• Tidak ada hasil yang ditemukan

KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI"

Copied!
28
0
0

Teks penuh

(1)

ABSTRAK

KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI

Oleh

MARLINA

Dalam geometri ada yang disebut geometri insidensi yaitu geometri yang didasari oleh

aksioma-aksioma insidensi. Dengan menggunakan definisi isomorfisma, pemetaan

geometri insidensi ke geometri insidensi dapat diidentifikasi ke-isomorfismaannya.

Penelitian ini bertujuan mengidentifikasi pemetaan dua geometri insidensi planar

(berdimensi dua)

�: � → �

pada

ke

serta pemetaan geometri insidensi

berdimensi tiga

�: � → �′

pada

ke

�’

.

Dari hasil penelitian diperoleh bahwa Ke-isomorfismaan geometri insidensi itu dapat

mengawetkan (mempertahankan) relasi insidensi antara titik dengan garis dan

mempunyai sifat-sifat isomorfisma yaitu sifat reflektif, simetrik dan transitif.

(2)

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Geometri (Yunani Kuno: γεωμετρία; geo

-"bumi",-metria "pengukuran")

"pengukuran bumi" adalah bagian dari matematika yang berkenaan dengan

ukuran, bentuk, posisi relatif bangun, dan sifat-sifat ruang. Geometri adalah salah

satu ilmu tertua yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang

berkenaan dengan relasi ruang.

Ilmu geometri digunakan dalam berbagai bidang dikarenakan ilmu geometri dapat

menjelaskan permasalahan lebih sistematis dan mudah dimengerti. Membahas

prinsip-prinsip dasar yang menjadi pokok suatu struktur subyek sehingga dapat

dibentuk menjadi suatu struktur logis dan sistematis.

Dalam bidang arsitektur

misalnya, tidak ada bentuk, rancangan, konsep yang bisa lepas dari geometri.

(3)

1.2. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1.

Menyelidiki pembentukan geometri insidensi.

2.

Mengidentifikasi ke-isomorfismaan dua geometri insidensi planar

(berdimensi dua) dan dua geometri insidensi berdimensi tiga.

1.3. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1.

Bertambahnya pengetahuan tentang konsep geometri khususnya geometri

insidensi.

2.

Bertambahnya informasi tentang ke-isomorfismaan geometri.

3.

Menambah referensi terkait geometri insidensi.

(4)

II. LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma,

istilah-istilah, definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian

ini.

2.1

Geometri Insidensi (Hilbert, 1971)

Geometri insidensi adalah geometri yang didasari oleh aksioma insidensi,

geometri ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang telah dikenal

sebelumnya. Geometri Euclides didasari pada lima aksioma berikut:

1.

Kelompok aksioma insidensi

2.

Kelompok aksioma urutan

3.

Kelompok aksioma kekongruenan

4.

Aksioma kesejajaran Euclides

5.

Aksioma kekontinuan

(5)

Suatu geometri dibentuk berdasarkan aksioma yang berlaku dalam

geometri-geometri tersebut. Geometri insidensi didasari oleh aksioma insidensi .

2.1.1

Unsur Tidak Terdefinisi (Hilbert, 1971)

Dalam geometri selain aksioma diperlukan juga unsur-unsur tidak terdefinisi,

Untuk suatu geometri diperlukan unsur tidak terdefinisi sebagai berikut.

1.

Titik

2.

Himpunan titik-titik yang dinamakan garis

3.

Himpunan titik-titik yang dinamakan bidang

2.1.2

Aksioma-Aksioma Insidensi (Rawuh, 2009)

Terdapat unsur tidak terdefinisi yaitu titik, garis dan bidang. Ketiga unsur ini

dikaitkan satu sama lain dengan suatu aksioma pada geometri insidensi. Sistem

aksioma yang digunakan adalah aksioma insidensi yang terdiri dari enam aksioma

sebagai berikut:

1)

Garis adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit dua titik.

2)

Dua titik yang berlainan terkandung dalam tepat satu garis (satu dan tidak

lebih dari satu garis).

(6)

4)

Tiga titik yang berlainan yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak

lebih dari satu bidang.

5)

Apabila suatu bidang memuat dua titik berlainan dari suatu garis, maka bidang

itu akan memuat setiap titik pada garis tersebut (garis terkandung dalam

bidang itu atau garis terletak dalam bidang itu).

6)

Apabila dua bidang bersekutu pada suatu titik maka kedua bidang itu akan

bersekutu pada titik kedua yang lain.

2.1.3

Definisi (Rawuh, 2009)

Suatu himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan

bidang yang memenuhi aksioma 1 sampai 6 disebut suatu geometri insidensi.

2.1.4

Teorema (Rawuh, 2009)

Dua garis yang berbeda bersekutu paling banyak pada satu titik.

2.1.5

Definisi (Rawuh, 2009)

Suatu garis yang memuat titik dan titik yang berbeda disebut garis

2.1.6

Teorema (Rawuh, 2009)

(7)

Bukti :

Menurut ketentuan

. Andaikan

=

, oleh karena

( pada garis

) maka

. Hal ini berlawanan dengan yang diketahui sehingga

pengumpamaan

=

adalah tidak benar, maka haruslah

. Begitu pula

dengan cara yang sama dapat dibuktikan

, jadi , , berlainan.

Untuk membuktikan titik , , tak segaris dimisalkan , , C segaris maka

akan ditunjukkan adanya krontradiksi. Andaikan titik , , segaris maka ada

garis yang memuat , , dan . Oleh karena memuat dan dan

maka

=

, hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa tidak pada garis

. Sehingga pengandaian bahwa , , segaris mengakibatkan kontradiksi. Ini

berarti , , tidak segaris (tidak kolinier).

2.1.7

Teorema (Rawuh, 2009)

Suatu garis dan suatu titik yang tidak pada garis itu termuat dalam tepat satu

bidang.

Bukti

Misalkan titik dan garis dengan

(tidak pada ). Menurut aksioma

insidensi yang pertama ada dua titik berlainan pada , misalkan titik tersebut

adalah dan , sehingga

=

, jadi

. Menurut aksioma (2) , dan

berlainan dan tidak segaris. Menurut aksioma (4) titik , dan termuat dalam

satu bidang, katakanlah bidang tersebut bidang . Oleh karena

dan

(8)

yang memuat garis dan titik jadi

memuat pula dan . Ini berarti

memuat , dan , menurut aksioma (4)

=

. Jadi adalah satu-satunya

bidang yang memuat dan karena jika ada bidang lain yang memuat , dan

bidang tersebut akan sama dengan bidang .

2.1.8

Definisi (Rawuh, 2009)

1.

Misalkan

(titik tidak pada garis ), bidang yang memuat garis

dan titik kita tulis sebagai

.

2.

Misalkan titik

,

dan

berlainan dan tidak kolinier, bidang yang

memuat , dan kita tulis sebagai

.

2.1.9

Definisi (Rawuh, 2009)

Dua garis dan dinamakan sejajar (ditulis // ) apabila

1.

dan termuat dalam satu bidang dan

2.

dan m tidak memiliki titik sekutu

2.1.10

Teorema (Rawuh, 2009)

(9)

Bukti

Menurut definisi kesejajaran garis, ada suatu bidang yang memuat dan

.

Misalkan bidang

juga memuat dan

, apabila pula titik

maka

dan

memuat dan titik . Menurut Teorema 2.1.7 haruslah

=

, jadi hanya ada

satu (unik) bidang yang memuat dua garis yang sejajar.

2.1.11

Teorema (Rawuh, 2009)

Jika dua garis yang berbeda berpotongan, maka garis itu termuat dalam tepat satu

bidang.

Bukti

Misalkan dan

garis yang berbeda yang berpotongan, misalkan pula

dan

(sebab dan berpotongan). Menurut Teorema 2.1.4 ada

dan

;

. Maka ada sebuah bidang yang memuat dan . Oleh karena

memuat maka memuat Sehingga juga memuat . Jadi memuat dan

(bukti selesai).

2.1.12

Teorema (Rawuh, 2009)

(10)

Bukti

Misalkan dan dua bidang berbeda yang berpotongan, misalkan juga salah

satu titik temunya (potongnya). Jadi

dan

, maka ada titik kedua

dengan

dan

(aksioma 6), jadi juga

dan

(aksioma

5). Ini berarti tiap titik

termuat di

dan di

atau

⊂ ∩

, akan

dibuktikan

∩ =

. Telah dibuktikan di atas bahwa

⊂ ∩

selanjutnya

membuktikan bahwa

∩ ⊂

. Misalkan

dan misalkan

.

Oleh karena

dan termuat dalam dan dalam

, maka

=

(teorema

2.1.7). Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi pemisalan bahwa

menimbulkan kontradiksi, sehingga haruslah

ini berarti bahwa

. Oleh karena telah terbukti bahwa

⊂ ∩

maka

∩ =

.

Akibatnya

Apabila ada garis g dengan

dan

maka

= ∩

.

2.1.13

Definisi (Rawuh, 2009)

(11)

2.1.14

Teorema (Rawuh, 2009)

Apabila bidang sejajar dengan bidang dan bidang memotong bidang dan

bidang , maka himpunan

dan himpunan

adalah garis-garis yang

sejajar.

Bukti

Pertama akan dibuktikan bahwa

dan

adalah garis-garis. Untuk ini

dibuktikan bahwa dan berlainan serta dan juga berlainan. Misalkan

=

, oleh karena memotong maka ini berarti bahwa memotong . Ini tak

mungkin (karena // ), jadi haruslah

. Ini berarti bahwa

adalah

sebuah garis katakan garis tersebut garis , begitu pula

adalah sebuah garis

katakan garis tersebut garis

. Garis dan garis

termuat dalam satu bidang,

yaitu bidang . Misalkan dan berpotongan, misalnya

∩ =

maka

dan

(karena

dan

maka

= ∩

, jika

maka

dan

). Jadi dan bertemu di , ini tidak mungkin (karena

sejajar ). Jadi dan terletak pada satu bidang dan tidak memiliki titik temu,

berarti // . (bukti selesai)

2.1.15

Definisi (Rawuh, 2009)

(12)

2.

Apabila bangun geometri

, , … ,

terletak pada satu bidang,

dinamakan bangun-bangun itu sebidang atau koplanar.

2.1.16

Teorema (Rawuh, 2009)

Apabila setiap dua garis dari sekelompok tiga garis koplanar, akan tetapi tidak

bertiga koplanar maka bertiga garis itu kongruen atau tiap dua garis diantaranya

sejajar.

Bukti

Diketahui tiga garis , dan ; misalkan dan di bidang , dan di bidang

, dan di bidang . Akan dibuktikan , dan berlainan. Misalkan

=

maka ,

, sebidang (karena pengandaian dan

di bidang ,

dan di

bidang ), ini tidak mungkin (karena ketiga garis tidak bertiga koplanar). Jadi

haruslah

begitu pula

dan

. Oleh karena itu maka

∩ =

,

dan

∩ =

serta

∩ =

. Misalkan

=

, karena

maka

(13)

2.1.17

Teorema (Rawuh, 2009)

Apabila // dan titik tidak terletak pada bidang yang memuat dan , maka

ada garis tunggal yang memuat sehingga // dan // .

Bukti

Ada bidang yang memuat dan dan ada bidang

yang memuat

dan

(Teorema 2.1.7), jelas

sebab tidak terletak pada bidang yang memuat

dan

( dan

sejajar). Misalkan

∩ =

maka // dan //

, akan

dibuktikan tunggal. Misalkan

garis lain yang memuat dan

// dan

//

, maka

dan sebidang misalkan bidang itu adalah bidang , maka harus

memuat dan . Jadi

=

dan

′ ⊂

begitu juga

′ ⊂

sehingga

=

.

2.1.18

Teorema (Rawuh, 2009)

Tiap bidang memuat paling sedikit 3 garis yang tidak kongruen.

2.1.19

Teorema (Rawuh, 2009)

Di dalam suatu bidang , tiap titik termuat dalam paling sedikit dua garis (yang

berlainan).

2.1.20

Definisi (Rawuh, 2009)

(14)

2.1.21

Teorema (Rawuh, 2009)

Misalkan diketahui 4 titik , , dan yang berlainan, tidak kolinier dan tidak

sebidang maka berlaku:

1.

Apabila diketahui suatu bidang, maka ada suatu titik yang tidak terletak

pada bidang itu.

2.

Apabila diketahui suatu garis, maka ada garis yang menyilangnya.

3.

Apabila diketahui suatu titik, maka ada suatu bidang yang tidak memuat

titik tersebut.

4.

Ada paling sedikit enam garis dan paling sedikit empat bidang.

2.1.22

Definisi (Rawuh, 2009)

Suatu model geometri insidensi adalah sistem

, ,

yang terdiri atas tiga

himpunan tertentu

, ,

. Anggota-anggota himpunan tersebut masing-masing

dinamakan titik, garis dan bidang yang memenuhi aksioma-aksioma (1) sampai

dengan (6), dengan sendirinya teorema-teorema insidensi akan berlaku pada

model tersebut.

(15)

2.2

Definisi Grup (Roman, 2005)

Misalkan

adalah suatu himpunan tidak kosong dengan operasi biner. Maka

disebut suatu grup jika tiga aksioma berikut terpenuhi:

1)

Hukum asosiatif, yakni untuk sembarang , , pada

, berlaku

∗ = ∗

2)

Elemen identitas,

yakni terdapat suatu elemen pada

sedemikian

sehingga

∗ = ∗ =

untuk sembarang elemen pada

3)

Invers,

yakni untuk masing-masing pada

, terdapat suatu elemen

(invers dari ) pada

sedemikian sehingga berlaku

=

∗ =

2.2.1

Grup Komutatif (Roman, 2005)

Suatu grup

dikatakan grup Abelian atau grup komutatif,

jika hukum komutatif berlaku yakni jika

∗ = ∗

(16)

2.2.2

Homomorfisma (Connell, 1999)

2.2.2.1 Definisi homomorfisma

Diketahui

�,∗

dan

,∗

merupakan grup. Pemetaan

� ∶ � → �′

disebut

homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap

, �

berlaku

� ∗

= �

.

2.2.2.2 Definisi fungsi pada grup

a)

Fungsi

dari

ke

�′

didefinisikan

∀ , � = ⟹ �

= �

.

b)

Fungsi

disebut onto/pada/surjektif jika

� � = �′

atau dengan kata

lain:

, ∃

sehingga

’ = �

.

c)

Fungsi

disebut injektif

1 – 1

jika

∀ , � �

= �

⟹ =

.

d)

Fungsi

disebut bijektif (korespondensi

1– 1

) jika

injektif dan surjektif.

2.2.2.3 Sifat-sifat homomorfisma

1.

Suatu homomorfisma dari

ke

�’

yang injektif

1 − 1

disebut

monomorfisma.

2.

Suatu homomorfisma dari

ke

�’

yang surjektif (pada/onto) disebut

epimorfisma.

3.

Suatu homomorfisma dari

ke

�’

yang bijektif

(injektif dan surjektif)

disebut isomorfisma.

4.

Suatu homomorfisma dari

ke

�’

dan

� = �

disebut endomorfisma

(suatu homomorfisma dari suatu grup

ke grup

itu sendiri).

(17)

V. Kesimpulan

Adapun kesimpulan dari penelitian tentang ke-isomorfisaan geometri insidensi

sebagai berikut:

1.

Terbukti bahwa dua geometri insidensi planar

dan

�′

isomorf jika

fungsi atau padanan

�: � → �′

terjadi padanan satu-satu antara titik dan

garis yang mengawetkan (mempertahankan) relasi insidensi antara titik

dengan garis pada

ke

�′

.

2.

Terbukti bahwa dua geometri insidensi berdimensi tiga

dan

�′

isomorf

jika fungsi atau padanan

�: � → �′

terjadi padanan satu-satu antara titik,

garis dan bidang yang mengawetkan (mempertahankan) relasi insidensi

antara titik, garis dan bidang pada

ke

�′

.

(18)

KE-ISOMORFISMAAN

GEOMETRI INSIDENSI

(Skripsi)

Oleh

MARLINA

0817031036

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

(19)

Judul Skripsi

: KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI

INSIDENSI

Nama Mahasiswa

: Marlina

Nomor Pokok Mahasiswa

: 0817031036

Jurusan

: Matematika

Fakultas

: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1.

Komisi Pembimbing

Dr. Muslim Ansori, M.Si.

Dra. Dorrah Azis, M.Si.

NIP 197202271998021001

NIP 196101281988112001

2.

Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

(20)

KE-ISOMORFISMAAN

GEOMETRI INSIDENSI

Oleh

MARLINA

0817031036

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

(21)

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua

: Dr. Muslim Ansori, M.Si.

………

Sekretaris

: Dorrah Aziz, M.Si

………

Penguji

Bukan Pembimbing

: Amanto, M.Si.

………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D

NIP. 19690530 199512 1 001

(22)

i

PERSEMBAHAN

Ya Allah trimakasih memberikanku kesempatan untuk mempersembahkan karya

kecil ini untuk sepasang manusia yang memberi arti dalam hidupku,

untuk mamak dan bapak,

untuk mbah, mb dan adik-adikku kumencintai kalian

untuk calon imamku yang

kurindukan dalam do’a

untuk pembimbingku yang selalu dengan sabar mengajariku dan

untuk alamater yang kucinta.

(23)

ii

SANWACANA

Syukur

Alhamdulillah penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

memberikan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

ini. Tak lupa shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi

Muhammad SAW. Skripsi dengan judul “

Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi

adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains matematika di

Universitas Lampung.

Dalam proses penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu dalam

memberikan bimbingan, dukungan serta saran demi terwujudnya skripsi ini.

Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, selaku dosen pembimbing utama yang telah

meluangkan waktu diantara kesibukannya untuk membimbing serta

mengarahkan dengan penuh kesabaran, sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

2. Ibu Dorrah Aziz, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah

memberikan pengarahan dan motivasi dalam proses penyusunan

skripsi ini.

3. Bapak Amanto, M.Si., selaku penguji bukan pembimbing dan juga

selaku Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

(24)

iii

Matematika FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc.Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah

memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Mamak, Bapak, mbah minah, mb Erni, Adi bolang, Lia, kak Hendri dan dzaky

yang dengan kepolosannya selalu menghiburku serta doa, nasihat dan

dukungan semuanya.

10. Bundo, Nuy, Sidu, Ririn, Ida, k Sandy, Papi, Fah, Ichi, Tikul, Ice, Uni, Wo,

Bunda Eflin, Recan, pakde Made, terimakasih telah bersedia direpotkan ingin

bertemu kalian lagi di surga-Nya.

11. Teman-teman Jurusan Matematika khususnya angkatan 2008 atas bantuan dan

rasa kekeluargaan yang telah diberikan selama ini.

12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan

satu persatu.

Bandar Lampung, Januari 2013

Penulis

(25)

iv

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR...

v

I. PENDAHULUAN ...

1

1.1 Latar Belakang ...

1

1.2 Tujuan Penelitian ...

2

1.3 Manfaat Penelitian ...

2

II. TINJAUAN PUSTAKA ...

3

2.1

Geometri Insidensi ...

3

2.2

Grup ...

14

III. METODE PENELITIAN ...

16

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ...

16

3.2 Langkah-Langkah Penelitian ...

16

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ...

18

4.1 Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi ...

18

4.2 Sifat-Sifat Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi ...

20

4.3 Contoh Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi ...

22

V. KESIMPULAN ...

25

DAFTAR PUSTAKA

(26)

v

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.

Diagram

...

23

Gambar 2.

Diagram

...

23

Gambar 3.

Diagram

...

24

(27)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sukarame, Bandar Lampung 20 Januari 1990, anak kedua

dari empat bersaudara, dari pasangan Bapak Supono dan Ibu Partinah.

Pendidikan Sekolah Dasar di SD Negeri 2 Sukarame Bandar Lampung

diselesaikan pada tahun 2002, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP

Negeri 23 Bandar Lampung pada tahun 2005, dan Sekolah Menengah Atas

(SMA) di SMA Negeri 12 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2008.

(28)

Motto

Wahai orang – orang yang beriman. Jika kamu menolong agama Allah,

niscaya Allah akan menolong dan meneguhkan kedudukanmu.”

[Q.S. Muhammad : 7]

Pertama Allah, Allah lagi dan Allah terus

(Yusuf Mansyur

)

Bahagia itu sederhana,

Referensi

Dokumen terkait

Isometri memiliki sifat mempertahankan sebuah ruas garis dengan tiga titik segaris yang berurutan, mempertahankan keantaraan pada tiga titik segaris yang berurutan,

Titik di luar garis apabila titik tersebut tidak menjadi bagian dari garis, atau apabila titik tersebut diiriskan (∩) dengan garis hasilnya himpunan kosong (ø). Berikut

Menurut Definisi 1, jika dua garis yang berbeda memotong maka kedua garis tersebut memiliki paling sedikit satu titik yang terletak pada keduanya.. Andaikan terdapat lebih dari

Dua buah garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran adalah sama panjang, dan sudut yang terletak antara garis singgung dan garis singgung dan garis garis

Relasi antara konsep garis berarah dan ide arah menyatakan bahwa a/b dapat ditentukan dengan menspesifikasi titik ujung a dan satu dari titiknya, katakanlah c-karena dirasa

Titik di luar garis apabila titik tersebut tidak menjadi bagian dari garis, atau apabila titik tersebut diiriskan (∩) dengan garis hasilnya himpunan kosong (ø). Berikut

refleksi diambil sebarang garis g, maka anda simpulkan bahwa setiap refleksi pada garis mempunyai tak hingga titik invarian.. Teorema : Setiap setengah putaran mempunyai

Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam 2 himpunan yang tidak kosong sedemikian hingga ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara titik