidak x R x maka x b x a x b x a x a x a x x x x untuk x x x untuk x x x + ≤ − − + − ≤ − = ⋅ + ≤ + = ⇒ ≤ ⇒ ∈ ≥ + ≤ + ⇔ + ≤ + ≤ ⇔ ≤ − = ⇒ ≤ = ⇒ ≥ = . 11 . 10 . 9 . 8 0 0 . 7 arg . 6 0 . 5 2 2 . 4 . 3 0 0 . 2 . 1 2 2 2 2 2 y a a maka a y x a a maka a b ax syarat eksponen Bentuk c b ax an penyelesai x g x f c b ax umum Bentuk maka x g x f dan a Jika c a maka c b b a x g x f b a b a maka x g x f dan a Jika b a maka b a untuk x g x f b a maka b a untuk b a maka x g x f dan a Jika R c untuk c b c a b a x g x f c untuk bc ac b a maka x g x f dan a Jika c untuk bc ac b a aritma Bentuk sifat Sifat b syarat b a negatif bilangan y f y f x negatif bilangan x x syarat y f x f syarat x f y x y x a a a a a a a a x ⇒ < < < > ⇒ > > ≥ + > + ≥ > + ≥ < < > > > ≤ > ⋅ ⇒ > ≥ < < < < ≤ > > > ≤ > ∈ + > + ⇔ > ≥ < < ⇔

> ⇔ > > > ≥

KUADRAT

PERSAMAAN

DAN

GRAFIK

c bx ax x f fungsi

Grafik ( )= 2+ +

: .

1 Pengaruh faktor a

⇒ putar kurva900 ke−kiri

a

>

0

a

<

0

: .

2 Pengaruh faktorb

y y y

x x x

b > 0 b < 0 b=0

y y y

x x x

b < 0 b > 0 b=0

0 : * 0 : * 0 : * = < > c maka koordinat pangkal melalui kurva Bila c maka x sumbu bawah di y sumbu memotong kurva Bila c maka x sumbu atas di y sumbu memotong kurva Bila

kuadrat

persamaan

akar

akar

Sifat

−

:

,

0

:

2 2

1

dan

x

akar

akar

persamaan

ax

bx

c

maka

berlaku

x

Jika

−

+

+

=

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

real akar memiliki tidak D x x sama akar memiliki D berlainan yang real akar dua memiliki D rasional akar memiliki k D real akar memiliki D D N DISKRIMINA ac b D ditulis dapat a ac b b x rumus dengan sempurna kuadrat pers membentuk an memfaktork cara dengan an diselesaik dapat R c b a dengan a dengan c bx ax a b x x syarat x x sama akarnya kedua Bila c syarat akarnya satu salah Bila c a syarat x x an berkebalik saling akar akar Bila b syarat x x berlawanan saling akar akar Bila x x x x x x a ac b x x x x x x x x ac b D dengan a D x x x x x x x x x x c b x x a D b x x a c x x a b abc x x a b x x ⇒ < = ⇒ = ⇒ > ⇒ = ⇒ ≥ − = ⇒ − ± − = ∈ ≠ = + + − = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = − = ⇒ − = − + = + − = + + − = − − = = − − − + = + = − = − = − = + − = + 0 * 0 * 0 * * 0 * : 4 : 2 4 : . 3 . . 2 . 1 : , , 0 0 2 , * 0 , 0 * , 1 * 0 , * 1 1 . 10 2 . 5 . 9 4 . 4 2 2 . 8 1 . 3 . 7 . 2 3 . 6 . 1 2 1 2 2 2 2 , 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 4 2 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 2 4 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 3 3 3 2 3 1 2 1

( )

k ac kb berlaku pembanding ta kons k ana kx x a h sehingga sedemikian x dan x akar memiliki c bx ax kuadrat Persamaan 2 2 2 1 2 1 2 1 : tan dim arg 0 * + = = = = + +

(

PKB

)

Baru

Kuadrat

Persamaan

0

2

+

+

=

c

bx

x

a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

0 . 10 0 2 0 1 1 . 9 0 2 0 . 8 0 0 . 7 0 0 . 6 0 3 0 . 5 0 2 0 . 4 0 0 . 3 0 0 1 1 . 2 0 0 . 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 3 3 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 = − − + = + + ⋅ + − = + − − = + + − = + − − = + + − = + + + + = + + − − − = + − + − = + + + + − = + − − = + + − = + − − = + + − = + − = + + − − − = + + = + + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = + + = + + − bc x c ab x a adalah c bx ax dari x x dan x x akarnya akar yang PKB a x ac b x c adalah c bx ax dari x dan x akarnya akar yang PKB ac x ac b acx adalah c bx ax dari x x dan x x akarnya akar yang PKB c k x b k x a adalah c bx ax dari dari kurangnya k k x dan k x akarnya akar yang PKB c k x b k x a adalah c bx ax dari dari lebihnya k k x dan k x akarnya akar yang PKB c x b abc x a c bx ax dari x dan x akarnya akar yang PKB c x ac b x a adalah c bx ax dari x dan x akarnya akar yang PKB c bx ax adalah c bx ax dari x dan x berlawanan akarnya akar yang PKB a bx cx adalah c bx ax dari x dan x kebalikan akarnya akar yang PKB ck kbx ax adalah c bx ax dari kx dan kx kali k akarnya akar yang PKB

(

) (

)

0

2− + + ⋅ =

−akarnyaα danβ adalah x α β x α β akar yang kuadrat Persamaan 2 2 2 2 1 1 2 1

:

c

x

b

x

a

c

x

b

x

a

r

ganda

Kuadrat

+

+

+

+

=

(

)

(

b

b

a

c

a

c

)

r

D

k

r

D

r

a

h

oleh

ditentukan

akarnya

a

h

ana

akar

akar

mempunyai

yang

ganda

kuadrat

Pers

=

+

+

−

−

⇒

−

1 2 2 1 1 2 1

2

2

4

GARIS

PERSAMAAN

(

,

)

(

,

)

: .

1 Persamaan garismelaluiduatitik K x1 y1 dan L x2 y2

(

)

(

)

(

)

3 3 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 3 3 : _ : , , , . . 2 By Ax By Ax Hasil By Ax By Ax B y y y x A x x y x y x L titik dan y x K titik melalui yang garis dan y x M titik melalui garis Pers + = + + = + = − ⇒ = − ⊥

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 . 10 : , , , , , . 9 : , 0 0 . 8 0 , . 7 : : : . 6 0 , , 0 . . 5 0 , . . 4 0 , . . 3 1 2 1 3 1 2 1 3 3 3 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 = + + + ⇒ − = + − + ⇒ − = + + + ⇒ − = + + − ⇒ − = + + − − = − − + − = = + + = + + + + + = ⇒ = + + − − = − − = + = + = = + ⇒ − = − ⇒ = + + ⊥ + = + ⇒ = + + c k y b ax bawah ke satuan k c k y b ax atas ke satuan k c by k x a kiri ke satuan k c by k x a kanan ke satuan k digeser c by ax garis Jika y y y y x x x x jika garis satu dalam terletak y x y x y x titik buah Tiga b a c c d adalah c by ax dengan c by ax antara sejajar yang garis buah dua Jarak b a c by ax d c by ax garis dengan y x A titik Jarak m m c m c m y dan m m c c x adalah c x m y h garis dan c x m y g garis potong Titik Hess Hukum ab by ax b dan a melalui garis Pers Ab Ba Ay Bx C By Ax b a melalui garis Pers Bb Aa By Ax C By Ax sejajar b a melalui garis Pers 1 y 1 x 2

x y2

Q y

x2 1= x1y2 =P

(

P Q

)

Bx

y

GRADIEN

(

)

(

)

( )

a b dengan gradienm y b m

(

x a

)

RI

TRIGONOMET

(

)

(

(

(

)

)

)

(

)

(

) (

)

(

(

(

)

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0 0

)

0

(

)( )( )

: .

15

2 sin

sin sin

. 14

cos 2

cos 2

cos 2

: cos .

13

sin sin

sin

: sin .

12

tan 3 1

tan tan

3 3 tan

cos 3 cos 4 3 cos

sin 4 sin 3 3 sin

: 3 .

11

2 1 2

1 2

1 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 3 3

3

ri trigonomet fungsi

Grafik

c b a s dengan c

s b s a s s

A bc B ac C ab L

C ab b

a c

B ac c

a b

A bc c

b a

inus Aturan

C c B b A a

us Aturan

rangkap Sudut

+ + = ⇒

− − − =

= =

= Δ

− + =

− + =

− + =

= =

− −

=

− =

− =

αα α

α

α α

α

α α

α

α

y

y =sinx

1

0

0

900 180

0

2700 3600

– 1

y

1 y =cosx

0

0

902 1800 2700 3600 x

– 1

y y= tanx

00 90

0

1800 2700 3600 x

A B

C

a b

c

(

TURUNAN

)

L

DIFERENSIA

(

)

h

x

f

h

x

f

x

f

h

)

(

)

(

lim

0

−

+

=

′

→

(

)

2 1 1 0 tan : . 1 V V U V U y V U y V U V U y V U y V U y V U y V U y V U y x n a y x a y x n y x y y kons c c y aljabar fungsi Turunan n n n n ′ − ′ = ′ ⇒ = ′ + ′ = ′ ⇒ ⋅ = ′ − ′ = ′ ⇒ − = ′ + ′ = ′ ⇒ + = = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = = − − ax ax x x a e a y e y e y e y a n x y x y x a y ax n y x y x n y aritma dan eksponen fungsi Turunan = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = 1 1 log 1 1 1 log . 2 ax ec a y ax y ax a y ax y ax a y ax y ax a y ax y x x y x y x x ec y x ec y x ec y x y x y x y x y x y x y x y ri trigonomet fungsi Turunan 2 2 2 2 cos cot sec tan sin cos cos sin tan sec sec cot cos cos cos cot sec tan sin cos cos sin . 3 − = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = − = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = ⋅ = ′ ⇒ = ⋅ − = ′ ⇒ = − = ′ ⇒ = = ′ ⇒ = − = ′ ⇒ = = ′ ⇒ =

(

)

U ec U y U y U U y U y U U y U y U U y U y U e y e y U a n a y a y U U y U n y U U n y U y x iabel mengganti untuk U menjadi isalkan ya komposi satu salah ana fungsi beberapa dari terdiri yang komposisi merupakan mejemuk fungsi majemuk Fungsi U U U U n n 2 2 1 cos cot sec tan sin cos cos sin 1 1 var dim sin dim , : . 4 ′ − = ′ ⇒ = ′ = ′ ⇒ = ′ − = ′ ⇒ = ′ = ′ ⇒ = ′ ⋅ = ′ ⇒ = ′ = ′ ⇒ = ′ = ′ ⇒ = ′ ⋅ = ′ ⇒ = −

(

)

: sin . 8 2 sin cos 2 sin cos cos . 7 2 sin sin 2 cos sin sin . 6 . 5 2 1 2 1 2 kurva ggung Garis bx bx b a n y atau bx bx b a n y bx a y bx bx b a n y atau bx bx b a n y bx a y d cx bc ad y d cx b ax y n n n n n n − − − − − = ′ = ′ ⇒ = = ′ = ′ ⇒ = + − = ′ ⇒ ++ =

y = f(x)

g

(

x a

)

m b y g kurva ggung garis Persamaan − = − : sin

(

a ,b

)

dengangradien m= f′(x)= f′(a)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = − ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = + ′ = = ⇒ ′ = = = = = = ⎩ ⎨ ⎧ = ′′= ′ ⎩ ⎨ ⎧ > ′′ = ′ = = ⎩ ⎨ ⎧ < ′′ = ′ = = ⇒ = <

′ > = ⇒

′ = = ⇒ ′ 2 4 1 5 2 3 2 3 1 2 2 1 2 4 1 5 2 3 2 3 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 min min min min * * : min . 13 : , , , tan , tan : . 12 0 ) ( * * ) ( ) ( , : . 11 0 ) ( 0 ) ( min ) ( * 0 ) ( 0 ) ( ) ( * : . 10 ) ( , 0 ) ( * ) ( , 0 ) ( * , , 0 ) ( * : / . 9 c ab c a b a c a ab c a ab c b a c maks ab c a maks b a c a maks ab c a maks ab c b a imum dan maksimum Nilai V t d v d a S t d s d V maka waktu t jarak S kecepa V percepa a jika mekanika pada Turunan x f berubah tidak x x disekitar f bila x f fungsi belok titik merupakan x f x belok Titik x f x f bila x x di imum nilai mempunyai x f y Fungsi x f x f bila x x di maksimum nilai mempunyai x f y Fungsi fungsi suatu ekstrem Nilai turun x f y grafik maka x f Jika naik x f y grafik maka x f Jika stasioner titik y x titik maka m x f Jika fungsi suatu turun Naik

( )

ab arsir

di yang daerah maksimum

Luas ₄1

.

14 ⇒

( )

ab arsir

di yang daerah maksimum

Luas ⇒ ₂1

3 4 3 ab arsir di yang daerah maksimum Luas ⇒ ●

(

x , y

)

b

a

a

− a

b

MATRIKS

(

)

(

)

q p b a r p c a y dan q p b a q r b c x maka r qy px c by ax v q s x u p r w d c c a maka MP MN s p d a r c q b maka MP MN x w v u M s r q p N d c b a A C B A sama kedua dan pertama matriks kolom banyaknya bila dilakukan dapat hanya matriks Perkalian sama ordo ber yang matriks matriks pada dilakukan dapat hanya matriks n penguranga dan n Penjumlaha sama seletaknya elemen belemen daan sama ordo memiliki bila sama dikatakan matriks Dua perkalian komutatif sifat berlaku tidak BA AB koefisien matriks q p b a r c y x q p b a ditulis dapat r qy px c by ax d b c a A a transposny matriks d c b a A an er dengan matriks invers memiliki tidak yang matriks adalah gular Matriks a c b d bc ad A A Invers bc ad A A A an er d c b a A p m p n n m t = = ⇒ = + = + ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − = −− = = = − − = = = ⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = = × ⇒ − − − ⇒ ≠ ⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⇒ = + = + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − = = − = = = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = × × × − , * , * ; ; . 10 : . 9 . . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 0 min det sin . 3 1 . 2 det min det . 1 1

(

D E F

) (

A B C

)

N f d c F g f b E i e a D i d b C h f a B g e c A dengan F E D C B A f g e d b a i h g f e d c b a N matriks i h g f e d c b a N B C A dan C A B maka C B A + + − + + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = − − det ; ; , , ; ; ; det . 12 , .

11 1 1

( )

( )

( )

A A

A A B A AB an Deter t det det * det 1 det * det det det * : min . 13 1 = = ⋅ = −

( )

( )

(

)

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = = = ⇒ = = = − − − − − 1 0 0 1 * * * . 14 1 1 1 1 1 I identitas matriks satuan matriks I dengan A B atau B A I AB A B AB A B ABt t t

STATISTIK

(

)

( )

sama yang bagian menjadi terurut data membagi Kuartil positif genap n untuk x x Me positif ganjil n untuk x Me diurutkan telah yang tengah data Me Median n x f x atau n x x mean rata Rata tunggal Data A n n n 4 : . 3 2 1 2 1 . 2 . 1 : . 2 2 ⇒ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + = ⇒ + = ⇒ = = ⇒ −

∑

∑

● ● ● Q₁ Q₂ Q₃

Q₁ =kuartil bawah;Q₂ =kuartiltengah

(

median

)

;Q₃ =kuartil atas muncul sering yang data adalah Modus : . 4

(

datatersusun

)

erval

Data B. int

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n p

)

(

n n n

)

x x n x n x n P Q x x x x n n gabungan rata rata an Perbanding gab gab ... ... ... ... . 7 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 + + + = + + + = − − = −

EKSPONEN

( )

( )

( ) ( )

_ac

IPA

MATEMATIKA

Integral

) ( ) (

) ( )

( .

1

x f x F maka

C x F dx x f sebagai dirumudkan

f fungsi dan

l diferensia anti

semua Himpunan

Tentu Tak Integral

= ′

+ =

∫

) (x

F F′(x)

1 ;

1

1 1

− ≠

+ x + n

n

n n

x

c x dx

x

c x dx

x

c dx

c ax dx a

c x n dx x

n C x n dx x

C x dx x

C x dx x

C x dx x

C x dx x

x x

n n

+ =

+ −

= + =

+ =

+ =

− ≠ +

+ = ⇓

− − − − − − − − − −

− − − − − − − − − −

+ =

+ =

+ =

+ =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

+

sin cos

*

cos sin

* * * *

1 ;

1 1 *

5 1 4 1 3 1 2 1

1

1 5

4

4 3

3 2

2

l l

− −

− −

4 5

3 4

2 3

2

5 1 4 1 3 1 2 1

x x

x x

x x

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

c x x x dx x x x dx x x x dx x x dU V UV dV U x V dx x V dan dU dx maka dV dx x dan U x misalkan dV dx x U x contoh dU V UV dU U dV sebagai dianggap dx termasuk lain yang sisanya U isalkan bagian satu salah partial egral isip Partial Integral c c U c U dU U dU U maka dU dx x dU dx x dx x sisanya U x misalkan dx x x Contoh dU dalam diubah harus dx termasuk lain yang sisanya U isalkan bagian satu salah Substitusi Integral insip Substitusi Integral + + − = + ⋅ − = − − − ⋅ = − = − = ⇒ = = = = = − = ⎩ ⎨ ⎧ + + = + = + ⋅ = = = = = + = + ⇒

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

sin cos cos cos cos cos sin cos cos : sin : ... ... sin : / * dim * int Pr . 3 3 4 20 1 20 1 5 1 4 1 4 1 4 1 : 4 1 2 8 2 3 4 : ... ... 3 4 2 : * dim * Pr . 2 5 2 5 5 4 4 2 4 2 x sumbu terhadap kurva suatu luas n Perhitunga Integral Pengertian bawah batas a atas batas b a F b F x F dx x f diabaikan c faktor tertentu egral pada tertentu erval erval pada egral melakukan dalam digunakan Tertentu Integral Tertentu Integral b a b a * . 5 ; ) ( ) ( ) ( ) ( int * int int int . 4 = = ⇒ − = = −

∫

y

kurva dua antara luas

n Perhitunga

*

y g(x) ) (x

f

0 a b x

⇒

∫

−

b a

dx x g x f arsir

di yang

Luas ( ) ( )

x sumbu terhadap

diputar jika

putar benda Volume

* . 6

y f(x)

x

⇒

∫

b a

dy y f Volume π 2( )

* jikadiputar terhadap sumbu y

y

⇒

∫

b a

dy y f Volume π 2( )

0 _a

b

b

a

) (x

f

KERUCUT

IRISAN

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

c a q y direktris c a p x direktris c q p F c q p F fokus q c p F q c p F fokus q b p B a q p A b q p B q a p A q b p B a q p A puncak b q p B q a p A puncak x sumbu sejajar x sumbu sejajar ellips panjang sumbu q p ellips pusat ellips panjang sumbu q p ellips pusat a q y b p x b q y a p x sifatnya sifat dan ellips Pers ELLIPS 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , 1 1 : . . 1 ± = ± = − + − + − − − − + + + + = − + − = − + − −

( )

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ < ≤ + = > = ⇒ a c tas eksentrisi e c c b a b a berlaku ellips dalam di adalah q dan p nilai maka pusat jika a b LR rektum laktus Panjang fokus satu salah melalui dan panjang sumbu pada lurus tegak yang garis adalah rektum Laktus 1 0 * * * 0 0 , 0 * 2 2 2 2 2 K 3 W 2 W E P

T W1

Q

y

1

B

2

A F₂

2

B

1

F A₁

(

) (

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

: . 2 1 , , 1 sin * 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 sifatnya sifat dan parabola Persamaan PARABOLA b m a p x m q y m arah koefisien dengan b q y q y a p x p x y x titik di b q y a p x ellips pada ggung garis Persamaan − + ± − = − ⇒ = − − + − − ⇒ = − + −

(

y−b

)

2 =4p

(

x−a

)

(

x−a

)

2 =4p

(

y−b

)

( )

(

)

p a x direktrik b p a F fokus b a P parabola puncak − = ⇒ + ⇒ ⇒ * , * , *

( )

(

)

p b y direktrik p b a F fokus b a P parabola puncak − = ⇒ + ⇒ ⇒ * , * , *

y y

x x

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

(

)

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = − ⇒ − + = − − ⇒ − = − = ⇒ m p a x m b y m arah koefisien mempunyai a x x p b y b y y x titik di a x p b y parabola ggung garis Pers p LR rektum Laktus * 2 2 , * 4 sin . 4 1 1 1 1 2 sifatnya sifat dan hiperbola Persamaan HIPERBOLA − . 3

(

) (

)

₁

2 2 2 2 = − − − a q y b p

x

(

) (

)

1 2 2 2 2 = − − − b p x a q y

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

c a p x direktrik p x a b q y asimtot q c p F q c p F fokus q a p A q a p A puncak x sumbu sejajar transfer sumbu q p P hiperbola pusat 2 2 1 2 1 * * , , * , , * * , * ± = ⇒ − ± = − ⇒ − + ⇒ − + ⇒ − ⇒

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

c a q y direktrik p x b a q y asimtot c q p F c q p F fokus a q p A a p p A puncak y sumbu sejajar transfer sumbu q p P hiperbola pusat 2 2 1 2 1 * * , , * , , * * , * ± = ⇒ − ± = − ⇒ − + ⇒ − + ⇒ − ⇒

( )

0,0 , 0

:

tan bila pusathiperbola O makanilai pdanqadalah Cata

(

)

(

) (

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ± − = − ⇒ = − − − − − ⇒ = − − − = > ⇒ + = ⇒ 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 * 1 , * 1 : sin . * , 1 * b m a p x m q y m arah koefisien b q y q y a p x p x y x titik di b q y a p x hiperbola pada ggung garis Pers a c tas eksentrisi e e b a c berlaku hiperbola pada direktrik

( )

a b P ,

simetri sumbu

F

( )

a b

VEKTOR

(

)

(

1 1

)

1 1 1 1 1 1 , , . 1 y x P koordinat maka y x P jika y x OP P adalah P di posisi vektor maka y x P koordinat Jika POSISI VEKTOR ⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = = ⇒ y

(

)

(

1 1 1

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 , , , , , z y x A titik koordinat maka z y x a jika z y x OA a A titik posisi vektor maka z y x A koordinat dengan R di A titik Jika ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⇒ 1 0 ; 1 0 * * * . 2 2 j i R di vektor untuk Sehingga k disebut z sumbu arah dengan satuan Vektor j disebut y sumbu arah dengan satuan Vektor i disebut x sumbu arah dengan satuan Vektor SATUAN VEKTOR ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1 3 k j i R di sedangkan

(

x1, y1

)

P

P

1

0 x x

1

y

z

(

)

1 1 1, y , z

x P

1

z _y

0 x1

1 y x

P

y

j

0

i

x

z

k

j

y

i

0

x

a

a

a

dari

satuan

(

)

p vektor komponen komponen disebut y dan x j y i x p sehingga QP OQ OP y x P titik bila R di basis Vektor BASIS VEKTOR − + = ⇒ + = ⇒ 1 1 1 1 1 1 2 , . 3

(

)

k z j y i x PR QP OQ PR OP OR maka z y x R titik bila R di basis Vektor 1 1 1 1 1 1 3 : , , + + = + + = + =

(

)

2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ; * ; , * * , * z y x r r vektor panjang z y x r Bila z y x OR z y x PR QP OQ PR OP OR R di Vektor y x p p vektor panjang y x p bila Jadi y x OP y x QP OQ OP R di Vektor p ditulis p vektor suatu Panjang z y x r kolom vektor z y x r bairs vektor bentuk dalam disajikan dapat ruang dalam vektor sebuah + + = ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + = + + = + + = + = + = ⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = + = + = + = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ = ⇒

y

( )

x

1

, y

1

P

p

j

i

0

x

z

R

(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

k

r

j

i

0

Q

P

a b b a Sehingga

b a SR PS PR

b a QR PQ PR maka

b QR b

PS Bila

a SR a

PQ Bila

QR PQ PR b

a c

komutatif

vektor n Penjumlaha

+ = + ⇒

+ = + =

+ = + =

= ⇒

=

= ⇒

=

+ = ⇒

+ =

: * . 4

( ) (

)

PS SR PR

RS QR PQ c

b a maka

c SR b QR a PQ asosiatif

= + =

+ + = + + ⇒

= =

= ; ;

*

( )

(

)

( )

a b c a

( )

b c PS

QS PQ

RS QR PQ c b a

+ + = + +

= + =

+ + = + +

( )

QR PT

PS PQ

b a b a

vektor n Penguranga

= =

+ =

− + = −

. 5

S T

Dari ΔPQR terlihat bahwa PQ−PR= RQ

6. Perkalian Vektor

• Vektor dengan Skalar:

( )

a ma i ma j ma k

m = ₁ + ₂ + ₃

• Vektor dengan Vektor: - Dot Product:

α

cos

b a b

a⋅ =

=a1b1+a2b2+a3b3

(

1 1 2

)(

2 3 3

)

cos ab ab ab

+ + +

+

+ + =

α

b a+

a

P Q

R

b

R S

b

a

P Q

S

P R

Q

a _b

c

P Q

R

b

−

b

a

(

a b

) (

i a b

) (

j a b

)

k b

- Cross Product:

α

sin

b a b

a× = ⋅

= luas jajaran genjang dengan sisi a dan b

3 2 1

3 2 1

b b b

a a a

k j i b a× =

7. Pembagian:

n m

a m b m p

+ + =

8. Proyeksi suatu vektor ke vektor lain:

a. panjang proyeksi a pada b

b b a

a d

⋅ =

⋅

= cosα

b. Vektor yang merupakan proyeksi a pada b b b

b a

⋅ ⋅

⇒ 2

A

0 B

m _P

a

b

p _n

α

a

LINEAR

PROGRAM

I. Daerah penyelesaian.

1. Persamaan garis lurus yang melalui titik

(

X₁ , Y₁

)

dengan gradien m: y−y1 =m

(

x−x1

)

2. Persamaan garis lurus yang melalui titik

(

X₁ , Y₁

)

dan

(

X₂ , Y₂

)

:

1 2

1

1 2

1

x x

x x y y

y y

− − = − −

3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x di titik

(

a,0

)

dan memotong sumbu y di titik

(

0,b

)

:

+ =1

b y a x

4. Dua garis saling sejajar, bila gradien kedua garis tersebut sama besar atau: m1 =m2

5. Dua garis saling tegak lurus, bila hasil kali kedua gradiennya sama dengan – 1 atau: m₁⋅m₂ =−1

6. Nilai maksimum dan minimum dalam daerah penyelesaian.

Misalkan daerah OABC pada gambar di bawah menyatakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear.

Andaikan pula dalam daerah penyelesaian tersebut ditentukan adanya fungsi tujuan Z yang dirumuskan dengan Z =3x+4y, maka nilai Z akan berubah-ubah tergantung pada harga x dan y yang disubstitusikan padanya.

Titik O A B C D E F G

x 0 9 3 0 1 7 3 1

y _{0 0 6 4 1 1 5 4}

y x

Z =3 +4 0 27 33 16 7 25 29 19 Nilai Z terkecil adalah 0 sesuai dengan titik O (0 , 0)

Nilai Z terbesar adalah 33 sesuai dengan titik B (3 , 6)

• •

• •

•

• •

(0,4)

C

6

G

F

(3,6 )

B

E

0 3

D

(9,0 )

A x

SIGMA

NOTASI

Bentuk umum:

∑

= = + + + + +

⇒ n

k

n k a a a a a

a

1

4 3 2

1 ...

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

− + = + + + = − = + = = = = + = − − = + = = = = = = = = = = = < < ⇒ + = = = + = ± ± = ± = = ⇒ = p n p m k p k p n p m k p k n m k k n m k k m k k n k k n k n k k n k k k n k n k n k k k k k n k n k k n k k k k n k n k k k n k a a a n m ana a a a a a a b d a c b d a c b a b a a c a c ta kons c c n n 1 dim tan 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1

Contoh:

Buktikan

( )(

1 2 1

)

6 1 1 2 + + =

∑

₌ p n n n

n p

berlaku untuk semua bilangan asli n

Bukti:

- untuk n=1, ruas kiri = 12

ruas kanan = 1

( )(

1 1 2 1

)

6 1 + + × = 1

ruas kiri = ruas kanan

(

1

)(

2 1

)

1 6 1 1 2 + = ⇒ + + =

∑

₌ p k k k jika n k

n p

(

)(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

{

}

(

)(

)(

)

(

) (

{

)

} (

{

)

}

SISA

TEOREMA

BANYAK

SUKU

&

Bentuk umum n n n

n n

a x a x

a x a x

a + + + +

⇒ − − −1

2 2 1 1

0 ...

Menghitung Suku Banyak

Misalkan : n n n

n n

a x a x

a x a x a x

f = + − + − + ₋1 +

2 2 1 1

0 ...

2 ) (

Cara menghitung:

- dengan cara sustitusi:

Jika f(x)=2x3+4x+5, maka nilai suku banyak tersebut untuk x=−1 adalah f(−1) Jadi,

1

5 4 2

5 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 ) 1

( 3

− =

+ − − =

+ − + − = −

f

- dengan pembagian Sintesis Horner:

Jika ax3+bx2 +cx+d adalah suku banyak, maka f(h) diperoleh dengan cara: a b c d

h a⋅h ah2+bh ah3 +bh2+ch a ah+b ah2+bh+c ah3+bh2 +ch+d

h dengan kalikan

Contoh:

Hitunglah f(4) jika 2x3+x2+2x−20

Jawab:

4 2 4 2 –20

8 48 200

2 12 50 180

f(x)=180

Pembagian Suku Banyak

s x H x P x

f( )= ( ) ( )+

- Jika pembaginya fungsi linear, maka hasil bagi dan sisanya dapat dicari dengan metode pembagian Sintesis Horner.

- Jika pembaginya bukan linear dan tidak dapat diuraikan maka digunakan metode Identitas.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak: 2x3+3x2 +10x+25 dengan x−1

Jawaban dengan metode Sintesis Horner: Koefisien pangkat

x = 1 2 3 10 25

2 5 15 2 5 15 40

Sisanya = 40

+

Indentitas.

Contoh : carilah hasil bagi sisa dari

(

3x4 −x3+4x2+5x−10

) (

: x2−x+2

)

Jawaban:

Pembagi x2 −x+2 ⇒ D=1−8=−7<0

(

tidak dapat diuraikan

)

yang dibagi = pembagi×hasil bagi+sisa

(

x x

)(

x Ax B

)

Px Q

x x x

x4− 3+4 2+5 −10= 2− +2 3 2 + + + + 3

=3x4−3x3+6x2+Ax3−Ax2+2A+Bx2 −Bx+2B+Px+Q

(

A

)

x

(

A B

) (

x A B P

)

x Q B x

x x x

x 4 5 10 3 3 6 2 2

3 4− 3+ 2− − = 4 + − 3+ − + 2 + − + + +

1. 3 = 3

2. – 1 = A – 3 A= 2 3. 4 = 6 – A + B B = 0 4. 5 = 2A – B + P P = 1 5. – 10 = Q + 2B Q = – 10 Teorema Sisa:

1. suku banyak f(x) jika dibagi

(

x−a

)

, maka sisanya ⇒ f(a)

2. suku banyak f(x) jika dibagi

(

x+a

)

, maka sisanya ⇒ f( a− )

3. suku banyak f(x) jika dibagi

(

ax−b

)

, maka sisanya ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒

a b f

4. suku banyak f(x) jika dibagi

(

x−a

)

, maka ⇒ f(a)=0

Contoh:

• Tentukan sisa pembagian dari

(

3x3 −2x2 +5x−40

)

:

(

x−2

)

Jawaban:

Sisa f(2)=23−2⋅2+5⋅2−40

30

40 10 8 8

− =

− + − =

• Hitung sisa pembagian dari

(

3x4−x3−5x2+8x+10

)

:

( )

x+1

Jawaban : sisa ⇒ f(−1)=3(−1)4−(−1)3−5(−1)2+8(−1)+10

1

1 8 5 1 3

=

+ − − + =

• Hitung sisa pembagian dari

(

2x2−5x+15

)

:

(

2x−1

)

Jawaban : sisa 15 2 1 5 2 1 2 2

1 2

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

⇒ f

13

15 2 1 2 2 1

=

+ − =

• Jika f(x) =x3−10x2+6x+20 20

12 40 8

20 2 6 2 10 2 ) 2

( 3 2

+ + − =

+ ⋅ + ⋅ − =

f

Teorema Faktor.

• Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) =0; f(b)=0; f(c)=0

Maka f(x) habis dibagi

(

x−a

)(

x−c

)

• Jika

(

x−a

)

adalah faktor dari f(x), maka x=a adalah akar dari f(x)

• Jika f(x) dibagi

(

x−a

)(

x−b

)

, maka sisanya

(

)

(

)

( )

(

(

)

)

f(a)

b a b x b f a b a x S − − + − − = ⇒ • Jika f(x) dibagi

(

x−a

)(

x−b

)(

x−c

)

, maka sisanya

(

)(

)

(

)( )

( )

(

(

)(

)( )

)

( )

(

(

)(

)(

)

)

f(a)

c a b a c x b x b f c b a b c x a x c f b c a c b x a x S − − − − + − − − − + − − − − = Contoh:

Tentukan sisa pembagian

(

2x3−4x2 +5x+10

)

:

( )(

x−1 x−2

)

• Jawaban :

10 1 5 1 4 1 2 ) 1 (

1 ⇒ = ⋅ 3 − ⋅ 2+ ⋅ +

= f x 13 10 5 4 2 = + + − = 10 2 5 2 4 2 2 ) 2 (

2 ⇒ = ⋅ 3− ⋅ 2 + ⋅ +

= f x 20 10 10 16 16 = + + − =

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

(

)

13 2 1 2 20 1 2 1 ) ( ) ( ⋅ −− + ⋅ − − = − − + − −

= f a x x

b a b x b f a b a x S 6 7 26 13 20 20 1 26 13 1 20 20 + = + − − = − + − = x x x x x

Jika f(x) dibagi

(

x−2

)

mempunyai sisa 24, sedangkan jika dibagi dengan

(

x+5

)

sisanya 10. Jika dibagi dengan x2+3x−10 sisanya ...

• jawaban : f(x) =

(

x2+3x−10

)

h(x)+ px+q

=

(

x+5

)(

x−2

)

h(x)+ px+q

pembagi sisa

hasil bagi ) ...( ... 10 ) 5 ( 0 ) 5 ( ) ....( ... ... 24 2 0 ) 2 ( ii q p f i q p f = + − + = − = + + = 24 2 ) ( )

(i dan ii ⇒ p+q = dari

−

= +

−5p q 10

7p =14 ⇒ p=2

Akar-akar Suku Banyak (Polinom):

• Fungsi berderajad tiga:

d cx bx ax x

f( )= 3+ 2+ + untuk f(x) =0

1.

a b x

x

x1 + 2 + 3 =−

2.

a c x x x x x

x_{1 2} + _{1 3} + _{2 3} =

3.

a d x

x

x₁⋅ ₂ ⋅ ₃ =−

• Fungsi berderajad empat:

e dx c b ax x

f( )= 4+ 3+ 2+ + untuk f(x)= x

1.

a b x

x x

x₁ + ₂ + ₃ + ₄ =−

2.

a c x x x x x x x x x x x

x1 2 + 1 3 + 1 4 + 2 3 + 2 4 + 3 4 =

3.

a d x

x x x x x x x x x x

x_{1 2 3} + _{1 3 4} + _{1 2 4} + _{2 3 4} =−

4.

a e x x x

x1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 =

Rumus:

1. 2

(

_{1 2}

)

2 _{1 2} 2

2

1 x x x 2 xx

x + = + −

2.

(

)

(

1 2 1 3 2 3

)

2

3 2 1 2 3 2 2 2

1 x x x x x 2 xx xx x x

x + + = + + − + +

3.

(

)

1 2 3

(

1 2 3

)

3

3 2 1 3 3 3 2 3

1 x x x x x 3xx x x x x

INGGRIS

BAHASA

VOICE

PASSIVE

Bentuk umum ⇒ tobe + Verb₃

(

Past Participle

)

• Subject pada kalimat pasif berasal dari object kalimat aktif.

• ‘Be ... ing’ dalam aktif menjadi ‘being’ dalam bentuk pasif.

• Verb3 dalam kalimat pasif dibentuk oleh verb pada kalimat aktifnya.

• Hanya kalimat transitif (kalimat yang mengandung object) yang bisa diubah dalam bentuk pasif dan atau kalimat pasif hanya berlaku bagi kata kerja transitif.

• Tense pada kalimat pasif mengikuti bentuk kalimat aktifnya.

• Kalimat pasif digunakan hanya untuk ingin menonjolkan hasil tindakan daripada pelaku tindakan tersebut

esent

Pr Active Passive

Simple S +V₁+O S+is/am/are+V3

n

Conjunctio S+is/am/are+Ving S+is/am/are+being+V3

Perfect S+have/has+V₃ S+have/has+been+V₃ continuous

Perfect S+have/has+been+Ving S+have/has+been+being+V3

Past Active Passive

Simple S+V₂+O S+was/were+V3

n

Conjunctio S+was/were+Ving S +had +been+V3

Perfect S +had +V₃ S +had +been+V