Diferensial Dan Aplikasinya Dalam Ilmu Fisika
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Sejarah Kalkulus
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung[1]. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2] Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen)z menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor
kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.
2.2 Pengaruh penting
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut. 2.3 Prinsip Dasar Turunan
Grafik fungsi turunan.
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut. Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9): Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan. 2.4 Notasi pendiferensialan
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler. Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
ataupun Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika. Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai: atau .Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear. Notasi Leibniz Notasi Lagrange Notasi Newton Notasi Euler Turunan ƒ(x) terhadap x ƒ′ (x) dengan y = ƒ(x) 2.5 Aplikasi Diferensial Pada Ilmu Fisika Misalkan x dan y adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y = f(x). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang tergantung pada garis mana grafik tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan rumus: di mana simbol Δ (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena y + Δy = f(x + Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.
Diikuti pula Δy = m Δx.Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx. Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari turunan.Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi.
2.5.1 Fisika
Kalkulus sangatlah penting dalam fisika. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:
• kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
• percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu.
Sebagai contoh, jika posisi sebuah benda dalam sebuah garis adalah: maka kecepatan benda tersebut adalah: sendiri. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa: Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsial Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.
2.5.1.2 Teorema nilai purata
Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsi asal. Jika f(x) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah bilangan dengan a < b, maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) adalah sama dengan kemiringan garis singgung f di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:
2.5.1.3 Polinomial Taylor dan deret Taylor
Turunan memberikan pendekatan linear yang paling baik, namun pendekatan ini bisa sangat berbeda dengan fungsi asalnya. Salah satu cara untuk memperbaiki pendekatan ini adalah dengan menggunakan pendekatan kuadratik. Linearisasi dari fungsi bernilai real f(x) pada suatu titik x0 adalah linearisasi polinomial a + b(x - x0), dan sangat mungkin untuk mendapatkan pendekatan yang lebih baik dengan menggunakan polinomial kuadratik a + b(x - x0) + c(x - x0)². Masih lebih baik lagi apabila menggunakan polinomial kubik a + b(x - x0) + c(x - x0)² + d(x - x0)³, dan gagasan ini dapat diperluas sampai polinomial berderajat tinggi. Untuk setiap polinomial ini, haruslah terdapat pilihan nilai koefisien yang paling tepat untuk a, b, c, dan d yang membuat pendekatan ini sedekat mungkin.
BAB III PENUTUP
3.1 KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
• Donald A. McQuarrie .2003. Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books.
APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN FUNGSI NONPERIODIC
Undergraduate Theses from JIPTUMMPP / 2009-07-29 14:33:12
Oleh : Lailatul Muannisak ( 05320054 ), Mathematics Dibuat : 2009-07-29, dengan 2 file
Keyword : Persamaan Diferensial Parsial, Transformasi Fourier, Persamaan Panas
Dimensi-satu dan Dimensi-dua.
Url : http://
ABSTRAK
Aplikasi transformasi fourier ini akan mengubah persamaan diferensial parsial dan nilai awal ke dalam persamaan diferensial biasa dan nilai awal yang baru dalam variable w. Persamaan diferensial biasa yang diperoleh diselesaikan dan dengan memanfaatkan nilai awal yang baru diperoleh suatu selesaian. Selanjutnya, selesaian masalah untuk persamaan diferensial parsial semul dapat dicari dengan invers transformasi fourier dari persamaan diferensial biasa tersebut. Untuk mempermudh dalam mencari hasil invers dari selesaian transformasi fourier, dapat digunakan table transformasi fourier. Berdasarkan hasil pembahasan ini diperoleh bahwa solusi dari persamaan panas dimensi-satu dengan syarat awal , dan syarat batas campurannya adalah . Sedangkan solusi dari persamaan panas dimensi-dua dengan syarat awal , dan syarat batas campurannya
adalah .
ABSTRACT
Initial requisite , andmix limit requisite is . And the solution of heat equation two-dimension with Initial requisite , and mix limit requisite Is .
Deskripsi Alternatif :
ABSTRAK
Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan geometris bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan bila dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhanalah yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa. Mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik, dan berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan persamaan diferensial parsial. Dan sesungguhnya, kisaran penerapan persamaan diferensial parsial sangatlah besar, dibandingkan dengan kisaran penerapan persamaan diferensial biasa. Salah satu persamaan diferensial parsial yang penting dalam sains dan teknik antara lain adalah persamaan panas dimensi-satu dan persamaan panas dimensi-dua
Ada dua metode yang dikenal dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan fungsi periodic yaitu dengan menggunakan Deret Fourier dan Transformasi Laplace. Penggunaan Deret Fourier hanya sebatas pada fungsi-fungsi yang intervalnya berhingga (finite), sedangkan Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dari fungsi-fungsi yang intervalnya berhingga (finite) dan semi-infinite. Masalah lain muncul ketika fungsi-fungsi tersebut merupakan fungsi nonperiodic yang intervalnya didefinisikan untuk seluruh sumbu-x. Penyelesaian masalah tersebut tidak bisa dengan metode Deret Fourier dan Transformasi Laplace. Maka ada metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut yaitu dengan menggunakan Transformasi Fourier. Berdasarkan masalah tersebut, penulis sangat tertarik untuk mengkaji permasalahan tersebut dalam skripsi ini. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk mendeskripsikan aplikasi transformasi fourier dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan fungsi nonperiodic yang selanjutnya dibatasi pada persamaan panas berdimensi-satu dari sebuah batang tak hingga yang homogen dan persamaan panas berdimensi-dua keadaan stabil dari sebuah plat tipis berbentuk bujur sangkar.
ABSTRACT
Differential equation is detectable in a physics problem and geometric if the function depends on two or more independent variables. It is not excessive if we say that only a simple physics system can modelling by ordinary differential equation. Fluid mechanic and mechanic dense, heat transfer, electromagnetic theory, and all kinds of physics is full with a problem that has to modelled by partial differential equation. Actually, the comparison of application of the partial differential equation larger than ordinary differential equation. One of kind of partial differential equation that important in technical and science is heat equation one-dimension and heat equation two-dimension. There are two method that we know to solve partial differential equation with periodic function there are using Fourier series and lap lace transformation. The use of Fourier series in only on a function that has a finite interval, and lap lace transformation can use to solve partial differential equation with a function that has a finite and semi-infinite interval. The other problem is come when the function is a no periodic function that has an infinite interval. The solving of the problem can?t use Fourier series or lap lace transformation. The solution is we have to use Fourier transformation to solve it. Based on the problem, the writer so interest to examine that problem in this thesis. The purpose of this writing is describing the application Fourier transformation to solve partial differential equation with no periodic function. And this writing delimitates on a heat equation one-dimension of an infinite homogeny stalk and heat equation two-dimension with steady of a square thin metal sheet. The application of Fourier transformation will change a partial differential equation and initial value to a new ordinary differential equation and initial value in w variable. The ordinary differential equation that provide is solved and we can use a new initial value is profitable a solution. Next, the solution for last partial differential equation can solve with Fourier transformation inverse from that ordinary differential equation. So as to easy to find the result of this inverse from Fourier transformation solution, we can use Fourier transformation table information.
Based on the working through, providable that a solution of heat equation one-dimension with Initial requisite , and mix limit requisite is . And the solution of heat equation two-dimension with
Initial requisite , and mix limit requisite Is .
