Geometri Euclid Dan Non Euclid

KATA PENGANTAR  KATA PENGANTAR 

Puji dan syukur kita panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan Rahmat Puji dan syukur kita panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan Rahmat dan

dan KarKaruniunia-Nya-Nya,. Saya a,. Saya dapadapat t menymenyeleelesaisaikan kan tugtugas as yanyang g berberjudujudul l SeSejarjarah ah !e"m!e"metretri i N"nN"n Eu#lid dan Eu#lid$ ini. Makalah

Eu#lid dan Eu#lid$ ini. Makalah ini digunakan sebagai salah satu tugas ini digunakan sebagai salah satu tugas ujian akhir semester.ujian akhir semester. Saya juga menyadari bah%a dalam pembuatan tugas ini masih jauh dari kesempurnaan Saya juga menyadari bah%a dalam pembuatan tugas ini masih jauh dari kesempurnaan  baik

 baik dari dari isi isi materi materi maupun maupun #ara #ara penulisannya. penulisannya. Namun Namun demikian, demikian, saya saya telah telah berupaya berupaya dengandengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga tugas ini dapat selesai dengan tepat segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga tugas ini dapat selesai dengan tepat %aktu. &leh karena itu, saya dengan kerendahan hati akan menerima masukan dan usul yang %aktu. &leh karena itu, saya dengan kerendahan hati akan menerima masukan dan usul yang  berman'aat

 berman'aat untuk untuk penyempurnaan penyempurnaan makalah makalah ini. ini. (khirnya, (khirnya, saya saya berharap berharap sem"ga sem"ga makalah makalah iniini dapat berman'aat bagi seluruh pemba#a sekalian.

DAFTAR ISI DAFTAR ISI

SE)(R(* !E&METR+ N&N-E+/ /(N E+/ SE)(R(* !E&METR+ N&N-E+/ /(N E+/ (. (. PEN/(*PEN/(*(N (N ... - (T - (T(R 0E(K(N! ...(R 0E(K(N! ... 0. 0. PEM0(PEM0(*(S(N *(S(N ... - /E1EN+S+ !E&METR+ N&N-E+/ ... - /E1EN+S+ !E&METR+ N&N-E+/ ... - PERKE

- PERKEM0(N!(N M0(N!(N !E&METR+ !E&METR+ N&N-E+/ N&N-E+/ ... 2. Matematika%an (rab ... 2. Matematika%an (rab ... 3. Matematika%an Er"pa ... 3. Matematika%an Er"pa ... 4. Skema Perkembangan !e"metri N"n-Eu#lid ... 4. Skema Perkembangan !e"metri N"n-Eu#lid ... 5. /asar !e"metri N"n-Eu#lid ... 5. /asar !e"metri N"n-Eu#lid ... 6. Kelahiran !e"metri N"n-Eu#lid ... 6. Kelahiran !e"metri N"n-Eu#lid ... - !E&METR+ N&N-E+/ ... - !E&METR+ N&N-E+/ ... 2. !e"metri *iperb"lik ... 2. !e"metri *iperb"lik ... - !E&METR+ E+/ ... - !E&METR+ E+/ ... 2. Struktur !e"metri Eu#lid ... 2. Struktur !e"metri Eu#lid ... 3. Pengganti P"stulat Sejajar Eu#lid ... 3. Pengganti P"stulat Sejajar Eu#lid ... 4. Eki7alensi P"stulat Eu#lid /an Play'air ... 4. Eki7alensi P"stulat Eu#lid /an Play'air ... - PER(N P&ST(T

- PER(N P&ST(T SE)()(R E+/ ...SE)()(R E+/ ... ... - T&K&*-T&K&* /((M PERKEM0(N!(N E+/ !E&METR+ .. - T&K&*-T&K&* /((M PERKEM0(N!(N E+/ !E&METR+ ..

2. 0ukti Pr"#lus Tentang P"stulat Sejajar Eu#lid ... 2. 0ukti Pr"#lus Tentang P"stulat Sejajar Eu#lid ... 3. Per#"baan Sa##heri ntuk Mempertahankan P"stulat Eu#lid .... 3. Per#"baan Sa##heri ntuk Mempertahankan P"stulat Eu#lid .... . . KES+MKES+MP(N P(N ... /. /. S(R(N S(R(N ... BAB I BAB I

SEJARAH GEOMETRI NON EUCLID DAN EUCLID SEJARAH GEOMETRI NON EUCLID DAN EUCLID

A. PENDAHULUAN A. PENDAHULUAN LatarBelakang

LatarBelakang

!e"metri yang pertama-tama mun#ul sebagai suatu sistem dedukti' adalah

!e"metri yang pertama-tama mun#ul sebagai suatu sistem dedukti' adalah !e"metri dari!e"metri dari Eu#lides. Kira-kira tahun 448 SM, Eu#lides menulis buku sebanyak 24 buah. /alam bukunya Eu#lides. Kira-kira tahun 448 SM, Eu#lides menulis buku sebanyak 24 buah. /alam bukunya yang pertama Eu#lid menjelaskan mengen

yang pertama Eu#lid menjelaskan mengenai de'inisi, p"stulat, aksi"ma dan dalil 9M"eharti,ai de'inisi, p"stulat, aksi"ma dan dalil 9M"eharti, 2:;<= 2.:>. Salah satu #abang dari Matematika adalah !e"metri. !e"metri berasal dari bahasa 2:;<= 2.:>. Salah satu #abang dari Matematika adalah !e"metri. !e"metri berasal dari bahasa Yu

Yunani yaitu ge" yang nani yaitu ge" yang artinya bumi dan metr" yang artinya mengukuartinya bumi dan metr" yang artinya mengukur. !e"metri adalah #abangr. !e"metri adalah #abang Matematika yang pertama kali diperkenalkan "leh Thales 9<35-65? SM> yang berkenaan

Matematika yang pertama kali diperkenalkan "leh Thales 9<35-65? SM> yang berkenaan dengan relasi ruang. /ari pengalaman, atau intuisi, kita men#irikan ruang dengan kualitas dengan relasi ruang. /ari pengalaman, atau intuisi, kita men#irikan ruang dengan kualitas 'undamental tertentu, yang disebut aksi"ma dalam ge"

'undamental tertentu, yang disebut aksi"ma dalam ge" metri. (metri. (ksi"ma demikian tidak berlakuksi"ma demikian tidak berlaku terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan de'inisi matematika untuk titik, terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan de'inisi matematika untuk titik, garis lurus, kur7a, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan l"gis.

garis lurus, kur7a, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan l"gis.

 Namun !e"merti Eu#lid ini memiliki kelemahan, salah satu kelemahanya ada pada p"stulat  Namun !e"merti Eu#lid ini memiliki kelemahan, salah satu kelemahanya ada pada p"stulat kelima dari Eu#lid 3 yang terkenal dengan P"stulat. Eu#lid dengan buku Elemen-nya adalah kelima dari Eu#lid 3 yang terkenal dengan P"stulat. Eu#lid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi hasil karya klasik matematika dari jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi  buku teks matematika tertua yang selalu digunakan dunia.!e"metri adalah struktur matematika  buku teks matematika tertua yang selalu digunakan dunia.!e"metri adalah struktur matematika

yang membi#arakan unsur dan

yang membi#arakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, danrelasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar ge"metri. 0erdasarkan unsur-unsur ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar ge"metri. 0erdasarkan unsur-unsur inilah, dide'inisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru inilah, dide'inisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru sebelumnya./alam ge"metri didapat juga si'at-si'at p"k"k, yaitu si'at-si'at pertama yang tidak sebelumnya./alam ge"metri didapat juga si'at-si'at p"k"k, yaitu si'at-si'at pertama yang tidak  berdasarkan si'at-si'at yang mendahuluinya yaitu aksi"ma dan p"sulat. (

 berdasarkan si'at-si'at yang mendahuluinya yaitu aksi"ma dan p"sulat. (ksi"ma adalah suatuksi"ma adalah suatu  pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian.berdasarkan si'at p"k"k  pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian.berdasarkan si'at p"k"k

tersebut dapat diturunkan si'at-si'at yang disebut dengan dalil. /alil tersebut dapat juga tersebut dapat diturunkan si'at-si'at yang disebut dengan dalil. /alil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya. /alil merupakan sebuah pernyataan yang dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya. /alil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian.

B. PEMBAHASAN

1. De!n!"! Ge#$etr! N#n E%&l!'

 N"n-Eu#lidean ge"metri adalah salah satu dari dua ge"metri tertentu yang, l"nggar berbi#ara, diper"leh dengan meniadakan Eu#lidean paralel p"stulat , yaitu hiperb"lik dan ge"metri eliptik . +ni adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa +nggris umum. (da banyak sekali ge"metri yang tidak ge"metri Eu#lidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai n"n-Eu#lidean ge"metri.

ParallelatauP"stulatKesejajaranyangterlalupanjang sehinggamerisaukanpara matematika%an. P"stulat sejajar Eu#lid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah k"ntr"7ersi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut = )ika dua garis dibagi "leh garis trans7ersal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interi"rnya 9sudut dalam> pada sisi trans7ersal adalah kurang dari 2;8 ° , garis tersebut akan bertemu pada sisi trans7ersal tersebut Sehingga

 beberapa matematika%anmenganggapbah%a p"stulat

kelimaEu#lidbukanp"stulatdandapatdibuktikandengankeempatp"stulatyang

lain.sahauntukmembuktikanp"stulat kelima iniberlangsung sejakEu#lidmasih hidupsampaikira-kiratahun2;38.T"k"hyang berusahamembuktikaniniantaralain Pr"#lusdari(leksandria9528-5;6>!ir"lam"Sa##heridari+talia92<8?-2?44>, Karl1riedri#h !auss dari )erman92???-2;66>,@"l'gang 91arkas>0"lyai dari *"ngaria 92??6-2;6<>,dananaknyaYan"s0"lyai92;83- 2;8<8> danjugaNi#"lai +7an"7iteh"ba#he7sky92?:4A  2;6<> 9M"eharti, 2:;<= 2.24>.

Menurut M"eharti 92:;<= 2.23>, p"stulatkesejajaran kelima Eu#lid adalahsebagaiberikut=( J!ka "%at%gar!" l%r%"$e$#t#ng '%agar!"l%r%" 'an$e$)%at "%'%t*"%'%t 'ala$ "e+!,ak k%rang'ar!'%a"%'%t "!k%*

Ga$)ar1.Il%"tra"! P#"t%lat ke L!$a

Padagambar2garis#mem"t"nggarisadangarisbyangmengakibatkan

sudut2dansudut3kurang dari2;8B,garisadangarisbakanbep"t"nganpadapihak  sudutyangkurangdari 2;8B,yangpadagambaradalah perpanjanganyang kekanan.

P"stulatkelima inimasihsukar diterima dandipahamimaka beberapa matematika%an  berusahauntukmembuktikan danmenggantikannyadengan p"stulat yang ekui7alen.Salahsatup"stulatyang paling terkenaldansederhanaadalah (ksi"ma Play'air"leh )"hnPlay'air 9Pren"%itC, 2:<6=36> yang bunyinya=(Han/aa'a"at%gar!""eaar 0 parallel  +a'a gar!" /ang $elal%! t!t!k )%kan+a'a gar!" ter"e)%t2

Matematika%anlain,yaituPr"#lusyangmenulisk"mentardariTheElementsyang

menyebutkanusahapembuktianuntukmenyimpulkandarip"stulatkelima. Pr"#lus kemudian memberikan bukti s endiri, dan memberikan p "stulat yang ekui7alendenganp"stulatkesejajaran)ikasuatugarislurusmem"t"ngsalahsatu dari duagaris  parallel iajugaakan mem"t"ngyang lain, dangaris-garis lurusyang  paralleldengansuatugarislurusyang sama,adalahparallelsatusamalain$. Sedangkan )"hn@allis menggantikanp"stulatkesejajaranEu#liddenganp"stulat @allis.)"hn @allismenyerahmen#"bamembuktikandalilparaleldalam!e"metri

 Netral.Sebaliknya,iamengusulkan sebuahp"stulatbaru,yang iamerasalebihmasuk akal daripadap"stulat kelima Eu#lid 9Pren"%itC, 2:<6=3;>.

!e"metriN"nEu#lidtimbulkarenapara matematika%anberusaha untuk  membuktikanp"stulatkelima dariEu#lides. Sehingga!e"metriN"n Eu#lidmasih  berdasarkanempatp"stulatpertamadariEu#lidesdanhanya berbeda pada5p"stulat kelimanya.(daduama#am!e"metriN"nEu#lidyang pertamaadalahditemukan hampirbersamaan"leh4t"k"hberlainandanmasing-masing bekerjasendiri-sendiri. T"k"h-t"k"htersebutadalahKarl1riedri#h!auss dari )erman,Y"n"s 0"lyaidari *"ngaria,danNi#"lai+7an"7it#h"ba#he7sky dariRusia,!e"metriinidisebut !e"metri*iperb"likatau!e"metri"ba#he7sky.!e"metriN"n Eu#lidyangkedua adalah!e"metri yang diketemukan"leh !.1.0. 0ernhardRiemann dari )erman, !e"metri ini disebut !e"metriEliptik atau !e"metri Riemann 9M"eharti, 2:;<= 2.38>

.3. Perke$)angan Ge#$etr! N#n E%&l!' Mate$at!ka4an Ara)

0angsa (rab mengembangkan keilmuan !e"metri yang bersumber dari +ndia dan Yunani di bidang matematika. Mereka dikenal sangat luar biasa dalam mengungkap permasalahan matematika terutama yang berkaitan dengan Trig"n"metri dan juga beberapa masalah yang tak  terpe#ahkan dalam hal te"ri kesejajaran. Salah satunya, yang #ukup p"puler adalah Omar   Khayyam 9Nishapur A sekarang +ran, 285; A 2242>. &mar Khayyam men#"ba untuk 

membuktikan p"stulat kesejajaran Eu#lid dengan hanya meman'aatkan p"stulat yang pertama dari empat p"stulat lainnya yang dikemukakan "leh Eu#lid. /i mana, dengan menggunakan  p"stulat-p"stulat tersebut ia memberikan kejelasan mengenai te"rema kesejajaran Eu#lid  berdasarkan padabirectangular quadrilateral .

Satu t"k"h matematika%an (rab lainnya yang juga berk"ntribusi terhadap perkembangan keilmuan bidang !e"metry adalah Nasîr Eddîn 92382-23?5>. Salah satu hip"tesisnya yang  berkenaan dengan P"stulat Ke-6 Eu#lid adalah Dif two straight lines r and s are the one  perpendicular and the other oblique to the segment AB, the perpendiculars drawn from s upon r 

are less than AB on the side on which s maes an acute angle with AB, and greater on the side on which s maes an obtuse angle with AB!" *ip"tesisnya ini, menuntunnya untuk  menyimpulkan bah%a jumlah sudut dari suatu segitiga adalah sama dengan dua kali sudut siku. /an segitiga siku-siku merupakan setengah bagian dari suatu segiempat yang Ddip"t"ng mengikuti diag"nalnya.

Mate$at!ka4an Er#+a

0eberapa matematika%an Er"pa kemudian juga men#"ba membuktikan kebenaran P"stulat Ke-6 Eu#lid, yang beberapa diantaranya adalah=

2. #ohn $allis 92<2<-2?84>, se"rang pr"'es"r dari &F'"rd ni7ersity.

+a membuat pembuktian terhadap P"stulat Ke-6 Eu#lid dengan berdasarkan pada aksi"ma Dto e%ery figure there e&ists a similiar figure of arbitrary magnitude.

+a men#"ba untuk memun#ulkan m"del pembuktian baru terhadap hip"tesis Eu#lid dengan  berlandaskan pada te"rema Dthe line equidistant from a straight line is straight line! . /alam  banyak hal, ternyata apa yang dihasilkannya memiliki kemiripan dengan karya Nasîr Eddîn" 4. #onh )layfair  92?5;-2;2:>

 )ostulat )layfair . ntuk suatu garis l dan setiap titik  P  yang tidak terletak pada garis l _{, terdapat suatu garis} m   _{yang mele%ati}  P _{dan sejajar dengan} l _{. /engan}  p"stulatnya, Play'air men#"ba untuk mengk"nstruksi p"stulat kesejajaran yang dikemukakan

"leh Eu#lid agar lebih mudah dipahami. 5. Adrien *arie +egendre 92?63-2;44>

+a tidak sepenuhnya mengakui kebenaran hip"tesis(accheri, terutama yang berkenaan dengan sudut tumpul 9obtuse angle>. +a membuktikan bah%a D umlah sudut dari suatu segitiga adalah urang dari atau sama dengan dua ali sudut siu! . Pada te"rema ke-3nya, +egendre mengungkapkan bah%a D ia umlah sudut pada suatu segitiga urang dari atau sama dengan dua ali sudut siu dalam suatu segitiga maa ianya uga aan berlau sama pada segitiga- segitiga lainnya! 

Play'air dan egendre mengemukakan suatu pernyataan yang eGui7alen dengan P"stulat Ke-6 Eu#lid, yaitu =

.#umlah sudut-sudut pada suatu segitiga adalah sama den gan dua ali sudut siu!  9(drien Marie egendre, 2?63-2;44>

 Asioma Keseaaran / .melalui suatu titi yang tida berada pada suatu garis yang diberian, hanya aan terdapat satu garis seaar! 

9)"nh Play'air, 2?5;-2;2:>

Para matematika%an Er"pa tersebut menggunakan pernyataan yang eGui7alen dengan  p"stulat ke-6 Eu#lid dalam pembuktian te"ri-te"ri ge"metri mereka, %alaupun kemudian diketahui bah%asannya ternyata pembuktian mereka adalah mengandung suatu k"ntradiksi tertentu.

Saccheri  (1667-1773)

Lambert  (1728-1777)Schweibart  (1780-1859)Taurinus  (1794-1874)

Gauss  (1777-1855)

W Bolyai  (1775-1856)M Barlels  (1769-1836)Riemann  (1826-1866)

 J Bolyai  (1802-1860)Lobatchevsky (1793-1856)

Geometri

Hiperbolic

Geometri Elliptic

Riemann  (1826-1866)

Beltrami  (1835-1900)

Klein (1849-1925)

Selain Play'air dan egendre, kami belum menemukan re'erensi yang se#ara spesi'ik  mengungkap karya dari )"hn @allis serta . S. la7i" yang se#ara spesi'ik terkait dengan  perkembangan keilmuan ge"metri

Ske$a Perke$)angan Ge#$etr! N#n E%&l!'

Da"ar Ge#$etr! N#n E%&l!'

!ir"lam" Sa##heri 9San Rem", 2<<?-2?44>. +a adalah se"rang pr"'es"r di )a%ia 0ni%ersity. +a-lah yang mempublikasikan keberadaan Euclides ab Omni Nae%o 1indicatus dan

kemudian men#"ba untuk membuktikan P"stulat Ke-6 Eu#lid. Sa##heri menggunakan Absurd   *ethod  dalam pengk"nstruksian P"stulat Ke-6 Eu#lid. *asil temuannya kemudian menjadi dasar   bagi perkembangan !e"metri N"n-Eu#lid.

Ga$)ar 5. Sa&&,er! 6%a'r!lateral

 2efinition. Sa##heri Huadrilateral adalah suatu segi empat   PRQS   di mana ∠ PRS dan ∠QSR  _{merupakan sudut siku-siku dengan}  PR=QS

. Segmen 9ruas garis>  RS  disebut

sebagai alas dan  PQ  pun#ak.

/ari gambar3uadrilateral  bentukan Sa##heri, paling tidak ia melihat terdapat tiga kemungkinan yang akan terjadi =

• Sudut-sudut pun#ak 9 ∠ RPQ   dan ∠SQP > pada quadrilateral tersebutbesarnya lebih dari sudut siku

• Sudut-sudut pun#ak 9 ∠ RPQ   dan ∠SQP > pada quadrilateral tersebut besarnya sama dengan sudut siku

• Sudut-sudut pun#ak 9 ∠ RPQ   dan ∠SQP > pada quadrilateral tersebut besarnya kurang dari sudut siku

@alaupun sebenarnya beberapa ide dasar Sa##heri telah terlebih dahulu diajukan "leh se"rang (hli Matematika Persia pada abad ke-22, yaitu &mar Khayyam dalam bukuOmar Khayyam!s  2iscussion of 2ifficulties in Euclid , tetap saja Sa##heri dianggap sebagai peletak p"ndasi a%al  perkembangan ge"metri n"n Eu#lid.

Kela,!ran Ge#$etr! N#n E%&l!'

R

Selama sekian abad lamanya, para ahli matematika pada akhir abad 2; hingga a%al abad 2:, beberapa dari para matematika%an men#"ba menja%ab pertanyaan tersebut. Tapi apa yang kemudian mereka hasilkan ternyata tidak #ukup memuaskan. Namun beberapa diantaranya ternyata berhasil membuat kemajuan, mereka adalah =

 4erdinand Karl (chweiart 56789-68:;<. +a yang kemudian membagi keilmuan !e"metri ke dalam dua kutub yaitu !e"metri eu#lid dan !e"metri yang men"lak kebenaran P"stulat Ke-6 Eu#lid 9atau !e"metri N"n-Eu#lid>. 4ran= Adolf Taurinus 567>8-677;<. +a adalah sepupu dari S#h%eikart, yang se#ara "t"matis juga berperan sebagai rekan kerja S#h%eikart. #ohann  ?einrich +ambert 567>8-677;<. +a yang mengajukan k"nsep !e"metri pada b"la nyata dan

radius tak berhingga dari sebuah b"la.

Para ahli matematika dunia sadar bah%a P"stulat Ke-6 Eu#lid tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan aksi"ma-aksi"ma yang terdapat pada !e"metri Eu#lid. Terdapat banyak  'akta yang mengindikasikan pen"lakan ini. pada %aktu yang hampir bersamaan, tiga "rang matematika%an ternyata berhasil menemukan s"lusi dari perdebatan panjang mengenai keberadaan P"stulat Ke-6 Eu#lid. Mereka adalah =

• K arl 4riedrich @auss di )erman 90runs%i#k 2??? A !"tinga 2;66>

•  Nicolai %ano%itsch +obatche%si di Rusia 9N"7g"r"r"d, sekarang !"rki, 2?:3-2;6<> •  #nos Bolyai di *ungaria 9K"l"CF7ar, sekarang Nap"#a Rumania, 2;83-2;<8>

5. Ge#$etr! N#nE%&l!' 1. Ge#$etr! H!+er)#l!k 

Padakajian!e"metri*iperb"likini"bjek-"bjekkajianyayangberupatitik,garis,bidang dansegmentidaksamadengantitik,garis,bidang dansegmenpada !e"metri Parab"lik. Pada!e"metri *iperb"lik +ni bidangdirepresentasikan "leh sebuah lingkaran & 9Pren"%itC,2:<6= :2>.

0erikut ini adalah tabel representasi untuk !e"metri *iperb"lik. Ta)el 1. Re+re"enta"! Ge#$etr!H!+er)#l!k  Ge#$etr! H!+er)#l!k Re+re"enta"! Ge#$etr!E%&l!'

Titik Titik=Titik dalam lingkaran

!aris Penghubungterbukalingkaran

0idang 0agian dalamlingkaran

Segmen Segmen= Segmen penghubungduatitik  

P#"t%latke"eaaranH!+er)#l!k 0Pren"%itC, 2:<6= 65

ntuksuatutitikdansuatugarisyangtidakmelaluititiktersebutterdapatduagaris yangmelalui titik tersebutyangsejajardengangaris pertama.

2. )umlah besar sudut suatu segitiga di dalam!e"metri *iperb"lik  Te#re$a 3.10Te#re$a"%'%t l%ar 9Pren"%itC,2:<6= 33>

Sudut luar segitiga akan lebih besar daripada sudut interi"r 9dalam> yang tidak   bersisian dengan sudut tersebut.

Ga$)ar7. S%'%t l%ar "eg!t!ga

B%kt! 8

Misalkan I

  

adalah sembarang segitiga, dan misalkan  2 merupakan  perpanjangan dari

  

 melalui' . Pertama akan ditunjukkan bah%a

∠

 lebih besar 

dari

∠

. Misalkan  E merupakan titik tengah , dan misalkan

  

  merupakan  perpanjangan garis yang melalui E hingga 4 , maka

 

J

 

,

 

J

 

dan

∠

J

∠ 

 9sudut bert"lak belakang sama besar>. )adi I

 

≅I

 

9

 

.

 

.

 

>, dan

∠ 

J

∠ 

9bagian segitiga k"ngruen sama besar>. Karena

∠



∠ 

 9keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya>, sehingga dapat disimpulkan

∠



∠ 

 J



∠ (.

ntuk menunjukkan bah%a

∠



∠

, perpanjang

  

  melalui ' hingga ? , yang membentuk

∠ 



∠

, dengan menggunakan pr"sedur bagian pertama  pembuktian= misalkan * merupakan titik tengah , perpanjang

  

 melalui * , dan

lain-lain. ntuk melengkapi bukti, perhatikan bah%a

∠ 

  dan

∠

 merupakan sudut  bert"lak belakang sehingga sudut tersebut sama besar.

Le$$a 3.10Pren"%itC, 2:<6= 6?

)umlahbesarduasudutsuatusegitigaadalahkurangdariatausamadengansudut luarnya.

Ga$)ar9. J%$la, )e"ar '%a "%'%t "%at% "eg!t!ga B%kt!8

Menurut Te"rema Sudut Eksteri"r m∠(/  m∠(0 dan m∠(/ m∠0(. 0erikutnya, perhatikan bah%a

m ∠ (/ L m ∠ (0 J 2;8 m ∠ (/ J 2;8 - m∠ (0

2;8 - m ∠ (0  m ∠ (0 dan 2;8 - m∠ (0  m ∠ 0( 2;8  m∠ (0 L m ∠ (0 dan 2;8  m∠ (0 L m∠ 0(

/engan #ara yang anal"g, dapat diper"leh m∠ 0( L m ∠ (0  2;8.

Le$$a 3.3 0Pren"%itC, 2:<6= 6;

Terdapat garis l, sebuah titik P yang tidak berada digaris l, dan titik H berada digaris l. Misal diberikan garis . sebagai sisinya, maka ada suatu titik R di l, pada sisi

 

  yang diberikan, sedemikian sehingga ∠PRH lebih ke#il atau kurang dari sudut

yang telah ditentukan, seperti yang terdapat pada gambar diba%ah ini.

Ga$)ar :. S%'%t terke&!l +a'a "eg!t!ga

B%kt!8

Misal O yaitu sudut yang ditentukan 9berapapun ukuran sudutnya>, perhatikan  pada gambar di atas yang terdapat titik R pada garis l, yang terbentuk dari sisi PH,

sedemikian sehingga ∠PRH O. Pertama dibuat langkah-langkah untuk mendapatkan  barisan sudut.

∠P

 

2



2∠P

 

3



3.

Setiap sudut yang ditentukan tidak lebih besar dari setengahnya yaitu dari hasil yang telah didapat.

Ga$)ar ;. S%'%t*"%'%t terke&!l +a'a "eg!t!ga

Misal R 2 adalah titik pada garis l pada sisi PH sehingga HR 2 J PH 9gambar 34>,

maka IPHR 2 sama kaki, dan∠HP

 

2 J∠PR 2H J b2

Misal b adalah sudut luar IPHR 2 pada H, berdasar lemma 2

 b2 L b2 J 3b2 Q b

sehingga b2 Q  b 92>

Sekarang dibentuk sudut baru dengan langkah yang sama. Perpanjangan HR 2

melalui R 2 dan R 3 sehingga R 2R 3 J PR 2. /igambar PR 3, kemudian IP

 

2R 3 sama kaki

dan

∠

2P

 

3 J ∠PR 3R 2 J ∠PR 3H J b3.

/engan lemma 2 b3 L b3 J 3b3 Q b2

Sehingga b3 Q  b2

/engan persamaan 92> didapat  b2 Q 3 b.

dengan mengulangi pr"ses pembagian dua n, sehingga didapat titik R ndi , pda sisi

PH, sehingga bn J∠PR nH Q n b.

*asilnya nilai n sangat besar n _{b  O. kemudian∠PR} 

nH Q O. Sehingga te"rema yang

 berlaku adalah R JR n.

/ari kedua lemma yang disampaikan sebelumnya dapat diturunkan te"rema berikut ini.

Te#re$a 3.3 0Pren"%itC, 2:<6= 6:

Ga$)ar <. Seg!t!ga 'engan %$la, "%'%tn/a k%rang 'ar! 1<=>

B%kt!8

0uat garis l dan itik P tidak pada l. /igambar garis m melalui P sejajar l, dengan #ara biasa.

 

tegaklurus terhadap l pada H dan m tegaklurus terhadap

   pada P.

Menurut p"stulat kesejajaran *iperb"lik, ada garis selain m mele%ati P sejajar l.

Misal garis tersebut adalah n, sehingga sudut yang dibentuk "leh garis n dan   besarnya harus kurang dari :8B. Y titik pada garis m, dan  titik pada garis n, terdapat O J

∠PY, maka∠HP J :8B - O.

/engan menggunakan emma 3.3 buat titik R pada l, sedemikian sehingga∠PRH  O. terbentuk IPHR. m∠PHR J :8B m∠HRP  O m∠RPH  m∠PH J :8B - O /ijumlahkan diper"leh m∠PHR L m∠HRP L m∠RPH  :8B L O L :8B - O J 2;8B )adi I PHR memiliki jumlah sudut kurang dari 2;8B.

Seg!e$+at +a'a Ge#$etr! H!+er)#l!k

/ari te"rema 3.3 di atas mengakibatkan adanya dua #"r"llary untuk segiempat sebagai  berikut.

C#r#llar/ 3.3 0Pren"%itC, 2:<6= <2

)umlah besar sudut-sudut dari segiempat kurang dari 4<8B. B%kt!8

Ga$)ar ?. Seg!e$+at /ang %$la, )e"ar "%'%tn/a k%rang 'ar! 5:=>

Segiempat (0/ pada gambar 36 diatas, jika dibuat garis yang menghubungkan titik 0 dan / maka akan terbentuk dua segitiga, segitiga + dan segitiga ++, berdasar  te"rema 3.3 bah%a jumlah besar sudut dari segitiga kurang dari 2;8B, maka segiempat tersebut jumlah besar sudut-sudutnya kurang dari 4<8B.

B.5.3 Ge#$etr! El!+t!k

!e"metri Eliptik berbeda dengan !e"metri Eu#lid hanya pada p"stulat kesejajarannya saja, P"stulat kesejajaran dari Riemann adalah sebagai berikut 9M"eharti, 2:;<= 6.2?>=Tidak ada garis-garis sejajar dengan garis lain$

0erdasarkan pada P"stulat diatas, pada !e"metri Eliptik ini dua garis selalu  berp"t"ngan dan tidak ada dua garis sejajar. Pada !e"metri Eliptik terdapat dua ma#am

 pengkhususan yang pertama !e"metri  single elliptic$ dan yang kedua !e"metri double

elliptic$.

Kata Eliptik didasarkan atas klasi'ikasi !e"metri Pr"yekti', karena tidak ada dua garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut. ntuk dapat memudahkan dalil-dalil

 berikut, maka sebagai m"del dari !e"metri double elliptic$ ialah b"la dan untuk 

!e"metri  single elliptic$ adalah setengah b"la.

M#'el Ge#$etr! El!+t!k t%nggal 0M#e,art!- 1?<:8 9.1?

Sebarang dua garis yang berp"t"ngan tepat pada satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut.

Ga$)ar 1=. M#'el Ge#$etr! El!+t!k t%nggal

M#'el Ge#$etr! El!+t!k gan'a 0M#e,art!- 1?<:8 9.1?

Ga$)ar 11. M#'el Ge#$etr! El!+t!k gan'a

Ta)el 3. Re+re"enta! )#la E%&l!'

Ge#$etr! El!+t!kGan'a Re+re"enta"! E%&l!'

Titik Titik padab"la

!aris ingkaran besar b"la

0idang 0"la

Segmen 0usur darisuatu lingkaranb"la

)arak antaraduatitik Panjangbusur terpendek darilingkaran besar yangmelalui keduatitik itu.

Sudutyangdibentuk "lehduagaris Sudut padab"layangdibentuk "leh dua lingkaran besar.

/alam !e"metri Eliptik melalui satu titik pada suatu garis hanya dapat dilukis satu garis yang tegak lurus garis tersebut. ntuk setiap garis l ada kutup K sedemikian sehingga semua garis melalui K tegak lurus pada l 9gambarnya seperti semua meridian melalui kutub tegak lurus melalui ekuat"r atau katulisti%a>. Si'at kutub misalnya l suatu garis, maka ada suatu titik K, yang disebut kutub dari l sedemikian sehigga =

2. Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik l tegaklurus pada l. 3. K berjarak sama dari setiap titik pada l.

)arak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak p"lar. )arak p"lar suatu kutub sampai garisnya adalah k"nstan, demikian juga panjang suatu garis adalah k"nstan.

0erikut ini adalah dalil-dalil yang berlaku pada !e"metri Elliptik ini= Dal!l 5.1 0M#e,art!- 1?<:8 9.3=

/ua garis yang tegak lurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik ujungnya. Dal!l 5.3 0M#e,art!- 1?<:8 9.3=

Semua garis tegak lurus pada suatu garis berp"t"ngan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus pada garis itu.

B%kt! Dal!l 5.3

Pada dalil 4.2 dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada satu titik sudah terbukti, titik itulah yang disebut titik kutub, disini akan berlaku untuk setiap garis yang tegak lurus pada garis l, begitu sebaliknya jika pada titik  ditarik garis yang tegak lurus terhadap garis l maka semua garis akan tegaklurus ke l.

S%'%t*"%'%t "eg!t!ga 'ala$ Ge#$etr! El!+t!k

Pembahasan sudut-sudut segitiga pada !e"metri Eliptik ini berlaku beberapa dalil sebagai berikut =

Dal!l 5.5 0M#e,art!- 1?<:8 9.3=

/alam sebarang I(0 dengan∠ J :8B, sudut ( kurang dari, sama dengan atau lebih  besar dari :8B, tergantung dari segmen

  

 kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari  jarak p"lar G.

Keabsahan dalil 4.4 diatas dapat ditunjukan dengan ilustrasi diba%ah ini /iketahui = segitiga (0 dengan∠ J :8 B

a. /itunjukkan∠(  :8B, bila

  

 dari jarak p"lar

Ga$)ar 13. A @ ?=>- karena

  

@ arak +#lar

 b. /itunjukkan∠( J :8B, bila

  

 J dari jarak p"lar

#. /itunjukkan∠(  :8B, bila 0 dari jarak p"lar

Ga$)ar 17.∠A  ?=>- karena 0 arak +#lar

ntuk jumlah besar sudut-sudut segitiga dalam !e"metri Eliptik ini berlaku dalil 4.5  berikut ini,

Dal!l 5.7 0M#e,art!- 1?<:8 9.3=

)umlah besar sudut-sudut segitiga lebih besar dari 2;8B. /alil 4.5 diatas dapat ditunjukan dengan menggunakan gambar 24, dan gambar 25=

Pada gambar 24=∠( J :8B,∠ J :8B, ∠0 p"siti'

Sehingga m∠( L m∠0 L m∠ J  2;8B

Pada gambar 25=∠ J :8B,∠( tumpul

Sehingga m∠( L m∠0 L m∠  2;8B.

1. Seg!e$+at +a'a Ge#$etr! El!+t!k

Segiempat pada !e"metri Eliptik ini yang dibahas adalah berikut ini

Dal!l 5.9 0M#e,art!- 1?<:8 9.31

)umlah besar sudut-sudut segiempat lebih besar dari 4<8B.

B%kt! Dal!l 5.9

Segiempat (0/ pada gambar 26 diatas, jika dibuat garis yang menghubungkan titik 0 dan / maka akan terbentuk dua segitiga, segitiga + dan segitiga ++, berdasar dalil 4.5 bah%a jumlah besar sudut dari segitiga lebih dari 2;8B, maka segiempat tersebut  jumlah besar sudutnya lebih dari 4<8B.

7. GEOMETRI EUCLID

Tidak banyak "rang yang beruntung memper"leh kemasyhuran yang abadi seperti Eu#lid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya t"k"h-t"k"h seperti Nap"le"n, Martin uther, (leFander yang (gung, jauh lebih terkenal ketimbang Eu#lid tetapi dalam jangka panjang

ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu. Selain kemasyhurannya, hampir  tak ada keterangan terperin#i mengenai kehidupan Eu#lid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia  pernah akti' sebagai guru di (leFandria, Mesir, di sekitar tahun 488 SM, tetapi kapan dia lahir dan

kapan dia %a'at betul-betul gelap. 0ahkan, kita tidak tahu di benua apa dan dik"ta apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.

Kebanyakan te"rema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan sendiri "leh Eu#lid, tetapi merupakan hasil karya matematika%an Yunani a%al seperti Pythag"ras 9dan para pengikutnya>, *ipp"#rates dari hi"s, Theaetetus dari (thena, dan Eud"Fus dari nid"s.

(kan tetapi, se#ara umum Eu#lid dihargai karena telah menyusun te"rema-te"rema ini se#ara l"gis, agar dapat ditunjukkan 9tak dapat disangkal, tidak selalu dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika m"dern> bah%a #ukup mengikuti lima aksi"ma sederhana.

(rti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pe rnyataan rumus-rumus pribadi yang dil"ntarkannya. *ampir semua te"ri yang terdapat d alam buku itu sudah pernah ditulis "rang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Eu#lid terletak pada #ara  pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta '"rmulasinya se#ara menyeluruh dalam  peren#anaan penyusunan buku. /i sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta  perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik.

0uku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 3888 tahun dan tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia.(slinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama mun#ul tahun 25;3, sekitar 48 tahun sebelum penemuan mesin #etak "leh !utenberg. Sejak

 penemuan mesin itu di#etak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam #"rak.

1. STRUKTUR GEOMETRI EUCLID

(sumsi atau p"stulat yang ada untuk ge"metri bidang Eu#lid adalah =

2. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya. 3. )ika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka jumlahnya akan sama.

4. )ika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama. 5. Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya.

6. 0angun ge"metrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya. <. Setiap sudut memiliki bisekt"r.

?. Setiap segmen memiliki titik tengah.

;. /ua titik hanya berada pada satu satunya garis.

:. Sebarang segmen dapat diperluas "leh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan. 28. ingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui.

22. Semua sudut siku A siku sama besar.

/ari p"stulat A p"stulat di atas dapat dideduksi sejumlah te"rema dasar. /iantaranya adalah = 2. Sudut bert"lak belakang sama besar.

3. Si'at k"ngruensi segitiga 9 S(S, (S(, SSS >

4. Te"rema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki dan k"n7ersinya 5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut 6. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal

<. Pembuktian suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya.

?. Pembentukan segitiga yang k"ngruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.

Sekarang akan dibuktikan te"rema sudut eksteri"r, sebagai #ara menuju perkembangan lebih lanjut. Te#re$a 1. Te"rema sudut eksteri"r. Sudut eksteri"r segitiga akan lebih besar daripada sudut interi"r  terpen#il manapun.

B%kt!. Misal (0 adalah segitiga sebarang dan misalkan / merupakan perpanjangan dari 0

C

   

   

   

   

melalui . Pertama akan ditunjukkan bah%a sudut eksteri"r∠(/ lebih besar dari ∠(. misalkan E merupakan titik tengah (, dan misalkan 0E merupakan perluasan panjang nya melalui E hingga 1. Maka (E J E J0E J E1 dan∠(E0 J ∠E1 9 sudut bert"lak belakang sama besar >. )adi I (E0 J I E1 9 S(S >, dan∠0(E J∠1E 9 akibat segitiga k"ngruen >. Karena∠(/ ∠1E

9 keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya >, maka disimpulkan bah%a∠(/ ∠0(E J ∠(.

ntuk menunjukkan bah%a∠(/ ∠0, perluas

  

   

   

   

   

 melalui  hingga *, yang membentuk∠0*. Kemudian tunjukkan bah%a∠0* ∠0, dengan menggunakan pr"sedur bagian pertama

 pembuktian= misalkan M merupakan titik tengah 0 , perluas panjang ( melalui M, dan lain-lain.

C

   

   

   

   

M

   

   

   

   

   

ntuk melengkapi bukti, perhatikan bah%a∠0* dan∠(/ merupakan sudut bert"lak belakang sehingga sudut tersebut sama besar.

Pernyataan∠(/ ∠1E bergantung pada diagramnya. Sekarang mudah melakukan pembuktian  beberapa hasil yang #ukup penting.

Te#re$a 3. )ika dua garis dibagi "leh garis trans7ersal sehingga membentuk pasangan sudut interi"r dalam berseberangan, maka garis tersebut sejajar.

B%kt!. +ngat kembali bah%a dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar jika garis tersebut tidak bertemu 9berp"t"ngan>. Misalkan garis trans7ersal membagi dua garisl ,m pada titik (, 0 sehingga membentuk pasangan sudut interi"r dalam berseberangan,∠2 dan∠3, yang sama besar, dan misalkan garisl dan garismtidak sejajar. Maka garis l dan garis makan bertemu di titik  yang membentuk I(0.  terletak pada satu sisi (0 atau pada sisi yang lainnya.

ntuk kasus lainnya, sudut eksteri"r I (0 sama dengan sudut interi"r terpen#il. 9misalkan, jika  pada sisi (0 yang sama sebagai∠3 maka sudut eksteri"r ∠2 sama dengan sudut interi"r

terpen#il ∠3 >. *al ini k"ntradiksi dengan te"rema sebelumnya. &leh karena itu garisl dan garis

msejajar.

Ak!)at 1. /ua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar. Sebagai akibat langsung akibat 2 adalah

Ak!)at 3. *anya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik eksternal.

Ak!)at 5. 9Eksistensi garis sejajar>. )ika titik P tidak berada pada garisl , maka akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar denganl .

B%kt!. /ari P hilangkan garis tegak lurus pada garislyang memiliki kaki di H, dan di P buat garism yang tegak lurus terhadap PH. Maka garismsejajar dengan garis l menurut akibat 2.

Te#re$a 5. )umlah dua sudut segitiga kurang dari 2;8 °

B%kt!. Misalkan I(0 merupakan sebarang segitiga. (kan ditunjukkan bah%a∠( L∠0  2;8 ° _{. Perluas 0 melalui 0 hingga ke /. maka∠(0/ merupakan sudut eksteri"r I(0.}

mensubstitusikan untuk∠(0/ pada relasi pertama, maka = 2;8 ° - ∠0 ∠(, atau 2;8 ° ∠( L∠0. )adi,∠( L∠0  2;8 ° , dan te"rema tersebut terbukti.

3. Penggant! P#"t%lat Seaar E%&l!'

P"stulat sejajar Eu#lid biasanya digantikan "leh pernyataan berikut ini =

*anya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut.

Pernyatan ini disebut dengan p"stulat Play'air. P"stulat ini bisa dihubungkan dengan p"stulat sejajar Eu#lid karena sebenarnya dua pernyataan ini tidak sama. Pernyataan sebelumnya merupakan pernyataan tentang garis sejajar, dan pernyataan kedua mengenai garis bertemu. 0ahkan kedua pernyataan tersebut memainkan peran yang sama dalam perkembangan l"gis ge"metri. /ikatakan pernyataan ini eki7alen se#ara l"gis. *al ini berarti bah%a jika pernyataan  pertama dianggap sebagai p"stulat 9bersama dengan semua p"stulat Eu#lid ke#uali p"stulat

sejajar>, kemudian pernyataan kedua dapat dideduksi sebagai te"rema dan k"n7ersinya, jika  pernyataan kedua dianggap sebagai p"stulat 9bersama dengan semua p"stulat Eu#lid ke#uali  p"stulat sejajar>, maka pernyataan pertamadapat dideduksi sebagai te"rema. )adi se#ara l"gis,

tidak penting dua pernyataan mana yang akan diasumsikan sebagai p"stulat dan yang mana yang akan dideduksi sebagai suatu te"rema.

5. Ek!alen"! P#"t%lat E%&l!' 'an Pla/a!r

(kan dibuktikan eki7alensi p"stulat Eu#lid dan p"stulat Play'air.

Pertama, dengan mengasumsikan p"stulat sejajar Eu#lid, maka akan dideduksi p"stulat Play'air. /iketahui garisldan titik P tidak pada l9gambar 3.6>, maka akan ditunjukkan bah%a hanya ada satu garis melalui P yang tidak padal . diketahui bah%a ada garis melalui P yang sejajar denganl , dan diketahui juga bagaimana #ara menggambarnya 9akibat 4,te"rema 3>. /ari P, dihilangkan

garis tegak lurus pada ldengan kaki H dan pada P garis tegak m yang tegak lurus pada

 

 . Maka garismsejajar garis l .

Kemudian misalkan garisnsebarang garis melalui P yang berbeda dengan garism. maka akan ditunjukkan bah%a garisn bertemu dengan garisl . Misalkan ∠2,∠3 menunjukkan sudut dimana garisn bertemu dengan

 

 . Maka∠2 bukan merupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya garisn dan garism berimpit, berla%anan dengan asumsi. )adi∠2 atau∠3 adalah sudut lan#ip, misalnya ∠2 yang merupakan sudut lan#ip.

Ringkasannya, garisl dan garis ndibagi "leh garis trans7ersal sehingga membentuk sudut lan#ip ∠2 dan sudut siku A siku, yang merupakan sudut interi"r pada sisi yang sama dari garis

trans7ersal tersebut. Karena jumlah sudut tersebut kurang dari 2;8 ° , p"stulat sejajar Eu#lid dapat diaplikasikan dan disimpulkan bah%a garisn bertemu dengan garisl .

)adi garis mhanya satu A satunya garisyang melalui P yang sejajar dengan garisl dan dideduksikan bah%a p"stulat Play'air dari p"stulat sejajar Eu#lid.

Ga$)ar 3.:

Misalkan garismdibagi "leh garis trans7ersal dititik H, P yang membentuk∠2 dan∠3,

 pasangan sudut interi"r pada satu sisi garis trans7ersal yang memiliki jumlah sudut kurang dari 2;8 ° 9 gambar 3.< >, adalah =

92> ∠2 L∠3  2;8 °

Misalkan ∠4 menunjukkan tambahan∠2 yang terletak pada sisi berla%anan

 

 dari∠2 dan ∠3 9 gambar 3.< >, maka =

93> ∠2 L∠4 J 2;8 °

/ari hubungan 92>, 93> maka =

94> ∠3 ∠4

Pada titik P, bentuk∠HPR yang sama dengan dan yang interi"r dalam berseberangan dengan∠4. Maka∠3 ∠PHR, sehingga

 

 berbeda dari garis m. menurut te"rema 3,

 

 sejajar denganl . Karenanya menurut p"stulat Play'air,mtidak sejajar denganl . &leh karena itu, garismdan l bertemu. Seandainya garis-garis tersebut bertemu di sisi

 berla%anan dari

 

dari ∠2 dan∠3, katakanlah di titik E maka∠3 merupakan sudut eksteri"r IPHE, karenanya∠3  ∠4 , berla%anan dengan 94>. (kibatnya, pengandaian tadi salah, jadi garis mdan l bertemu pada sisi garis trans7ersal

 

 yang memuat∠2 dan ∠3.)adi p"stulat sejajar Eu#lid mengikuti p"stulat Play'air dan akibatnya dua p"stulat tersebut menjadi eki7alen.

9. PERAN POSTULAT SEJAJAR EUCLID

/engan mengasumsikan p"stulat sejajar Eu#lid berikut ini merupakan beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan =

2. )ika dua garis sejajar dibagi "leh garis trans7ersal, sebarang pasangan sudut interi"r dalam  berseberangan yang terbentuk akan sama besar.

3. )umlah sudut sebarang segitiga adalah 2;8B.

4. Sisi bert"lak belakang dari jajaran genjang adalah sama besar. 5. !aris sejajar selalu berjarak sama.

6. Eksistensi segi empat dan bujur sangkar. <. Te"ri luas menggunakan unit persegi.

?. Te"ri segitiga yang sama, yang termasuk eksistensi bangun dengan ukuran sebarang yang sama dengan bangun yang diketahui.

P"stulat sejajar Eu#lid merupakan sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa

 p"stulat tersebut 9atau eki7alennya>, kita tidak akan memiliki te"ri luas yang sudah lama dikenal, te"ri kesamaan, dan te"ri Pythag"ras yang terkenal itu.

ara dimana Eu#lid mengatur te"remanya mengimplikasikan bah%a sesungguhnya Eu#lid tidak sepenuhnya puas dengan p"stulat sejajarnya. Eu#lid manyatakan hal tersebut di a%al karjanya tetapi  pernyataan itu tidak dipakainya sampai akhirnya dia tidak dapat malakukan kemajuan tanpa p"stulat

tersebut. (gaknya, Eu#lid memiliki intuisi bah%a p"stulat sejajar tersebut tidak memiliki kualitas intuiti' ataupun sederhana dari p"stulat lainnya. Rasa yang demikian dilakukan "leh para ahli ge"metri dalam selama 38 abad. Para ahli men#"ba mendeduksi p"stulat sejajar dari p"stulat lainnya, a tau

menggantikan p"stulat tersebut dengan p"stulat yang nampaknya lebih pasti.

:. TOKOH*TOKOH DALAM PERKEMBANGAN EUCLID GEOMETR

1. B%kt! Pr#&l%" tentang P#"t%lat Seaar E%&l!'

Pr"lus 9528-5;6> memberikan bukti$ tentang p"stulat sejajar Eu#lid yang kita ringkas sebagai  berikut =

Kita asumsikan p"stulat Eu#lid bukan sebagai p"stulat sejajar. Misalkan P merupakan titik tidak berada  pada garisl 9gambar 3.?>. kita bentuk garis mmelalui P sejajar dengan garisl dengan #ara yang biasa

digunakan. Misalkan PH   tegak lurus denganl di H, dan misalkanmtegak lurus dengan PH   di P. Sekarang, anggaplah ada garis lainn melalui P yang yang sejajar denganl , makanmembentuk sudut lan#ip dengan garis PH, yang terletak katakanlah pada sisi kanan PH   . 0agian dari n di sebelah kanan titik P seluruhnya termuat dalam daerah yang dibatasi "leh garisl ,m dan PH   .

 Sekarang dimisalkan  adalah sebarang titik dim yang letaknya di sebelah kanan titik P, misalkan 

   

   

   

   

Y

tegak lurus denganl di Y dan misalkan garis  tersebut bertemu dengan garis

   

   

   

   

Y

ndi U. Maka   .

   

   

   

   

Y

   

   

   

   

Z

Misalkan  mundur di garism, maka  meningkat se#ara tidak menentu, karena  setidaknya sama

   

   

   

   

Z

   

   

   

   

Z

 besarnya dengan segmen dari  yang tegak lurus dengann. )adi  juga meningkat se#ara tidak

   

   

   

   

Y

menentu. Tetapi jarak antara dua garis sejajar harus terbatas. &leh karena itu, akan menjadi k"ntradiksi dan pengandaian salah. )adi,mhanya merupakan satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar

dengan garisl . Karenanya, p"stulat Play'air berlaku, dan juga eki7alen dengan p"stulat sejajar Eu#lid.

(rgumen Pr"lus tersebut men#akup 4 asumsi =

a. ia dua garis saling berpotongan, ara pada suatu garis dari satu titi e garis lainnya aan meningat secara ta menentu, arena titi tersebut mundur 5menyusut< ta beruung"

 b. segmen terpende yang menghubungan titi esternal pada suatu garis merupaan segmen  yang tega lurus"

#. ara antara dua garis seaar adalah terbatas"

9a> dan 9b> dapat dibenarkan tanpa bantuan p"stulat sejajar Eu#lid. )adi inti pers"alan

 pembuktian adalah asumsi 9#>. Pr"#lus mengasumsikan 9#> sebagai p"stulat tambahan. Mari kita sebut sebagai p"stulat asumsi Pr"#lus tersembunyi. Kemudian bisa dinyatakan= p"stulat Pr"#lus eki7alen dengan p"stulat sejajar Pr"#lus. P"stulat sejajar Eu#lid mengimplikasikan bah%a jarak antara garis sejajar selalu k"nstan, dan terbatas. K"n7ersinya, melalui argumen Pr"#lus dapat dinyatakan bah%a p"stulat Pr"#lus mengimplikasikan p"stulat sejajar Eu#lid. )adi, Pr"#lus menggantikan p"stulat sejajar dengan p"stulat yang eki7alen, dan bukan menetapkan 7aliditas  p"stulat sejajar tersebut

.

3. Per&#)aan Sa&&,er! %nt%k Me$+erta,ankan P#"t%lat E%&l!'

!ir"lam" Sa##heri 92<<?-2?44> melakukan studi yang mendalam tentang ge"metri dalam buku yang berjudul Euclides 1indicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. 0eliau

melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian p"stulat sejajar Eu#lid dengan #ara  baru yang radikal. Pr"sedurnya eki7alen dengan mengasumsikan bah%a p"stulat sejajar Eu#lid

salah, dan menemukan k"ntradiksi dengan penalaran l"gis. *al ini akan mensahkan p"stulat sejajar dengan menggunakan prinsip met"de tak langsung.

Maksud Sa##heri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus

dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang p"stulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Sa##heri. Misalkan (0/

merupakan segi empat Sa##heri dengan (/ J 0 dan sudut siku-siku di (, 0 9gambar 3.28>.

Sa##heri membuktikan bah%a∠ J∠/ dan kemudian mempertimbangkan tiga kemungkinan yang berhubungan dengan sudut  dan / =

2. hip"tesis tentang sudut siku-siku 9∠ J∠/ J :8B>

3. hip"tesis tentang sudut tumpul 9∠ J∠/  :8B>

)ika p"stulat sejajar Eu#lid diasumsikan, maka hip"tesis sudut siku-siku akan terjadi 9karena  p"stulat sejajar mengimplikasikan bah%a jumlah sudut sebarang segi empat adalah 4<8B>.

(rgumen dasar Sa##heri sebagai berikut=

Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang ekivalen dengan  postulat sejajar Euclid.

Sa##heri membuktikan menggunakan sederetan te"rema yang memiliki alasan yang tepat, bah%a hip"tesis sudut tumpul akan menghasilkan k"ntradiksi.

0eliau mempertimbangkan implikasi hip"tesis sudut lan#ip. /i antaranya ada sejumlah te"rema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut=

•  #umlah sudut sebarang segitiga urang dari 689C"

•  #ia l dan m merupaan dua garis dalam bidang, maa salah satu dari sifat di bawah ini

di penuhi/

a" l dan m berpotongan, dalam asus di mana dua garis tersebut di%ergen dari titi perpotongan" b" l dan m tida berpotongan tetapi memilii garis tega lurus yang sama di mana dua garis tersebut di%ergen dalam edua arah dari garis tega lurus yang sama tersebut"

c" l dan m tida brpotongan dan tida memilii garis tega lurus yang sama, di mana dua garis tersebut on%ergen dalam satu arah langah, dan di%ergen pada arah lainnya"

Sa##heri tidak memandang sebagai k"ntradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai k"ntradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bah%a te"ri hip"tesis sudut lan#ip Sa##heri  bebas k"ntradikisi seperti ge"metri Eu#lid.

KESIMPULAN

!e"metriN"nEu#lidtimbulkarenapara matematika%anberusaha untuk  membuktikanp"stulatkelima dariEu#lides. Sehingga!e"metriN"n Eu#lidmasih  berdasarkanempatp"stulatpertamadariEu#lidesdanhanya berbeda pada5p"stulat kelimanya.(daduama#am!e"metriN"nEu#lidyang pertamaadalahditemukan hampirbersamaan"leh4t"k"hberlainandanmasing-masing bekerjasendiri-sendiri. T"k"h-t"k"htersebutadalahKarl1riedri#h!auss dari )erman,Y"n"s 0"lyaidari *"ngaria,danNi#"lai+7an"7it#h"ba#he7sky dariRusia,!e"metriinidisebut

!e"metri*iperb"likatau!e"metri"ba#he7sky.!e"metriN"n Eu#lidyangkedua adalah!e"metri yang diketemukan"leh !.1.0. 0ernhardRiemann dari )erman, !e"metri ini disebut !e"metriEliptik atau !e"metri Riemann9M"eharti, 2:;<= 2.38>.

sahauntukmembuktikanp"stulatkelimainiberlangsung sejakEu#lidmasih hidupsampaikira-kiratahun2;38.T"k"hyang berusahamembuktikaniniantaralain Pr"#lusdari(leksandria9528-5;6>!ir"lam"Sa##heridari+talia92<8?-2?44>, Karl1riedri#h !auss dari )erman92???-2;66>,@"l'gang 91arkas>0"lyai dari *"ngaria 92??6-2;6<>,dananaknyaYan"s0"lyai92;83- 2;8<8> danjugaNi#"lai +7an"7iteh"ba#he7sky92?:4A 2;6<> 9M"eharti, 2:;<= 2.24>.

Menurut M"eharti 92:;<= 2.23>,p"stulatkesejajaran kelima Eu#lid adalahsebagaiberikut=( J!ka "%at%gar!" l%r%"$e$#t#ng '%agar!"l%r%" 'an$e$)%at "%'%t*"%'%t 'ala$ "e+!,ak k%rang'ar!'%a"%'%t "!k%*

"!k%-ke'%agar!"!t%!ka'!+er+anangtakter)ata"-akan)erte$%'!+!,akte$+atke'%a"%'%t'ala$ "e+!,akk%rang'ar!"%'%t "!k%*"!k%”.

2. !e"metri Eu#lid merupakan sistem aksi"matik, dimana semua te"rema 9Vpernyataan yang  benarV> diturunkan dari bilangan aksi"ma yang terbatas, artinya hasil-hasil

pentingWte"rema-te"rema tersebut merupakan akibat dari p"stulat sejajar.

3. Peran p"stulat sejajar Eu#lid adalah sebagai sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa p"stulat tersebut 9atau eki7alennya>, kita tidak akan memiliki te"ri luas yang sudah lama dikenal, te"ri kesamaan, dan te"ri Pythag"ras yang terkenal. )adi p"stulat sejajar Eu#lid akan lebih berperan apabila dideduksi dengan p"stulat lainnya atau digantikan dengan p"stulat lainnya yang lebih pasti.

Saran

/alam penulisan makalah ini, penyusun menyadari masih terdapat banyak kekurangan karena kurangya pengetahuan yang penyusun miliki. Maka dari itu penyusun meminta saran untuk memperbaiki makalah ini.