PROGRAM STUDI TEKNI K SI PI L FAKULTAS TEKNI K
UNI VERSI TAS ATMA JAYA YOGYAKARTA
Nilai Eigen suatu Matriks
Beberapa himpunan persamaan simultan dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:
A.X = λ.X
Persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai suatu persamaan homogen:
Jika persamaan ditulis dalam bentuk lengkap: (A11–λ) .X1 + A12.X2 + … + A1n.Xn = B1
A21.X1 + (A22–λ).X2 + … + A2n.Xn = B2
.... … … … …
An1.X1 + An2.X2 + … + (Ann–λ).Xn = B3
Persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial hanya jika determinan dari matriks koefisiennya sama dengan nol.
0 A
A A
A A
A
A A
A I . A
nn 1
n 1
n
n 2 22
21
n 1 12
11
= λ − λ
− λ
− =
λ −
L M O M
M
L L
Persamaan ini disebut persamaan karakteristik.
Nilai λ agar terdapat solusi non trivial, disebut nilai eigen.
Contoh
Hitung nilai eigen dari matriks berikut: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ −
− =
16 45
6 17 A
0 16
45
6 17
= λ − −
− λ −
Jika determinan dijabarkan, persamaan karakteristik akan berbentuk:
λ2–λ– 2 = 0 atau
(λ – 2)(λ + 1) = 0
Sehingga nilai eigen dari matriks A, merupakan akar dari persamaan karakteristik, yaitu:
Contoh
Hitung nilai eigen dari matriks berikut:
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
−
− −
− − =
26 12 60
20 8 40
8 4
20 B
0 26
12 60
20 8
40
8 4
20
= λ − − −
− λ
− −
− λ −
Persamaan karakteristiknya akan berbentuk:
–λ3+2.λ2+ 8.λ= 0 atau
(λ – 4)(λ– 0)(λ + 2) = 0
Sehingga nilai eigen dari matriks B, merupakan akar dari persamaan karakteristik, yaitu:
λ1 = 4 λ2 = 0 λ3 = – 2
Vektor Eigen suatu Matriks
Contoh
Sehingga persamaan homogen yang akan diselesaikan: 15.X1 – 6.X2 = 0
45.X1 – 18.X2 = 0 Dari persamaan ini diperoleh:
⎥⎦
Sehingga persamaan homogen yang akan diselesaikan: 18.X1 – 6.X2 = 0
45.X1 – 15.X2 = 0 Dari persamaan ini diperoleh:
“n” buah vektor eigen dapat disusun sebagai kolom-kolom dari suatu matriks bujursangkar yang dinamakan matriks modal, sebagai berikut:
M = [ X1 X2 … Xn]
Cara umum untuk memilih vektor eigen adalah
menormalkan vektor tersebut dengan membuat besar vektor berharga satu, yang disebut vektor eigen ternormalkan, sebagai berikut:
N = [ x1 x2 … xn]
Contoh
Matriks modal dari matriks A, adalah: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ =
3 5
1 2 M
Jika vektor eigen diskalakan dengan unsur pertamanya bernilai satu, maka matriks modalnya menjadi:
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ =
3 5 , 2
1 1 M
Jika vektor eigen dinormalkan, maka menjadi:
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
Suatu matriks diagonal yang sepanjang diagonal utama mempunyai nilai sama dengan nilai eigen, disebut dengan matriks spektral.
0 0
0 0
0 0
S
n 2
1
λ λ
λ =
L M O M M
L L
Contoh
Nilai eigen pertama, λ1 = 2 Nilai eigen kedua, λ2 = –1
Sehingga matriks spektralnya adalah:
1 0
0 2 S
Contoh
Contoh kedua dengan matriks B. Nilai eigen pertama, λ1 = 4
Dari persamaan ini diperoleh:
⎥
Dari persamaan ini diperoleh:
Nilai eigen ketiga, λ3 = –2
Dari persamaan ini diperoleh:
⎥
Matriks modal dari matriks B, adalah:
Matriks spektral dari matriks B, adalah:
Matriks dari vektor eigen ternormalkan, adalah:
Contoh
Carilah nilai eigen dan himpunan vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen dari matriks Z berikut:
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ − − =
3 10
5 12 Z
0 3
10
5 12
= λ − −
− λ −
Jika determinan dijabarkan, persamaan karakteristik akan berbentuk:
λ2– 9.λ+ 14 = 0 atau
(λ – 7)(λ– 2) = 0
Sehingga nilai eigen dari matriks Z, merupakan akar dari persamaan karakteristik, yaitu:
λ1 = 7 λ2 = 2
Contoh
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡
− −
− −
= λ
−
0 0 X
X 7 3 10
5 7
12 X
) I . A (
2 1 1
1
Nilai eigen pertama λ1 = 7
Sehingga persamaan homogen yang akan diselesaikan: 5.X1 – 5.X2 = 0
10.X1 – 10.X2 = 0 Dari persamaan ini diperoleh:
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ β =
Contoh
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡
− −
− −
= λ
−
0 0 X
X 2 3 10
5 2
12 X
) I . A (
2 1 1
1
Nilai eigen pertama λ2 = 2
Sehingga persamaan homogen yang akan diselesaikan: 10.X1 – 5.X2 = 0
10.X1 – 5.X2 = 0 Dari persamaan ini diperoleh:
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ β =
2 1 X2 2
Matriks modal dari matriks Z, adalah:
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ =
2 1
1 1 M
Matriks spektral dari matriks Z, adalah:
Matriks dari vektor eigen ternormalkan, adalah:
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡ =
5 2 2 1
5 1 2 1 N
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ =
2 0
