Persamaan Diferensial Orde II

(1)

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

(2)

PDB

Orde

_Orde

II

_II

Bent uk um um :

y″ + p(x)y′ + g(x)y = r(x)

p(x) , g(x) disebut koefisien j ika r(x) = 0, m aka Persam aan Differensial diat as disebut hom ogen, sebaliknya disebut non hom ogen.

Persam aan Differensial Biasa linier orde dua hom ogen dengan koefisien konst an, m em iliki bent uk um um :

y″+ ay′ + by = 0

(3)

Solusi

Homogen

_Homogen

Diket ahui

y″+ ay′ + by = 0 Misalkan y= erx

Persam aannya berubah m enj adi r2 _{+ a}_r _{+ b = 0, sebuah}

persam aan kuadrat .

Jadi kem ungkinan akarnya ada 3 yait u: 1. Akar real berbeda (r₁,r₂; dim ana r₁

≠r

₂)

Mem iliki solusi basis y₁ = er1 x _dan_y

2 = er2 x dan

m em punyai solusi um um

y = C₁er1 x _{+ C}

(4)

Solusi

Homogen

_Homogen

2. Akar real kem bar (r₁,r₂; dim ana r = r₁= r₂) Mem iliki solusi basis y₁= er x _dan_y

2 = x er x dan

m em punyai solusi um um

y = C₁er x _{+ C}

2 x er x

3.Akar kom pleks koj ugat e (r₁ = u + wi, r₂ = u – wi) Mem iliki solusi basis y₁ = eux _cos_wx_{; dan}

y₂ = eux _sin_wx _{dan m em punyai solusi um um}

y = eux _{( C}

(5)

Contoh

soal

_soal

1. y

″

+ 5y

′

+ 6y = 0

Persam aan karakt erist iknya: ( r + 2 ) ( r + 3 ) = 0

r₁ = - 2 at au r₂ = - 3

m aka solusinya : y = C₁e- 2 x _{+ C}

2e- 3x

2. y″ + 6y′ + 9y = 0

Persam aan karakt erist iknya: ( r + 3 ) ( r + 3 ) = 0

r₁ = r₂ = - 3

m aka solusinya : y = C₁e- 3x _{+ C}

2 x e- 3x

3. y″ + 4y = 0

Persam aan karakt erist iknya: r2_{+ 4 = 0}

r₁₂ = 2i

2

4 . 1 .

4 ₌ _± −

(6)

Latihan

1. y’’ – 3y’-4y= 0

2. y’’ – 9y= 0 3. y’’+ 4y= 0

4. y’’+ 2y’= 0

5. y’’ – 4y’+ 4y= 0 6. y’’ + 3y’ – 4y= 0

7. y’’+ 9y= 0 8. y’’+ y’ = 0

9. y’’ – 4y= 0, y= 4, y’= 0 bila x= 0

(7)

Persamaan

Differensial

_Differensial

non

_non

homogen

Bent uk um um :

y″ + p(x)y′ + g(x)y = r(x) dengan r(x) ≠ 0

Solusi t ot al : y = y_h + y_p

Dim ana y_h = solusi P D hom ogen

y_p = solusi P D non hom ogen

Menent ukan y_p

1. Met ode koefisien t ak t ent u

(8)

Metode

koefisien

_koefisien

tak

_tak

tentu

_tentu

pilihlah y_p yang serupa dengan r(x) , lalu subst it usikan ke dalam persam aan.

r(x) yp

r(x) = emx yp = A emx

r(x) = Xn yp = AnXn + An-1Xn-1+…….+A1X + A0

r(x) = sin wx yp = A cos wx + B sin wx

r(x) =cos wx yp = A cos wx + B sin wx

r(x) = e uxsin wx yp = e ux (A cos wx + B sin wx )

R(x) =e uxcos wx yp = e ux (A cos wx + B sin wx )

Ct t : Solusi Parsial t idak boleh m uncul pada solusi hom ogennya. Jika hal ini t erj adi, kalikan solusi khususnya dengan fakt or x

(9)

Contoh

1. y” – 3y’ + 2y = e- x

Jawab:

Persam aan karakt erist iknya:

Ù

r2 _{– 3} _r _{+ 2 = 0} ₍_r _{– 2) (}_r _{– 1) = 0}

Sehingga didapat r₁= 2 dan r₂= 1

Jadi solusi hom ogennya adalah y_h = C₁ e2x _{+ C}

2 ex

Unt uk y_p dipilih y_p = A e- x

y_p’ = - A e- x _y

p” = A e- x

Ù

Kem udian m asukan ke PD di at as:

A = 1/ 6 A e- x _{+ 3 A e}- x _{+ 2 A e}- x _{= e}- x

Ù

_{6 A e}- x _{= e}- x

Ù

Jadi solusi um um PD di at as adalah

y = C₁ e2x _{+ C}

(10)

Contoh

2. y” – 3y’ + 2y = cos x

Jawab:

(r – 2) (r – 1) = 0

Ù

r2 _{– 3}_r _{+ 2 = 0}

2 ex

Unt uk y_p dipilih y_p = A cos x + B sin x

y_p’ = - A sinx + B cos x

Ù

y_p” = - A cos x – B sin x

( - A cos x – B sin x) –3( - A sin x + B cos x) + 2( A cos x + B sin x) = cos x

Ù

( - A- 3B+ 2A) cos x + ( - B+ 3A+ 2B) sin x= cos x

Ù

(11)

Contoh

(no. 2

_{(no. 2}

Lanjutan

_Lanjutan

)

₎

Didapat

A = 1/ 10 dan B = - 3/ 10

Jadi solusi um um PD di at as adalah

y = C₁ e2x _{+ C}

2 ex + ( 1/ 10) cos x – ( 3/ 10) sin x

3. y” – 3y’ + 2y = e- x _{+ cos} _x

Jawab:

Dari cont oh 1 dan 2 didapat , solusi um um nya adalah

y = C₁ e2x _{+ C}

(12)

Contoh

4. y” – 3y’ + 2y = ex_,_y_{( 0) = 1,}_y_{’( 0) = - 1}

Jawab:

Ù

r2 _{– 3}_r _{+ 2 = 0} ₍_r _{– 2) (}_r _{– 1) = 0}

2 ex

Unt uk y_p dipilih y_p = A x ex

y_p’ = A ex _{+ A}_x _ex _y

p” = 2A ex + A x ex

Ù

2Aex_{+ Axe}x _{– 3 ( Ae}x _{+ A}_x_ex_{) + 2 A}_x_ex _{= e}x

Ù

_{- A e}x _{= e}x

A = - 1

Ù

(13)

Contoh

Kit a punya y( 0) = 1 dan y’( 0) = - 1

1= C₁+ C₂

y = C₁e2x _{+ C}

2 ex – x ex

Ö

0= 2C₁+ C₂

y’ = 2C₁e2x _{+ C}

2ex – ex – xex

Didapat

C₁= - 1, dan C₂= 2

Jadi solusi khusus PD di at as adalah

(14)

Latihan

1. y’’ – 3y’-4y= 3x2₊ ₂

2. y’’ – 9y= x+ 2

3. y’’ – 3y’ – 4y= e2x

4. y’’+ 4y= 2 sin x 5. y’’ – 3y’-4y= e- x

6. y’’+ 4y= 2 cos 2x 7. y’’+ 2y’= 3x2₊ ₂

8. y’’ – 4y’+ 4y= e2x

9. y’’ + 3y’ – 4y= 3x2₊₂

10. y’’+ 9y= sin 3x+ e2x

11. y’’+ y’ = ex₊₃_x

12. y’’ – 4y= 4 sin x, y= 4, y’= 0 bila x= 0

(15)

Metode

Variasi

_Variasi

Parameter

_Parameter

Met ode ini digunakan unt uk m em ecahkan persam aan-persam aan yang t idak dapat diselesaikan dengan

m enggunakan m et ode koefisien t ak t ent u.

Persam aan Differensial orde dua non hom ogen

y

″

+ a y

′

+ b y = r(x) m em iliki solusi t ot al : y = y_h + y_p

m isal y_p = u y₁ + v y₂ dim ana u = u(x) ; v = v(x) m aka y

′

_p = u

′

y₁ + u y₁’ + v y₂’ + v

′

y₂

pilih u dan v sehingga :

(16)

Metode

Variasi

_Variasi

Parameter

_Parameter

y

′

_p = u y₁

′

+ v y₂

′

y

″

_p = u

′y

₁

′

+ u y₁

″

+ v

′y

₂

′

+ vy₂

″

Subst it usikan y_p , y_p’ , y_p″ ke dalam persam aan aw al sehingga di dapat kan :

u

′y

₁

′

+ u y₁

″

+ v

′y

₂

′

+ vy₂

″

+ a ( u y₁

′

+ v y₂

′) +

b ( u y₁ + v y₂ ) = r( x)

u ( y₁

″

+ a y₁

′

+ b y₁ ) + v ( y₂

″

+ a y₂

′+ b y

₂ ) + u

′y

₁

′

+ v

′y

₂

′

= r ( x)

(17)

Metode

Variasi

_Variasi

Parameter

_Parameter

Elem inasi ( * ) dan ( * * ) di peroleh :

u

′

y₁ + v

′

y₂ = 0

u

′y

₁

′

+ v

′y

₂

′

= r ( x)

dengan at uran cram er diperoleh

(18)

Contoh

1. y” + y = t an x

Jawab:

(19)

Contoh

(

₍

Lanjutan

_Lanjutan

)

₎

x

Jadi solusi non hom ogen didapat

(

x x

)

x x x x x y_p = − lnsec + tan cos +sin cos −sin cos

(

lnsecx+ tan x

)

cos x

− =

Jadi solusi um um dari persam aan diferensial di at as

(20)

Contoh

2. y” + 9y = sec2 _3x

Jawab:

(21)

Contoh

(

₍

Lanjutan

_Lanjutan

)

₎

∫

Jadi solusi non hom ogen didapat

(

x x

)

x

Jadi solusi um um dari persam aan diferensial di at as

(22)

Latihan

1. y” + y = cosec x cot x

2. y” + y = cot x

3. y” – 3 y’ + 2y =

1 e

e

x x

+

4. y” + 4 y’ + 4 y =

₂

x 2

x

e

−

5. y” + 4 y = 3 cosec 2x

6. y” + 4 y = 3 cosec x

7. 4 y” + y = 2 sec (x/2)

8. y” – 2y’ + y =

₂

x

1 e

(23)

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Pe n ggu n a a n

(24)

Penerapan

dalam

Rangkaian

Listrik

Perhat ikan suat u rangkaian ( gam bar sam ping) dengan sebuah t ahanan (R ohm ) , dan sebuah kum paran (L Henry) dan sebuah kapasit or (C farad) dalam rangkaian seri dengan sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan suat u volt ase

E( t ) volt pada saat t . Hukum Kirchhoff unt uk kasus ini, m uat an Q pada

kapasit or, diukur dalam coulom b, m em enuhi

( )

t

E

Q

C

dt

dQ

R

dt

Q

d

L

₂

+

1 =

(25)

(

Lanjutan

_Lanjutan

)

₎

dt

dQ

I

=

, diukur dalam am pere, m em enuhi

Arus

persam aan yang diperoleh dengan pendiferensialan

persam aan di at as t erhadap t, yait u

( )

t

E

I

C

dt

dI

R

dt

I

d

L

₂

1 '

2

=

+

(26)

Contoh

Tent ukan m uat an Q dan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RLC dengan R = 16 ohm, L = 0,02

henry, C = 2 x 10- 4 _{farad dan} _{E = 12}_{Volt dengan}

diasum sikan saat awal arus dan m uat annya adalah nol ( pada wakt u saklar S dit ut up)

Ja w a b

Dari hukum kirchhoff, t ent ang rangkaian RLC didapat

12 5000

'

16 "

02 ,

0 Q

+

Q

+

Q

=

At au bisa disederhanakan

600 250000

'

800

(27)

Contoh

Persam aan karakt erist iknya adalah

Diperoleh akar – akar persam aannya :

Solusi hom ogen :

(

C t C t

)

Dengan m enggunakan m et ode koefisien t ak t ent u, dengan m engam bil Q_p = A, di dapat

(28)

Rangkaian

Jadi solusi khususnya adalah

(29)

Latihan

1. Hit unglah kuat arus yang m engalir dalam suat u

rangkaian RLC dengan nilai R = 100 ohm, L = 0,1

henry, C = 10- 3 _{farad yang dihubungkan} _dengan

sum ber t egangan E( t ) = 155 sin 377 t dengan

diasum sikan pada saat awal arus dan m uat annya

adalah nol.

2. Tent ukan m uat an Q sebagai fungsi dari wakt u t yang

m engalir dalam suat u rangkaian RC dengan R = 106

ohm , C = 10 - 6 _{farad dan sum ber t egangannya}

konst an dengan E = 1 Volt dan diasum sikan saat awal

(30)

Latihan

3. Hit unglah m uat an dan kuat arus I yang m engalir dalam

suat u rangkaian RLC dengan nilai R = 1000 ohm , L =

3,5 henry, C = 2 x 10- 6 _{farad yang dihubungkan dengan}

sum ber t egangan E( t ) = 120 sin 377t dengan

diasum sikan pada saat awal arus dan m uat annya adalah

nol.

4. Tent ukan kuat arus I sebagai fungsi dari w akt u t yang

m engalir dalam suat u rangkaian LC dengan L = 10- 2

Henry, C = 10- 7 _{farad dan sum ber t egangannya konst an}

dengan E = 20 Volt dan diasum sikan saat awal m uat an