TEORI PERMAINAN DAN PENYELESAIANNYA
DENGAN METODE ALJABAR DAN METODE GRAFIK
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Riset Operasi Probablistik
Disusun oleh :
1. Ferry Harsi Purniawati (M0105006) 2. Etika Suryandari (M0105037) 3. Kurnia L. Astuti (M0105046) 4. Sertia Dwi Yuniasari (M0105064)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
TEORI PERMAINAN
1.1 Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegiatan-kegiatan yang bersifat kompetitif yang diwarnai persaingan atau konflik. Persaingan atau konflik ini dapat terjadi antara dua orang (dua pihak) atau sejumlah orang (grup). Contohnya adalah :
1. persaingan antara dua perusahaan dalam memasarkan produk baru, 2. permainan catur,
3. dua buah partai politik yang bersaing dalam kampanye untuk memperoleh suara terbanyak.
Tidak setiap keadaan persingan dapat disebut sebagai permainan (game). Kriteria atau ciri-ciri dari suatu permainan adalah :
1. terdapat persaingan kepentingan di antara pemain,
2. setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan, terbatas atau tidak terbatas, yang disebut strategi,
3. aturan permainan untuk mengatur pilihan-pilihan itu disebutkan satu-satu dan diketahui oleh semua pemain,
4. hasil permainan dipengaruhi oleh pilihan-pilihan yang dibuat oleh semua pemain dan hasil untuk seluruh kombinasi pilhan dari pemain diketahui dan didefinisikan secara numerik.
Jadi, permainan (game) adalah suatu bentuk persaingan antara antara dua orang atau pihak atau antara dua kelompok atau grup yang saling berhadapan dan menggunakan aturan-aturan yang diketahui oleh kedua belah pihak yang saling berhadapan. Dalam permainan, pihak pertama disebut dengan pemain baris sedangkan pihak kedua disebut pemain kolom.
Aturan-aturan dalam permainan meliputi :
1. langkah atau strategi yang dapat dipilih oleh tiap-tiap pemain,
2. informasi yang digunakan oleh setiap pemain yang memilih langkah atau strategi, 3. pembayaran, yang didefinisikansecara numerik, yang harus dipenuhi oleh setiap
1.2 Klasifikasi Permainan
A. Berdasarkan jumlah langkah dan pilihan.
1. Permainan berhingga (finite game), yaitu suatu permainan yang mempunyai sejumlah langkah yang berhingga dengan setiap langkah yang memuat sejumlah pilihan yang berhingga pula.
2. Permainan tak berhingga (infinite game), yaitu permainan selain permainan berhingga.
B. Berdasarkan jumlah pemain.
1. Permainan dua orang, yaitu permainan dengan jumlah pemainduaorang. 2. Permainan n orang, yaitu permainan dengan jumlah pemain n orang. C. Berdasarkan jumlah pembayaran.
1. Permainan berjumlah nol (zero sum game), yaitu suatu permainan dengan jumlah kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol. Dengan kata lain, jumlah pembayaran yang diterima pemain yang menang sama dengan jumlah pembayaran yang dilakukan pemain yang kalah. Jika permainan ini dilakukan oleh dua orang maka disebut dengan permainan berjumlah nol dari dua orang (two person zero sum game), sedangkan jika permainan dilakukan oleh n orang maka disebut dengan permainan berjumlah nol dari n orang (n person zero sum game). Misalkan
pipembayaran untuk pemain Pi ; i = 1, 2, ..., n maka .
Contoh : Dalam persaingan perebutan jumlah pendengar antara dua radio swasta ABC dan PQR di kota X dengan asumsi tidak ada pendengar baru. Penambahan jumlah pendengar radio ABC, misalkan sejumlah 200 orang, merupakan kerugian bagi radio PQR karena pendengar radio PQR sejumlah 200 orang, pindah menjadi pendengar radio
ABC.
2. Permainan berjumlah tidak nol (non zero sum game), yaitu permainan dengan total pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir suatu permainan tidak sama dengan nol. Permainan ini dapat dilakukan oleh dua orang atau lebih.
1.3 Matriks Pembayaran
A. Matriks pembayaran untuk permainan bejumlah nol dari dua orang (two person zero sum game).
Bentuk umumnya :
Pemain Kedua (P2)
1 2 3 ... n
Pemain Pertama
(P1)
1 ...
2 ...
3 . . . . . . .
M ...
dengan : m = banyak strategi yang dimiliki pemain P1 n = banyak strategi yang dimiliki pemain P2
; i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n = nilai pembayaran (didefinisikan secara numerik yang bersesuaian dengan strategi ke-i bagi pemain
P1 dan strategi ke-j bagi pemain P2.
Matriks pembayaran tersebut merupakan matriks pembayaran terhadap pemain pertama (P1) sehingga pemain P1 disebut pemain baris yang berusaha
memaksimumkan pembayaran dan pemain P2 disebut pemain kolom yang berusaha
meminimumkan pembayaran. Contoh :
Terdapat persaingan perebutan pasar barang-barang elektronika dari pengusaha A dan pengusaha B dengan mengadakan kampanye promosi. Pengusaha A menggunakan tiga media promosi yaitu televisi, radio dan surat kabar. Sedangkan pengusaha B hanya menggunakan dua media promosi yaitu televisi dan radio. Dengan menggunakan informasi pasar yang diperoleh dari hasil riset pemasaran diperoleh data sebagai berikut :
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media radio dan pengusaha B melakukan promosi dengan media televisi maka pengusaha A akan memperoleh keuntungan Rp 6 juta.
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media surat kabar dan pengusaha B juga melakukan promosi dengan media televisi maka pengusaha A akan rugi sebesar Rp 5 juta.
Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media televisi dan pengusaha B melakukan promosi dengan media radio maka pengusaha A maupun B tidak akan menikmati keuntungan ataupun kerugian.
Bila kedua pengusaha tersebut sama-sama menggunakan media radio maka pengusaha B akan memperoleh keuntungan sebesar Rp 2 juta.
Pengusaha B juga akan memperoleh keuntungan sebesar Rp 3 juta bila berpromosi menggunakan radiodi saat pengusaha A berpromosi menggunakan media surat kabar.
Dari data tersebut dapat disajikan matriks pembayaran sebagai berikut : Pengusaha B Televisi Radio
Pengusaha A
Televisi 5 0
Radio 6 -2
Surat Kabar -10 -3
Keterangan :
= 5 berarti keuntungan pengusaha A sebesar Rp 5 juta, = 6 berarti keuntungan pengusaha A sebesar Rp 6 juta, = -10 berarti keuntungan pengusaha B sebesar Rp 10 juta, = 0 berarti tidak yang untung maupun yang rugi, = -2 berarti keuntungan pengusaha B sebesar Rp 2 juta, = -3 berarti keuntungan pengusaha B sebesar Rp 3juta.
B. Matriks pembayaran untuk permainan berjumlah nol dari n orang (n person zero sum game).
Bentuk penyajian matriks pembayaran dapat dilihat pada contoh berikut ini. Misalkan terdapat tiga pemain yaitu A, B dan C.
Pemain A memiliki dua strategi, misalkan A1 dan A2.
Pemain B memiliki dua strategi, misalkan B1 dan B2.
Dengan data sebagai berikut :
Strategi Pembayaran
A B C A B C
A1 B1 C1 -3 2 1
A1 B1 C2 4 -5 1
A1 B1 C3 0 2 -2
A1 B2 C1 -6 4 2
A1 B2 C2 2 -4 2
A1 B2 C3 4 0 -4
A2 B1 C1 1 1 -2
A2 B1 C2 -1 2 3
A2 B1 C3 2 1 -3
A2 B2 C1 -3 -2 5
A2 B2 C2 -1 1 0
A2 B2 C3 4 -1 -3
Dengan jumlah pemain n = 3 maka terdapat tiga koalisi yang mungkin yaitu A melawan B dan C; B melawan A dan C; dan A dan B melawan C. Dengan demikian dapat dibuat tiga buah matriks pembayaran yang sesuai koalisi tersebut berdasarkan data diatas sebagai berikut.
1. Matriks pembayaran untuk A melawan B dan C. Pemain A dipandang sebagai pemain baris.
Pemain B dan C
B1, C1 B1, C2 B1, C3 B2, C1 B2, C2 B2, C3
Pemain A
A1 -3 4 0 -6 2 4
A2 1 -1 2 -3 -1 4
2. Matriks pembayaran untuk B melawan A dan C. Pemain B dipandang sebagai pemain baris.
Pemain A dan C
A1, C1 A1, C2 A1, C3 A2, C1 A2, C2 A2, C3
Pemain B
B1 2 -5 2 1 2 1
3. Matriks pembayaran untuk A dan B melawan C. Pemain A dan B dipandang sebagai pemain baris.
Pemain C
C1 C2 C3
Pemain A dan B
A1, B1 -1 -1 2
A1, B2 -2 -2 4
A2, B1 2 -3 3
A2, B2 -5 0 3
1.4 Nilai Permainan
Dari matriks pembayaran, kedua belah pihak yang bersaing dapat menentukan strategi optimum, yaitu strategi yang menjadikan seorang pemain berada dalam posisi terbaik tanpa memperhatikan langkah-langkah yang dipilih pemain pesaingnya. Dengan kaitan ini, yang disebut dengan nilai permainan (value of the game) adalah rata-rata pembayaran (ekspektasi perolehan) per permainan jika kedua pihak atau pemain yang saling bersaing tersebut melakukan strategi optimum (strategi terbaik) mereka. Dengan kata lain, nilai permainan adalah suatu pembayaran yang bersesuaian dengan strategi optimum (strategi terbaik) yang dilakukan oleh kedua pemain tersebut.
Nilai permainan dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu :
1. suatu permainan dikatakan adil (fair) jika nilai permainannya sama dengan nol,
2. Suatu permainan dikatakan tidak adil (unfair) jika nilai permainannya tidak sama dengan nol.
PERMAINAN BERJUMLAH NOL DARI DUA ORANG
2.1 Pendahuluan
Ada dua macam strategi optimum yang dapat digunakan untuk menentuan solusi optimum bagi kedua pihak yang saling bersaing yaitu :
a. Strategi Murni (Pure Strategy)
b. Strategi Campuran (Mixed Strategy)
2.2 Permainan dengan Strategi Murni
yang berusaha memaksimumkan kemenangan (keuntungan) yang minimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria maximin. Sedangkan pemain kedua (pemain kolom) yaitu pemain yang berusaha meminimumkan kekalahan (kerugian) yang maksimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria minimax.
Apabila nilai maximin sama dengan nilai minimax maka permainan ini dapat diselesaikan dengan strategi murni di mana titik keseimbangan (equilibrium point) telah tercapai. Titik keseimbangan ini dikenal sebagai titik pelana (saddle point).
Cara menentukan titik pelana adalah sebagai berikut : a. Untuk pemain pertama (P1)
Apabila pemain pertama (P1) memilih strategi i maka dia yakin akan memenangkan
apapun strategi yang dipilih atau digunakan oleh pemain kedua P2.
Karena pemain pertama (P1) merupakan pemain yang berusaha memaksimumkan
kemenangan (keuntungan) yang minimum maka dia akan memilih strategi yang akan memberikan nilai maksimum dari nilai yan minimum itu
b. Untuk pemain kedua (P2)
c. Pemain kedua (P2) akan berusaha menekan kemenangan bagi pemain pertama (P1)
sampai sekecil mungkin sehingga jika pemain kedua (P2) memilih strategi j maka dia
yakin bahwa kemenangan yang diperoleh pemain pertama (P1) tidak lebih dari
apapun strategi yang dipilih atau digunakan oleh pemain pertama (P1).
Karena pemain kedua (P2) merupakan pemain yang berusaha meminimumkan
kekalahan (kerugian) yang maksimum maka dia akan memilih strategi yang akan memberikan nilai minimum dari nilai yang maksimum itu yaitu .
Jika dalam suatu matriks pembayaran (aij) sedemikian rupa sehingga berlaku :
= ars ,
maka matriks pembayaran tersebut disebut mempunyai titik pelana pada (r, s) dan elemen ars merupakan nilai permainan yang bersesuaian dengan strategi optimum bagi
Contoh :
Diketahui matriks pembayaran di bawah ini :
i j 1 2 3 4 1 5 -4 -2 -1
2 3 1 -1 2
3 2 3 -3 -2
Dalam permainan ini pemain P1 mengharapkan untuk memperoleh aij; i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2,
3, 4 yang mungkin yang terbesar melalui pemilihan strategi i. Sementara itu pemain P2
berusaha menekan perolehan (kemenangan) pemain P1 menjadi sekecil mungkin melalui
pemilihan strategi j.
Karena pemain P1 merupakan pemain yang berusaha memaksimumkan sedangkan
pemain P2 merupakan pemain yang berusaha meminimumkan maka secara rasional P1
mengatakan : “Jika saya memilih i = 1 maka P2 akan memilih j = 2 sehingga dalam kasus ini
saya menang sebesar -4. Bila saya memilih i = 2 maka P2 akan memilih j = 3 sehingga
kemenangan saya hanya sebesar -1 dan bila saya memilih i = 3 maka maka P2 juga akan
memilih j = 3 sehingga kemenangan saya hanya sebesar -3. Dari ketiga perolehan tersebut (-4, -1, -3) saya harus menentukan yang maksimum dari ketiganya itu dan pilihan terbaik saya adalah i = 2 yang menjadikan kemenangan saya sebesar -1”.
Sedangkan pemain P2 akan mengatakan bahwa : “Saya harus membuat kemenangan P1
sekecil mungkin. Bila saya memilih j = 1 maka kemenangan pemain P1 yang paling besar
adalah 5. Begitu juga secara berturut-turut bila saya memilih j = 2, 3, dan 4 maka P1 akan
mendapatkan perolehan 3, -1, dan 2. Dengan demikian saya harus memilih j yang dapat meminimumkan perolehan P1 yang maksimum tersebut. Dengan begitu saya harus memilih j = 3 yang membuat kemenangan P1 hanya -1”.
= a23= -1.
Jadi permainan dengan matriks pembayaran di atas mempunyai titik pelana pada (2, 3) dengan nilai permainan sebesar -1. Dengan demikian berarti bahwa pemain P2 memenangkan
permainan sebesar 1 (pemain P1 harus membayar sebesar 1 kepada pemain P2) dan strategi
optimum bagi pemain P1 adalah i = 2 dan bagi pemain P2 adalah j = 3. Hal ini menunjukkan
bahwa permainan dengan matriks pembayaran tersebut dapat diselesaikan dengan strategi murni.
Pemain P1
Untuk mempermudah penentuan apakah suatu permainan dengan matriks pembayaran tertentu mempunyai titik pelana atau tidak maka diberikan prosedur di bawah ini.
1. Perhatikan baik-baik matriks pembayaran yang ada 2. Pada setiap barisnya, tentukan nilai yang terkecil
3. Dari nilai-nilai terkecil dari setiap barisnya tersebut (yang dipilih sesuai langkah kedua) pilihlah nilai yang terbesar.
4. Pada setiap kolomnya, tentukan nilai yang terbesar.
5. Dari nilai-nilai terbesar dari setiap kolomnya tersebut (yang dipilih sesuai langkah keempat) pilihlah nilai yang terkecil.
6. Periksalah apakah nilai terbesar yang terpilih (dari langkah ketiga) sama dengan nilai terkecil yang terpilih (dari langkah kelima)
- Apabila sama maka permainan dengan matriks pembayaran tersebut mempunyai titik pelana dan nilai yang merupakan titik pelana tersebut merupakan nilai permainannya. Dari sini strategi dari masing-masing pemain dapat dilihat di mana letak nilai permainannya itu. Dengan demikian permainan ini dapat diselesakan dengan strategi murni.
- Apabila tidak sama maka permainan dengan matriks pembayaran tersebut tidak mempunyai titik pelana dan harus diselesaikan dengan strategi campuran (mixed strategy)
Contoh:
Diberikan matriks pembayaran di bawah ini
i j 1 2 3 4 Minimum tiap baris 1 5 -4 -2 -1 -4
2 3 1 -1 2 -1
3 2 3 -3 -2 -3
Max tiap kolom
5 3 -1 2
Pemain P2
Pemain P1
Maximum dari yang minimum
Pemain P2
Jika nilai minimum tiap barisnya diperhatikan maka nilai maksimum dari yang minimum tersebut sebesar -1. Demikian juga kalau nilai maksimum dari setiap kolomnya diperhatikan maka nilai minimum dari yang maksimum tersebut sebesar -1 juga.
Terlihat bahwa
= -1.
Jadi permainan itu dapat diselesaikan dengan strategi murni, yaitu : - Strategi optimum bagi pemain P1 adalah i = 2, dan
- Strategi optimum bagi pemain P2 adalah j = 3 dengan
- Nilai permainan sebesar -1. 2.3 Permainan dengan Strategi Campuran
Dalam permainan di mana permainan tersebut tidak mempunyai titik pelana maka para pemain akan bersandar kepada apa yang disebut sebagai strategi campuran. Hal ini berarti pemain pertama akan memainkan setiap strategi baris dengan proporsi waktu (probabilitas) tertentu. Oleh karena itu dalam suatu permainan yang diselesaikan dengan strategi campuran, strategi dari setiap pemain akan mempunyai probabilitas yang menunjukkan proporsi waktu atau banyaknya bagian yang dipergunakan untuk melakukan strategi tersebut. Jadi tugas dari setiu ap pemain adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk menentukan strateginya. Untuk lebih jelasnya dapat diperhatikan ilustrasi permainan matriks pembayaran 2 x 2 di bawah ini.
j
i 1 2
1 1 5
2 6 3
Matriks pembayaran dari permainan berjumlah nol dari dua orang di atas tidak mempunyai titik pelana sehingga strategi murni tidak dapat dipergunakan. Dengan demikian tugas para pemain adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi pada baris bagi Pemain P1 dan strategi komlom bagi Pemian P2.
- Bagi Pemain P1
Misalnya x, dengan 0 x 1 adalah proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi pada baris pertama maka proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi pada baris kedua adalah 1-x sehingga jumlah semua proporsi waktu yang diperlukan untuk memainkan strateginya adalah x+1-x =1.
- Bagi Pemain P2
Misalnya y, dengan 0 y 1 adalah proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi pada kolom pertama maka proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strategi pada kolom kedua adalah 1-y sehingga jumlah semua proporsi waktu yang diperlukan untuk memainkan strateginya adalah y+1-y =1.
y 1-y
1 2
x 1 1 5
1-x 2 6 3
Dengan demikian tugas dari masng-masing pemain adalah menentukan besarnya pecahan yang tidak diketahui x dan y dimana pemain pertama P1 menginginkan untuk mencari
strategi yang akan memaksimumkan kemenangannya (atau meminimumkan kekalahannya) tanpa memperhatikan langkah yang dilakukan oleh pihak lawan (pesaing), yaitu pemain P2.
Secara logika, pemain pertama P1 ingin membagi permainannya di antara baris-barisnya
sedemikian rupa sehingga kemenangan atau kekalahan harapannya (expected) di saat pemain kedua. Sudah barang tentu pemain kedua P2 (yang diasumsikan mempunyai kecerdasan yang
sama dengan dengan pemain pertama P1) akan mengikuti logika yang serupa di dalam
penghitungan proporsi waktu yang diperlukan untuk setiap kolomnya seperti yang dilakukan oleh pemain pertama P1, yaitu pemain kedua P2 akan membagi waktu bermainnya di antara
kolom-kolomnya sedemikian rupa sehingga kemenangan atau kekalahan harapannya (expected) di saat pemain P1 memainkan baris kesatu akan sama dengan kemenangan atau
kekalahan harapannya (expected) di saat pemain P1 memainkan baris kedua. Jadi strategi
campuran adalah strategi dengan setiap pemain menggunakan distribusi probabilitas dalam memilih strateginya.
2.4 Aturan Dominansi
i j
Pemain P2
Pemain P1
A. Aturan dominansi bagi pemain pertama P1 (pemain baris). Karena pemain P1 (pemain
baris) merupakan pemain yang berusaha untuk memaksimumkan kemenangan/perolehannya maka aturan dominansinya adalah sebagai berikut :
bila terdapat suatu baris dengan semua elemen dari baris tersebut adalah sama (sekolom) dari baris yang lain maka baris tersebut dikatakan didominansi dan baris itu telah dihapus.
B. Aturan dominansi bagi pemain kedua P2 (pemain kolom). Karena pemain kedua P2
merupakan pemain yang berusaha untuk meminimumkan kekalahan/kerugiannya maka aturan dominansinya adalah sebagai berikut :
bila terdapat suatu kolom dengan semua elemen dari kolom tersebut adalah sama atau lebh besar dari elemen dalam posisi yang sama (sebaris) dari kolom yang lain maka kolom tersebut dikatakan didominansi dan kolom itu dapat dihapus.
Aturan dominansi ini dapat diulang lagi jika masih ada baris atau kolomnya yang didominansi oleh baris atau kolom yang lain. Dan ini memungkinkan matriks pembayaran semula akan tersisa menjadi matriks pembayaran dengan satu elemen saja. Bila hal ini dapat terjadi maka permainannya dapat diselesaikan dengan strategi murni dengan nilai permainan sesuai dengan elemen yang tersisa tersebut. Tetapi tidak semua permainan yang mempunyai titik pelana dapat diselesaikan dengan aturan dominansi yang berulang-ulang tersebut.
Contoh :
Diberikan matriks pembayaran di bawah ini
1 2 3 4 5
1 4 -9 7 -2 1
2 2 -8 4 -4 0
3 -2 8 9 2 3
4 5 1 8 0 2
- Bagi pemain P1
Perhatikan elemen-elemen pada baris kesatu, kedua, dan keempat. Untuk setiap j ; j = 1, 2, 3, 4, 5 berlaku a1j<a4jdan a2j<a4j. Dengan demikian pemain P1 tidak akan memilih
strategi sesuai baris kesatu dan kedua apapun pilihan strategi dari P2. Oleh karena itu
Pemain P1
j
i
Pemain P2
1 2 3 4 5 3 -2 8 9 2 3
4 5 1 8 0 2
Sekarang pandang matriks pembayaran tersisa dari tabel di atas. Untuk pemain P1 sudah
tidak ada baris yang dapat didominansi oleh baris yang lain. - Bagi pemain P2
Pada kolom ke 2,3,4, dan 5 untuk setiap i; i = 3, 4 berlaku ai2>ai4, ai3>ai4. Dengan demikian pemain P2 tidak akan memilih strategi sesuai kolom 2, 3, dan 5 apapun pilihan
dari P1. Dari sini maka kolom ke 2,3,5 dapat dihapus sehingga matriks pembayarannya
menjadi :
1 4
3 -2 2
4 5 0
Pada matriks pembayaran tersisa pada tabel di atas dapat diperiksa lagi apakah masih ada baris atau kolom yang memungkinkan untuk didominansi. Ternyata tidak ada maka aturan dominansi tidak dapat diulang lagi. Tampak bahwa matriks pembayaran pada tabel di atas akan lebih mudah untuk diselesaikan karena ukuran matriks pembayaran ini lebih kecil bila dibandingkan dengan ukuran matriks pembayaran semula. Di dalam memeriksa apakah aturan dominansi dapat digunakan atau tidak, tidak harus dimulai dari pemain P1 dahulu tetapi bisa dimulai sembarang.
METODE PENYELESAIAN
1. Metode Aljabar
Metode aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu permainan berjumlah nol dari dua orang dengan masing-masing pemain mempunyai dua pilihan strategi (langkah). Matriks pembayaran dari permainan berjumlah nol dari dua orang dengan masing-masing pemain mempunyai dua pilihan strategi sebagai berikut.
Pemain P2
Pemain P2
i j 1 2
Pemain P1
1 a11 a12
2 a21 a22
Prinsip untuk menggunakan metode aljabar untuk menyelesaikan permainan ini adalah bahwa kedua pemain P1 dan P2 membagi waktu (sesuai proporsinya) yang diperlukan untuk memilih suatu strategi.
Misalkan x = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P1 untuk memainkan strategi pertama.
Berarti bahwa:
1 - x = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P1 untuk memainkan strategi kedua.
Misalkan y = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P2 untuk memainkan strategi pertama.
Berarti bahwa:
1 - y = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P2 untuk memainkan strategi kedua.
Matriks pembayaran menjadi:
Pemain P2
y 1-y
i j 1 2
Pemain P1
x 1 a11 a12
1-x 2 a21 a22
• Bagi pemain P1
Karena dasar pemikiran pemain P1 adalah berusaha memaksimumkan kemenangannya
maka ia merancang suatu strategi yang dapat memaksimumkan kemenangan (meminimumkan kekalahan) tanpa memperhatikan langkah balasan yang dilakukan oleh pihak lawannya (P2). Kemenangan harapan bagi pemain P1 dapat dilihat pada tabel
Ketika P2 memainkan
dengan total kemenangan harapan P1 ketika pemain P2 memainkan strategi ke 2.
Dari tabel di atas diperoleh bahwa:
xa11 + (1-x) a21 = xa12 + (1-x) a22
Pemain P2 bermaksud memaksimumkan kemenangan atau meminimumkan kekalahannya
tanpa memperhatikan strategi yang dimainkan oleh pemain P1.
Dari di atas diperoleh bahwa
Dengan demikian strategi optimum bagi masing-masing pemain telah diperoleh, yaitu X* = [x1*,x2*] dan Y* = [y1*,y2*].
Penghitungan nilai permainan dipandang dari pemain P1 maupun P2
a. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P1 maka perlu diperhatikan:
i. Selama pemain P2 menggunakan y1* waktunya untuk memainkan (strategi) kesatu,
pemain P1 menang a11 unit sebanyak x1* kali dan pemain P1 menang a21 unit
sebanyak x2* kali.
ii. Selama pemain P2 menggunakan y2* waktunya untuk memainkan kolom (strategi)
kedua, pemain P1 menang a12 unit sebanyak x1* kali dan pemain P1 menang a22 unit
sebanyak x2* kali.
Nilai permainannya sama dengan total kemenangan harapan bagi pemain P1 yaitu: v*=y1* [x1* a11 + x2* a21] + y2* [x1* a12 + x2* a22]
b. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P2 maka perlu diperhatikan:
i. Selama pemain P1 menggunakan x1* waktunya untuk memainkan (strategi) kesatu,
pemain P2 akan kalah a11 unit y1* kali dan pemain P2 kalah a12 unit y2* kali.
ii. Selama pemain P1 menggunakan x2* waktunya untuk memainkan kolom (strategi)
kedua, pemain P2 akan kalah a12 unit y1* kali dan pemain P2 kalah a22 unit y2* kali.
Nilai permainannya sama dengan total kekalahan harapan bagi pemain P2 yaitu:
v*=x1* [y1* a11 +y2* a21] + x2* [y1* a12 +y2* a22]
Contoh:
Diberikan matriks pembayaran sebagai berikut. Akan dicari strategi optimum untuk P1 dan P2.
Misalkan x = Proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P1 yang digunakan untuk
Tabel kemenangan harapan bagi pemain P1 dapat dilihat pada tabel berikut.
Ketika P2 memainkan
[5x+(1-x)] dengan kemenangan harapan yang diperoleh ketika pemain Dari di atas diperoleh bahwa:
5x + (1-x) = 3x + 4(1-x) 5x – x – 3x+4x = 4-1
5 x = 3 x = 3/5 = x1*
Karena x2* = 1- x maka x2* = 1- 3/5 = 2/5
Jadi strategi optimum bagi pemain P1 dicapai bila ia menggunakan 3/5 waktunya untuk
• Bagi pemain P2
Tabel kekalahan harapan bagi pemain P2 dapat dilihat pada tabel berikut.
Ketika P2
kekalahan (kekalahan harapan) yang dideritanya ketika pemain P1 memainkan strategi
ke-1, yaitu [5y+3(1-y)] dengan rata-rata kekalahan yang diderita ketika pemain P1
memainkan strategi ke 2 yaitu [y+4(1-y)]. Dari di atas diperoleh bahwa
5y + 3(1-y) = y + 4(1-y)
Jadi strategi optimum pemain P2 adalah Y* = [1/5,4/5]
Dengan demikian strategi optimum bagi masing-masing pemain telah diperoleh, yaitu X* = [3/5,2/5] dan Y* = [1/5,4/5].
Penghitungan nilai permainan dipandang dari pemain P1 maupun P2
a. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P1 maka perlu diperhatikan:
i. Selama pemain P2 menggunakan 1/5 waktunya untuk memainkan strategi kesatu,
pemain P1 menang 5 unit sebanyak 3/5 kali dan 1 unit sebanyak 2/5 kali.
ii. Selama pemain P2 menggunakan 4/5 waktunya untuk memainkan strategi kedua,
pemain P1 menang 3 unit sebanyak 3/5 kali dan 4 unit sebanyak 2/5 kali.
Nilai permainannya sama dengan total kemenangan harapan bagi pemain P1 yaitu:
= 85/25
= 17/5 = nilai permainan
Ini berarti bahwa bila pemain P1 bermain dengan menggunakan strategi optimumnya
maka ia dapat mengharapkan kemenangan harapan sebesar 17/5 unit per permainan. b. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P2 maka perlu diperhatikan:
i. Selama pemain P1 menggunakan 3/5 waktunya untuk memainkan strategi kesatu,
pemain P2 akan kalah 5 unit 1/5 kali dan 3 unit 4/5 kali.
ii. Selama pemain P1 menggunakan 2/5 waktunya untuk memainkan strategi kedua,
pemain P2 akan kalah 1 unit sebanyak 1/5 kali dan 4 unit 4/5 kali.
Nilai permainannya sama dengan total kekalahan harapan bagi pemain P2 yaitu:
v*= 3/5 [5(1/5) + 3(4/5)] + 2/5[1(1/5) + 4(4/5)] = 1/25 [ 15 + 36 + 2 + 32]
= 85/25 = 17/5 = nilai permainan.
Karena nilai permainan bertanda positif maka pemain P1 dinyatakan sebagai pemenang
dengan rata-rata kemenangan per permainan sebesar 17/5 unit.
c. Prosedur penghitungan nilai permainan dapat disederhanakan menjadi:
• Pemain P1 memainkan strategi yang telah dibentuk sedemikian rupa sehingga
kemenangan yang diperoleh ketika pemain P2 memainkan strategi kesatu sama
dengan kemenangan yang diperolehnya ketika pemain P2 memainkan strategi
kedua.
• Alasan tersebut juga dapat diterapkan pada harapan kemenangan pemain P2.
Pemain P2
3
y1* y2*
Pemain P1
1 x1* a11 a12 x1* 2
x2* a21 a22 x2* y1* y2*
4
dengan X* = [x1*, x2*] adalah strategi optimum pemain P1.
Y* = [y1*, y2*] adalah strategi campuran optimum pemain P2.
Dari di atas terdapat 4 pasang perkalian yang mungkin akan memberikan nilai sama dan merupakan nilai permainan adalah:
1. v* = x1* a11 + x2* a21 berdasarkan kemenangan harapan bagi pemain P1
3. v* = y1* a11 + y2* a21 berdasarkan kemenangan harapan bagi pemain P2
4. v* = y1* a21 + y2* a22
Contoh:
Pemain P2
3 3/8 5/8 Pemain
P1
1 1/4 -2 4 1/4 2 3/4 3 1 3/4
3/8 5/8 4
Terdapat 4 pasang perkalian yang mungkin akan memberikan nilai sama dan merupakan nilai permainan adalah:
1. v* = 1/4 (-2) + 3/4 (3) = 7/4 berdasarkan kemenangan harapan bagi pemain P1
2. v* = 1/4 (4) + 3/4 (1) = 7/4 ketika pemain P2 memainkan kolom 1 atau kolom 2.
3. v* = 3/8 (-2) + 5/8 (4) = 7/4 berdasarkan kemenangan harapan bagi pemain P2
4. v* = 3/8 (3) + 5/8 (1) = 7/4 ketika pemain P1 memainkan baris 1 atau baris 2.
d. Menghitung nilai permainan dengan menggunakan probabilitas dan nilai harapan permainan
Pemain P2 y1* y2*
i j 1 2
Pemain P1
x1* 1 a11 a12
x2* 2 a21 a22
Probabilitas bagi pemain P1 adalah [x1*,x2*] dan probabilitas P2 adalah [y1*,y2*]
Penghitungan probabilitas untuk setiap pembayaran:
Pembayaran Strategi penghasil pembayaran
Probabilitas pembayaran
Nilai harapan
a11
a12
Baris 1, kolom 1 Baris 1, kolom 2
P11= x1* x y1*
P12= x1* x y2*
a21
Nilai harapan permainan v* =
= a11P11+a12P12+a21P21+a22P22
Penghitungan probabilitas untuk setiap pembayaran:
Pembayaran Strategi penghasil
Nilai permainan = nilai harapan permainan = v* = 7/4
2. Metode Grafik
Yaitu metode penyelesaian permainan dengan menggunakan grafik. Metode grafik ini dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus permainan di antaranya adalah sebagai berikut:
a. Matriks berukuran 2 x n
Dengan dan , xi 0 dan y1 1 untuk setiap i, j.
Pembayaran harapan yang berkaitan dengan strategi murni pemain P2.
Strategi murni pemain 2
Pembayaran harapan pemain 1
1 2 . . .
n
a11.x1 + a21.(1 – x1) = (a11 – a21).x1 + a21
a12.x1 + a22.(1 – x1) = (a12 – a22).x1 + a22 .
. .
a1n.x1 + a2n.(1 – x1) = (a1n – a2n).x1 + a2n
Tabel di atas menunjukkan bahwa pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) bagi pemain P1 bervariasi secara linear dengan x1. Berdasarkan kriteria minimax untuk
pemain P1 harus memilih nilai x1 yang akan memaksimalkan pembayaran harapan
(rata-rata pembayaran) minimumnya (prinsip maximin). Hal ini dapat dilakukan dengan cara menggambarkan garis-garis lurus di atas sebagai fungsi dari x1. Sumbu vertikal
menunjukkan pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) dan sumbu horizontal menunjukkan variasi dari x1 (0 x1 1). Dalam grafik ini dicari titik maximinnya.
Contoh:
Diberikan matriks pembayaran sebagai berikut. Akan dicari strategi optimum untuk P1
dan P2.
P2
P1 j i
y1 y 2 y3
x1
x2 = 1-x1
-1 1 3 5 3 -3
Penyelesaian
x1 = probabilitas pemain 1 memainkan strategi kesatu
x2 = probabilitas pemain 2 memainkan strategi kedua
yj = probabilitas pemain 2 memainkan strategi ke-j
maka pembayaran harapan bagi pemain P1 yang berkaitan dengan strategi murni P2
Strategi murni P2 Pembayaran harapan P1
Ketiga garis lurus fungsi dari x1 tersebut dapat digambarkan pada grafik
Menurut kriteria minimax P1, harus memilih nilai x1 yang akan memaksimalkan
pembayaran harapan minimumnya yaitu
v* = max(x1) { min (-6x1 + 5, -2x1 + 3 , 6x1 - 3)}
karena hanya garis (1) dan (3) yang melalui titik maximin maka
v* = max(x1) { min (-6 x1 + 5, 6 x1 - 3)}
dari sini nilai optimum x1 titik potong garis (1) dengan garis (3)
-6 x1 + 5 = 6 x1 – 3 12 x1 = 8
x1 = x1* = 2/3
x2* = 1- x1* = 1/3
jadi strategi campuran optimum P1 X* = [2/3, 1/3]
Nilai permainan yang diperoleh
v*= -6x1* + 5 = -6. 2/3 + 5 = 1 atau v* = 6x1* – 3 = 1
Selanjutnya akan dihitung strategi optimum pemain P2 . Nilai yang optimum bagi
pemain pembayaran P2 dapat diperoleh dari nilai pembayaran harapan permainan,
Jadi strategi kedua pe menjadi
P2
maka pembayaran hara adalah
Strategi
Kedua garis lurus fungs
Karena P2 mengingink
pemain P2 harus memi
yang maksimum, yaitu v* = min(y1) { karena kedua garis (1) titik potong kedua garis
y1 = y1* = ½
karena y1 + y3 = 1 mak jadi strategi optimum P
pemain P2 tidak dimainkan, sehingga matriks
P1
j i
y1 y3=1-y1
x1
x2
-1 3 5 -3
arapan bagi pemain P2 yang berkaitan dengan s
gi murni P1 Pembayaran harapan P2
1 2
-y1 + 3(1-y1) = 3 - 4y1 5y1 - 3(1-y1) = 8x1 – 3
ngsi dari y1 tersebut dapat digambarkan pada grafi
inkan untuk meminimumkan kekalahan yang m milih nilai y1 yang akan meminimumkan pemb itu:
{ max (3 – 4y1, 8y1 - 3)}
(1) dan (2) melalui titik minimax maka nilai opti aris tersebut, diperoleh
aka y3* = 1 – y1* = ½
P2 y* = [ ½ , 0, ½], dan nilai permainan v* = 1
ks pembayarannya
strategi murni P1
afik
maksimum maka mbayaran harapan
b. Matriks berukuran m x 2
Matriks pembayaran dari permainan berukuran 2 x n adalah Pemain P2
y1 y2 = 1 – y1
Pemain P1
j i
1 2
x1 1 a11 a12
x2
. . xm
2 . . m
a21 a22 . . . . am1 am2
Pembayaran harapan yang berkaitan dengan strategi murni pemain P2
Strategi murni pemain 1
Pembayaran harapan pemain 2 (P2)
1 2 . . .
m
(a11 – a21)y1 + a12 (a12 – a22)y1 + a22
. . .
(am1 – am2)y1 + am2
Tabel di atas menunjukkan bahwa pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) bagi pemain P2 bervariasi secara linear dengan y1. Berdasarkan kriteria minimax untuk
pemain P2 harus memilih nilai y1 yang akan meminimumkan pembayaran harapan
(rata-rata pembayaran) maksimumnya (prinsip minimax). Hal ini dapat dilakukan dengan cara menggambarkan garis-garis lurus di atas sebagai fungsi dari y1. Sumbu
vertikal menunjukkan pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) dan sumbu horizontal menunjukkan variasi dari y1 (0 y1 1). Dalam grafik ini dicari titik
Teori Dualitas
Yaitu salah satu metode penyelesaian yang dapat digunakan untuk menghitung strategi optimum pemain yang mempunyai lebih dari dua pilihan strategi. Matriks pembayarannya dapat disajikan sebagai berikut
y1 y2 … yn
x1
x2 . . .
xm
a11 a12 …. a1n a21 a22 …. a2n
am1 am2 …. amn
v v v
v v v
Hal ini berdasarkan pada: a. Prinsip pemain P1
Memaksimumkan v (nilai permainan) sedemikian rupa sehingga v ; j = 1, 2, …, n
Dengan =1, xi 0 ; untuk setiap i dan v
b. Prinsip pemain P2
Meminimumkan v (nilai permainan) sedemikian rupa sehingga v ; i = 1, 2, …, n
Dengan , yj 0 ; untuk setiap j dan
Permainan Berjumlah Nol dari n Orang
Ada dua asumsi yang dipakai di dalam pembahasan permainan berjumlah nol dari
n orang ini, yaitu:
2. Para pemain dapat membuat pembayaran sampingan (side payment) yaitu transfer pembayaran di antara pemain. Setelah koalisi memaksimumkan total pembayarannya, pembayaran untuk para koalisi itu diatur dengan pembuatan pembayaran sampingan. Banyak cara yang mungkin untuk mengelompokkan ke dalam koalisi adalah 2n-1
Contoh :
Diberikan permainan berjumlah nol dari 3 orang (A, B, C) masing-masing pemain mempunyai 2 pilihan strategi.
A mempunyai strategi : X1, X2 B mempunyai strategi : Y1, Y2 C mempunyai strategi : Z1, Z2 Diperoleh matriks pembayaran
Strategi Pembayaran
A B C A B C
X1 Y1 Z1 X1 Y1 Z2 X1 Y2 Z1 X1 Y2 Z2 X2 Y1 Z1 X2 Y1 Z2 X2 Y2 Z1 X2 Y2 Z1
-1 1 0 -3 2 1 0 2 -2 3 -2 -1 -2 0 -2
0 -1 1 -1 -2 3
2 1 -3
koalisi yang mungkin terbentuk adalah grup I grup II
1. A BC
2. B AC
3. C AB
Diperoleh matriks pembayaran dari tiap koalisi sebagai berikut
• Matriks pembayaran A melawan B, C
Y1, Z1 Y1, Z2 Y1, Z1 Y2, Z2
X1 X2
• Matriks pembayaran B melawan A, C
X1, Z1 X1, Z2 X2, Z1 X2, Z2
Y1 Y2
1 2 0 -1 2 -2 -2 1
• Matriks pembayaran C melawan A, B
X1, Y1 X1, Y2 X2, Y1 X2, Y2
Z1 Z2
0 -2 2 3 1 -1 1 -3
Dengan metode grafik didapatkan :
