ABSTRAK
KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI
Oleh
MARLINA
Dalam geometri ada yang disebut geometri insidensi yaitu geometri yang didasari oleh
aksioma-aksioma insidensi. Dengan menggunakan definisi isomorfisma, pemetaan
geometri insidensi ke geometri insidensi dapat diidentifikasi ke-isomorfismaannya.
Penelitian ini bertujuan mengidentifikasi pemetaan dua geometri insidensi planar
(berdimensi dua)
�: � → �
pada
�
ke
�
serta pemetaan geometri insidensi
berdimensi tiga
�: � → �′
pada
�
ke
�’
.
Dari hasil penelitian diperoleh bahwa Ke-isomorfismaan geometri insidensi itu dapat
mengawetkan (mempertahankan) relasi insidensi antara titik dengan garis dan
mempunyai sifat-sifat isomorfisma yaitu sifat reflektif, simetrik dan transitif.
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Geometri (Yunani Kuno: γεωμετρία; geo
-"bumi",-metria "pengukuran")
"pengukuran bumi" adalah bagian dari matematika yang berkenaan dengan
ukuran, bentuk, posisi relatif bangun, dan sifat-sifat ruang. Geometri adalah salah
satu ilmu tertua yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang
berkenaan dengan relasi ruang.
Ilmu geometri digunakan dalam berbagai bidang dikarenakan ilmu geometri dapat
menjelaskan permasalahan lebih sistematis dan mudah dimengerti. Membahas
prinsip-prinsip dasar yang menjadi pokok suatu struktur subyek sehingga dapat
dibentuk menjadi suatu struktur logis dan sistematis.
Dalam bidang arsitektur
misalnya, tidak ada bentuk, rancangan, konsep yang bisa lepas dari geometri.
1.2. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.
Menyelidiki pembentukan geometri insidensi.
2.
Mengidentifikasi ke-isomorfismaan dua geometri insidensi planar
(berdimensi dua) dan dua geometri insidensi berdimensi tiga.
1.3. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.
Bertambahnya pengetahuan tentang konsep geometri khususnya geometri
insidensi.
2.
Bertambahnya informasi tentang ke-isomorfismaan geometri.
3.
Menambah referensi terkait geometri insidensi.
II. LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma,
istilah-istilah, definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian
ini.
2.1
Geometri Insidensi (Hilbert, 1971)
Geometri insidensi adalah geometri yang didasari oleh aksioma insidensi,
geometri ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang telah dikenal
sebelumnya. Geometri Euclides didasari pada lima aksioma berikut:
1.
Kelompok aksioma insidensi
2.
Kelompok aksioma urutan
3.
Kelompok aksioma kekongruenan
4.
Aksioma kesejajaran Euclides
5.
Aksioma kekontinuan
Suatu geometri dibentuk berdasarkan aksioma yang berlaku dalam
geometri-geometri tersebut. Geometri insidensi didasari oleh aksioma insidensi .
2.1.1
Unsur Tidak Terdefinisi (Hilbert, 1971)
Dalam geometri selain aksioma diperlukan juga unsur-unsur tidak terdefinisi,
Untuk suatu geometri diperlukan unsur tidak terdefinisi sebagai berikut.
1.
Titik
2.
Himpunan titik-titik yang dinamakan garis
3.
Himpunan titik-titik yang dinamakan bidang
2.1.2
Aksioma-Aksioma Insidensi (Rawuh, 2009)
Terdapat unsur tidak terdefinisi yaitu titik, garis dan bidang. Ketiga unsur ini
dikaitkan satu sama lain dengan suatu aksioma pada geometri insidensi. Sistem
aksioma yang digunakan adalah aksioma insidensi yang terdiri dari enam aksioma
sebagai berikut:
1)
Garis adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit dua titik.
2)
Dua titik yang berlainan terkandung dalam tepat satu garis (satu dan tidak
lebih dari satu garis).
4)
Tiga titik yang berlainan yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak
lebih dari satu bidang.
5)
Apabila suatu bidang memuat dua titik berlainan dari suatu garis, maka bidang
itu akan memuat setiap titik pada garis tersebut (garis terkandung dalam
bidang itu atau garis terletak dalam bidang itu).
6)
Apabila dua bidang bersekutu pada suatu titik maka kedua bidang itu akan
bersekutu pada titik kedua yang lain.
2.1.3
Definisi (Rawuh, 2009)
Suatu himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan
bidang yang memenuhi aksioma 1 sampai 6 disebut suatu geometri insidensi.
2.1.4
Teorema (Rawuh, 2009)
Dua garis yang berbeda bersekutu paling banyak pada satu titik.
2.1.5
Definisi (Rawuh, 2009)
Suatu garis yang memuat titik dan titik yang berbeda disebut garis
2.1.6
Teorema (Rawuh, 2009)
Bukti :
Menurut ketentuan
≠
. Andaikan
=
, oleh karena
( pada garis
) maka
. Hal ini berlawanan dengan yang diketahui sehingga
pengumpamaan
=
adalah tidak benar, maka haruslah
≠
. Begitu pula
dengan cara yang sama dapat dibuktikan
≠
, jadi , , berlainan.
Untuk membuktikan titik , , tak segaris dimisalkan , , C segaris maka
akan ditunjukkan adanya krontradiksi. Andaikan titik , , segaris maka ada
garis yang memuat , , dan . Oleh karena memuat dan dan
≠
maka
=
, hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa tidak pada garis
. Sehingga pengandaian bahwa , , segaris mengakibatkan kontradiksi. Ini
berarti , , tidak segaris (tidak kolinier).
2.1.7
Teorema (Rawuh, 2009)
Suatu garis dan suatu titik yang tidak pada garis itu termuat dalam tepat satu
bidang.
Bukti
Misalkan titik dan garis dengan
(tidak pada ). Menurut aksioma
insidensi yang pertama ada dua titik berlainan pada , misalkan titik tersebut
adalah dan , sehingga
=
, jadi
. Menurut aksioma (2) , dan
berlainan dan tidak segaris. Menurut aksioma (4) titik , dan termuat dalam
satu bidang, katakanlah bidang tersebut bidang . Oleh karena
dan
′
yang memuat garis dan titik jadi
′
memuat pula dan . Ini berarti
′
memuat , dan , menurut aksioma (4)
′=
. Jadi adalah satu-satunya
bidang yang memuat dan karena jika ada bidang lain yang memuat , dan
bidang tersebut akan sama dengan bidang .
2.1.8
Definisi (Rawuh, 2009)
1.
Misalkan
(titik tidak pada garis ), bidang yang memuat garis
dan titik kita tulis sebagai
.
2.
Misalkan titik
,
dan
berlainan dan tidak kolinier, bidang yang
memuat , dan kita tulis sebagai
.
2.1.9
Definisi (Rawuh, 2009)
Dua garis dan dinamakan sejajar (ditulis // ) apabila
1.
dan termuat dalam satu bidang dan
2.
dan m tidak memiliki titik sekutu
2.1.10
Teorema (Rawuh, 2009)
Bukti
Menurut definisi kesejajaran garis, ada suatu bidang yang memuat dan
.
Misalkan bidang
′
juga memuat dan
, apabila pula titik
maka
′
dan
memuat dan titik . Menurut Teorema 2.1.7 haruslah
′=
, jadi hanya ada
satu (unik) bidang yang memuat dua garis yang sejajar.
2.1.11
Teorema (Rawuh, 2009)
Jika dua garis yang berbeda berpotongan, maka garis itu termuat dalam tepat satu
bidang.
Bukti
Misalkan dan
garis yang berbeda yang berpotongan, misalkan pula
dan
(sebab dan berpotongan). Menurut Teorema 2.1.4 ada
dan
≠
;
. Maka ada sebuah bidang yang memuat dan . Oleh karena
memuat maka memuat Sehingga juga memuat . Jadi memuat dan
(bukti selesai).
2.1.12
Teorema (Rawuh, 2009)
Bukti
Misalkan dan dua bidang berbeda yang berpotongan, misalkan juga salah
satu titik temunya (potongnya). Jadi
dan
, maka ada titik kedua
dengan
dan
(aksioma 6), jadi juga
⊆
dan
⊆
(aksioma
5). Ini berarti tiap titik
termuat di
dan di
atau
⊂ ∩
, akan
dibuktikan
∩ =
. Telah dibuktikan di atas bahwa
⊂ ∩
selanjutnya
membuktikan bahwa
∩ ⊂
. Misalkan
∩
dan misalkan
.
Oleh karena
dan termuat dalam dan dalam
, maka
=
(teorema
2.1.7). Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi pemisalan bahwa
menimbulkan kontradiksi, sehingga haruslah
ini berarti bahwa
∩
⊂
. Oleh karena telah terbukti bahwa
⊂ ∩
maka
∩ =
.
Akibatnya
Apabila ada garis g dengan
⊂
dan
⊂
maka
= ∩
.
2.1.13
Definisi (Rawuh, 2009)
2.1.14
Teorema (Rawuh, 2009)
Apabila bidang sejajar dengan bidang dan bidang memotong bidang dan
bidang , maka himpunan
∩
dan himpunan
∩
adalah garis-garis yang
sejajar.
Bukti
Pertama akan dibuktikan bahwa
∩
dan
∩
adalah garis-garis. Untuk ini
dibuktikan bahwa dan berlainan serta dan juga berlainan. Misalkan
=
, oleh karena memotong maka ini berarti bahwa memotong . Ini tak
mungkin (karena // ), jadi haruslah
≠
. Ini berarti bahwa
∩
adalah
sebuah garis katakan garis tersebut garis , begitu pula
∩
adalah sebuah garis
katakan garis tersebut garis
. Garis dan garis
termuat dalam satu bidang,
yaitu bidang . Misalkan dan berpotongan, misalnya
∩ =
maka
dan
(karena
∩
dan
∩
maka
∩
= ∩
, jika
∩
maka
dan
). Jadi dan bertemu di , ini tidak mungkin (karena
sejajar ). Jadi dan terletak pada satu bidang dan tidak memiliki titik temu,
berarti // . (bukti selesai)
2.1.15
Definisi (Rawuh, 2009)
2.
Apabila bangun geometri
, , … ,
�terletak pada satu bidang,
dinamakan bangun-bangun itu sebidang atau koplanar.
2.1.16
Teorema (Rawuh, 2009)
Apabila setiap dua garis dari sekelompok tiga garis koplanar, akan tetapi tidak
bertiga koplanar maka bertiga garis itu kongruen atau tiap dua garis diantaranya
sejajar.
Bukti
Diketahui tiga garis , dan ; misalkan dan di bidang , dan di bidang
, dan di bidang . Akan dibuktikan , dan berlainan. Misalkan
=
maka ,
, sebidang (karena pengandaian dan
di bidang ,
dan di
bidang ), ini tidak mungkin (karena ketiga garis tidak bertiga koplanar). Jadi
haruslah
≠
begitu pula
≠
dan
≠
. Oleh karena itu maka
∩ =
,
dan
∩ =
serta
∩ =
. Misalkan
∩
=
, karena
maka
2.1.17
Teorema (Rawuh, 2009)
Apabila // dan titik tidak terletak pada bidang yang memuat dan , maka
ada garis tunggal yang memuat sehingga // dan // .
Bukti
Ada bidang yang memuat dan dan ada bidang
yang memuat
dan
(Teorema 2.1.7), jelas
≠
sebab tidak terletak pada bidang yang memuat
dan
( dan
sejajar). Misalkan
∩ =
maka // dan //
, akan
dibuktikan tunggal. Misalkan
′
garis lain yang memuat dan
′
// dan
′
//
, maka
′
dan sebidang misalkan bidang itu adalah bidang , maka harus
memuat dan . Jadi
=
dan
′ ⊂
begitu juga
′ ⊂
sehingga
′=
.
2.1.18
Teorema (Rawuh, 2009)
Tiap bidang memuat paling sedikit 3 garis yang tidak kongruen.
2.1.19
Teorema (Rawuh, 2009)
Di dalam suatu bidang , tiap titik termuat dalam paling sedikit dua garis (yang
berlainan).
2.1.20
Definisi (Rawuh, 2009)
2.1.21
Teorema (Rawuh, 2009)
Misalkan diketahui 4 titik , , dan yang berlainan, tidak kolinier dan tidak
sebidang maka berlaku:
1.
Apabila diketahui suatu bidang, maka ada suatu titik yang tidak terletak
pada bidang itu.
2.
Apabila diketahui suatu garis, maka ada garis yang menyilangnya.
3.
Apabila diketahui suatu titik, maka ada suatu bidang yang tidak memuat
titik tersebut.
4.
Ada paling sedikit enam garis dan paling sedikit empat bidang.
2.1.22
Definisi (Rawuh, 2009)
Suatu model geometri insidensi adalah sistem
, ,
yang terdiri atas tiga
himpunan tertentu
, ,
. Anggota-anggota himpunan tersebut masing-masing
dinamakan titik, garis dan bidang yang memenuhi aksioma-aksioma (1) sampai
dengan (6), dengan sendirinya teorema-teorema insidensi akan berlaku pada
model tersebut.
2.2
Definisi Grup (Roman, 2005)
Misalkan
�
adalah suatu himpunan tidak kosong dengan operasi biner. Maka
�
disebut suatu grup jika tiga aksioma berikut terpenuhi:
1)
Hukum asosiatif, yakni untuk sembarang , , pada
�
, berlaku
∗
∗ = ∗
∗
2)
Elemen identitas,
yakni terdapat suatu elemen pada
�
sedemikian
sehingga
∗ = ∗ =
untuk sembarang elemen pada
�
3)
Invers,
yakni untuk masing-masing pada
�
, terdapat suatu elemen
−(invers dari ) pada
�
sedemikian sehingga berlaku
∗
−=
−∗ =
2.2.1
Grup Komutatif (Roman, 2005)
Suatu grup
�
dikatakan grup Abelian atau grup komutatif,
jika hukum komutatif berlaku yakni jika
∗ = ∗
2.2.2
Homomorfisma (Connell, 1999)
2.2.2.1 Definisi homomorfisma
Diketahui
�,∗
dan
�
′,∗
′merupakan grup. Pemetaan
� ∶ � → �′
disebut
homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap
, �
berlaku
� ∗
= �
∗
′�
.
2.2.2.2 Definisi fungsi pada grup
a)
Fungsi
�
dari
�
ke
�′
didefinisikan
∀ , � = ⟹ �
= �
.
b)
Fungsi
�
disebut onto/pada/surjektif jika
� � = �′
atau dengan kata
lain:
∀
′�
′, ∃
�
sehingga
’ = �
.
c)
Fungsi
�
disebut injektif
1 – 1
jika
∀ , � �
= �
⟹ =
.
d)
Fungsi
�
disebut bijektif (korespondensi
1– 1
) jika
�
injektif dan surjektif.
2.2.2.3 Sifat-sifat homomorfisma
1.
Suatu homomorfisma dari
�
ke
�’
yang injektif
1 − 1
disebut
monomorfisma.
2.
Suatu homomorfisma dari
�
ke
�’
yang surjektif (pada/onto) disebut
epimorfisma.
3.
Suatu homomorfisma dari
�
ke
�’
yang bijektif
(injektif dan surjektif)
disebut isomorfisma.
4.
Suatu homomorfisma dari
�
ke
�’
dan
� = �
’
disebut endomorfisma
(suatu homomorfisma dari suatu grup
�
ke grup
�
itu sendiri).
V. Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari penelitian tentang ke-isomorfisaan geometri insidensi
sebagai berikut:
1.
Terbukti bahwa dua geometri insidensi planar
�
dan
�′
isomorf jika
fungsi atau padanan
�: � → �′
terjadi padanan satu-satu antara titik dan
garis yang mengawetkan (mempertahankan) relasi insidensi antara titik
dengan garis pada
�
ke
�′
.
2.
Terbukti bahwa dua geometri insidensi berdimensi tiga
�
dan
�′
isomorf
jika fungsi atau padanan
�: � → �′
terjadi padanan satu-satu antara titik,
garis dan bidang yang mengawetkan (mempertahankan) relasi insidensi
antara titik, garis dan bidang pada
�
ke
�′
.
KE-ISOMORFISMAAN
GEOMETRI INSIDENSI
(Skripsi)
Oleh
MARLINA
0817031036
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
Judul Skripsi
: KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI
INSIDENSI
Nama Mahasiswa
: Marlina
Nomor Pokok Mahasiswa
: 0817031036
Jurusan
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1.
Komisi Pembimbing
Dr. Muslim Ansori, M.Si.
Dra. Dorrah Azis, M.Si.
NIP 197202271998021001
NIP 196101281988112001
2.
Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika
KE-ISOMORFISMAAN
GEOMETRI INSIDENSI
Oleh
MARLINA
0817031036
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua
: Dr. Muslim Ansori, M.Si.
………
Sekretaris
: Dorrah Aziz, M.Si
………
Penguji
Bukan Pembimbing
: Amanto, M.Si.
………
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D
NIP. 19690530 199512 1 001
i
PERSEMBAHAN
Ya Allah trimakasih memberikanku kesempatan untuk mempersembahkan karya
kecil ini untuk sepasang manusia yang memberi arti dalam hidupku,
untuk mamak dan bapak,
untuk mbah, mb dan adik-adikku kumencintai kalian
untuk calon imamku yang
kurindukan dalam do’a
untuk pembimbingku yang selalu dengan sabar mengajariku dan
untuk alamater yang kucinta.
ii
SANWACANA
Syukur
Alhamdulillah penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
memberikan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini. Tak lupa shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi
Muhammad SAW. Skripsi dengan judul “
Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi
”
adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains matematika di
Universitas Lampung.
Dalam proses penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu dalam
memberikan bimbingan, dukungan serta saran demi terwujudnya skripsi ini.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Muslim Ansori, selaku dosen pembimbing utama yang telah
meluangkan waktu diantara kesibukannya untuk membimbing serta
mengarahkan dengan penuh kesabaran, sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
2. Ibu Dorrah Aziz, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah
memberikan pengarahan dan motivasi dalam proses penyusunan
skripsi ini.
3. Bapak Amanto, M.Si., selaku penguji bukan pembimbing dan juga
selaku Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
iii
Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc.Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Mamak, Bapak, mbah minah, mb Erni, Adi bolang, Lia, kak Hendri dan dzaky
yang dengan kepolosannya selalu menghiburku serta doa, nasihat dan
dukungan semuanya.
10. Bundo, Nuy, Sidu, Ririn, Ida, k Sandy, Papi, Fah, Ichi, Tikul, Ice, Uni, Wo,
Bunda Eflin, Recan, pakde Made, terimakasih telah bersedia direpotkan ingin
bertemu kalian lagi di surga-Nya.
11. Teman-teman Jurusan Matematika khususnya angkatan 2008 atas bantuan dan
rasa kekeluargaan yang telah diberikan selama ini.
12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan
satu persatu.
Bandar Lampung, Januari 2013
Penulis
iv
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR...
v
I. PENDAHULUAN ...
1
1.1 Latar Belakang ...
1
1.2 Tujuan Penelitian ...
2
1.3 Manfaat Penelitian ...
2
II. TINJAUAN PUSTAKA ...
3
2.1
Geometri Insidensi ...
3
2.2
Grup ...
14
III. METODE PENELITIAN ...
16
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ...
16
3.2 Langkah-Langkah Penelitian ...
16
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ...
18
4.1 Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi ...
18
4.2 Sifat-Sifat Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi ...
20
4.3 Contoh Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi ...
22
V. KESIMPULAN ...
25
DAFTAR PUSTAKA
v
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.
Diagram
�
...
23
Gambar 2.
Diagram
�
...
23
Gambar 3.
Diagram
�
...
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sukarame, Bandar Lampung 20 Januari 1990, anak kedua
dari empat bersaudara, dari pasangan Bapak Supono dan Ibu Partinah.
Pendidikan Sekolah Dasar di SD Negeri 2 Sukarame Bandar Lampung
diselesaikan pada tahun 2002, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP
Negeri 23 Bandar Lampung pada tahun 2005, dan Sekolah Menengah Atas
(SMA) di SMA Negeri 12 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2008.
Motto
“
Wahai orang – orang yang beriman. Jika kamu menolong agama Allah,
niscaya Allah akan menolong dan meneguhkan kedudukanmu.”
[Q.S. Muhammad : 7]
Pertama Allah, Allah lagi dan Allah terus
(Yusuf Mansyur
)Bahagia itu sederhana,