BAB II
PEMBAHASAN
2.1 HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah “” sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “”. Dengan demikian a H, iH, u H, e H, dan o H sedangkan b H, c H dan d H. Istilah anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.
Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin.
Himpunan X yang anggota-anggotanya memenuhi sifat P dinotasikan sebagai
X = { x x bersifat P }.
Notasi ini disebut notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H = { x x adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda garis tegak “” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “ atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang digunakan adalah tanda tegak “ ”.
Untuk memperjelas tentang berbagai cara menyatakan himpunan, perhatikan tiga contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama. a. Himpunan semua bilangan genap positif.
b. { 2, 4, 6, 8, … }
c. { xx = 2 n , n adalah bilangan asli}.
mungkin didaftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.
Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya anggota himpunan tersebut. Himpunan dikatakan berhingga apabila mempunyai m
anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu disebut himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf dalam alfabet Latin, himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua bilangan asli kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan tak berhingga. Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal himpunan H. Notasi tersebut adakalanya ditulis H. Jadi apabila H = {a, i, u, e,o} maka n(H) = 5, dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.
Misalkan himpunan I = { x x [0, 1] } dan A adalah himpunan semua bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak berhingga. Dalam hal ini n(I) = dan juga n(A) = . Himpunan A merupakan himpunan terhitung seperti ini disebut sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { } atau simbol . Tanda merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contoh-contoh himpunan kosong adalah:
a. Himpunan semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter. b. Himpunan semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
e. { x x x }
misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan sebagainya.
o Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada
didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar.
1. Ciri-ciri Himpunan
a. Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan
b. Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan
c. Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan. 2. Lambang Himpunan
Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ). Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal. Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan prima kurang dari 20}.
3. Menyatakan Himpunan
Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan:
a. Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu
persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)
b. Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan
dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x/x adalah bilangan genap}
c. Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan
suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat}
4. Anggota Himpunan
Anggota himpuna disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan menggunakan simbol “E”. Sedang kan yang bukan dilambangkan dengan E coret. Contohnya salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.
3. JENIS-JENIS HIMPUNAN
1. himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya
2. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak
hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
3. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan
kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.
4. Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b}
A=B
5. Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B
6. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan
semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S. contohnya:
9. Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan
himpunan lain. Contohnya A = {d,e,f} B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B 10. bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
contohnya A = {a,b,c,d}
e bukan anggota himpunan A.
11. Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan
seterusnya contoh
12. Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu
dan seterusnya. Contohnya D = {1,2,3,4,}
13. himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu
genap atau habis dibagi dua contohnya
G = {2,4,6,8,10}
14. himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
contohnya K = {1,3,5,7}
15. himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang
memiliki dua faktor contohnya
Y = {2,3,,5,7}
16. himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya
dipangkatkan dua. Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)
DIAGRAM VENN
Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta. Ciri dari diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta. Contohnya:
Buat diagram venn jika S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = { 1, 4, 6, 7 }
OPERASI pada HIMPUNAN
1. Irisan
Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.
Contohnya: Irisan himpunan A dan B
A
n
B = { x | x A dan B } Jika A = { 2, 7, 9, 11 } Jika B = { 1, 5, 9, 10}Atau
2. Gabungan
Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya.
Contohnya: A
u
B = { x A, atau x B} Jika A = { 5, 7, 9, 11 )Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }
A
u
B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 )3. Sifat-sifat operasi himpuna
a. Komutati
1) Irisan, => Berlaku: A
n
B = Bn
A2) Gabungan, => Berlaku: A
u
B = Bu
Ab. Asosiatif
2) Gabungan tiga himpunan, => (A
u
B)u
C = Au
( Bu
C)c. Distributif
1) Irisan, => A
n
( Bu
C ) = (An
B)u
(An
C)2) Gabungan, => A
u
(Bn
C) = (Au
B)n
(Au
C)2.2
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Pengertian Barisan Bilangan dan Deret.
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku diberi nama sesuai dengan nomor urutnya.
Secara umum barisan bilangan dapat ditulis:
U1, U2, U3, ………, Un. dengan Un sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n, .
Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis : U1 + U2 + U3 + ……+ Un.
A. BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan
a. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – Un – 1
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Apabila suku-suku di dalam barisan aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... + (a + (n – 1)b).
Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :
karena Un = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :
Contoh soal :
Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + ….. Jawab :
S20 = 10( 6 + 19.2)
= 10 ( 6 + 38) = 10 ( 44 } = 440
1. BARISAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ..., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , ...arn-1
U1, U2, U3,...,Un
Suku ke n Un = arn-1 fungsi eksponen (dalam n)
2. DERET GEOMETRI
a + ar² + ... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal r = rasio
n = banyak suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan:
a. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
b. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk
memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ...
a+ar2 +ar4+ ... S
ganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ... S
genap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ..., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
Mn =M0 + P/100 (n) M0 Mn = {1 + P/100 (n) } M0
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, ..., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
= (1 + P/100)² M0
Mn = {1 + P/100}n M 0
M0 = Modal awal
Mn = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman,
perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).
2.3 BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Oleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)
1.PANGKAT BILANGAN POSITIF
Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real. Selanjutnya akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ?
Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an yaitu:
An = a x a x a x ....x a, n buah faktor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka a1 = a
Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
= (a)mn
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif . Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif.
Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a € R, maka ao = 1 (oo tidak didefinisikan)
Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian. ao . an = ao+n = an bagilah kedua ruas dengan an sehingga diperoleh: a o+n = a n
an an
ao . a n = a n
ao (1) = 1
ao = 1
Pengertian pangkat bulat Positif
Jika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a-n . 1 = 1 dan a-n = 1
a-n an
dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif dan nol yaitu sebagai berikut:
an . a-n = an+(-n)
an . a-n = ao
a
n. a
-n= 1
bagilah kedua ruas dengan a
n, sehingga diperoleh:
Jadi 2 . 3-2 ≠ 1
2.32
b. 1 = 1 2-1 + 4-1 = ½ + ¼
2 + 4 6 dan = ¾
Jadi . 1 ≠ 2-1 + 4-1
2 + 4
RANGKUMAN
1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an yaitu: an = a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.
a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.
2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif; Jika m, n € A dan a € R, maka: am x an = a m+n
am : an = am-n, m>n
(am)n = amxn
(a x b)n = an x bn
3. Untuk setiap a € bilangan real, maka a0 = 1
00 tidak didefinisikan
4. Jika a € bilangan real, a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka
a
-n. 1 = 1 dan a
-n= 1
a
-na
nTES KEGIATAN
Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-soal di bawah ini !
1. Dengan menggunakan sifat am . an = a m+ n, sederhanakanlah bentuk berikut !
a. (0,25)3 (0,25)4 b. 3x y4 x2 y6 c. (2x2) (3x3) (4x4)
2. Dengan menggunakan sifat (am)n = amn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡
a. (23)4 b. z3 (z2)3 c. 3x2 (x2)2 (x3)3
3. Dengan menggunakan sifat ( a . b)n = an . bn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
a. (2 . 5)4 b. (4 a2)3 c. (m3 . n4)5
4. Dengan menggunakan sifat ( a )n = a n
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
a. ( 3/2)4 b. (x2/y3)2 c. (ab2/c3d3)2
5. Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah ! a. am x an = a m+n
b. (am)n = amxn
( a )n = a n
c. b bn
6. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif ! a. (x . y-5)(x . y)-5 b. (2ab2)-3 (3a2b)-2
7. Dengan menggunakan sifat am : an = am-n sederhanakanlah bentuk berikut:
a. a -3 b. 4p -2 q -5
a-5 2p-7 q-2
KUNCI JAWABAN
1. a. (0,25)7 b. 3x3y10 c. 12x9
2. a. 212 b. z9 c. 3x15
3. a. 24.54 b. 64a6 c. m15 n20
4. a. 81/16 b. x 4 c. a 2 . b 4
Y6 c6 d6
5. Kebijakan guru
6. a. ___1___ b. 1 X4 . y10 72 a6 b8
Q3
BENTUK AKAR
Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta operasinya. Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.
Pengertian bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk desimal yang berakhir/berulang secara periodik.
Contoh:
a. 6 = 12 b. -90 . 2 3
c. 2 5 = ¼ d. 0,4 = 4 100 10 e. √4 = 2 = 2/1
A.
Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-sifatnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut !22 = 4 maka 2 = √4
23 = 8 maka 2 = 3√8
24 = 16 maka 2 = 4√16
25 = 32 maka 2 = 5√32
Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan a1/n = n√a
Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat. Mengakibatkan sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan atau bentuk akar. Jika a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari atau sama dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut:
Bentuk Pangkat Pecahan Bentuk Akar
1. a1/m x a1/n = a1/m + 1/n = a n+m ↔ m√a x n√a = mn√an + m
mn
2. a1/m : a1/n = a1/m-1/n = an-m ↔ m√a : n√a = mn√an - m
mn
3. (a1/m)1/n = a1/m x 1/n = a1/mn ↔ n√a . m√a = mn√a
5. (a/b)1/n = a 1/n
b1/n ↔ n√a/b = n √a
n√b
Sifat-sifat yang lain:
6. a-1/n = ( a1/n)-1 = 1 = 1
a1/n n√a
7. am/n = (a1/n )m = ( n√a)m atau
am/n = (am)1/n = n√am
8. ( √x )2 = x
9. √x y = √x . √y 10. √x/y = √x/√y
Contoh;
1. Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk berikut kemudian nyatakan ke dalam bentuk akar ¡
a. a½ x a⅓ b. ( a ⅔)¾
\Jawab: Jawab:
a½ x a⅓ = a½+ ⅓ = a7/12 = 12√a7 ( a ⅔)¾ = a⅔ x ¾ = a½ = √a
c a ¾
a⅔
Jawab: a ¾
a⅔ = a¾ - ⅔ = a1/12 = 12√a
¼
a3 b-2
__________ a-1 b2
Jawab
¼
a3 b-2
__________ =
(a
3 – (-1)b
-2-2)
¼= (a
4b
-4)
¼= ab
-1= a/b
a-1 b2
B. Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat.
Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat
NO. Sifat-sifat Bukti Contoh
1. (√x)2 = x √x = a ↔ x = a2
Maka (√x)2 = (a)2 = x
a. (√5)2 = 5
b. (√2a)2 = 2a
c. (√x + 1)2 = x + 2√x + 1
2. √xy = √x . √y √x = a ↔ x = a2
dan
√y = b ↔ y = b2, maka
ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu termasuk bilangan real.
a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan) Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut: 1. a√c + b√c = (a+b)√c
Contoh
Sederhanakanlah !
1. √50 x √2 2. √32 x √12,5 3. √½ x √50 4. √2 x √5 x √10 Jawab
1. √50 x √2 = √(50 x 2) = √100 = 10 2. √32 x √12,5 = √(32 x 12,5) = √400 = 20
3. √½ x √50 = √(½ x 50) = √25 = 5 4. √2 x √5 x √10 = √(2 x 5 x 10) = √100 = 10
3. Pembagian Bentuk Akar
Operasi Pembagian Bentuk AkarJika x , y anggota bilangan real positif, maka √x/y = √x √y Contoh
Sederhanakanlah !
1. √108 2. √112,5 3. √12a 2 4. √xy 4
√27 √12,5 √3a2 √x3y2
Jawab
1. √108 2. √112,5 3. √12a 2 4. √xy 4
√27 √12,5 √3a2 √x3y2
= √108/27 = √(112,5/12,5) = √12/3 a2 = √y2/x2
= √4 = √9 = √4 a2 = √y 2 = y
= 2 = 3 = 2ª √x2 x
D. Merasionalkan Penyebut
Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut. Untuk memudahkan bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:
1. Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).
√8 + √2 √8 - √2 8 - 2 6 3
h. √6 + √2 . √6 + √2 = 6 + 2 = 10 = 5 √6 - √2 √6 + √2 6 - 2 4 2 Contoh 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah ini H G
E F Hitung panjang AG ¡
D C
A B (√7 - √2) cm
Jawab
AG adalah panjang diagonal ruang
AG = a √3 = (√7 - √2) √3 = √21 - √6 Jadi panjang AG = (√21 - √6) cm
RANGKUMAN
1. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.
Misal √2, √3, √5 adalah bentuk akar dan √4, √9, √16 adalah bukan bentuk akar.
2. Oprasi Aljabar pada bentuk akar
a. a√c + b√c = (a+b)√c b. a√c - b√c = (a-b)√c c. b n√ a x d n√ c = bd n √ac
d. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c
e. 2√3 + 3 2√3 - 3
4. Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm dan luas segitiga tersebut adalah 1,00 cm2 . Tentukan panjang sisi lainnya!
5. Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm. Tentukan panjang diagonal ruang balok tersebut!
Kunci
1. a. 4√3 b. 1 √3 5
2. a. √3 b. 36√2
3. a. 9 b. √3 - √2 c. √7 - √2 d. 7 + 2√6 e. 7 + 4√3
4. (√5 - √3) cm 5. 3√14 cm.
2.4 LIMIT
02.00 | by Januar Ivan
Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini. Contoh: Perhatikan fungsi
untuk nilai x yang mendekati 1
X 0 0,9 0,95 0,98 … 1,0001 1,0005 1,05 1,1
Gambar grafiknya:
Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2
Teorema:
Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada
Sifat-Sifat Limit
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:
1. Substitusi langsung Contoh:
2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0) Contoh:
Ingat:
(a2 – b2) = (a – b)(a + b)
(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
4. Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi Sifat operasi dengan ∞:
Contoh:
Cara cepat!
→ Untuk bentuk pecahan:
Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas :
Contoh 1:
Contoh 2:
Contoh 3:
→ Untuk bentuk Contoh:
5. Limit trigonometri:
Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos2ax = sin2ax (dari sin2x + cos2x = 1)
Bilangan e didapat dari:
e = 2,718281828…
Rumus-rumus pengembangannya:
Kontinuitas
Suatu fungsi kontinu di x = a jika: 1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2.
Ilustrasi:
2.5 Turunan fungsi f ‘ (x)
Rumus-rumus Turunan : untuk a = konstanta
maka
maka
maka
jika U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi
maka
maka
maka
maka dinamakan aturan rantai
Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu, let’s cekidot …
Contoh dan pembahasan turunan fungsi:
Tentukan turunan pertama dari :
1.
Jawab :
2.
Jawab :
* nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi
* maka :
3.
Jawab :
* nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi
* maka :
4.
* kita misalkan
* maka :
5.
Jawab :
* kita misalkan dan
* lalu kita pakai ( aturan rantai )
Soal2
1. Fungsi f ditentukan oleh dan f ‘ adalah turunan pertama dari f. Maka nilai dari f ‘(1) = ….
a. b. c. d. e. jawab:
$
2. Turunan pertama fungsi adalah f ‘(x) = ….
a.
b.
c.
e. jawab:
6.Jika maka g ‘(2) = …. A. -30 B. -10
C. 30 D. 60 E. 90
Jawab :
* misal maka
* kita pakai aturan rantai sehingga :
7. Jika maka f ‘(x) = … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
* terdapat dua suku yang harus diturunkan, kita turunkan suku yang pertama secara langsung dan
suku yang kedua menggunakan rumus
* perhatikan suku kedua misalkan :
Maka
8. Turunan pertama dari adalah ….. A.
C.
D.
E.
Jawab :
* untuk model soal yang seperti ini kita kalikan pembilangnya sehingga menjadi bentuk
kuadrat, didapat baru kita gunakan
* misalkan
* maka
9. Diketahui maka = …. A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
* nyatakan y dalam bentuk pangkat menjadi
* nah…ingat kita pakai aturan rantai
10. Jika maka f ‘ (1) = … A. -4 B. -2
E.
eitttts…..tapi cara yang satu ini lebih simple…kita bisa pakai neh,cekidot… * ingat bahwa
* sehingga :
* maka :
Dengan hasil yang sama namun lebih cepat dalam pengerjaannya…silahkan pilih cara yang lebih disukai…
A . B. 2 C. D. E. Jawab : * perlu diingat bahwa :
* nah, baru kita misalkan
* fungsi menjadi baru pakai aturan rantai
15. Turunan pertama dari adalah f ’ (x) =……
A. - B. – C.
- D. - E.
Jawab :
* pengerjaannya hampir sama dengan soal no.4 kita misalkan terlebih dulu
* didapat kita pakai aturan rantai maka :
ups….saat kita cek di pilgan ternyata jawaban tersebut tidak ada pilihannya, so lanjut ke next step ….
* ingat bahwa
MATRIKS
1. Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan atau unsur yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris x banyak suatu
koloM dari suatu matriks disebut ordo matriks.
Dalam hal ini aij disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.
2.Beberapa Jenis Matriks
(i) Matriks Nol (0)
Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
(ii) Matriks bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
(iii) Matriks Bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
(iv) Matriks Diagonal
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol.
(v) Matriks Identitas
(vi) Matriks Segitiga Atas Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.
(vii) Matriks Segitiga Bawah
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol.
3.Operasi Matriks
a. Penjumlahan atau pengurangan matriks
Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B
b. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.
c. Perkalian Dua Matriks Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan).
Jika diketahui Matriks Amxn dan Bnxk maka :
4.Transpos Matrix
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan
kolom menjadi baris. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan ATatau At.
Sifat : (AT) T = A
5. Determinan Matriks
Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujur sangkar (banyaknya baris sama
Sifat-sifat determinan matriks:
6. Invers matriks
Bila maka invers dari A adalah :
Syarat ad-bc 0
Contoh :
Sifat-sifat :