2.1 Beberapa Uji Yang Digunakan 2.1.1 Uji Kecukupan Sampel - Peramalan Penjualan Produksi Teh Botol Sosro Pada PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara Tahun 2014 Dengan Metode Arima Box-Jenkins

BAB 2

LANDASAN TEORI

Peramalan adalah kegiatan umtuk memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang berdasarkan pengalaman di masa lalu. Metode peramalan yang sering digunakan dalam ekonomi dan dunia usaha adalah deret waktu (time series).

2.1 Beberapa Uji Yang Digunakan 2.1.1 Uji Kecukupan Sampel

Sebelum melakukan analisa terhadap data, langkah awal yang harus dilakukan adalah pengujian terhadap anggota sampel. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel. Dengan tingkat keyakinan 95% (

α

=0,05) rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah anggota sampel adalah:

2

N Ukuran sampel yang dibutuhkan

=

N Ukuran sampel percobaan

=

t

Y

Data aktual

Apabila N' < N, maka sampel percobaan dapat diterima sebagai sampel.

2.1.2 Uji Musiman

o

H

: Data tidak dipengaruhi musiman

1

H

: Data dipengaruhi musiman

Tabel 2.1 _{Perhitungan Uji Musiman}

Periode Musiman

1 2 3 4 . . . k

Untuk perhitungan digunakan notasi :

∑

R = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

i

i

n

= Ukuran sampel percobaan

y k

i i i

y

R

n

J

A

=

∑

−

=1 2

(2-3)

Dengan :

y

A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok

y

R = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

i

J

= Jumlah nilai pengamatan

i

n

= Ukuran sampel percobaan

2 2

12 2 11 2

...

Y

nk

Y

Y

Y

=

+

+

+

∑

(2-4)

Dengan :

Y = Jumlah data aktual

y y

y

Y

R

A

D

=

∑

2

−

−

(2-5)

Dengan :

Y = Jumlah data aktual

y

D = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok

y

R = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

y

A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok

Sehingga F hitung = y D

A

Dengan :

y

A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok

y

D = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok

Kemudian akan disusun dalam tabel ANAVA.

Tabel 2.2 _{Perhitungan Anava Uji Musiman} Sumber

Variasi

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat

Jumlah Kuadrat Rata-rata

Statistik Uji Antar Musim

Dalam Musim

1

−

k

∑

n

−

k

y A

y

D

1

−

=

k

A

A

y

k

n

D

D

y

−

=

D

A F =

Total

∑

_n

_-1

∑

2

Y

Dengan

k = Menyatakan musiman n = Periode musiman

Maka kriteria pengujiannya adalah :

0

H

: Diterima jika F hitung > F (k-1, n-k)

1

2.1.3 Uji Trend

Tujuan dari uji trend adalah untuk melihat apakah ada pengaruh komponen trend terhadap data. Hipotesis ujinya adalah :

0

H

: frekuensi naik dan turun dalam data adalah sama, artinya tidak ada trend

1

H

: frekuensi naik lebih besar dari frekuensi turun, artinya trend menaik

Statistik penguji :

σ

µ

)

(

−

=

m

Z

(2-7)

2 1

−

= n

µ

(2-8)

2

1

+

=

n

σ

(2-9)

Dengan :

=

m

frekuensi naik

=

n

jumlah data

=

µ

frekuensi naik yang diharapkan

=

σ

standar error antara naik dan turun

Kriteria penguji :

Dengan taraf signifikan α maka :

0

H

: Diterima jika Z hitung > Z tabel

1

2.2 Jenis-jenis Peramalan

Berdasarkan sifat ramalan yang telah disusun, ramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu :

1. Peramalan Kualitatif

Peramalan kualitatif adalah peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada orang yang menyusunnya. Hal ini penting karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi, pendapat, dan pengetahuan serta pengalaman dari penyusunnya. 2. Peramalan Kuantitatif

Peramalan kuantitatif adalah peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang digunakan dalam peramalan tersebut. Dengan metode yang berbeda akan diperoleh hasil peramalan yang berbeda. Metode yang baik adalah metode yang memberikan nila-nilai perbedaan atau penyimpangan yang kecil antara hasil ramalan dengan kenyataan yang terjadi.

Peramalan kuantitatif hanya dapat digunakan apabila tiga kondisi sebagai berikut dipenuhi : a. Adanya informasi tentang keadaan yang lalu

b. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data

c. Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang akan datang.

2.3 Metode Peramalan

2.3.1 Pengertian Metode Peramalan

Metode peramalan adalah cara memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa depan, berdasarkan data yang relevan pada masa lalu. Oleh karena metode peramalan ini didasarkan pada data yang relevan pada masa lalu, maka metode peramalan ini dipergunakan dalam peramalan yang objektif.

2.3.2 Jenis-Jenis Metode Peramalan

Peramalan dapat dibedakan atas peramalan kuantitatif dan kualitatif. Pada dasarnya metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas :

a. Metode Regresi (kausal)

Metode peramalan kausal ini didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang mempengaruhinya, yang bukan waktu. Metode ini mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dengan satu atau lebih variabel bebas. Metode regresi ini terdiri dari :

1. Metode regresi dan korelasi 2. Metode ekonometrika 3. Metode input output b. Deret waktu

Metode peramalan deret berkala (time series) didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antar variabel yang diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan deret waktu (time series). Metode peramalan deret waktu data historis dianalisa untuk mengidentifikasi pola data dan diasumsikan bahwa pola data tersebut akan terus berlanjut pada masa yang akan datang. Pola data yang diperoleh kemudian dianalisa untuk memperoleh nilai peramalan pada masa yang akan datang. Dalam model peramalan deret waktu tidak ada usaha menemukan faktor yang mempengaruhi terhadap data historis yang dianalisa.

Metode peramalan deret waktu ini terdiri dari : 1. Metode Smoothing

2. Metode Box-Jenkins

3. Metode Proyeksi Trend dengan Regresi

2.4 Klasifikasi Model Box-Jenkins

Model Box-Jenkins dikelompokkan ke dalam tiga kelompok yaitu : 1. Model Autoregressive (AR)

Model campuran ini dapat berupa model campuran model Autoregressive Moving Average (ARMA) dan model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).

2.4.1 Model Autoregressive Persamaan umum dari model AR(p) :

(

)

t t

p

p

B

Y

e

B

B

−

−

−

=

+

−

φ

φ

...

φ

δ

1

_{1 2} 2 (2-10)

Dengan :

B = operator penggerak mundur (backward shift operator)

1

φ

= parameter autoregressive ke-i (dengan i = 1,2,3,…,p)

=

t

Y

Data aktual

δ

= suatu konstanta

t

e

= sisaan (residu) ke – t

2.4.2 Model Rataan Bergerak (Moving Average)

Bentuk umum dari model rataan bergerak dengan ordo q atau biasa ditulis MA(q).

2.4.3 Model Campuran Autoregressive – Rataan Bergerak

Secara singkat bentuk umum model campuran autoregressive rataan bergerak berordo (p,q) yang mengkombinasikan proses autoregressive ordo p dan proses rataan bergerak ordo q atau biasa ditulis dengan ARMA(p,q).

2.4.4 Model Integrasi Autoregressive – Moving Average (ARIMA)

Bentuk umum model ARIMA berordo (p,d,q) yang mengkombinasikan proses autoregressive berodo p, dan proses rataan bergerak berordo q pada deret waktu yang sudah di transformasikan dengan pembedaan ordo ke-d atau biasa ditulis dengan ARIMA(p,d,q) adalah sebagai berikut :

(

)

(

)

t

q q t

p

p

B

W

B

B

e

B

φ

δ

θ

θ

φ

−

−

=

+

−

−

−

−

...

1

...

1

_{1 1} (2-11)

Dengan :

1

φ

= parameter autoregressive ke-i

B = operator penggerak mundur (backward shift operator)

t

W

= deret yang sudah dideferensi dengan ordo d

δ

= konstanta

t

e

= sisaan (residu) ke – t

Dalam praktek, nilai p,d,q yang biasa digunakan adalah 0,1,2. Meskipun demikian dengan nilai p,d,q yang seperti itu dapat dibuat banyak variasi model yang cukup berguna. Persamaan model yang sederhana, ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut :

(

1

−

1

)

−1

−

1 −2

+

+

−

1 −1

=

_{t t t t}

t

Y

Y

e

e

Y

φ

φ

δ

θ

(2-12)

Dengan :

=

t

Y

Data aktual

1

φ

= parameter autoregressive ke-i

δ

= konstanta

t

e

= sisaan (residu) ke – t

2.5 Kestasioneran dan Faktor Musiman 2.5.1 Kestasioneran

Parsial. Data yang dianalisa dalam model ARIMA adalah data yang bersifat stasioner, yaitu data yang rata-rata dan variansinya relative konstan dari satu periode ke periode selanjutnya.

Autokorelasi-autokorelasi dari data yang tidak stasioner berbeda secara signifikan dari nol dan mengecil secara perlahan membentuk garis lurus sedangkan autokorelasi-autokorelasi dari data stasioner mengecil secara drastis membentuk garis lengkung ke arah nol setelah periode kedua atau ketiga. Jadi bila autokorelasi pada periode satu, dua maupun periode ketiga tergolong signifikan sedangkan autokorelasi-autokorelasi pada periode lainnya tergolong tidak signifikan, maka datanya bersifat stasioner.

Menurut Box-Jenkins deret data yang tidak stasioner dapat ditransformasikan menjadi deret data yang stasioner dengan melakukan pembedaan (diferensi) pada data aktual. Pembedaan ordo pertama dari data aktual dapat dinyatakan sebagai berikut :

1

−

−

=

_{t t}

t

Y

Y

W

(2-13)

Dengan :

t

W

= deret yang sudah dideferensi dengan ordo d

=

t

Y

Data aktual

Biasanya dengan melakukan pembedaan pertama dan kedua data akan menjadi data yang stasioner dengan melihat koefisien autokorelasi data pembedaan akan turun mendekati nol setelah lag ke-2 atau lag ke-3.

2.5.2 Faktor Musiman

Makridakis (1991) dan Assauri (1984) mendefenisikan musiman sebagai suatu

pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Pola musiman dapat berupa musiman triwulan (3 bulanan), kuartal (4 bulanan), semesteran (6 bulanan) atau tahunan (12 bulanan). Notasi ARIMA yang digunakan untuk mengatasi aspek musiman, secara umum ditulis sebagai berikut :

s

Q

D

P

q

d

p

ARIMA

(

,

,

)(

,

,

)

Model ARIMA yang mengandung faktor musiman, ARIMA (1,1,1,)

(

1

,

1

,

1

)

12

mempunyai persamaan sebagai berikut :

(

B

)

(

B

)

B B Yt

(

B

)

(

B

)

et 12 1 1

12 12

1

1 1 (1 )(1 ) 1 1

1−

φ

−Φ − − =

δ

+ −

θ

−Θ (2-14)

Dengan :

1

φ

= Parameter autoregressive ke-1

B = Operator penggerak mundur (backward shift operator)

1

Φ

= Sudut fase (dalam radian)

t

Y

= Data aktual

δ

= Konstanta

1

θ

= Nilai rata – rata bergerak MA

1

Θ

= Nilai SMA

t

e

= Sisaan (residu) ke – t

Dalam hal ini :

(

1

−

φ

₁

B

)

= proses AR (1) bukan musiman

(

12

)

1

1

−

Φ

B

= proses AR (1) musiman

(

1

−

B

)

= pembedaan ordo pertama bukan musiman

(

12

)

1

−

B

= pembedaan ordo pertama musiman

(

1

−

θ

₁

B

)

= proses MA (1) bukan musiman

(

12

)

1

1

−

Θ

B

= proses MA (1) musiman

2.5.3 White Noise

,...

,

White noise maksudnya residu tersebut berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan varians konstan. Jika residu bersifat white noise maka residu hanya merupakan suatu proses gangguan kecil yang tidak perlu diperhatikan. Hal ini dapat dilihat dari nilai Q Box-Pierce <

2

χ

tabel dan koefisien autokorelasi dan autokorelasi parsial residu yang tidak berbeda nyata dari nol.

2.6 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial

Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial populasi dapat di estimasi

dengan menghitung fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial sampel yang biasa disebut dengan fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial contoh. Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk mengidentifikasi model box-jenkins dengan melihat prilaku dari kedua fungsi tersebut.

2.6.1 Fungsi Autokorelasi

Koefisien autokorelasi merupakan derajat hubungan antara

Y

_t dan

Y

_t−k. Menurut Spyros Makridakis, Steven C. Wheelwright dan Victor E. McGee dengan persamaan :

(

)(

)

r

= Koefisien autokorelasi

t

Y

= Data actual pada periode t

Y = Nilai tengah (mean) dari data aktual

k t

Y

₊ = Data aktual pada periode t dengan time lag (ketertinggalan) k

( )

r

= Koefisien autokorelasi

n = Periode musiman

Koefisien autokorelasi dari data acak mempunyai distribusi sampling yang mendekati kurva normal baku dengan nilai tengah (mean) nol dan kesalahan standar

n

1

. Suatu deret bersifat

acak apabila koefisien korelasinya berada dalam batas interval -

( )

r

k

r

k

Z

SE

( )

r

k

Fungsi autokorelasi dapat digunakan untuk pendugaan parameter model ARIMA. Makridakis (1991) menyatakan bahwa persamaan autokorelasi untuk proses MA(q) adalah sebagai berikut :

k

Proses rataan bergerak berordo q mempunyai nilai nol untuk lag lebih dari q. Karena nilai teoritis

ρ

_k tidak diketahui, maka nilai taksiran pendahuluan dari koefisien

q

θ

θ

θ

θ

₁, ₂, ₃,..., dapat diperoleh dengan mensubstitusi autokorelasi empiris

r

k.

2.6.2 Fungsi Autokorelasi Parsial

berkala koefisien autokorelasi parsial berguna untuk membantu menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan.

Koefisien autokorelasi parsial berorde m didefenisikan sebagai koefisien autoregressive terakhir dari model AR(m).

Nilai koefisien autokorelasi parsial dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut :

t k t kk k

t k

t

Y

Y

e

Y

=

φ

_{1 −}

+

...

+

φ

₋

+

(2-18)

Dengan :

t

Y

= Data aktual

k

φ

= Parameter autoregressive ke-k

k t

Y

₋ = Nilai keterlambatan pada saat k periode

t

e

= Kesalahan ramalan

2.7 Pemeriksaan Ketepatan Model

Setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter, langkah selanjutnya adalah menguji apakah model yang didefenisikan telah tepat. Untuk itu dilakukan pemeriksaan terhadap : 2.7.1 Nilai Sisaan (Residu)

Model yang telah ditetapkan akan memperlihatkan perbedaan residu atau kesalahan antara nilai-nilai data deret waktu dan nilai-nilai estimasi dari model sangat kecil atau tidak berarti. Kesalahan ramalan dapat diperoleh dari persamaan berikut :

)

(

h

Y

Y

e

t

=

t

−

t (2-19)

Dengan :

t

e

= Kesalahan ramalan

t

Y

= Data aktual

)

(

h

t

e

= Kesalahan ramalan

Dari nilai-nilai kesalahan dapat diperoleh koefisien autokorelasi residu. Jika tidak terdapat pola data yang secara nyata berbeda dari nol, sehingga kesalahan diasumsikan menjadi acakan atau tidak perlu diperhatikan maka model dianggap cukup tepat.

2.7.1.1 Pemeriksaan Kesalahan Standar Residu

Rumus kesalahan standar untuk memeriksa apakah

r

k

(

e

)

tertentu secara nyata

berbeda dari nol adalah :

[

]

r

= Koefisien autokorelasi

n = Periode musiman

Koefisien autokorelasi dari data random akan mempunyai distribusi sampling yang mendekati kurva normal baku dengan nilai tengah nol dan kesalahan standar

n

1

, sehingga

untuk menetapkan apakah

r

k

(

e

)

berasal dari populasi yang mempunyai nilai autokorelasi

kesalahan nol pada time lag k, dilakukan pengujian apakah

r

_k

(

e

)

dengan tingkat kepercayaan 95% terletak dalam batas interval yang telah ditentukan dengan menggunakan persamaan :



2.7.1.2 Statistik Box-Pierce

Untuk memeriksa apakah autokorelasi nilai-nilai sisaan (residu) berpola acakan (bersifat white noise), digunakan statistik Box-Pierce Sebagai berikut :

∑

=

=

m

k k

e

r

n

Q

1 2

)

(

(2-22)

Dengan :

Q

= Hasil perhitungan statistik Box-Pierce

m

= Jumlah autokorelasi residu (jumlah lag)

n

= N – d – SD

N = Jumlah anggota sampel

d = Ordo pembedaan bukan musiman

D = Ordo pembedaan musiman

S = Jumlah periode per musim

)

(

e

r

k = Koefisien autokorelasi residu pada lag – k

Jika model cukup tepat, maka statistik Q akan berdistribusi

χ

2 dengan m-p-q-P-Q derajat kebebasan, dengan p,q adalah jumlah koefisien autoregressive serta moving-average (rataan-bergerak) bukan musiman sedangkan P , Q adalah jumlah koefisien autoregressive serta moving-average (rataan-bergerak) musiman. Pengujian hipotesis adalah tolak

H

₀. Bahwa residu bersifat white noise jika nilai statistik Q

χ

2 yang diperoleh dari tabel.

2.7.2 Overfitting Model ARIMA

2.8 Peramalan Dengan Model ARIMA Box-Jenkins

Setelah parameter-parameter model ARIMA diestimasi, maka langkah selanjutnya adalah menggunkana model tersebut untuk peramalan. Untuk tujuan ilustrasi, tetapkan model ARIMA (1,1,1). Agar dapat digunakan, maka model tersebut dikembangkan dalam bentuk persamaan regresi biasa, yaitu :

1

Untuk meramalkan satu periode kedepan yaitu

Y

t

(

1

)

, maka ditambahkan satu angka

indeks yang menunjukkan waktu, yaitu :

t

Y

= Nilai peramalan satu periode ke depan

t

e

= Sisaan (residu) satu periode kedepan

Untuk meramalkan h periode kedepan yaitu

Y

_t

(

h

)

maka persamaan menjadi :

h

Untuk mengetahui ketepatan ramalan ini dapat dihitung nilai MSE dan MAPE yang merupakan ukuran ketepatan ramalan.

1. MSE (Mean Square Error)

[

]

2

% 100 )

( 1

1

×    



 −

=

∑

=

k

t t

t t

Y h Y Y L

MAPE (2-27)

Dengan :

t

Y

= Data aktual

)

(

h

Y

t = Data hasil ramalan