MENYELESAIKAN PERMAINAN DENGAN METODE NILAI SHAPLEY
Hendra Saputra1∗, T. P. Nababan2, M. D. H. Gamal2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Laboratorium Operasi Riset, Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗hendrasaputra234@gmail.com
ABSTRACT
We study the Shapley value methods in solving n-person game. It is defined as a characteristic function, which is the player’s coalition form. The optimal strategy of every player is determined by the characteristic function. A numerical example is given at the last of the discussion.
Keywords: characteristic function, Shapley value method, optimal strategy ABSTRAK
Pada artikel ini dibahas metode nilai Shapley dalam menyelesaikan permainan n -orang. Fungsi karakteristik didefinisikan untuk menunjukkan kerja sama yang terjadi di antara pemain. Komputasi terhadap strategi terbaik untuk setiap pemain dapat ditentukan berdasarkan fungsi karakteristik yang dimiliki oleh setiap pemain. Pada akhir pembahasan diberikan komputasi terhadap permainan n-orang.
Kata kunci: fungsi karakteristik, metode nilai Shapley, strategi terbaik
1. PENDAHULUAN
Teori permainan merupakan teori yang dipergunakan dalam mengambil suatu keputusan terhadap suatu kegiatan kompetitif. Kompetisi tersebut tidak hanya ter-jadi di antara dua orang, tetapi juga dapat terter-jadi di antara beberapa orang. Untuk permainan yang melibatkan dua pemain, pada [1, h. 14] jika strategi murni tidak dapat dilakukan maka berlaku strategi campuran. Kemudian, permainan dengan strategi campuran dapat diselesaikan dengan pemograman linear [2, h. 45]. Untuk permainan yang melibatkan lebih dari dua pemain, penyelesaian permainan tersebut melibatkan fungsi karakterstik.
Winston menyatakan pada [3, h. 837] bahwa metode nilai Shapley merupakan salah satu solusi dalam menyelesaikan permainan yang terdiri darin-pemain dengan
permainan n-pemain dengan metode nilai Shaley. Artikel ini merupakan penelitian dengan studi literatur berdasarkan [1], [2] dan [3].
Artikel ini terdiri dari tiga bagian, dengan bagian satu merupakan pendahuluan yang memberikan gambaran umum mengenai permasalahan yang dibahas. Pada bagian dua dibahas mengenai fungsi karakteristik dan metode nilai Shapley dalam menyelesaikan permainan n-pemain. Kemudian, pada bagian tiga diberikan contoh pembahasan permainan yang terdiri dari 4 pemain dan penyelesaiannya.
2. FUNGSI KARAKTERISTIK DAN NILAI SHAPLEY
Fungsi karakteristik digunakan dalam menyelesaikan permainan n-pemain dengan kerja sama diizinkan diantara pemain.
Definisi 1 [1, h. 213] Misalkan N = {1,2, . . . , n} merupakan himpunan seluruh pemain, untuk suatu permainan n-pemain sebarang subhimpunan tak kosong dari
N disebut dengan kerja sama.
Definisi 2 [1, h. 213] Fungsi karakteristik suatu permainan n-pemain merupakan fungsi bilangan rill v yang didefinisikan pada subhimpunan dari himpunan pemain
N, di mana untuk setiap S ⊂ N merupakan nilai maksimin dari permainan dua orang yang dimainkan di antara kerja sama S dan N −S.
Definisi 3 [1, h. 213] Permainan n-pemain dalam bentuk fungsi karakteristik adalah fungsi bilangan rill v yang terdefinisi pada subhimpunan pemain N yang memenuhi:
1. v(∅) = 0.
2. Jika S∩T =∅, maka v(S∪T)≥v(S) +v(T) dengan S, T ⊂N. Definisi 1, 2 dan 3 merupakan definisi dari fungsi karakteristik.
Definisi 4 [1, h. 261] Pembawa pada permainan v merupakan suatu koalisi T
sehingga untuk sebarang S,v(S) = v(S∩T).
Definisi 5 [1, h. 261] Misalkan v merupakan permainan yang terdiri darin-pemain dan π adalah sebarang permutasi dari himpunanN. Makaπ merupakan permainan
u sehingga untuk sebarang S=i1, i2, . . . , is,
u(π(i1), π(i2), . . . , π(is)) =v(S).
Secara sederhana, permainan u merupakan permainan v dengan syarat bahwa pe-main dipertukarkan oleh permutasi π. Berdasarkan Definisi 4 dan 5, Lloyd Shapley membentuk suatu aksioma.
Aksioma 6 (Aksioma Shapley)[1, h. 262] Nilai dari suatu permainanv,n-vektor
ϕ[v] memenuhi
A1. Jika S adalah sebarang pembawa dari S, maka P
Sϕi(v) = v(S).
A2. Untuk sebarang permutasi π dan i∈N, ϕπ(i)[πv] =ϕi(v).
A3. Jika u dan v adalah sebarang permainan, ϕi[u+v] = ϕi[u] +ϕi[v].
Lema 7 [1, h. 262] Untuk sebarang koalisiS, misalkan permainanwS didefinisikan oleh
wS =
(
0 jika S *T ,
1 jika S ⊆T .
Jikasmerupakan jumlah pemain diS, maka perolehan pemain ke-ipada permainan
wS adalah
ϕi[wS] =
(
1/s jika i∈S,
0 jika i /∈S (1)
Bukti. KarenaS subhimpunan dariT, akibatnya S merupakan pembawa terhadap permainan wS. Berdasarkan Aksioma 6 A2, diperoleh P
T ϕi[wS] = 1 jika S ⊆ T.
Hal tersebut juga berarti bahwa ϕi[wS] = 0 jika i /∈S.
Selanjutnya jikaπadalah sebarang permutasi yang membawaSke dirinya sendiri, pastilah πwS = wS. Berdasarkan Aksioma 6 A2, diperoleh ϕi[wS] = ϕj[wS] untuk
i, j ∈ S. Karena terdapat s-kali bentuk ϕi[wS] = ϕj[wS] dan jika dijumlahkan adalah 1, akibatnya haruslah ϕi[wS] = 1/s untuk i∈S. 2
Lema 8 [1, h. 263] Jika v adalah sebarang permainan, maka terdapat sebanyak 2n−1 bilangan asli cS untuk S ⊆N sedemikian hingga
v = X
S⊆N
cSwS, (2)
dengan wS seperti yang didefinisikan pada Lema 7. Bukti. Misalkan
cS = X
T⊆S
(−1)s−tv(T) (3)
dengan t adalah jumlah elemen di T. Akan ditunjukkan bahwacS pada persamaan 3 akan memenuhi Lema 8. Misalkan U merupakan sebarang koalisi sehingga
X S⊆N cSwS(U) = X S⊆U cS = X S⊆U X T⊆S (−1)s−tv(T) ! = X T⊆U X S⊆U (−1)s−t v(T). (4)
Kemudian, perhatikan persamaan 4 yang di dalam kurung. Untuk setiap nilai s di antara t dan u, terdapat u−t
u−s
himpunan S dengan s elemen sehingga T ⊆ S ⊆U. Akibatnya, persamaan yang di dalam kurung dapat diganti dengan
u X s=t u−t u−s (−1)s−t. (5)
Tapi, persamaan 5 merupakan penjabaran binomial dari (1−1)u−tyang akan bernilai
nol jika t < u dan bernilai satu jika t=u. Akibatnya diperoleh
v(U) = X
S⊆N
cSwS(U) untuk semua U ⊆N. 2
Teorema 9 [1, h. 262] Terdapat fungsi tunggal ϕ yang didefinisikan pada semua permainan yang memenuhi Aksioma 6.
Bukti. Berdasarkan Lema 8, dijelaskan bahwa sebarang permainan dapat berupa kombinasi linear dari permainan wS. Berdasarkan Lema 7; untuk suatu per-mainan, fungsi ϕ terdefinisi. Nilai koefisien cS dapat berupa bilangan negatif, na-mun berdasarkan Aksioma 6 A3, jika u, v, dan u−v merupakan permainan, maka
ϕ[u−v] =ϕ[u]−ϕ[v]. Berdasarkan aksioma A3, untuk semua permainanv, fungsiϕ
terdefinisi. Selanjutnya adalah menentukan bentuk eksak fungsi ϕ. Diketahui dari persamaan 2 bahwa
v = X
S⊆N cSwS
dan dari persamaan 1
ϕi[v] = X S⊆N cSϕi[wS] = X S⊆N i∈S cS1 s.
Karena cS telah didefinisikan pada persamaan 3, sehingga
ϕi[v] = X S⊆N i∈S 1 s " X T⊆S (−1)s−tv(T) # , dan ϕi[v] = X T⊆N X S⊆N T∪{i}⊆S (−1)s−t1 sv(T) . (6)
Berdasarkan persamaan 6, misalkan γi = X S⊆N T∪{i}⊆S (−1)s−t1 s. (7)
Berdasarkan persamaan 6 dapat diketahui bahwa jika i /∈ T′ dan T = T′ ∪i, maka γi(T′) = −γi(T). Bentuk pada sisi kanan persamaan 7 akan bernilai sama untuk kedua kasus, kecuali untuk t = t′ + 1 terdapat perubahan tanda, sehingga persamaan 6 menjadi
ϕi[v] = X T⊆N i∈T
γi(T)[v(T)−v(T −i)]. (8)
Selanjutnya adalah menentukan nilaiγipada persamaan 7. Jikai∈T, akan terdapat
n−t s−t
koalisi S dengan s elemen sehingga T ⊆S dan diperoleh
γi(T) = n X s=t (−1)s−t n−t s−t 1 s. (9)
Dengan melakukan manipulasi aljabar, bentuk 1/sdapat diubah menjadiR1
0 x
s−1dx sehingga persamaan 9 menjadi
γi(T) = n X s=t (−1)s−t n−t s−t Z 1 0 xs−1dx = Z 1 0 n X s=t (−1)s−t n−t s−t xs−1dx = Z 1 0 xt−1 n X s=t (−1)s−t n−t s−t xs−tdx. Bentuk Pns=t(−1)s−t n−t s−t
xs−t merupakan penjabaran binomial dari (1−x)n−t
se-hingga γi(T) = Z 1 0 xt−1(1−x)n−t dx γi(T) = (t−1)!(n−t)! n! . (10)
Berdasarkan persamaan 8 dan 10, diperoleh
ϕi[v] = X T⊆N i⊆T
(t−1)!(n−t)!
n! [v(T)−v(T −i)]. (11)
Secara eksplisit, persamaan 11 merupakan nilai Shapley sehingga Teorema 9 ter-bukti. 2
se-1. Tentukan fungsi karakteristik untuk semua koalisi pada permainan. Kemudian lanjutkan ke langkah 2.
2. Selesaikan permainan dengan menggunakan persamaan 11 sehingga setiap pe-main memperoleh nilai Shapley dari seluruh perolehan yang mungkin diper-olehnya dari kerja sama yang terbentuk.
3. CONTOH PEMBAHASAN
Suatu firma dimiliki empat orang pemegang saham dengan pembagian masing-masing pemegang saham adalah 5, 25, 30 dan 40 persen. Kebijakan firma tersebut hanya dapat ditetapkan melalui persetujuan pemegang saham dengan jumlah total saham minimal 50 persen.
Permainan tersebut merupakan permainan yang terdiri dari empat pemain, se-hingga n = 4. Dalam sudut pandang pemain, setiap pemain akan berusaha un-tuk ikut dalam menenun-tukan kebijakan firma dan berdasarkan Definisi 3, fungsi karakteristik yang dapat dibentuk yaitu v({2,3}), v({2,4}), v({3,4}), v({1,2,3}),
v({1,2,4}), v({2,3,4}) dan v({1,2,3,4}). Kerjasama agar Pemain 1 menang dan pemain lain kalah adalah v({1,2,3}), diperoleh t = 3, akibatnya nilai Shapley Pe-main 1 adalah ϕ1 = 2!1! 4! = 1 12.
Dengan cara yang sama, v({2,3}),v({2,4}) danv({2,3,4}) merupakan kerja sama jika Pemain 2 tidak disertakan maka tidak terdapat persetujuan pada firma sehingga
ϕ2 = 1 12+ 1 12 + 1 12 = 1 4.
Demikian pula dengan Pemain 3 dan Pemain 4, akan diperolehϕ3 = 14 danϕ4 = 125. Vektor nilai Shapley permainan tersebut adalah (1/12,1/4,1/4,5/12).
Meskipun Pemain 3 memiliki nilai saham 5 persen lebih besar dari Pemain 2, namun nilai Shapley kedua pemain sama. Hal tersebut terjadi karena Pemain 3 tidak memiliki kesempatan membentuk kerja sama yang lebih baik dari kerja sama yang dibentuk oleh Pemain 2. Di sisi lain, Pemain 4 memiliki nilai saham yang paling besar dari pemain lain sehingga apabila ia menyepakati suatu keputusan firma, pastilah ia memiliki kesempatan yang jauh lebih baik dari pemain lainnya dibandingkan dengan Pemain 1 yang tidak demikian.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Owen, G. 1995. Game Theory 3rd Ed. Academic Press Inc., California.
[2] Thomas, L. C. 2003.Games, Theory and Applications. Dover Publications Inc., New York.
[3] Winston, W. L. 2004.Operation Research: Applications and Logarithms4th Ed.
